Exercices de spécialité sur les complexes, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices de spécialité sur les complexes, Exercices de Mathématiques

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Exercices de spécialité sur les complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les milieux respectifs des segments, la médiane issue de O du triangle.
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! Baccalauréat S Nombres complexes " Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

1 Asie juin 2012 × × 2 Métropole juin 2012 × × × 3 Antilles-Guyane juin 2012 × × × 4 Centres étrangers juin 2012 × × × 5 Polynésie juin 2012 × × 6 Amérique du Nord mai 2012 × × × 7 Liban mai 2012 × × × 8 Pondichéry avril 2012 × × × 9 Nouvelle-Calédonie mars 2012 × ×

10 Amérique du Sud novembre 2011 × × 11 Nouvelle-Calédonie novembre 2011 × × 12 Polynésie septembre 2011 × × × 13 Métropole septembre 2011 × × × 14 Antilles-Guyane septembre 2011 × × 15 Polynésie juin 2011 × × × 16 Métropole juin 2011 × × × 17 La Réunion juin 2011 × × × 18 Centres étrangers juin 2011 × × × 19 Asie juin 2011 × × × 20 Antilles–Guyane juin 2011 × × × 21 Liban mai 2011 × × × 22 Amérique du Nord mai 2011 × × 23 Amérique du Sud novembre 2010 × × × 24 Nouvelle-Calédonie novembre 2010 × × × 25 Polynésie septembre 2010 26 Métropole septembre 2010 × × × 27 Polynésie juin 2010 × × 28 Métropole juin 2010 × 29 La Réunion juin 2010 × 30 Centres étrangers juin 2010 × 31 Asie juin 2010 × 32 Antilles-Guyane juin 2010 × 33 Amérique du Nord juin 2010 × × 34 Nouvelle-Calédonie nov. 2009 × × 35 Amérique du Sud nov. 2009 × × 36 Polynésie septembre 2009 × ×

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

37 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 38 Polynésie juin 2009 × × 39 Métropole juin 2009 × × 40 La Réunion juin 2009 × × 41 Asie juin 2009 × × × 42 Antilles-Guyane juin 2009 × × 43 Liban juin 2009 × × × 44 Amérique du Nord juin 2009 × × × 45 Nouvelle–Calédonie mars 2009 × × × 46 Amérique du Sud décembre 2008 × × 47 Nouvelle-Calédonie novembre 2008 × × 48 Métropole La Réunion sept. 2008 × × × 49 Antilles-Guyane septembre 2008 × × 50 Polynésie juin 2008 × × × 51 Liban juin 2008 × × 52 Centres étrangers juin 2008 × × × 53 Métropole juin 2008 × × 54 La Réunion juin 2008 × × 55 Asie juin 2008 × × × 56 Antilles–Guyane juin 2008 × × × 57 Amérique du Nord juin 2008 × × × 58 Pondichéry avril 2008 × × × 59 Nlle-Calédonie décembre 2007 × × × 60 Amérique du Sud novembre 2007 × × 61 Métropole-La Réunion sept. 2007 × × 62 Antilles-Guyane septembre 2007 × × 63 Polynésie juin 2007 × × 64 La Réunion juin 2007 × × 65 Métropole juin 2007 × × 66 Centres étrangers juin 2007 × × 67 Asie juin 2007 × × 68 Liban juin 2007 × × 69 Nouvelle-Calédonie déc. 2006 × × 70 Amérique du Sud novembre 2006 × × 71 Polynésie septembre 2006 × × 72 Métropole septembre 2006 × × × 73 Polynésie juin 2006 × × 74 La Réunion juin 2006 × × × 75 Métropole juin 2006 × ×

Exercices sur les complexes 2

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

153 Sportifs de haut-niveau septembre 1999Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) . On dé-

signe par E l’ensemble des points M d’affixe z tels que z3 soit un nombre réel positif ou nul.

a. a. Le point A d’affixe a = e−i 2π 3 appartient-il à E ?

b. On note B le point d’affixe b = −1+ i %

3. Calculer un argument de b et montrer que B appartient à E.

b. On suppose z &= 0 et on note θ un argument de z. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur θ pour que z3 soit un nombre réel positif.

c. Après avoir vérifié que le point O appartient à E, déduire des résul- tats précédents que E est la réunion de trois demi-droites que l’on déterminera. Placer les points A et B et représenter E sur une figure.

d. à tout point P d’affixe z &= 0, on associe les points Q d’affixe iz et R d’affixe z4. On note F l’ensemble des points P tels que l’angle

( −−→ OQ ,

−−→ OR ) ait pour mesure −

π

2 . Montrer que F est l’ensemble E

privé du point O.

# Livret réalisé grâce à Cocoa booklet. Merci à son auteur Fabien Cor- nus. $

http ://www.iconus.ch/fabien/cocoabooklet/

Exercices sur les complexes 162

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

76 Centres étrangers juin 2006 × 77 Asie juin 2006 × × 78 Antilles-Guyane juin 2006 × × × 79 Liban mai 2006 × × 80 Pondichéry avril 2006 × × 81 Amérique du Sud novembre 2005 × × 82 Nouvelle–Calédonie nov. 2005 × × 83 Métropole septembre 2005 × × 84 Antilles septembre 2005 × × × 85 Polynésie septembre 2005 × × 86 Amérique du Nord juin 2005 × × 87 Antilles juin 2005 × 88 Asie juin 2005 × × × 89 Centres étrangers juin 2005 × ×

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

90 Métropole juin 2005 × 91 Liban juin 2005 × 92 La Réunion septembre 2004 × × 93 Nouvelle-Calédonie nov. 2004 × × 94 Polynésie septembre 2004 × × 95 Antilles-Guyane septembre 2004 × × 96 Amérique du Nord mai 2004 × × × 97 Antilles-Guyane juin 2004 × × 98 Asie juin 2004 × × 99 Centres étrangers juin 2004 × ×

100 Métropole juin 2004 × × 101 Liban juin 2004 × × 102 Polynésie juin 2004 × 103 La Réunion juin 2004 × × 104 Nouvelle-Calédonie mars 2004 × 105 Pondichéry avril 2004 × × 106 Amérique du Sud nov. 2003 × 107 Antilles septembre 2003 × × 108 Métropole septembre 2003 × 109 Amérique du Nord juin 2003 × × 110 Antilles juin 2003 × 111 Asie juin 2003 × × 112 Métropole juin 2003 × 113 Liban juin 2003 ×

Exercices sur les complexes 3

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

114 Nouvelle-Calédonie mars 2003 × × 115 Polynésie juin 2003 × 116 Pondichéry mars 2003 × × 117 Amérique du Sud déc. 2002 × × 118 Antilles septembre 2002 × 119 Métropole septembre 2002 × × 120 Nouvelle-Calédonie nov. 2002 × × 121 Polynésie septembre 2002 × × × 122 Amérique du Nord juin 2002 × × 123 Antilles juin 2002 × 124 Asie juin 2002 × × 125 Centres étrangers juin 2002 × 126 Métropole juin 2002 × × 127 La Réunion juin 2002 × × × 128 Polynésie juin 2002 × × 129 Pondichéry avril 2002 × × 130 Antilles septembre 2001 × 131 Métropole septembre 2001 × × 132 Polynésie septembre 2001 × 133 Amérique du Nord juin 2001 × × 134 Antilles juin 2001 × × 135 Asie juin 2001 × × 136 Métropole juin 2001 × × 137 Liban juin 2001 × 138 Polynésie juin 2001 × × 139 Pondichéry avril 2001 × × 140 Amérique du Sud nov. 2000 × 141 Nouvelle–Calédonie déc. 2000 × × 142 Antilles–Guyane sept. 2000 × × 143 Amérique du Nord juin 2000 × × 144 Antilles juin 2000 × × 145 Asie juin 2000 × 146 Métropole juin 2000 × 147 La Réunion juin 2000 × × 148 Liban juin 2000 × × 149 Polynésie juin 2000 × × 150 Pondichéry avril 2000 × × 151 Métropole septembre 1999 × 152 Nouvelle–Calédonie déc. 1999 ×

Exercices sur les complexes 4

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

152 Nouvelle-Calédonie décembre 1999Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

; unité graphique : 2 cm.

a. Tracer les cercles de centre O et de rayons 1 et 2. Placer les points A,

B, et D d’affixes respectives %

3 + i, %

3 - i et - 1 2 + %

3 2

i.

b. On considère la rotation R de centre O et d’angle π

3 et la translation

T de vecteur d’affixe 1.

a. Déterminer les affixes zA′ et zB′ des points A ′ et B′, images res-

pectives des points A et B par la rotation R.

b. Déterminer l’affixe zD′ , du point D ′, image du point D par la

translation T.

c. Placer les points A′, B′ et D′.

c. Déterminer un argument du nombre complexe zA′ − zB′

zD′ . Justifier

que la droite (OD′) est une médiatrice du triangle OA′B′.

Exercices sur les complexes 161

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

151 Métropole septembre 1999 Retour au tableau Le plan est rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité gra- phique : 2 cm). On note ZM l’affixe d’un point M . Soit A le point d’affixe 4 et B le point d’affixe 4i.

a. Soit θ un réel de [0, 2π[ et r un réel strictement positif. On considère le point E d’affixe r eiθ et F le point tel que OE F est un triangle rec-

tangle isocèle vérifiant (−−→ OE ,

−−→ OF

) =

π

2 . Quelle est, en fonction de r

et θ, l’affixe de F ?

b. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de l’exercice. On choisira, uniquement pour cette figure :

θ = 5 π

6 et r = 3.

c. On appelle P, Q, R , S les milieux respectifs des segments [AB], [BE ], [E F ], [F A].

a. Prouver que PQRS est un parallélogramme.

b. On pose : Z = ZR ZQ ZQ ZP

. Déterminer le module et un argument

de Z . En déduire que PQRS est un carré.

d. a. Calculer, en fonction de r et θ, les affixes respectives des points P et Q.

b. Quelle est, en fonction de r et θ, l’aire du carré PQRS ?

c. r étant fixé, pour quelle valeur de θ cette aire est-elle maximale ? Quelle est alors l’affixe de E ?

Exercices sur les complexes 160

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

153 Sportifs haut-niveau sept. 1999 × ×

Exercices sur les complexes 5

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1 Asie juin 2012

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note r la rotation de centre O et d’angle π

6 .

On considère le point A, d’affixe zA =− %

3+ i, le point A1 d’affixe zA1 = zA où zA désigne le conjugué de zA. On note enfin B image du point A1 par la rotation r et zB l’affixe du point 8.

1. a. Écrire le nombre complexe zA sous forme exponentielle, puis placer les points A et A1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.

b. Vérifier que zB = 2e− 2iπ

3 sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe zB sous forme algébrique.

Placer alors le point B dans le même repère.

2. On considère le vecteur unitaire −→ w , tel que

(−→ u ,

−→ w

) =

π

12 , et la droite ∆

passant par O et de vecteur directeur −→ w .

a. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

b. Tracer la droite ∆, puis démontrer que ∆ est la bissectrice de l’angle(−−→ OA ,

−−→ OB

) .

En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite ∆.

3. On note B1 le symétrique de B par rapport à l’axe ( O ;

−→ u )

et B′ l’image de

B1 par la rotation r . Démontrer que B′ = A.

4. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit C le point d’affixe %

2(1+ i) et D le symétrique de C par rapport à la droite ∆.

Construire les points C et D, puis calculer l’affixe du point D

Exercices sur les complexes 6

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

150 Pondichéry mai 2000 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

; unité graphique 4 cm. On appelle B le point d’affixe i et M1 le point d’af- fixe :

z1 = %

3−1 2

(1− i).

a. Déterminer le module et un argument de z1.

b. Soit M2 le point d’affixe z2, image de M1 par la rotation de centre O

et d’angle π

2 . Déterminer le module et un argument de z2. Montrer

que le point M2 est un point de la droite (D) d’équation y = x.

c. Soit M3 le point d’affixe z3, image de M2 par l’homothétie de centre O et de rapport

% 3+2.

a. Montrer que z3 = %

3+1 2

(1+ i ).

b. Montrer que les points M1 et M3 sont situés sur le cercle de centre B et de rayon

% 2.

d. Construire, à la règle et au compas, les points M1, M2 et M3 en uti- lisant les questions précédentes ; on précisera les différentes étapes de la construction.

e. à tout point M du plan d’affixe z (distinct de B), on associe le point

M ′, d’affixe Z telle que Z = 1

i− z . Déterminer et construire l’ensemble

(E) des points M du plan (M distinct de B) tels que M ′ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1.

Exercices sur les complexes 159

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

149 Polynésie juin 2000 Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) , unité gra-

phique 4 cm. Dans l’ensemble des nombres complexesC, i désigne le

nombre de module 1, et d’argument π

2 . On appelle f l’application, qui,

à tout nombre complexe z différent de −2, associe

Z = f (z) = z −2+ i

z +2i .

a. Si z = x + iy, x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et de y . On vérifiera que

ℜ(Z ) = x2 + y2 −2x +3y +2

x2 + (y +2)2 . En déduire la nature de :

a. l’ensemble E des points M d’affixe z, tels que Z soit un réel ;

b. l’ensemble F des points M d’affixe z du plan, tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul.

c. Représenter ces deux ensembles.

b. On appelle A et B les points d’affixes respectives zA = 2− i et zB = −2i. En remarquant que Z =

z zA z zB

, retrouver les ensembles E et F

par une méthode géométrique.

c. Calculer | f (z)−1|× |z +2i|, et en déduire que les points M ′ d’affixe Z , lorsque le point M d’affixe z parcourt le cercle de centre B et de rayon

% 5, sont tous sur un même cercle dont on précisera le rayon

et l’affixe du centre.

Exercices sur les complexes 158

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On appelle f l’application qui à tout point M d’affixe z différente de −1, fait

correspondre le point M ′ d’affixe 1

z +1 .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D d’équation

x =− 1 2

.

1. Soient A, B et C les points d’affixes respectives

zA =− 1 2

, zB =− 1 2 + i et zC =−

1 2 −

1 2

i.

a. Placer les trois points A, B et C sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique.

b. Calculer les affixes des points A′ = f (A),B′ = f (B) et C′ = f (C) et pla- cer les points A’, B’et C’ sur la figure.

c. Démontrer que les points A′, B′ et C′ ne sont pas alignés.

2. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, fait corres- pondre le point M1 d’affixe z +1.

a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transfor- mation g .

b. Sans donner d’explication, placer les points A1, B1 et C1, images res- pectives par g de A, B et C et tracer la droite D1, image de la droite D par g .

c. Démontrer que D1 est l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z −1| = |z|.

3. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, associe le

point M2 d’affixe 1 z

.

a. Justifier que h (A1) = A′,h (B1) = B′ et h (C1) = C′.

b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

∣∣∣∣ 1 z −1

∣∣∣∣= 1 ⇐⇒ |z −1| = |z|.

c. En déduire que l’image par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

On admet que l’image par h de la droite D1 est le cercle C privé de O.

4. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

Exercices sur les complexes 7

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3 Antilles-Guyane 21 juin 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives :

a =−1+2i ; b =−2− i ; c =−3+ i

1. Placer les points A, B et C sur le graphique.

2. Calculer b

a , en déduire la nature du triangle OAB .

3. On considère l’application f qui à tout point M d’affixe z &= b , associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z +1−2i z +2+ i

.

a. Calculer l’affixe c ′ du point C ′, image de C par f et placer le point C

sur la figure.

b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z avec z?b tels que∣∣z ′ ∣∣= 1.

c. Justifier que E contient les points O et C . Tracer E .

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

On appelle J l’image du point A par la rotation r de centre O et d’angle −π2 . On appelle K l’image du point C par la rotation r ′ de centre O et d’angle π 2 . On note L le milieu de [JK ].

Démontrer que la médiane issue de O du triangle O JK est la hauteur is- sue de O du triangle OAC .

Exercices sur les complexes 8

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

148 Liban juin 2000 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère les points A et B d’affixes respectives i et − i. Soit f l’appli- cation qui à tout point M du plan d’affixe z distincte de − i associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ = 1+ iz z + i

.

a. Quelle est l’image par l’application f du point O ?

b. Quel est le point qui a pour image par l’application f le point C d’af- fixe 1+ i ?

c. Montrer que l’équation 1+ ii z

z + i = z admet deux solutions que l’on

déterminera.

d. Vérifier que z ′ = i(z − ii )

z + i , en déduire OM ′ =

AM BM

et :

( "u,

−−−→ OM

) = (−−→ MB ,

−−→ MA

) + π

2 +2avec k ∈Z.

e. Montrer que tous les points de l’axe des abscisses ont leurs images par l’application f situées sur un même cercle (C ) que l’on préci- sera.

f. Soit M un point du cercle de diamètre [AB] différent de A et de B, montrer que son image M ′ est située sur l’axe des abscisses.

Exercices sur les complexes 157

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

147 La Réunion juin 2000 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité : 2 cm). On dit qu’un triangle équilatéral ABC est direct si et seule-

ment si (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

3 [2π]. On pose j = e2i

π 3 .

a. a. Vérifier que 1 , j et j2 sont solutions de l’équation z3 = 1.

b. Calculer (1− j)(1+ j+ j2) ; en déduire que 1+ j+ j2 = 0.

c. Vérifier que ei π 3 + j2 = 0.

b. Dans le plan complexe, on considère trois points A, B , C , deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c.

a. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seule-

ment si c a b a

= ei π 3 .

b. En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si : a+b j + c j 2 = 0.

c. À tout nombre complexe z &= 1 , on associe les points R , M et M

d’affixes respectives 1, z et z̄.

a. Pour quelles valeurs de z les points M et M ′ sont-ils distincts ?

b. En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l’ensemble (∆) des points M d’affixe z tels que le triangle RM M ′ soit équilatéral direct est une droite privée d’un point.

Exercices sur les complexes 156

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4 Centres étrangers juin 2012

1. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère la transformation t d’écriture complexe

z ′ =−iz +5+ i.

Affirmation : la transformation t est la rotation de centre A d’affixe 3−2i et d’angle −

π

2 .

2. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (E) d’in- connue z :

z2 − zz −1 = 0.

Affirmation : l’équation (E) admet au moins une solution.

3. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère les points A, B et C d’affixes respectives a = −1, b = i et c =% 3+ i(1−

% 3).

Affirmation : le triangle ABC possède un angle dont une mesure est égale à 60˚.

Exercices sur les complexes 9

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5 Polynésie juin 2012

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère les points A, B et C d’affixes respectives a =−2+2i, b =−3−6i et c = 1.

La figure de l’exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats.

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre B et d’angle π

2 .

b. En déduire l’affixe du point A’ image de A par r .

c. Vérifier que l’affixe s du point S milieu de [AA’] est s =− 13 2

− 3 2

i.

d. Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.

3. On construit de la même manière C’ l’image de C par la rotation de centre

A et d’angle π

2 , Q le milieu de [CC’], B’ l’image de B par la rotation de

centre C et d’angle π

2 et P le milieu de [BB’].

On admet que les affixes respectives de Q et de P sont q = 1 2 +

5 2

i et p = 2−5i.

a. Démontrer que s q p a

=−i.

b. En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.

Exercices sur les complexes 10

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

146 Métropole juin 2000 Retour au tableau Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

unité graphique 4 cm, on considère les points A d’affixe zA = 1 et B d’affixe zB = 2. Soit un réel θ appartenant à l’intervalle ]0 ; π[. On note M le point d’affixe z = 1+e2iθ.

a. Montrer que le point M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1.

b. Exprimer l’angle ( −→ AB ;

−−→ AM ) en fonction de θ. En déduire l’ensemble

E des points M quand θ décrit l’intervalle ]0 ; π[.

c. On appelle M ′ l’image de M par la rotation de centre O et d’angle − θ et on note z ′ l’affixe de M ′. Montrer que z ′ = z puis que M ′ ap- partient à (C ).

d. Dans toute la suite, on choisit θ = π

3 . On appelle r la rotation de

centre O et d’angle − 2π 3

et A′ l’image de A par r .

a. Définir l’image (C ′) du cercle (C ) par r . Placer sur une figure A, B, (C ), M , (C ′) puis le point M ′ image de M par r .

b. Montrer que le triangle AMO est équilatéral.

c. Montrer que (C ) et (C ′) se coupent en O et en M .

d. Soit le point P symétrique de M par rapport à A. Montrer que M ′ est le milieu de [A′P ].

Exercices sur les complexes 155

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

145 Asie juin 2000 Retour au tableau Dans le plan complexe (P ) muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ ı ,

−→ ) ,

d’unité 2 cm, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :

zA =− i ; zB = 3 ; zC = 2+3i et zD =− 1+2i.

a. Placer sur une figure les points A, B, C et D.

b. a. Interpréter géométriquement le module et l’argument du com-

plexe zC − zA zD − zB

.

b. Calculer le complexe zC − zA zD − zB

.

c. Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ?

c. a. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.

b. Calculer l’aire s0 du quadrilatère ABCD.

d. a. Placer sur la figure précédente les points A1, B1, C1 et D1 tels que

−−−→ DA1 =

−−−→ A1B1 =

−−→ B1C , où les points A1 et B1 appartiennent à

[DC], le quadrilatère A1B1C1D1 étant un carré situé àl’extérieur du quadrilatère ABCD.

b. Tracer le carré A1B1C1D1 et déterminer son aire s1.

e. a. On continue par le même procédé : un carré AnBnCnDn étant déterminé, on considère les points An+1, Bn+1, Cn+1 et Dn+1 tels que

−−−−−−→ DnAn+1 =

−−−−−−−→ An+1Bn+1 =

−−−−−−→ Bn+1Cn où les points An+1 et Bn+1

appartiennent à [DnCn], le quadrilatère An+1Bn+1Cn+1Dn+1 étant un carré situé à l’extérieur du carré AnBnCnDn . Tracer le carré A2B2C2D2.

b. Soit sn l’aire du carré AnBnCnDn . Exprimer sn+1 en fonction de sn , puis de n. En déduire sn , en fonction de n.

c. Déterminer, en fonction de n, l’aire Sn de la figure obtenue par la juxtaposition du quadrilatère ABCD et des carrés A1B1C1D1,

A2B2C2D2, . . . et AnBnCnDn .

d. La suite (sn) est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe.

Exercices sur les complexes 154

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

6 Amérique du Nord juin 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère l’application f du plan dans lui même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = z2. On note Ω le point d’affixe 1.

1. Déterminer l’ensemble Γ1 des points M du plan tels que f (M) = M .

2. Soit A le point d’affixe a = %

2− i %

2.

a. Exprimer a sous forme exponentielle.

b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par f .

3. Déterminer l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z tels que l’affixe z ′ du point M ′ soit un nombre imaginaire pur.

4. Dans cette question, on souhaite déterminer l’ensemble Γ3 des points M distincts de Ω pour lesquels le triangle ΩM M ′ est rectangle isocèle direct en Ω.

a. À l’aide de la rotation de centre Ω et d’angle π2 , montrer que M est un point de Γ3 si et seulement si z2 − iz −1+ i= 0 et z &= 1.

b. Montrer que z2 − iz −1+ i = (z −1)(z +1− i).

c. En déduire l’ensemble Γ3.

5. Soit M un point d’affixe z différente de 0 et de 1.

a. Exprimer (−−−→ OM ,

−−−→ OM

) en fonction d’un argument de z.

b. En déduire l’ensemble Γ4 des points M distincts de O et de Ω tels que O, M et M ′ soient alignés.

Exercices sur les complexes 11

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

7 Liban mai 2012

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. Un triangle

a. On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 2, b = 3+ i

% 3 et c = 2i

% 3.

Déterminer une mesure de l’angle &ABC . b. En déduire que l’affixe ω du centre Ω du cercle circonscrit au tri-

angle ABC est 1+ i %

3.

2. Une transformation du plan On note (zn) la suite de nombres complexes, de terme initiale zO = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i

% 3

2 zn +2, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

a. Montrer que les points A2, A3 et A4 ont pour affixes respectives :

3+ i %

3, 2+2i %

3 et 2i %

3

On remarquera que : A1 = 1, A2 = B et A4 =C .

b. Comparer les longueurs des segments [A1 A2], [A2 A3] et [A3 A4].

c. établir que pour tout entier naturel n, on a :

zn+1 −ω= 1+ i

% 3

2 (zn ω),

ω désigne le nombre complexe défini à la question 1. b).

d. En déduire que le point An+1 est l’image du point An par une trans- formation dont on précisera les éléments caractéristiques.

e. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : An+6 = An . Détermi- ner l’affixe du point A2012.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer, pour tout entier naturel n, la longueur du segment [An An+1].

Exercices sur les complexes 12

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

144 Antilles–Guyane juin 2000 Retour au tableau

a. Pour tout nombre complexe z, on pose P (z) = z3 −3z2 +3z +7.

a. Calculer P (− 1) .

b. Déterminer les réels a et b tels que pour tout nombre complexe z, on ait :

P (z) = (z +1)(z2 +az +b).

c. Résoudre dans C l’équation P (z) = 0.

b. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

(Unité graphique : 2 cm.) On désigne par A, B , C et G les points du plan d’affixes respectives

zA =−1, zB = 2+ i %

3, zC = 2− i %

3 et zG = 3.

a. Réaliser une figure et placer les points A, B, C et G.

b. Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du tri- angle ABC.

c. Calculer un argument du nombre complexe zA − zC zG − zC

. En déduire

la nature du triangle GAC.

c. Soit (D) l’ensemble des points M du plan tels que : ( − −−→ MA +2

−−→ MB +2

−−→ MC

) · −−→ CG =+12 (1)

a. Montrer que G est le barycentre du système de points pondérés

{(A, −1) ; (B, 2) ; (C, 2)} .

b. Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation −−→ GM .

−−→ CG =−4 (2).

c. Vérifier que le point A appartient à l’ensemble (D).

d. Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation −−→ AM .

−−→ GC =

0.

e. En déduire l’ensemble (D) et le tracer.

Exercices sur les complexes 153

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.

b. Développer (z −2i)2 +3. Déterminer les points M du plan com- plexe pour lesquels l’affixe de I est 2i.

d. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d’affixe z = x + iy (x et y réels).

a. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imagi- naire de l’affixe de I .

b. Déterminer l’ensemble A des points M du plan pour lesquels I appartient à l’axe des abscisses.

c. Déterminer l’ensemble B des points M du plan pour lesquels I appartient à l’axe des ordonnées.

Exercices sur les complexes 152

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

8 Pondichéry avril 2012

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que |z| est le module de z. On admet l’égalité : |z|2 = zz. Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1z2| = |z1| |z2|.

Partie B : Étude d’une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on

désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z &= 1, associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 1− z z −1

1. Soit C le point d’affixe zC =−2+ i.

a. Calculer l’affixe zC′ du point C ′ image de C par la transformation f ,

et placer les points C et C′ dans le repère donné en annexe.

b. Montrer que le point C′ appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

c. Montrer que les points A, C et C′ sont alignés.

2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensemble ∆ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation f .

3. Montrer que, pour tout point M distinct de A, le point M ′ appartient au cercle C .

4. Montrer que, pour tout nombre complexe z &= 1, z ′ −1 z −1

est réel.

Que peut-on en déduire pour les points A, M et M ′ ?

5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D′ par la transformation f .

Exercices sur les complexes 13

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe à rendre avec la copie

EXERCICE 4

−→ u

−→ v

OD

Exercices sur les complexes 14

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

143 Amérique du Nord juin 2000 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v ) . Dans

tout l’exercice, z est un nombre complexe non nul. à tout point M d’af-

fixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ = − 1 z

, puis le point I milieu du

segment [M M ′] . L’affixe de I est donc 1 2

( z

1 z

) . Note : les questions 2.,

3. et 4. sont largement indépendantes.

a. a. Donner une relation entre les modules de z et z ′. Donner une relation entre leurs arguments.

b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M1 d’affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2. Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M ′1 , puis le point I1 milieu du segment [M1M ′1]. Effectuer cette construction.

O

M1

M2

−→ u

−→ v

b. Pour cette question, θ est un réel et M est le point d’affixe z = e iθ.

a. Calculer sous forme algébrique l’affixe de I .

b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M2 d’affixe z2 sur le cercle C , de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en uti- lisant le résultat de la question 2. a., on peut obtenir géométri- quement le point I2 milieu du segment [M2M ′2] . Effectuer cette construction. Donner (sans justification) l’ensemble décrit par I lorsque M décrit C .

c. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O.

Exercices sur les complexes 151

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

142 Antilles–Guyane septembre 2000Retour au tableau a. Pour tout nombre complexe z, on considère

f (z) = z4 −10z3 +38z2 −90z +261.

a. Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaire de f (ib). En déduire que l’équation f (z) = 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution.

b. Montrer qu’il existe deux nombres réels α et β, que l’on déter- minera, tels que, pour tout nombre complexe z,

f (z) = ( z2 +9

)( z2 +αz +β

) .

c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation f (z) = 0.

b. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal.

a. Placer dans le plan P les points A, B, C et D ayant respective- ment pour affixes : a = 3i, b =−3i, c = 5+2i et d = 5−2i.

b. Déterminer l’affixe de l’isobarycentre G des points A, B, C, D.

c. Déterminer l’ensemble E des points M de P tels que :

‖ −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD ‖= 10.

Tracer E sur la figure précédente.

Exercices sur les complexes 150

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

9 Nouvelle-Calédonie mars 2012

Partie A :

On considère le polynôme P défini sur C par

P (z) = z3 − ( 2+ i

% 2 )

z2 +2 ( 1+ i

% 2 )

z −2i %

2.

1. Montrer que le nombre complexe z0 = i %

2 est solution de l’équation

P (z) = 0.

2. a. Déterminer les réels a et b tels que P (z) = ( z − i

% 2 )(

z2 +az +b ) .

b. En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0.

Partie B :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On pren-

dra 2 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives :

zA = 1+ i, zB = 1− i, zJ = i %

2 et zK = e 3iπ

4 .

1. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

2. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l’affixe de L est égale à −

% 2.

3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

4. Soit D le point d’affixe zD =−1+ i. On considère !a rotation r de centre O qui transforme J en D.

a. Déterminer une mesure de l’angle de la rotation r .

b. Soit C l’image du point L par la rotation r . Déterminer l’affixe du point C.

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.

Exercices sur les complexes 15

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

10 Amérique du Sud novembre 2011

1. Résoudre dans C l’équation

z2 −2z +5= 0.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 2 cm.

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA, zB, zC et zD où :

zA = 1+2i, zB = zA, zC = 1+ %

3+ i, zD = zC.

a. Placer les points A et B dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

b. Calculer zB − zC zA − zC

et donner le résultat sous forme algébrique.

c. En déduire la nature du triangle ABC.

3. Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon.

4. Construire les points C et D dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) . Expliquer la construc-

tion proposée.

Exercices sur les complexes 16

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

141 Nouvelle–Calédonie novembre 2000 Retour au tableau

6. a. a. Résoudre dans C l’équation

z2 −2z +2= 0.

Préciser le module et un argument de chacune des solutions.

b. En déduire les solutions dans C de l’équation

(−iz +3i+3)2 −2(−iz +3i+3)+2 = 0.

b. Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 2 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respec- tives zA = 1+ i, zB = zA, zC = 2zB.

a. Déterminer les formes algébriques de zB et zC.

b. Placer lespoints A, B et C.

c. Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle (C ) de centre I d’affixe 3 et de rayon

% 5.

d. Calculer zC −3 zA −3

; en déduire la nature du triangle IAC.

e. Le point E est l’image du point O par la translation de vecteur 2 −→ IC . Déterminer l’affixe du point E.

f. Le point D est l’image du point E par la rotation de centre O et

d’angle π

2 .

Déterminer l’affixe du point D.

g. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Exercices sur les complexes 149

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

140 Amérique du Sud novembre 2000Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 2 cm).

a. a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de module 2

et dont un argument est π

2 .

b. Résoudre dans C l’équation iz −2 = 4i− z. On donnera la solu- tion sous forme algébrique.

b. On désigne par I, A et B les points d’affixes respectives 1, 2i et 3 + i.

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Calculer l’affixe zC du point C image de A par la symétrie de centre I.

c. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe zC − zB zA − zB

. En

déduire le module et un argument de ce nombre. (zA et zB dési- gnent les affixes des points A et B).

d. Soit D le point d’affixe zD tel que zD − zC = zA − zB. Montrer que ABCD est un carré.

c. Pour tout point M du plan, on considère le vecteur −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD .

a. Exprimer le vecteur −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD en fonction du vec-

teur −−→ MI .

b. Montrer que le point K défini par −−→ K A +

−−→ K B +

−−→ K C +

−−→ K D = 2

−→ AB

est le milieu du segment [AD].

c. Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan tels que

∥∥∥ −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD

∥∥∥= ∥∥∥2

−−→ AB

∥∥∥ .

Construire Γ.

Exercices sur les complexes 148

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

11 Nouvelle-Calédonie novembre 2011

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On prendra 1 cm pour unité graphique.

1. Résoudre dans C l’équation z2 −2z +2= 0.

2. Soit A, B, C et D les points d’affixes respectives :

zA = 1+ i ; zB = zA ; zC = 2zB ; zD = 3.

Construire une figure et la compléter tout au long de l’exercice.

3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon.

4. Calculer zC −3 zA −3

. En déduire la nature du triangle DAC.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On note h l’homothétie de centre D et de rapport 2. On note r la rotation

de centre D et d’angle π

2 . On appelle C′ l’image de C par h et C′′ l’image

de C′ par r .

Montrer que les droites (AC) et (C′C′′) sont perpendiculaires.

Exercices sur les complexes 17

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

12 Polynésie septembre 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . L’unité

graphique est 1 cm. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives zA = 2− 3i, zB = i et zC = 6− i. On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions. Partie A

1. Calculer zB − zA zC − zA

.

2. En déduire la nature du triangle ABC.

Partie B

On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z distincte de i, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = i(z −2+3i)

z − i 1. Soit D le point d’affixe zD = 1− i. Déterminer l’affixe du point D′ image du

point D par f .

2. a. Montrer qu’il existe un unique point, noté E, dont l’image par l’ap- plication f est le point d’affixe 2i.

b. Démontrer que E est un point de la droite (AB).

3. Démontrer que, pour tout point M distinct du point B, OM ′ = AM BM

.

4. Démontrer que, pour tout point M distinct du point A et du point B, on a l’égalité :

(−→ u ,

−−−→ OM

) = (−−→ BM ,

−−→ AM

) + π

2 à 2πprès.

5. Démontrer que si le point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point M ′ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6. Démontrer que si le point M ′ appartient à l’axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point M appartient à la droite (AB).

Exercices sur les complexes 18

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

139 Pondichéry mai 2001 Retour au tableau On considère l’application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe

f (z) = 2− iz 1− z

.

L’exercice étudie quelques propriétés de f .

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1. et 2.. A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe −2i.

a. On pose z = x + iy avec x et y réels. Écrire f (z) sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des points M d’affixe z tels que f (z) soit un réel et représenter cet ensemble.

b. On pose z ′ = f (z).

a. Vérifier que i n’a pas d’antécédent par f et exprimer, pour z

différent de i, z en fonction de z ′.

b. M est le point d’affixe z (z différent de 1) et M ′ celui d’affixe z

(z ′ différent de i).

Montrer que OM = M ′C

M ′D où C et D sontles points d’affixes res-

pectives 2 et i.

c. Montrer que, lorsque le point M décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image M ′ appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement.

d. Montrer que, si M est un point de l’axe des réels, différent de O et de A, alors M ′ appartient à la droite (CD).

Exercices sur les complexes 147

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

138 Polynésie juin 2001 Retour au tableau Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

unité graphique 2 cm, on considère les points A et B, d’affixes respectives zA = - 1 et zB = 3i. Soit la fonction f de P privée du point A dans P qui à

tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que : z ′ = i (

z −3i z +1

)

(1).

a. Soit C le point d’affixe zC = 2 - i. Montrer qu’il existe un seul point D tel que f (D) = C.

b. Déterminer la nature du triangle ABC.

c. à l’aide de l’égalité (1), montrer que, pour tout M distinct de A et de

B : OM ′ = BM et ( −→ u ,

−−−→ OM ′ ) =

π

2 + (

−−→ MA ,

−−→ MB ) (modulo 2π).

d. En déduire et construire les ensembles de points suivants :

a. L’ensemble E des points M tels que l’image M ′ soit située sur le cercle (F) de centre O, de rayon 1.

b. L’ensemble F des points M tels que l’affixe de M ′ soit réelle.

e. On considère la rotation R de centre O et d’angle π

2 . On note C1

l’image de C par R.

a. Déterminer l’affixe de C1.

b. Montrer que C1 appartient à l’ensemble F.

Exercices sur les complexes 146

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

13 Métropole septembre 2011

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On désigne par A le point d’affixe i et par f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z, distincte de i, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z − i z + i

.

1. Calculer l’affixe du point B′, image du point B d’affixe 2− i par l’applica- tion f .

Placer les points B et B′ sur une figure que l’on fera sur la copie.

2. Démontrer que l’application f n’admet pas de point invariant. On rap- pelle qu’un point invariant est un point confondu avec son image.

3. a. Vérifier que, pour tout nombre complexe z, z − i= z + i.

b. Démontrer que OM ′ = 1 et interpréter géométriquement ce résultat.

c. Démontrer que pour tout point M distinct de A,

(−→ u ;

−−−→ OM

) = 2

(−→ u ;

−−→ AM

) +2k est un entier relatif.

d. En déduire une méthode de construction de l’image M ′ d’un point quelconque M distinct de A.

4. Soit (d) la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur

−→ w d’affixe ei

π 6 .

a. Dessiner la droite (d).

b. Déterminer l’image par l’application f de la droite (d) privée du point A.

Exercices sur les complexes 19

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

14 Antilles-Guyane septembre 2011

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 4 cm.

Partie A :

On note P le point d’affixe p =− 1 2 + i

% 3

2 , Q le point d’affixe q =−

1 2 − i

% 3

2 , et K

le point d’affixe −1.

1. a. Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle Γ de centre O et de rayon 1.

b. Faire une figure et construire les points P et Q.

2. a. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que |z| = |z+1|. Représenter cet ensemble sur la figure.

b. Montrer que P et Q sont les points d’intersection de l’ensemble D et du cercle Γ.

Partie B :

On considère trois nombres complexes non nuls a, b et c. On note A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c. On suppose que l’origine O du repère

( O,

−→ u ,

−→ v )

est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

1. a. Montrer que |a| = |b| = |c|. En déduire que ∣∣∣∣ b

a

∣∣∣∣= ∣∣∣

c

a

∣∣∣= 1.

b. Montrer que a+b +c = 0.

c. Montrer que ∣∣∣∣

b

a

∣∣∣∣= ∣∣∣∣

b

a +1

∣∣∣∣= 1.

d. En utilisant la partie A, en déduire que b

a = p ou

b

a = q .

2. Dans cette question, on admet que b

a = p et

c

a = q .

a. Montrer que q −1 p −1

= ei π 3 .

b. Montrer que q −1 p −1

= c a b a

.

c. Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.

Exercices sur les complexes 20

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

137 Liban juin 2001 Retour au tableau Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

on considère les points A et B d’affixes respectives zA = 3 + i et zB = 1+2i.

a. Exprimer le complexe zB

zA sous forme algébrique puis sous forme tri-

gonométrique.

b. En déduire une mesure en radians de l’angle (−−→ OA ,

−−→ OB

) .

Partie B

Désormais on considère l’espace muni du repère orthonormal direct (O, −→ u ,

−→ v ,

−→ w )

où −→ w =

−→ u

−→ v .

On considère les points A(3, 1, 0), B(1, 2, 0), C(3, 2, 1) et D(0, 0, d) où d désigne un réel positif ou nul. On a ainsi un tétraèdre ABCD.

a. On pose −→ N =

−→ AB ∧

−−→ AC .

a. Calculer les coordonnées de N .

b. En déduire l’aire du triangle ABC.

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

c. On note H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

a. On pose −−→ DH =λ

−→ N . Calculer λ en fonction de d .

b. En déduire l’expression de la distance DH . Montrer que le vo-

lume du tétraèdre ABCD est Vd = 2d +5

6 .

d. Déterminer pour quelle valeur de d la droite (DB) est perpendicu- laire au plan (ABC).

e. On suppose que d = 0 . Calculer la distance de A au plan (OBC).

Exercices sur les complexes 145

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

136 Métropole juin 2001 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

[unité graphique : 6 cm].

On considère la suite (αn) de nombres réels définie par α0 = π

2 et, pour

tout entier naturel n, αn+1 =αn + 5π 6

.

Pour tout entier naturel n, on appelle Mn le point du cercle C de centre O et de rayon 1 tel que l’angle

(−→ u ,

−−−→ OMn

) ait pour mesure αn .

a. Placer les douze points M0, M1, M2, · · · , M11.

b. On appelle zn l’affixe de Mn . Montrer que, pour tout entier naturel n, on a l’égalité : zn = ei

(π 2 +

512

) .

c. a. Montrer, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : • les points Mn et Mn+6 sont diamétralement opposés ; • les points Mn et Mn+12 sont confondus.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a l’égalité zn+4 = e−

2iπ 3 zn . En déduire que la distance Mn Mn+4 vaut

% 3 puis que

le triangle Mn Mn+4Mn+8, est équilatéral. On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points Mn sont de la forme Mn Mn+4Mn+8.

d. Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M0, M1, M2, · · · , M11 sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons de l’urne. Calculer la probabilité d’obtenir les trois som- mets d’un triangle équilatéral.

Exercices sur les complexes 144

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

15 Polynésie 10 juin 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et

donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. Soient A le point d’affixe 2−5i et B le point d’affixe 7−3i. Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle.

2. Soit (∆) l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z − i| = |z +2i|. Proposition 2 : (∆) est une droite parallèle à l’axe des réels.

3. Soit z = 3+ i %

3.

Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z3n est imaginaire pur.

4. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 4 : Si π

2 est un argument de z alors |i+ z| = 1+|z|.

5. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors z2 + 1 z2

est un nombre

réel.

Exercices sur les complexes 21

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

16 Métropole 22 juin 2011

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le

candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On désigne par A, B, C, D les points d’affixes respectives zA = 1, zB = i, zC = −1, zD =−i.

1. L’image E du point D par la rotation de centre A et d’angle π

3 a pour affixe :

z = 1+

% 3

2 (1+ i),

z = 1+

% 3

2 (1− i),

z = 1−

% 3

2 (1− i),

z = 1−

% 3

2 (1+ i),

2. L’ensemble des points d’affixe z telle que |z + i| = |z −1| est : • la médiatrice du segment [BC], • le milieu du segment [BC], • le cercle de centre O et de rayon 1, • la médiatrice du segment [AD].

3. L’ensemble des points d’affixe z telle que z + i z +1

soit un imaginaire pur est :

• la droite (CD) privée du point C, • le cercle de diamètre [CD] privé du point C, • le cercle de diamètre [BD] privé du point C, • la médiatrice du segment [AB].

4. L’ensemble des points d’affixe z telle que arg(z i ) = − π

2 +2k ∈ Z

est :

• le demi-cercle de diamètre [BD] passant par A, • la droite (BD), • la demi-droite ]BD) d’origine B passant par D privée de B, • le cercle de diamètre [BD] privé de B et D.

Exercices sur les complexes 22

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

135 Asie juin 2001 Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) . On ap-

pelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z (z &= − 1) associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = iz −2 z +1

.

Soient A, B et C les points d’affixes respectives a =− 1, b = 2i et c =i.

a. Soit C′ l’image du point C par f . Donner l’affixe c ′ du point C′ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

b. Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D′ d’af-

fixe d ′ = 1 2

.

c. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on note p le module de z +1 (c’est-à-dire |z +1| = p) et p ′ le module de z ′+ i (c’est-à-dire |z ′+ i| = p ′).

a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de - 1, on a : pp ′ =

% 5.

b. Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alors M ′ = f (M) appartient à un cercle (Γ′), dont on précisera le centre et le rayon.

d. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on considère le nombre

complexe ω= z −2i z +1

.

a. Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe ω.

b. Montrer que z ′ =− iω.

c. Déterminer l’ensemble (F) des points M d’affixe z telle que z

soit un réel non nul.

d. Vérifier que le point D appartient aux ensembles (Γ) et (F).

e. Représenter les ensembles (Γ), (F) et (Γ′) en prenant 4 cm pour unité graphique.

Exercices sur les complexes 143

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

134 Antilles-Guyane juin 2001 Retour au tableau Dans le plan rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v ) , on désigne

par M(z) le point M ayant pour affixe z.

a. Placer sur une figure les points A(2 + i), B(2i), C(−4+3i) et D(−8), en prenant 1 cm pour unité graphique.

b. Soit f la transformation du plan qui, à tout point M(z), associe le point M ′(z ′) tel que :

z ′ = (1+2i)z −4−2i.

a. Préciser les images des points A et B par f .

b. Montrer que f admet un unique point fixe Ω, dont on précisera l’affixe ω (M est un point fixe pour f si, et seulement si, f (M) = M).

c. On admet que ω = 1 − 2i. Soit M un point quelconque et M ′ son image par f .

a. Montrer que, pour tout complexe z on a : z ′−z = 2i(wz). Dans toute la suite, M est différent de Ω.

b. Déduire de la question précédente le rapport des distances M M

M ,

et l’angle de vecteurs ( −−−→ MΩ ,

−−−−→ M M ′ ).

c. Déduire des questions précédentes une construction géomé- trique du point M ′, connaissant le point M . Réaliser cette construc- tion sur la figure de la question 1)

Exercices sur les complexes 142

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

17 La Réunion 22 juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Soient A,B deux points du plan d’affixes respectives a et b. On rappelle que :

* (−→

u , −−→ AB

) = arg(b a)+2k ∈Z.

* L’image du point B par la rotation de centre A et d’angle θ est le point C défini par :

AC = AB et si A &= B , (−−→

AB , −−→ AC

) = θ+2k ∈Z.

Exprimer l’affixe c du point C en fonction de a, b et θ.

Partie B

1. Résoudre dans C l’équation 2z2 −6z +9= 0. Dans la suite de l’exercice, on désigne par P, Q et R les points d’affixes respectives

zP = 3 2

(1+ i), zQ = 3 2

(1− i) et zR =−2i %

3.

2. Placer les points P, Q, R sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure de la résolution de l’exercice.

3. On note S le symétrique du point R par rapport au point Q. Vérifier que l’affixe zS du point S est 3+ i

( 2 %

3−3 ) .

4. Soit r la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Déterminer les affixes zA et zC des points A et C, images respectives des points R et S par la rotation r .

5. On désigne par B et D les images respectives des points S et R par la trans- lation de vecteur 3

−→ v .

Calculer les affixes zB et zD des points B et D.

6. a. Démontrer que zC − zP zB − zP

= i.

b. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Exercices sur les complexes 23

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

18 Centres étrangers 16 juin 2011

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n’est pas justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute justification incomplète sera valorisée.

Question 1 On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ ı ,

−→ ) ,

les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i, b = 3i, c = (%

3+ 1 2

) + i

(% 3

2 +2

)

.

Affirmation Le triangle ABC est un triangle équilatéral.

Question 2 On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

la transformation f dont une écriture complexe est : z ′ = (

2i %

3+ i

) z.

Affirmation

La transformation f est la rotation de centre O et d’angle π

3 .

Question 3 On considère le nombre complexe a =

( − %

3+ i )2011

. Affirmation Le nombre complexe a est un nombre imaginaire pur.

Question 4 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel t strictement positif, la probabilité de l’évène- ment (X ! t ) s’exprime par P (X ! t ) = 1−e−λt . Affirmation Sachant que X " 2, la probabilité que X appartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à 1−e−λ.

Question 5 Une urne contient au total n boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Affirmation La plus petite valeur de l’entier n, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,999 9, est égale à 13.

Exercices sur les complexes 24

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

133 Amérique du Nord juin 2001 Retour au tableau On considère le polynôme P défini par :

P (z) = z4 −6z3 +24z2 −18z +63.

a. Calculer P (i %

3) et P (− i %

3) puis montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout z ∈C, on ait P (z) = (z2 +3)Q(z).

b. Résoudre dans C l’équation P (z) = 0.

c. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

les points A, B, C, D d’affixes respectives zA = i %

3, zB = − i %

3, zC = 3+2i

% 3 et zD = zC, puis montrer que ces quatre points appartiennent

à un même cercle.

d. On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que zC − zB zE − zB

=

e − iπ

3 puis déterminer la nature du triangle BEC.

Exercices sur les complexes 141

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

132 Polynésie septembre 2001 Retour au tableau Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

unité graphique 4 cm, on considère les points A, B, C, D d’affixes respec- tives

zA = 2i, zB = i, zC =−1+ i, zD = 1+ i.

On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

a. Soit la fonction f de P - {B} dans P qui au point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ où

z ′ = i z −2i z − i

.

a. Développer (z +1− i)(z −1− i).

b. Chercher les points M vérifiant f (M) = M et exprimer leurs af- fixes sous forme algébrique puis trigonométrique.

b. a. Montrer que, pour tout z différent de i,

|z ′| = AM BM

,

et que, pour tout z différent de i et de 2i,

arg(z ′) = (−−→ BM ,

−−→ AM

) + π

2 (modulo2π).

b. Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M d’affixe z tels que |z ′| = 1.

c. Déterminer et construire l’ensemble (F) des points M d’affixe z

tels que arg(z ′) = π

2 (modulo 2π).

c. a. Démontrer que z ′ − i = 1

z − i et en déduire que |z ′ − i|× |z− i| = 1,

pour tout complexe z différent de i.

b. Soit M un point du cercle C de centre B et de rayon 1 2

. Prouver

que le point M ′ d’affixe z ′ appartient à un cerclede centre B et de rayon à déterminer.

Exercices sur les complexes 140

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

19 Asie 21 juin 2011

Dans le plan complexe on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = −2, b = 5i et c = 4 ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U. La figure est donnée en annexe 2.

1. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre A et d’angle π

2 .En

déduire que le point J a pour affixe −7+2i. On admettra que l’affixe du point K est - 2 - 6i.

2. Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les seg- ments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur.

3. a. Calculer les affixes des points S et T.

b. Déterminer l’affixe du point U.

c. Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle STU.

4. Déterminer une mesure de l’angle (−→ JC ,

−−→ AU

) .

5. On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d’affixe v =−0,752+0,864i.

a. Établir que les points A, V et U sont alignés.

b. Que représente la droite (AU) pour l’angle &BVC ?

Exercices sur les complexes 25

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

20 Antilles–Guyane 20 juin 2011

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On pren-

dra 2 cm pour unité graphique. On appelle J le point d’affixe i .

1. On considère les points A, B , C , H d’affixes respectives a = −3− i, b = −2+4i, c = 3− i et h =−2. Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

2. Montrer que J est le centre du cercle C circonscrit au triangle ABC . Pré- ciser le rayon du cercle C .

3. Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe b c h a

. En déduire

ques les droites (AH) et (BC ) sont perpendiculaires.

Dans la suite de l’exercice, on admet que H est l’orthocentre du triangle ABC , c’est-à-dire le point d’intersection des hauteurs du triangle ABC .

4. On note G le centre de gravité du triangle ABC . Déterminer l’affixe g du point G . Placer G sur la figure.

5. Montrer que le centre de gravité G , le centre du cercle cironcscrit J et l’orthocentre H du triangle ABC sont alignés. Le vérifier sur la figure.

6. On note A′ le milieu de [BC ] et K celui de [AH]. Le point A′ a pour affixe

a′ = 1 2 +

3 2

i.

a. Déterminer l’affixe du point K .

b. Démontrer que le quadrilatère K H AJ est un parallélogramme.

Exercices sur les complexes 26

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

131 Métropole septembre 2001 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v )

direct.

Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe −i. Soit f la fonction définie sur C− {i} par :

f (z) = 1− iz z − i

.

a. Vérifier que pour tout z de C− {i}

f (z) =−i+ 2

z − i .

b. a. Démontrer que - i n’a pas d’antécédent par f .

b. Déterminer les antécédents de 0 et de i par f .

c. à tout point M différent de A, d’affixe z, on associe le point M ′ d’af- fixe z ′ tel que z ′ = f (z).

a. Démontrer que pour tout point M différent de A, le produit des longueurs AM et BM ′ est égal à 2 (AM ·BM ′ = 2).

b. Démontrer que lorsque M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4, M ′ se déplace sur un cercle C ′ dont on précisera le centre et le rayon.

d. a. Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que z − i soit un nombre réel non nul.

b. Démontrer que lorsque M décrit E, M ′ se déplace sur une droite ∆ que l’on précisera.

c. Lorsque M décrit E, M ′ décrit-il toute la droite ∆ ?

e. Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que f (z) soit un imagi- naire pur non nul.

Exercices sur les complexes 139

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

130 Antilles septembre 2001 Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

a. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation d’in- connue z :

z2 +8z %

3+64= 0.

b. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes a =−4

% 3−4i et b =−4

% 3+4i.

Calculer les distances OA, OB et AB.

En déduire la nature du triangle OAB.

c. On désigne par C le point d’affixe c = %

3 + i et par D son image par

la rotation de centre O et d’angle π

3 . Déterminer l’affixe d du point

D.

d. On appelle G le barycentre des points pondérés (O ; −1), (D ; 1 ) et (B ; 1).

a. Montrer que le point G a pour affixe g =−4 %

3+6i.

b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure. (Unité graphique : 1 cm).

c. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.

e. a. Justifier l’égalité c g ag

= 1 2 + i

% 3

2 .

b. En déduire une mesure en radians de l’angle (−−→ GA ,

−−→ GC

) , ainsi

que la valeur du rapport GC GA

.

Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ?

Exercices sur les complexes 138

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

21 Liban 30 mai 2011

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on

considère les points A et B d’affixes respectives :

zA = 1− i et zB = 2+ %

3+ i.

1. Déterminer le module et un argument de zA.

2. a. Écrire zB

zA sous forme algébrique.

b. Montrer que zB

zA = ( 1+

% 3 )

ei π 3 .

c. En déduire la forme exponentielle de zB.

3. On note B1 l’image du point B par la rotation r de centre O et d’angle − π

6 .

a. Déterminer l’affixe du point B1.

b. En déduire que le point B1 est le symétrique du point B par rapport

à l’axe ( O ;

−→ u ) .

Soit M un point du plan. On note M1 l’image du point M par la rotation

r et M ′ le symétrique du point M1 par rapport à l’axe ( O ;

−→ u ) .

On désigne par (E) l’ensemble des points M du plan tels que M ′ = M .

a. Montrer que les points O et B appartiennent à l’ensemble (E).

b. Soit M un point distinct du point O. Son affixe z est égale à ρeiθ ρ est un réel strictement positif et θ un nombre réel.

Montrer que l’affixe z ′ du point M ′ est égale à ρei (π

6 −θ )

puis déter- miner l’ensemble des valeurs du réel θ telles que M appartienne à l’ensemble (E).

c. Déterminer l’ensemble (E).

Exercices sur les complexes 27

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

22 Amérique du Nord mai 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère les points A et B d’affixes respectives : a = i et b = 1+ i. On note : rA la rotation de centre A, d’angle

π

2 , rB la rotation de centre B, d’angle

π

2 et rO la rotation de centre O, d’angle −

π

2 .

Partie A

On considère le point C d’affixe c = 3i. On appelle D l’image de C par rA, G l’image de D par rB et H l’image de C par rO. On note d , g et h les affixes respectives des points D, G et H.

1. Démontrer que d =−2+ i.

2. Déterminer g et h.

3. Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.

Partie B

On considère un point M , distinct de O et de A, d’affixe m. On appelle N l’image de M par rA, P l’image de N par rB et Q l’image de M par rO. On note n, p et q les affixes respectives des points N , P et Q.

1. Montrer que n = im +1+ i. On admettra que p =−m +1+ i et q =−im.

2. Montrer que le quadrilatère M NPQ est un parallélogramme.

3. a. Montrer l’égalité : m n p n

= i+ 1 m

.

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’éva- luation.

Déterminer l’ensemble (Γ) des points M tels que le quadrilatère M NPQ soit un rectangle.

Exercices sur les complexes 28

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

129 Pondichéry mai 2002 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

; unité graphique 2 cm. On désigne par A le point d’affixe zA = 1, et par (C ) le cercle de centre A et de rayon 1.

Partie A

Soit F le point d’affixe 2, B le point d’affixe zB = 1+ei π 3 et E le point d’affixe

(1+ z2B).

a. a. Montrer que le point B appartient au cercle (C ).

b. Déterminer une mesure en radians de l’angle de vecteurs (−→ AF ;

−→ AB

) .

Placer le point B.

b. a. Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes (zB− zA) et (zE − zA).

b. En déduire que les points A , B et E sont alignés.

c. Placer le point E.

Partie B

Pour tout nombre complexe z tel que z &= 1, on considère les points M et M ′ d’affixes respectives z et z ′ où z ′ = 1+ z2.

a. Pour z &= 0 et z &= 1, donner, à l’aide des points A, M et M ′, une inter-

prétation géométrique d’un argument du nombre complexe z ′ −1 z −1

.

b. En déduire que A, M et M ′ sont alignés si et seulement si z2

z −1 est

un réel.

Exercices sur les complexes 137

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

128 Polynésie juin 2002 Retour au tableau Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité 2cm, on considère les points M d’affixe z, M1 d’affixe z, A d’affixe 2 et B d’affixe 1.

Soit f l’application de P privé de A dans P , qui à tout point M d’affixe z

associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = z +4 z −2

.

a. Déterminer les points invariants par f .

b. Soit C le point d’affixe 2 ( 1+ i

% 3 ) .

Montrer que C′ est le milieu du segment [OC].

c. a. Calculer pour tout z?2, le produit ( z −2

)( z ′ −1

) .

b. En déduire : - la valeur de AM1 ·BM ′,

- une expression de (−→ u ;

−−−→ BM

) en fonction de

(−→ u ;

−−−→ AM1

) .

c. Justifier les relations :

(1) AM ·BM ′ = 6

(2) (−→

u ; −−−→ BM

) = (−→

u ; −−→ AM

) .

d. Application : construire l’image D′ du point D d’affixe 2+2ei π 6 .

Exercices sur les complexes 136

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

23 Amérique du Sud novembre 2010

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit A, B et P les points d’affixes respectives a = 5+5i, b = 5−5i et p = 10. On considère un point M , distinct de O, d’affixe z. On note U le point d’affixe u, image du point M par la rotation RA de centre A

et d’angle de mesure − π

2 .

On note T le point d’affixe t , image du point M par la rotation RB de centre B et

d’angle de mesure π

2 .

Soit D le symétrique du point M par rapport à O.

1. Démontrer que l’affixe du point U est u = i(10− z) ; exprimer en fonction de z l’affixe du point T puis justifier que le quadrilatère MU DT est un parallélogramme de centre O.

2. Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe z tels que : zz−5z−5z = 0. Justifier que le quadrilatère OAPB est inscrit dans Γ.

3. On suppose que le point M est distinct de O, A et P. Les points O, M et U sont donc distincts deux à deux.

a. Démontrer que les points O, M et U sont alignés si et seulement si u

z =

u

z .

b. Démontrer que les points O, M et U sont alignés si et seulement si M appartient à Γ.

4. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que OMU soit un tri- angle isocèle en O. Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatère MU DT ?

5. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que u

z soit un ima-

ginaire pur. En déduire la nature du quadrilatère MU DT dans le cas où M est un point de la droite (OP) privée de O et P.

Prouver finalement qu’il existe une unique position du point M tel que MU DT soit un carré.

Exercices sur les complexes 29

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

24 Nouvelle-Calédonie novembre 2010

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 2 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respectives

zA =−2i, zB =− %

3+ i et zC = %

3+ i.

1. a. Écrire zA, zB et zC sous forme exponentielle.

b. En déduire le centre et le rayon du cercle Γ passant par les points A, B et C.

c. Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle Γ puis placer les points B et C.

2. a. Écrire le quotient zB − zA zC − zA

sous forme algébrique puis sous forme ex-

ponentielle.

b. En déduire la nature du triangle ABC .

3. On note r la rotation de centre A et d’angle mesurant π

3 radians.

a. Montrer que le point O′, image de O par r , a pour affixe − %

3− i.

b. Démontrer que les points C et O′ sont diamétralement opposés sur le cercle Γ.

c. Tracer l’image Γ′ du cercle Γ par la rotation r .

d. Justifier que les cercles Γ et Γ′ se coupent en A et B.

4. a. Déterminer l’ensemble (E ) des points M d’affixe z tels que

|z| = ∣∣∣z +

% 3+ i

∣∣∣ .

b. Montrer que les points A et B appartiennent à (E ).

Exercices sur les complexes 30

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

127 La Réunion juin 2002 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 1 cm).

On considère l’application f du plan dans lui-même, qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ = z3 −3z2 +3z.

a. On considère les points B et C d’affixes respectives i et i %

3.

Calculer les affixes des points images de O, B et C par f . Placer les points B, C et leurs images B′ et C′ sur une figure. L’application f conserve-t-elle l’alignement ?

b. Montrer qu’un point M d’affixe z est invariant par f si et seulement si z vérifie l’équation

z3 −3z2 +2z = 0.

En déduire que f possède trois points invariants, dont on détermi- nera les affixes.

c. a. Montrer pour tout z de C l’égalité suivante :

z ′ −1= (z −1)3.

b. Soit z un nombre complexe différent de 1, on note r le module de z −1 et α un argument de z −1. Exprimer le module r ′ et un argument α′ de z ′ −1 en fonction de r et de α. Soit A le point d’affixe 1, déduire des résultats précédents une reIation entre la distance AM ′ et la distance AM , et une relation entre une mesure de l’angle

(−→ u ,

−−−→ AM

) et une mesure de l’angle

(−→ u ,

−−→ AM

) .

c. Montrer que si M appartient au cercle Γ de centre A et de rayon% 2, alors M ′ appartient à un cercle Γ′ de même centre dont on

déterminera le rayon.

d. Montrer que, si M appartient à une demi-droite ouverte D d’ori- gine A passant par le point B, alors M ′ appartient à une demi-droite D′’que l’on déterminera. Justifier l’appartenance du point B′ à Γ′ et à D′.

Compléter la figure avec les différents éléments : Γ, Γ′, D et D′.

Exercices sur les complexes 135

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

126 Métropole juin 2002 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté àun repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

[unité graphique : 2 cm].

a. Résoudre dans C l’équation : z2−2 %

3z+4= 0. On pose a = %

3+ i et b =

% 3− i. Écrire a et b sous forme exponentielle et placer les points

A et B d’affixes respectives a et b.

b. a. Soit r la rotation de centre O et d’angle π

3 . Calculer l’affixe a′ du

point A′ image du point A par r . Écrire a′ sous forme algébrique et placer A′ sur la figure précédente.

b. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport − 3 2

. Calculer l’af-

fixe b′ du point B ′ image du point B par h. Placer B ′ sur la figure précédente.

c. Soit C le centre du cercle circonscrit au triangle OAB ′ et R le rayon de ce cercle. On désigne par c l’affixe du point C .

a. Justifier les égalités suivantes :

cc̄ = R2 (c −2i)(c̄ +2i) = R2 (

c + 3 %

3 2

− 3 2

i

)(

+ 3 %

3 2

+ 3 2

i

)

= R2.

b. En déduire que c = 2i puis, que c + =− 4 %

3 3

.

c. En déduire l’affixe du point C et la valeur de R .

Exercices sur les complexes 134

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

25 Polynésie septembre 2010

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité : 1 cm). On fera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B, S et Ω d’affixes respectives a =−2+4i, b =−4+2i, s =−5+5i et ω=−2+2i.

Soit h l’homothétie de centre S et de rapport 3. On appelle C l’image du point A par h et D l’image du point B par h.

1. a. Déterminer l’écriture complexe de h.

b. Démontrer que le point C a pour affixe c = 4+2i et que le point D a pour affixe d =−2−4i.

2. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

3. Démontrer que la droite (SΩ) est la médiatrice du segment [AB].

4. Soit P le milieu du segment [AC].

a. Déterminer l’affixe p du point P.

b. Démontrer que ωp d b

=− 1 2

i. En déduire une mesure de l’angle (−−→ BD ;

−−→ PΩ

) .

5. Soit Q le milieu du segment [BD]. Que représente le point Ω pour le triangle PQS ?

Exercices sur les complexes 31

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

26 Métropole septembre 2010

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. On considère le point I d’affixe i et le point A d’affixe zA = %

3+2i.

a. Montrer que le point A appartient au cercle Γ de centre le point I et de rayon 2.

Sur une figure (unité graphique 1 cm), qu’on complètera au fur et à mesure de l’exercice, placer le point I, tracer le cercleΓ, puis construire le point A.

b. On considère la rotation r de centre le point I et d’angle π

2 .

Démontrer que le point B image du point A par la rotation r a pour affixe zB =−1+ i

(% 3+1

) .

Justifier que le point B appartient au cercle Γ.

c. Calculer l’affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I.

d. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère les points E et F tels que : −→ AE =

−→ IB et

−→ AF =

−→ BI .

Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ?

Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration.

Exercices sur les complexes 32

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

125 Centres étrangers juin 2002 Retour au tableau Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit A le point d’affixe zA = i 2

.

T est l’application qui, à tout point M , d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

2zz ′ = i(z + z ′).

a. On appelle I et J les points d’affixes respectives : zI = 1, zJ = i . Soit K le milieu du segment [IJ].

a. Déterminer l’affixe zK de K.

b. Déterminer les affixes des images des points I, J, K par l’appli- cation T .

c. En déduire que T ne conserve pas les milieux.

b. Déterminer les points invariants par T .

c. Montrer que M ′ =T (M) si et seulement si (

z ′ − i 2

)( z

i 2

) =−

1 4

.

d. En déduire l’image par T du cercle C de centre A et de rayon 1.

Exercices sur les complexes 133

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

124 Asie juin 2002 Retour au tableau

a. Dans le plan complexe (P ) rapporté au repère orthonormal direct( O,

−→ u ,

−→ v ) , on considère les quatre points A, B, C et D d’affixes res-

pectives 3, 4i, −2+3i et 1− i.

a. Placer les points A, B, C et D dans le plan.

b. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre ré- ponse.

b. On considère dans l’ensemble des complexes les équations :

z2 − (1+3i)z −6+9i= 0 (1) et z2 − (1+3i)z +4+4i= 0 (2)

a. Montrer que l’équation (1) admet une solution réelle z1, et l’équa- tion (2) une solution imaginaire pure z2.

b. Développer (z −3)(z +2−3i), puis (z −4i)(z −1+ i).

c. En déduire les solutions de l’équation :

( z2 − (1+3i)z −6+9i

)( z2 − (1+3i)z +4+4i

) = 0.

d. Soit z0 la solution dont la partie imaginaire est strictement né- gative. Donner la forme trigonométrique de z0.

e. Déterminer les entiers naturels n tels que les points Mn d’af- fixes zn0 soient sur la droite d’équation y = x.

c. On appelle f l’application qui au point M , d’affixe z, associe le point M ′, d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z2 − (1+3i)z −6+9i.

a. On pose z = x + iy et z ′ = x′+ iy ′. Exprimer x′ et y ′ en fonction de x et y .

b. Déterminer une équation de l’ensemble (H) des points M pour lesquels f (M) appartient à l’axe des ordonnées.

Exercices sur les complexes 132

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

27 Polynésie juin 2010 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Prérequis

Soit z un nombre complexe tel que z = a+bi où a et b sont deux nombre réels.

On note z, le nombre complexe défini par z = abi.

Questions

a. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z ′, z × z ′ = z×z ′.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z, zn =

( z )n .

Partie B

On considère l’équation (E) : z4 =−4 où z est un nombre complexe.

a. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes −z et z sont aussi solutions de l’équa- tion (E).

b. On considère le nombre complexe z0 = 1+ i.

a. Écrire le nombre complexe z0 sous forme exponentielle.

b. Vérifier que z0 est solution de l’équation (E).

c. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E).

Partie C

Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives :

zA = 1+ i ; zB =−1+ i ; zC =−1− i et zD = 1− i.

Soit r la rotation du plan de centre C et d’angle de mesure − π

3 .

On appelle E l’image du point B par r et F celle du point D par r .

a. Déterminer l’écriture complexe de la rotation r .

b. a. Démontrer que l’affixe du point E, notée zE, est égale à −1+ %

3

b. Déterminer l’affixe zF du point F.

c. Démontrer que le quotient zA − zE zA − zF

est un nombre réel.

d. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?

Exercices sur les complexes 33

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

28 Métropole 22 juin 2010 Retour au tableau Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

on considère le point A d’affixe 2 et le cercle C de centre O passant par A.

Dans tout l’exercice on note α le nombre complexe α = 1+ i %

3 et α le nombre complexe conjugué du nombre complexe α.

a. a. Démontrer que α2 −4α= 2α−8.

b. Démontrer que les points B et C d’affixes respectives α et α ap- partiennent au cercle C .

b. Soit D un point du cercle C d’affixe 2eiθ θ est un nombre réel de l’intervalle ]−π ; π].

a. Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E image du point D par la rotation r de centre O

et d’angle π

3 .

b. Justifier que le point E a pour affixe zE =αeiθ.

c. Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE].

a. Justifier que le point F a pour affixe zF = α

2 +eiθ.

b. On admet que le point G a pour affixe zG = αeiθ+α

2 .

Démontrer que zG −2 zF −2

= α

2 . On pourra utiliser la question 1. a.

En déduire que le triangle AFG est équilatéral.

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’éva-

luation.

À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu’il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale.

On admet que AF2 = 4−3 cosθ+ %

3 sinθ.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [−π ; +π] par f (x) = 4−3 cos x +

% 3 sin x.

Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction f sur l’in- tervalle [−π ; +π]. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.

x π 5π 6

π

6 π

f

Exercices sur les complexes 34

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

123 Antilles-Guyane juin 2002 Retour au tableau Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) , (unité

graphique 2 cm).

On considère les points I et A d’affixe respectives 1 et −2. Le point K est le milieu du segment [IA].

On appelle (C ) le cercle de diamètre [IA]. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure.

a. Soit B le point d’affixe b = 1+4i 1−2i

. Écrire b sous forme algébrique et

montrer que B appartient au cercle (C ).

b. Soit D le point du cercle (C ) tel que l’angle (−→ KI ,

−−→ KD

) =

π

3 +2

k est un entier relatif et soit d l’affixe de D.

a. Quel est le module de d + 1 2

? Donner un argument de d + 1 2

.

b. En déduire que d = 1 4 +3i

% 3

4 .

c. Déterminer un réel a vérifiant l’égalité 1+2ia 1− ia

= 1 4 +3i

% 3

4 .

c. Soit x un réel non nul et M le point d’affixe m = 1+2ix 1− ix

. On pose

Z = (m −1) (m +2)

. Calculer Z et en déduire la nature du triangle AIM .

d. Soit N un point, différent de A du cercle (C ) et n son affixe.

Démontrer qu’il existe un réel y tel que n = 1+2iy 1− iy

.

Exercices sur les complexes 131

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

122 Amérique du Nord juin 2002 Retour au tableau Le plan est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra

2 cm pour unité graphique.

On considère l’application F du plan dans lui même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = (1+ i)z +2.

a. Soit A le point d’affixe −2+2i. Déterminer les affixes des points A′ et B vérifiant respectivement A′

= F(A) et F(B) = A.

b. Méthode de construction de l’image de M .

a. Montrer qu’il existe un point confondu avec son image. On no- tera Ω ce point et ω son affixe.

b. Établir que pour tout complexe z distinct de ω, z ′ − z ωz

=−i.

Soit M un point distinct de Ω.

Comparer M M ′ et MΩ et déterminer une mesure de l’angle

( −−−→ MΩ ,

−−−−→ M M ′ ). En déduire une méthode de construction de M

à partir de M .

c. étude de l’image d’un ensemble de points.

a. Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble Γ, des points du plan dont l’affixe z vérifie |z +2−2i| =

% 2.

Vérifier que B est un point de Γ.

b. Démontrer que, pour tout z élément de C

z ′+2 = (1+ i)(z +2−2i).

Démontrer que l’image par F de tout point de Γ appartient au cercle Γ‘ de centre A′ et de rayon 2.

Placer O, A, B, A′, Γ et Γ′ sur une même figure.

Exercices sur les complexes 130

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

29 La Réunion 22 juin 2010 Retour au tableau Partie I : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives a, b, c.

On suppose que A et B sont distincts, ainsi que A et C.

On rappelle que (−→ u ,

−−→ AB

) = arg(b a) [2π].

Montrer que (−→ AB ,

−−→ AC

) = arg

( c a b a

) [2π].

Partie II :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère le point A d’affixe 1+ i. On associe, à tout point M du plan d’affixe z non nulle, le point M ′ d’affixe

z ′ = z −1− i

z .

Le point M ′ est appelé le point image du point M .

a. a. Déterminer, sous forme algébrique, l’affixe du point B′, image du point B d’affixe i.

b. Montrer que, pour tout point M du plan d’affixe z non nulle, l’affixe z ′ du point M ′ est telle que z ′ &= 1.

b. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe du point M ′ est telle que

∣∣z ′ ∣∣= 1.

c. Quel est l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe du point M ′ est un nombre réel ?

Exercices sur les complexes 35

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

30 Centres étrangers 14 juin 2010 Retour au tableau Dans le plan complexe (P ) muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 4 cm, on considère le point A d’affixe a =−1 et l’appli- cation f , du plan (P ) dans lui·même, qui au point M d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ = f (M) d’affixe z ′ tel que :

z ′ = iz

z +1 .

a. Déterminer l’affixe des points M tels que M ′ = M .

b. Démontrer que pour tout point M distinct de A et de O, on a :

OM ′ = OM AM

et (−→

u , −−−→ OM

) = (−−→ MA ,

−−−→ MO

) + π

2 à 2π près.

c. a. Soit B le point d’affixe b =− 1 2 + i.

Placer dans le repère le point B et la médiatrice (∆) du segment [OA].

b. Calculer sous forme algébrique l’affixe b′ du point B′ image du point B par f . Établir que B′ appartient au cercle (C ) de centre O et de rayon 1. Placer le point B′ et tracer le cercle (C ) dans le repère.

c. En utilisant la question 2, démontrer que, si un point M ap- partient à la médiatrice (∆), son image M ′ par f appartient au cercle (C ).

d. Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En s’aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l’image du point C par f (On laissera apparents les traits de construction.)

d. Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux mé- thodes différentes, l’ensemble (Γ) des points M distincts de A et de O dont l’image M ′ par f appartient à l’axe des abscisses. Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante.

a. On pose z = x + iy avec x et y réels tels que (x, y) &= (−1, 0) et (x, y) &= (0, 0). Démontrer que la partie imaginaire de z ′ est égale à :

Im ( z ′ ) =

x2 + y2 +x (x +1)2 + y2

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’en- semble (Γ) et le tracer dans le repère.

b. À l’aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l’ensemble (Γ).

Exercices sur les complexes 36

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

121 Polynésie septembre 2002 Retour au tableau Partie A

a. z1 et z2 sont des nombres complexes ; résoudre le système d’équa- tions suivant :

{ z1 %

3− z2 = −2 z1 − z2

% 3 = −2i

b. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct de centre O, d’unité graphique 4 cm, on considère les points A et B d’affixes respectives :

zA =− %

3+ i, zB =−1+ i %

3.

Donner les écritures de zA et zB sous forme exponentielle.

Placer les points A et B.

c. Calculer module et argument de zA

zB .

En déduire la nature du triangle ABO et une mesure de l’angle (−−→ OA ;

−−→ OB

) .

d. Déterminer l’affixe du point C tel que ACBO soit un losange. Placer C. Calculer l’aire du triangle ABC en cm2.

Partie B

Soit f la transformation qui à tout point M d’affixe z associe le point M

d’affixe z ′ telle que

z ′ = e− iπ 6 z.

a. Définir cette transformation et donner ses éléments caractéristiques.

b. Quelles sont, sous forme exponentielle, les affixes de A′, B′, et C′

images par f de A, B et C ?

c. Quelle est l’aire du triangle A′B′C′ en cm2 ?

Exercices sur les complexes 129

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

120 Nouvelle–Calédonie novembre 2002Retour au tableau

a. On considère le polynôme P de la variable complexe z, défini par :

P (z) = z3 + (14− i %

2)z2 + ( 74−14i

% 2 )

z −74i %

2.

a. Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l’équa- tion P (z) = 0.

b. Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on ait P (z) = (z − i

% 2)(z2 +az +b)

c. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équa- tion

P (z) = 0.

b. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On prendra 1 cm pour unité graphique.

a. Placer les points A, B et I d’affixes respectives zA =−7+5i ; zB =−7−5i et zI = i

% 2.

b. Déterminer l’affixe de l’image du point I par la rotation de centre

O et d’angle − π

4 .

c. Placer le point C d’affixe zC = 1+ i. Déterminer l’affixe du point N tel que ABCN soit un paralllogramme.

d. Placer le point D d’affixe zD = 1 + 11i . Calculer Z = zA − zC zD − zB

sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. Jus- tifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatre ABCD.

Exercices sur les complexes 128

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

31 Asie 21 juin 2010 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

L’unité graphique est 1 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et

d’argument π

2 .

On considère les points A, B, C et P d’affixes respectives :

a =−2, b = 2−2i %

3, c = 3+3i %

3 et p = 10.

PARTIE A Étude de la configuration

a. Construction de la figure.

a. Placer les points A et P dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

b. Déterminer les modules des nombres complexes b et c.

c. Utiliser les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C.

b. Démontrer que le triangle BCP est équilatéral.

c. On note rA la rotation de centre A et d’angle π

3 .

a. Vérifier que l’image Q du point C par rA a pour affixe : q =−4+ 4i %

3.

b. Vérifier l’égalité : q = −2b. Que peut-on en déduire pour les points B, O et Q ?

d. Soit R le symétrique de C par rapport à O.

a. Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O.

b. Établir que : AP = BQ = CR.

PARTIE B

On note f l’application qui, à tout point M du plan, associe le réel f (M) défini par :

f (M) = MA+MB+MC.

a. Calculer f (O).

b. Soient M un point quelconque et N son image par la rotation rA. Démontrer que : MA = M N puis que MC = NQ.

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l’évalua- tion.

En utilisant l’inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point M du plan, f (M) " 12.

Exercices sur les complexes 37

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

32 Antilles-Guyane 18 juin 2010 Retour au tableau Le plan est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité 1 cm.

a. Restitution organisée de connaissances

Pour M &=Ω, on rappelle que le point M ′ est l’image du point M par la rotation r de centre Ω et d’angle de mesure θ si et seulement si :

{ ΩM ′ = ΩM (1)(−−−→

M ; −−−→ ΩM

) = θ à 2près (k ∈Z) (2)

a. Soient z, z ′ et ω les affixes respectives des points M , M ′ et Ω. Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d’argu- ments.

b. En déduire l’expression de z ′ en fonction de z, θ et ω

b. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation :

z2 −4 %

3z +16= 0.

On donnera les solutions sous forme algébrique.

c. Soient A et B les points d’affixes respectives a = 2 %

3−2ı et b = 2 %

3+ 2ı.

a. Écrire a et b sous forme exponentielle.

b. Faire une figure et placer les points A et B .

c. Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

d. Soit C le point d’affixe c = −8ı et D son image par la rotation de

centre O et d’angle 2π 3

.

Placer les points C et D.

Montrer que l’affixe du point D est d = 4 %

3+4ı.

e. Montrer que D est l’image du point B par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport.

f. Montrer que OAD est un triangle rectangle.

Exercices sur les complexes 38

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

119 Métropole septembre 2002 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 4 cm. On note A et B les points d’affixes respectives 1 et i. à tout point M , distinct de A et d’affixe z, est associé le point M ′ d’affixe Z définie par :

Z = (1− i)(z − i)

z −1 .

a. a. Calculer l’affixe du point C′ associé au point C d’affixe −i.

b. Placer les points A, B et C.

b. Soit z = x + iy x et y désignent deux nombres réels.

a. Montrer l’égalité :

Z = (x −1)2 + (y −1)2 −1

(x −1)2 + y2 − i

x2 + y2 −1 (x −1)2 + y2

.

b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z telle que Z soit réel.

c. Déterminer l’ensemble F des points M d’affixe z telle que Re(Z ) soit négatif ou nul.

c. a. Écrire le nombre complexe (1− i) sous forme trigonométrique.

b. Soit M un point d’affixe z, distinct de A et de B. Montrer que : (1− i)(z − i)

z −1 ∈ R∗ si et seulement s’il existe un entier k tel que

(−−→ MA ,

−−→ MB

) =

π

4 +.

c. En déduire l’ensemble des points M vérifiant (−−→ MA ,

−−→ MB

) =

π

4 +

.

d. Déterminer l’ensemble des points M vérifiant (−−→ MA ,

−−→ MB

) =

π

4 +

2.

Exercices sur les complexes 127

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

118 Antilles-Guyane septembre 2002Retour au tableau Dans le plan complexe rapport au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 5 cm), on considère les points A et B d’affixes respec- tives

zA = 1+ i et zB =− 1 2 +

1 2

i.

On désigne par (C ) le cercle de centre O et de rayon 1.

a. Donner la forme trigonométrique de zA et celle de zB.

b. Dans la suite de l’exercice, M désigne un point de (C ) d’affixe eiα, α ∈ [0 ; 2π]. On considère l’application f qui tout point M de (C ), associe

f (M) = MMB.

a. Montrer, pour tout α ∈R, l’égalité suivante :

ei2α−1 = 2ieiα sinα.

b. Montrer l’égalité suivante : f (M) = ∣∣∣∣e

i2α−1− (

1 2 +

3 2

i )

eiα ∣∣∣∣.

c. En déduire l’égalité suivante : f (M) =

√ 1 4 + ( −

3 2 +2 sinα

)2 .

c. a. En utilisant 2. c., montrer qu’il existe deux points M de (C ), dont on donnera les coordonnées, pour lesquels f (M) est mi- nimal. Donner cette valeur minimale.

b. En utilisant 2. c., montrer qu’il existe un seul point M de (C ), dont on donnera les coordonnées, pour lequel f (M) est maxi- mal. Donner cette valeur maximale.

Exercices sur les complexes 126

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

33 Amérique du Nord 3 juin 2010 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 2 cm.

On réalisera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.

On considère les points A d’affixe i, B d’affixe −2i et D d’affixe 1. On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.

Soit f l’application qui à tout point M d’affixe z(z &= i) associe le point M

d’affixe z ′ définie par :

z ′ = 2z − i iz +1

.

a. Démontrer que le point E a pour affixe

( 1 2 +

% 3

2

)

(1+ i).

b. Exprimer sous forme algébrique l’affixe du point D′ associé au point D par l’application f .

c. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, ( z ′+2i

) (z

i) = 1.

b. En déduire que pour tout point M d’affixe z(z &= i) :

BM′ ×AM = 1

et (−→

u , −−−→ BM

) =−

(−→ u ,

−−→ AM

) +k ×2π k est un entier relatif.

d. a. Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon

% 2.

b. En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E′

associé au point E par l’application f . On laissera apparents les traits de construction.

e. Quelle est la nature du triangle BD′ E′ ?

Exercices sur les complexes 39

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

34 Nouvelle-Calédonie novembre 2009Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 2 cm. On considère les points A et B d’ affixes respec- tives

zA = 1+ i %

3, zB = 2i.

a. a. Écrire zA et zB sous forme exponentielle.

b. Placer les points A et B sur une figure que l’on complètera au cours de l’exercice.

c. Déterminer la nature du triangle OAB.

b. On note r la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point M d’ affixe z, on note M ′ l’image de M par r et z ′ l’affixe du point M ′.

a. Calculer un argument du quotient zB zA

. Interpréter géométrique-

ment ce résultat.

b. En déduire l’écriture complexe de la rotation r .

c. Soient Γ le cercle de centre A passant par O et Γ′ le cercle de centre B passant par O.

Soit C le deuxième point d’intersection de Γ et Γ′ (autre que O). On note zC son affixe.

a. Justifier que le cercle Γ′ est l’image du cercle Γ par la rotation r .

b. Calculer l’affixe zI du milieu I de [AB].

c. Déterminer la nature du quadrilatère OACB.

d. En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l’affixe de C est :

zC = 1+ ( 2+

% 3 )

i.

d. Soit D le point d’affixe zD = 2i %

3.

a. Justifier que le point D appartient au cercle Γ. Placer D sur la figure.

b. Placer D′ image de D par la rotation r définie à la question 2. On note zD′ l’affixe de D

′.

Montrer que zD′ =− %

3+3i.

e. Montrer que les vecteurs −−→ DC et

−−−→ DD′ sont colinéaires. Que peut-on

en déduire ?

Exercices sur les complexes 40

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

117 Amérique du Sud décembre 2002Retour au tableau Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

on appelle A et B les points d’affixes respectives 2 et - 2. à tout point M d’affixe z, z différent de 2, on associe le point N d’affixe z et M ′ d’affixe z

tel que

z ′ = 2z −4 z −2

a. Calculer z ′ et |z ′| lorsque z = 5 puis lorsque z = 1+ i.

b. a. Interpréter géométriquement |z −2| et |z ′ −2|.

b. Montrer que, pour tout z distinct de 2, |z ′| = 2. En déduire une information sur la position de M ′.

c. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z (z &= 2) tels que M

= B.

d. On note Z−−→ AM

et Z−−−→ BM

, les affixes respectives des vecteurs −−→ AM et

−−−→ BM ′ .

Montrer que, pour tout point M distinct de A et n’appartenant pas

E , le quotient −−→ AM −−−→ BM

est un nombre réel. Interpréter géométrique-

ment ce résultat.

e. Un point M distinct de A, n’appartenant pas E , étant donné, pro- poser une méthode géométrique pour construire le point M ′. On illustrera par une figure.

Exercices sur les complexes 125

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

116 Pondichéry mars 2003 Retour au tableau Première partie

On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation sui- vante :

(E) z3 +2z2 −16 = 0.

a. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme : (z −2)

( az2 +bz +c

) = 0, où a, b et c sont trois réels que l’on

déterminera.

b. En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

a. Placer les points A, B et D d’affixes respectives

zA =−2−2i, zB = 2 et zD =−2+2i.

b. Calculer l’affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.

c. Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angle − π

2 et F

l’image de C par la rotation de centre D et d’angle π

2 .

a. Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF.

b. Placer les points E et F.

d. a. Vérifier que : zF − zA zE − zA

= i.

b. En déduire la nature du triangle AEF.

e. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la

rotation de centre I et d’angle − π

2 .

Exercices sur les complexes 124

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

35 Amérique du Sud novembre 2009Retour au tableau Dans le plan muni d’un repère orthonormé

( O,

−→ u ,

−→ v ) , on considère les

points A et B d’affixes respectives 2 et (−2) et on définit l’application f qui à tout point M d’affixe z et différent de A associe le point M ′ d’affixe

z ′ = z(z −2)

z −2 .

a. a. Déterminer l’affixe du point P′ image par f du point P d’affixe (1+ i).

b. Montrer que les droites (AP) et (BP′) sont parallèles.

c. Établir que les droites (AP) et (PP′) sont perpendiculaires.

b. Déterminer l’ensemble des points invariants par f (c’est-à-dire l’en- semble des points tels que M ′ = M).

On cherche à généraliser les propriétés 1.b et 1.c pour obtenir une construction de l’image M ′ d’un point M quelconque du plan.

c. a. Montrer que pour tout nombre complexe z, le nombre (z−2) ( z −2

)

est réel.

b. En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2, z ′+2 z −2

est réel.

c. Montrer que les droites (AM) et (BM ′) sont parallèles.

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit M un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question 1.c.

e. Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point M ′ image de M par f . Réaliser une figure pour le point Q d’affixe 3−2i.

Exercices sur les complexes 41

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

36 Polynésie septembre 2009 Retour au tableau Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

unité graphique : 2 cm.

On appelle (Γ) le cercle de centre O et de rayon 1.

On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.

On appelle F l’application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M différent de O, d’affixe z, associe le point M ′ = F (M) d’affixe z

définie par :

z ′ = z + i− 1 z

.

a. On considère les points A et B d’affixes respectives a = i et b = ei π 6 et

leurs images A′ et B′ par F d’affixes respectives a′ et b′.

a. Calculer a′ et b′.

b. Placer les points A, A′ B et B′.

c. Démontrer que −b

b′ −b =

% 3

3 i.

d. En déduire la nature du triangle OBB′.

b. On recherche l’ensemble (E) des points du plan P privé du point O qui ont pour image par F , le point O.

a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z,

z2 + iz −1=

(

z + %

3 2

+ 1 2

i

)(

z − %

3 2

+ 1 2

i

)

.

b. En déduire les affixes des points de l’ensemble (E).

c. Démontrer que les points de (E) appartiennent à (Γ).

c. Soit θ un réel.

a. Démontrer que si z = eiθ alors z ′ = (2 sinθ+1)i.

b. En déduire que si M appartient au cercle (Γ) alors M ′ appartient au segment [A′C] où C a pour affixe −i.

Exercices sur les complexes 42

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. a. On désigne par a, b et z1 les affixes respectives des points A, B et I.

Montrer que ∣∣∣∣

b z1 az1

∣∣∣∣= 1 et arg (

b z1 az1

) =

π

2 [2π].

En déduire que z1 = iab i−1

.

b. Avec les points B, C et L d’affixes respectives b, c et zL, exprimer sans démonstration zL en fonction de b et c.

c. Avec les points C, D et K d’affixes respectives c, d et zK, expri- mer de même zK en fonction de c et d . Avec les points D, A et J d’affixes respectives d , a et zJ exprimer de même zJ en fonction de a et d .

d. Montrer que zL − zJ = i (zK − zI). En déduire que les droites (JL) et (KI) sont perpendicu[aires et que JL = KI.

Exercices sur les complexes 123

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

115 Polynésie juin 2003 Retour au tableau Dans tout l’exercice, le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Les constructions seront faites sur papier millimtré.

a. a. Le point E a pour affixe ZE = 3+ i et le point F a pour affixe ZF = 1+3i. Placer dans P les points E et F.

b. Construire le point H tel que EHF soit un triangle rectangle iso-

cèle direct de sommet H, c’est-à-dire tel que (−−→ HF ;

−−→ HE

) =

π

2 [2π].

c. On désigne par ZH l’affixe de H.

Montrer que ∣∣∣∣

3+ i−ZH 1+3i−ZH

∣∣∣∣= 1 et que arg (

3+ i−ZH 1+3i−ZH

) =

π

2 [2π].

En déduire que ZH = 3+3i.

b. A, B, C et D sont quatre points du plan P.

C

A B

D

a. Construire les triangles rectangles isocèles directs BIA, AJD, DKC et CLB d’angles droits respectifs B̂IA, ÂJD, &DKC et &CLB.

b. Conjecturer la position relative des droites (IK) et (LJ) et le rap- port des longueurs des segments [IK] et [LJ].

Exercices sur les complexes 122

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

37 Antilles-Guyane septembre 2009Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 1 cm.

Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions.

a. Placer les points A, B et C d’affixes respectives

zA =−11+4i, zB =−3−4i et zC = 5+4i.

b. Calculer le module et un argument du quotient zA − zB zC − zB

et en dé-

duire la nature du triangle ABC.

c. Soit E l’image du point C par la rotation R de centre B et d’angle π

4 .

Montrer que l’affixe de E vérifie zE =−3+ ( 8 %

2−4 )

i.

Placer le point E.

d. Soit D l’image du point E par l’homothétie H de centre B et de rap-

port

% 2

2 .

Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Placer le point D .

e. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Soit D la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d’intersection de la droite D et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF].

Montrer que B, I et J sont alignés.

Exercices sur les complexes 43

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

38 Polynésie juin 2009 Retour au tableau Partie A : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct.

On supposera connus les résultats suivants :

• Pour tous points A, B et C du plan d’affixes respectives a, b et c, avec A &= C et A &= B :∣∣∣∣ b a c a

∣∣∣∣= AB AC

et arg (

b a c a

) = (−−→ AC ,

−→ AB

) +k ×2π k est un entier relatif ;

• Soit z un nombre complexe et soit θ un nombre réel : z = eiθ si et seulement si |z| = 1 et arg(z) = θ+ k × 2π k est un entier relatif.

Démontrer que la rotation r d’angle α et de centre Ω d’ affixe ω est la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M

d’affixe z ′ telle que : z ′ −ω= eiθ(z ω).

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

unité graphique 1 cm.

Soit f l’application qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’af- fixe z ′ telle que :

z ′ = iz +4+4i.

a. a. Déterminer l’affixe ω du point Ω tel que f (Ω) =Ω

b. Montrer que, pour tout nombre complexe z on a : z ′ −4i = i(z − 4i).

c. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f .

b. On note A et B les points d’affixes respectives a = 4−2i et b =−4+6i.

a. Placer les points A, B et Ω sur une figure que l’on completera au fur et à mesure des questions.

b. Déterminer les affixes des points A′ et B′ images respectives des points A et B par f .

c. On appelle m, n, p et q les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA′], [A′B], [BB′] et [B′A].

a. Déterminer m. On admettra que n= 1+7i, p =−3+3i et q = 1−i.

b. Démontrer que MNPQ est un parallélogramme.

c. Déterminer la forme algëbrique du nombre complexe q m n m

.

En déduire la nature du quadrilatère MNPQ.

d. Démontrer que les droites (B′A) et (ΩN) sont perpendiculaires.

Exercices sur les complexes 44

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

114 Nouvelle–Calédonie mars 2003 Retour au tableau On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère la transformation ponctuelle f qui, a tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z2 +1.

a. Déterminer les antécédents du point O.

b. Existe-t-il des points invariants par f ? Si oui, préciser leurs affixes respectives.

c. Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses ?

d. Soit A le point d’affixe zA = %

2 2

(1+ i). Déterminer l’affixe du point A′

image de A par f puis prouver que les points O, A et A′ sont alignés.

e. Soit θ un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 2π[ et N le point d’affixe eiθ.

a. Montrer que N appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1.

b. Lorsque θ varie, montrer que N ′, image du point N par f reste sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. Vérifier que −−−→ ON ′ = 2 cosθ

−−→ ON . En déduire que les points O, N

et N ′ sont alignés.

d. Expliquer la construction du point N ′.

Exercices sur les complexes 121

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

113 Liban juin 2003 Retour au tableau

a. Résoudre dans C l’équation :

4z2 −12z +153= 0.

b. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v ) , d’unité

graphique 1 cm on considère les points A, B, C, P d’affixes respec- tives :

zA = 3 2 + 6i, zB =

3 2 − 6i ; zC = −3−

1 4

i, zP = 3+ 2i et le vecteur −→ w

d’affixe z−→ w

=−1+ 5 2

i.

a. Déterminer l’affixe zQ du point Q, image du point B dans la

translation t de vecteur −→ w .

b. Déterminer l’affixe zR du point R, image du point P par l’homo-

thétie h de centre C et de rapport − 1 3

.

c. Déterminer l’affixe zS du point S, image du point P par la rota-

tion r de centre A et d’angle − π

2 .

Placer les points P, Q, R et S.

c. a. Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.

b. Calculer zR − zQ zP − zQ

.

En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.

c. Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté C . On calculera l’affixe de son centre Ω et son rayon ρ.

d. La droite (AP) est-elle tangente au cercle C ?

Exercices sur les complexes 120

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

39 Métropole juin 2009 Retour au tableau Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

on associe à tout point M d’affixe z non nulle, le point M ′ milieu du seg-

ment [M M1] où M1 est le point d’affixe 1 z

.

Le point M ′ est appelé l’image du point M .

a. a. Montrer que les distances OM et OM1 vérifient la relation OM× OM1 = 1 et que les angles

(−→ u ;

−−−→ OM1

) et

(−→ u ;

−−−→ OM

) vérifient l’éga-

lité des mesures suivantes (−→

u ; −−−→ OM1

) =−

(−→ u ;

−−−→ OM

) à 2π près.

b. Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.

Construire le point A′ image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).

b. a. Justifier que pour tout nombre complexe z non nul, le point M

a pour affixe z ′ = 1 2

( z +

1 z

) .

b. Soient B et C les points d’affixes respectives 2i et −2i. Calculer les affixes des points B′ et C′ images respectives des points B et C.

c. Placer les points B, C, B′ et C′ sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).

c. Déterminer l’ensemble des points M tels que M ′ = M .

d. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’éva-

luation.

Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M ′ appartient au segment [KL] où K et L sont les points d’affixes respectives −1 et 1.

Exercices sur les complexes 45

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

40 La Réunion juin 2009 Retour au tableau Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat

portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

a. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant : z = 1−2i+eiθ, θ étant un nombre réel.

a. (E) est une droite passant par le point d’affixe 2−2i.

b. (E) est le cercle de centre d’affixe −1+2i et de rayon 1.

c. (E) est le cercle de centre d’affixe 1−2i et de rayon 1.

d. (E) est le cercle de centre d’affixe 1−2i et de rayon %

5.

b. Soit f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que z ′ =−iz −2i.

a. f est une homothétie.

b. Le point d’affixe −1−2i est un antécédent du point d’affixe i.

c. f est la rotation de centre le point d’affixe 1+ i et d’angle − π

2 .

d. f est la rotation de centre le point d’affixe −1− i et d’angle − π

2 .

c. Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z −1+ i| = |z + 1+2i|. Soient les points A, B et C d’ affixes respectives 1−i, −1+2i et −1−2i.

a. C est un point de (F).

b. (F) est la médiatrice du segment [AB].

c. (F) est la médiatrice du segment [AC].

d. (F) est le cercle de diamètre [AB].

d. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z +|z|2 = 7+ i. Cette équation admet :

a. Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1.

b. Une solution réelle.

c. Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1.

d. Une solution qui a pour partie imaginaire 2.

Exercices sur les complexes 46

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

112 Métropole juin 2003 Retour au tableau Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 2, b = 1− i et c = 1+ i.

a. a. Placer les points A, B et C sur une figure.

b. Calculer c a b a

. En déduire que le triangle ABC est rectangle iso-

cèle.

b. a. On appelle r la rotation de centre A telle que r (B) = C. Déterminer l’angle de r et calculer l’affixe d du point D = r (C).

b. Soit Γ le cercle de diamètre [BC]. Déterminer et construire l’image Γ′ du cercle Γ par la rotation r .

c. Soit M un point de Γ d’affixe z, distinct de C et M ′ d’affixe z ′ son image par r .

a. Montrer qu’il existe un réel θ appartenant à [

0 ; π

2

[ ∪ ]π

2 ; 2π

[

tel que z = 1+eiθ.

b. Exprimer z ′ en fonction de θ.

c. Montrer que z ′ −c z c

est un réel. En déduire que les points C, M

et M ′ sont alignés.

d. Placer sur la figure le point M d’affixe 1+ei 2π 3 et construire son

image M′ par r .

Exercices sur les complexes 119

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

111 Asie juin 2003 Retour au tableau Γ est le cercle de centre O et de rayon 2

% 2.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

a. À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z2 −2(1+ i)z.

On pose z = x + iy et z ′ = x′+ iy ′, où x, y, x′ et y ′ sont des nombres réels.

a. Exprimer x′ et y ′ en fonction de x et y .

b. Soit H l’ensemble des points M tels que z ′ soit un nombre réel. Montrer que H est la représentation graphique d’une fonction h que l’on déterminera (l’étude de la ronction h n’est pas de- mandée). H est tracée sur ie graphique ci-dessous.

b. Montrer que le point A d’affixe a = 2(1+ i) appartient à Γ et H .

c. Soit R la rotation de centre O et d’angle 2π 3

. On note B et C les points

tels que R(A) = B et R(C) = A.

a. Montrer que R(B) = C et que les triangles OAB, OBC et OCA sont isométriques.

b. Quelle est la nature du triangle ABC ?

c. Montrer que B et C appartiennent à Γ et H .

d. Tracer Γ et placer A, B et C sur le graphique ci-dessous.

−→ u

−→ v

O

Exercices sur les complexes 118

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

41 Asie juin 2009 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On place dans ce repère, les points A d’affixe 1, B d’affixe b b est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive.

On construit à l’extérieur du triangle OAB , les carrés directs ODC A et OBE F comme indiqué sur la figure ci-dessous.

a. Déterminer les affixes c et d des points C et D.

b. On note r la rotation de centre O et d’angle +π2 .

a. Déterminer l’écriture complexe de r .

b. En déduire que l’affixe f du point F est ib.

c. Déterminer l’affixe e du point E .

c. On appelle G le point tel que le quadrilatère OFGD soit un pa- rallélogramme.

Démontrer que l’affixe g du point G est égal à i(b −1).

d. Démontrer que e g c g

= i et en

déduire que le triangle EGC est rectangle et isocèle.

−→ u

−→ v

O A

B

CD

E

F

G

Exercices sur les complexes 47

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

42 Antilles–Guyane juin 2009 Retour au tableau Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.

a. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit le point A d’affixe 3, le point B d’affixe −4i et l’ensemble E des points M d’affixe z tels que |z −3| = |z +4i|.

Affirmation : E est la médiatrice du segment [AB ].

b. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère trois points A, B et C deux à deux distincts, d’affixes

respectives a, b et c, tels que c a b a

= 2i.

Affirmation : A appartient au cercle de diamètre [BC ].

c. On considère le nombre z = 2ei π 7 .

Affirmation : z2009 est un nombre réel positif.

d. On considère trois points A, B et C non alignés de l’espace. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC .

On note F l’ensemble des points M vérifiant ∣∣∣ ∣∣∣ −−−→ M A +

−−→ MB +

−−→ MC

∣∣∣ ∣∣∣=

6.

Affirmation : F est la sphère de centre de G et de rayon 2.

e. L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

S est la sphère d’équation x2 + y2 + z2 = 5. P est le plan d’équation x + y −5= 0.

Affirmation : Le plan P coupe la sphère S suivant un cercle.

Exercices sur les complexes 48

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

110 Antilles-Guyane juin 2003 Retour au tableau Le plan est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 2 cm). On considère les points A et B d’affixes respectives A(3 + 2i) et B(−1+4i). Extérieurement au triangle OAB, on construit les deux carrés OA1A2A et OBB1B2.

a. a. En remarquant que A2 est l’image de O par une rotation de centre A, déterminer l’affixe de A2. En déduire l’affixe du centre I du carré OA1A2A.

b. En remarquant que B1 est l’image de O par une rotation de centre B, déterminer l’affixe de B1. En déduire l’affixe du centre J du carré OBB1B2.

c. Calculer l’affixe du milieu K du segment [AB]. à l’aide des af- fixes des différents points, calculer les longueurs KI et KJ, ainsi

qu’une mesure de l’angle (−→ KI ,

−→ KJ

) . Que peut-on en déduire ?

Exercices sur les complexes 117

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

109 Amérique du Nord juin 2003 Retour au tableau Le plan est rapporté au repère orthonormé

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA =−1+ i %

3, zB =−1− i

% 3 et zC = 2.

a. Placer ces points sur un dessin.

b. a. Vérifier que : zB − zC zA − zC

= ei π 3 .

b. En déduire la nature du triangle ABC.

c. Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ1 circonscrit au tri- angle ABC.

Tracer le cercle Γ1.

c. a. Établir que l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z qui vérifient 2(z + z) + zz = 0 est un cercle de centre Ω d’affixe −2. Préciser son rayon. Construire Γ2.

b. Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ2.

d. On appelle r1 la rotation de centre A et d’angle π

3 .

a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r1 ? Construire l’image C1 du point C par la rotation r1 puis calculer son affixe.

b. Déterminer l’image du cercle Γ2 par la rotation r1.

e. Soit r une rotation. Pour tout point M d’affixe z, on note M ′ l’image de M par r et z ′ l’affixe de M ′.

On posera : z ′ = az+b, avec a et b des nombres complexes vérifiant |a| = 1 et a &= 1. On suppose que r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1.

a. Quelle est l’image du point Ω par r ? En déduire une relation entre a et b.

b. Déterminer en fonction de a l’affixe du point r (C), image du point C par la rotation r ; en déduire que le point r (C) appar- tient un cercle fixe que l’on définira. Vérifier que ce cercle passe par C1.

Exercices sur les complexes 116

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

43 Liban juin 2009 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’ affixes respectives :

zA =− 3 2 + i

% 3

2 , zB = zA et zC =−3.

Partie A

a. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle.

b. Placer les points A, B et C.

c. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

Partie B

Soit f l’application qui, à tout point M du plan d’affixe z, associe le point

M ′ d’affixe z ′ = 1 3

iz2.

On note O′, A′, B′ et C′ les points respectivement associés par f aux points O, A, B et C.

a. a. Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A′, B′

et C′.

b. Placer les points A′, B′ et C′ .

c. Démontrer l’alignement des points O, A et B′ ainsi que celui des points O, B et A′.

b. Soit G l’isobarycentre des points O, A, B et C. On note G′ le point associé à G par f .

a. Déterminer les affixes des points G et G′.

b. Le point G′ est-il l’isobarycentre des points O′ A′, B′ et C′ ?

c. Démontrer que si M appartient à la droite (AB) alors M ′ appartient à

la parabole d’équation y =− 1 3

x2 + 3 4

. (On ne demande pas de tracer

cette parabole)

Exercices sur les complexes 49

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

44 Amérique du Nord mai 2009 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit A le point d’affixe a = 1+i %

3 et B le point d’affixe b = 1− %

3+ ( 1+

% 3 )

i.

Partie A : étude d’un cas particulier

On considère la rotation r de centre O et d’angle 2π 3

.

On note C le point d’affixe c image du point A par la rotation r et D le point d’affixe d image du point B par la rotation r .

La figure est donnée en annexe (figure 1).

a. a. Exprimer −a

b a sous forme algébrique.

b. En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.

b. Démontrer que c =−2. On admet que d =−2−2i.

a. Montrer que la droite (AC) a pour équation y = %

3 3

(x +2).

b. Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).

Partie B : étude du cas général

Soit θ un réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 2π[. On considère la rotation de centre O et d’angle θ.

On note A′ le point d’affixe a′, image du point A par la rotation r , et B′ le point d’affixe b′, image du point B par la rotation r .

La figure est donnée en annexe (figure 2).

L’objectif est de démontrer que la droite (AA′) coupe le segment [BB′] en son milieu.

a. Exprimer a′ en fonction de a et θ et b′ en fonction de b et θ.

b. Soit P le point d’affixe p milieu de [AA′] et Q le point d’affixe q milieu de [BB′].

a. Exprimer p en fonction de a et θ puis q en fonction de b et θ.

b. Démontrer que −p

q p =

a b a

.

c. En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).

d. Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA′).

Exercices sur les complexes 50

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

108 Métropole septembre 2003 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ ı ,

−→ ) .

On considère les points A et Ω d’affixes respectives : a = −1+ %

3+ i et ω=−1+2i.

On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle 2π 3

et h l’homothétie de

centre Ω et de rapport − 1 2

.

a. Placer sur une figure les points A et Ω, l’image B du point A par r , l’image C du point B par r et l’image D du point A par h.

b. On note b, c et d les affixes respectives des points B, C et D.

Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont cha- cune débute dans la première colonne et s’achève sur la même ligne co- lonne 2, colonne 3 ou colonne 4.

Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans cha- cune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).

1. |aω| 2 4 %

3− i

2. arg(a ω)

- 5π 6

47π 6

π

6

3. (−→

v , −−→ ΩC

) =

arg [(ω− i)] − (−→

v , −−→ CΩ

) 2π 3

4. ω= 1 3

(a+b +c) a+b +c b −2i

5. b d ad

= %

3 2

i -

% 3

3 i

% 3

3 i

6. Le point

D est

l’image de Ω par la

translation de vecteur

1 2 −−→ AΩ

l’image de Ω par

l’homothétie de centre A et de

rapport 3 2

l’image de Ω par la rotation de centre B et

d’angle − π

6

Exercices sur les complexes 115

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

107 Antilles-Guyane septembre 2003Retour au tableau Soient A, B deux points distincts fixés d’un cercle C de centre I et M un point quelconque de ce cercle C .

a. Le point D est défini par −→ IA +

−→ IB +

−−→ IM =

−→ ID .

a. Prouver que les produits scalaires −−→ AD ·

−−→ BM et

−−→ BD ·

−−→ AM sont

nuls. En déduire à quelles droites particulières du triangle ABM le point D appartient puis préciser la nature du point D pour le triangle AMB.

b. Soit G l’isobarycentre des points A, B, M . Exprimer −→ ID en fonc-

tion de −→ IG .

b. Dans le plan complexe, rapporté à un repère otthonormal direct( O,

−→ ı ,

−→ ) , on donne les points A, B, I d’affixes respectives zA = 2, zB =

4+2i et zI = 4. On nomme f l’application qui, à tout point M du plan

d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe Z tel que Z = 1 3

z +2+ 2 3

i.

a. Montrer qu’il existe un unique point Ω tel que f (Ω) =Ω et cal- culer l’affixe ω de ce point. Pour tout point d’affixe z, exprimer alors Z ω en fonction de z ω. Préciser la nature de l’applica- tion f .

b. M étant un point quelconque d’affixe zM , montrer que l’image par l’application f du point M est l’isobarycentre G d’affixe zG des points A, B, M .

c. Déterminer l’ensemble des points G lorsque le point M décrit le cercle C de centre I et de rayon 2.

d. En déduire alors, à l’aide du résultat de la question 1. b., l’en- semble décrit par le point D défini par

−→ ID =

−→ IA +

−→ IB +

−−→ IM lorsque

le point M parcourt le cercle C de centre I et de rayon 2.

Exercices sur les complexes 114

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

45 Nouvelle–Calédonie mars 2009 Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 1 cm. On considère les points A et B d’ affixes respectives zA = 1 et zB = 3+4i. Soit C et D les points d’affixes respectives zC = 2

% 3+ i(−2−

% 3) et

zD =−2 %

3+ i(−2+ %

3).

L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.

a. a. Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et

d’angle 2π 3

est le point D.

b. En déduire que les points B et D sont sur un cercle C de centre A dont on déterminera le rayon.

b. Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport 3 2

.

a. Montrer que l’affixe zF du point F est −2i.

b. Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].

c. Montrer que zC − zF zA − zF

=−i %

3. En déduire la forme exponentielle

de zC − zF zA − zF

.

Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la mé- diatrice du segment [CD].

c. Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l ’évaluation.

Exercices sur les complexes 51

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

46 Amérique du Sud décembre 2008Retour au tableau Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé

( O,

−→ u ,

−→ v ) , on

considère les points A, B, C d’affixes respectives a =−1+2i, b = 1+3i, c = 4i.

a. Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

b. Soit I le milieu de [BC] et zI son affixe.

a. Quel est l’ensemble des points M du plan distincts de A dont

l’affixe z est telle que z zI z a

soit un réel ?

b. Déterminer l’unique réel x tel que x zI x a

soit un réel.

c. Soit z−→ AI

l’affixe du vecteur −→ AI , donner une forme trigonomé-

trique de z−→ AI

.

c. a. Soit G le point d’affixe −3. Montrer qu’il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l’axe des réels.

b. Soit r1 la rotation de centre G et d’angle de mesure − π

4 .

Déterminer l’écriture complexe de r1.

d. Soit A′, B′ et C′ les images respectives de A, B, et C par la rotation r1 ; soient a′, b′ et c ′ leurs affixes.

Quelle est l’image par r1 de l’axe de symétrie du triangle ABC ?

En déduire que b′ = c ′.

Exercices sur les complexes 52

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

106 Amérique du Sud novembre 2003Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique 4 cm).

Soit I le point d’affixe 1. On note C le cercle de diamètre [OI] et on nomme son centre Ω.

Partie I

On pose a0 = 1 2 +

1 2

i et on note A0 son image.

a. Montrer que le point A0 appartient au cercle C .

b. Soit B le point d’affixe b, avec b = −1+ 2i, et B′ le point d’affixe b

telle que b′ = a0b.

a. Calculer b′.

b. Démontrer que le triangle OBB′ est rectangle en B′.

Partie II

Soit a un nombre complexe non nul et différent de 1, et A son image dans le plan complexe.

À tout point M d’affixe z non nulle on associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = az.

a. On se propose de déterminer l’ensemble des points A tels que le triangle OM M ′ soit rectangle en M ′.

a. Interpréter géométriquement arg (

a−1 a

) .

b. Montrer que (−−−→ M ′O ,

−−−−→ M M

) = arg

( a−1

a

) +2(où k ∈Z).

c. En déduire que le triangle OM M ′ est rectangle en M ′ si et seule- ment si A appartient au cercle C privé de O et de I.

b. Dans cette question, M est un point de l’axe des abscisses, différent de O.

On note x son affixe.

On choisit a de manière que A soit un point de C différent de I et de O.

Montrer que le point M ′ appartient la droite (OA).

En déduire que M ′ est le projet orthogonal de M sur cette droite.

Exercices sur les complexes 113

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

105 Pondichéry avril 2004 Retour au tableau Partie A

a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :

z2 −2z +4= 0.

Les solutions seront notées z ′ et z ′′, z ′ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive.

Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme expo- nentielle.

b. Donner la valeur exacte de ( z ′ )2004 sous forme exponentielle puis

sous forme algébrique.

Partie B

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

; (unité graphique : 2 cm).

a. Montrer que les points A d’affixe 1+ i %

3 et B d’affixe 1− i %

3 sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon.

Tracer ce cercle puis construire les points A et B.

b. On note O′ l’image du point O par la rotation r1 de centre A et d’angle

π

2 et B′ l’image du point B par la rotation r2 de centre A et d’angle

+ π

2 .

Calculer les affixes des points O′ et B′ et construire ces points.

c. Soit I le milieu du segment [OB].

a. Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO′B′ ?

b. Calculer l’affixe du vecteur −→ AI .

Montrer que l’affixe du vecteur −−−→ O′B′ est égale à 3

% 3− i.

c. La conjecture mise la question a. est-elle vraie ?.

Exercices sur les complexes 112

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

47 Nouvelle–Calédonie novembre 2008Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

a. On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2+2i, zB = 2i et zC = 2 ainsi que le cercle Γ de centre A et de rayon 2. La droite (OA) coupe le cercle Γ en deux points H et K tels que OH < OK. On note zH et zK les affixes respectives des points H et K,

a. Faire une figure en prenant 1 cm comme unité graphique.

b. Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.

c. Justifier, à l’aide des notions de module et d’argument d’un nombre complexe, que

zK = ( 2 %

2+2 )

ei π 4 zH =

( 2 %

2−2 )

ei π 4 .

Dans toute la suite, on considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe z &= 0 associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = −4 z

.

b. a. Déterminer et placer les points images de B et C par f .

b. On dit qu’un point est invariant par f s’il est confondu avec son image.

Déterminer les points invariants par f .

c. a. Montrer que pour tout point M distinct de O, on a :

OM ×OM ′ = 4.

b. Déterminer arg ( z ′ )

en fonction de arg(z).

d. Soient K′ et H′ les images respectives de K et H par f .

a. Calculer OK′ et OH′.

b. Démontrer que zK′ = ( 2 %

2−2 )

ei 3π 4 et zH′ =

( 2 %

2+2 )

ei 3π 4 .

c. Expliquer comment construire les points K′ et H′ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réa- liser la construction.

Exercices sur les complexes 53

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

48 Métropole La Réunion septembre 2008Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On réalisera une figure en prenant 2 cm comme unité graphique sur chaque axe.

On considère les points A, B et I d’affixes respectives zA = 1, zB = 5 et zI = 3+ i. On note (C ) le cercle de centre O et de rayon 1, (∆) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle (C ) en A.

À tout point M d’affixe z, différent de A, on associe le point M ′ d’affixe z

telle que :

z ′ = z −5 z −1

.

Le point M ′ est appelé l’image de M .

Partie A

a. Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point I′ image de I. Vérifier que I′ appartient à (C ).

b. a. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a : OM ′ = MB MA

.

b. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a :(−−→ OA ,

−−−→ OM

) = (−−→ MA ,

−−→ MB

) .

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Dans la suite de l’exercice, M désigne un point quelconque de (∆). On cherche à construire géométriquement son image M ′.

a. Démontrer que M ′ appartient à (C ).

b. On note (d) la droite symétrique de la droite (AM) par rapport à la tangente (T). (d) recoupe (C ) en N .

a. Justifier que les triangles AMB et AON sont isocèles.

Après avoir justifié que (−−→ AO ,

−−→ AN

) = (−−→ AM ,

−−→ AB

) démontrer que

(−−→ OA ,

−−→ ON

) = (−−→ MA ,

−−→ MB

) .

b. En déduire une construction de M ′.

Exercices sur les complexes 54

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

104 Nouvelle–Calédonie mars 2004 Retour au tableau Dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

on considère le quadrilatère ABCD tel que :

(−→ AB ,

−−→ AD

) =α [2π],

(−−→ CD ,

−−→ CB

) =β [2π], 0 <α<π, 0 <β<π.

On construit les triangles équilatéraux DCP, DAQ, BAM et BCN tels que :

(−−→ DC ,

−−→ DP

) =

π

3 [2π],

(−−→ DA ,

−−→ DQ

) =

π

3 [2π]

(−→ BA ,

−−→ BM

) =

π

3 [2π] et

(−−→ BC ,

−−→ BN

) =

π

3 [2π]

Soit a,b,c et d les affixes respectives des points A, B, C et D, m,n, p et q les affixes respectives des points M, N, P et Q.

a. Démontrer les relations suivantes :

m = ei π 3 (ab)+b, n = ei

π 3 (c b)+b,

p = ei π 3 (c d)+d , q = ei

π 3 (ad)+d .

b. En utilisant les relations précédentes :

a. Démontrer que MNPQ est un parallélogrammme.

b. Démontrer que l’on a :

(−−→ AC ,

−−→ QP

) =

π

3 [2π], AC = QP

(−−→ NP ,

−−→ BD

) =

π

3 [2π], et NP = BD.

c. Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si, les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD vérifient :

AC = BD et (−−→ AC ,

−−→ BD

) =

π

6 +

k est un entier relatif.

Exercices sur les complexes 111

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

103 La Réunion juin 2004 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

;

i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument π

2 .

Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, 1+ i et −1+ i. Soit f l’application qui, à tout point M du plan différent de A, d’affixe z, associe le point M ′ du plan d’affixe z ′ tel que :

z ′ = iz +2 z − i

.

a. a. Déterminer les images de B et de C par l’application f .

b. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation :

(z ′ − i)(z − i) = 1.

c. Soit D le point d’affixe 1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm).

Déduire de la question précédente une construction du point D′ image du point D par l’ application f .

b. Soit R un nombre réel strictement positif. Quelle est l’image par l’application f du cercle de centre A et de rayon R ?

c. a. Montrer que, si l’affixe du point M est un imaginaire pur dif- férent de i, alors l’affixe du point M ′ est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l’image par l’application f de l’axe ima- ginaire privé du point A ?

b. Soit D la droite passant par le point A et de vecteur directeur −→ u .

Déterminer l’ image de la droite D privée du point A par l’appli- cation f .

Exercices sur les complexes 110

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

49 Antilles-Guyane septembre 2008Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

a. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation díin- connue z :

z2 −2 %

3z +4= 0.

b. On considère les points A d’affixe zA = %

3− i, B d’affixe zB = %

3+ i et C le milieu de [OB] d’affixe zC.

a. Déterminer la forme exponentielle de zA, zB et zC.

b. Sur une figure, placer les points A, B et C, en prenant 2 cm pour unité.

c. Montrer que le triangle OAB est équilatéral.

c. Soit D l’image de C par la rotation r de centre O, d’angle − π

2 et E

l’image de D par la translation t de vecteur 2 −→ v .

a. Placer les points D et E sur une figure.

b. Montrer que l’affixe zE du point E vérifie : zE = 1 2

[ 1+ i

( 4−

% 3 )]

.

c. Montrer que OE = BE = √

5−2 %

3.

d. Montrer que les points A, C et E sont alignés. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’éva- luation.

Exercices sur les complexes 55

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

50 Polynésie juin 2008 Retour au tableau

a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation

z2 −6z +13= 0.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 1 cm. On considère les points A, B, C d’affixes res- pectives

a = 3−2i,b = 3+2i,c = 4i.

b. Faire une figure et placer les points A, B, C.

c. Montrer que OABC est un parallélogramme.

d. Déterminer l’affïxe du point Ω, centre du parallélogramme OABC.

e. Déterminer et tracer l’ensemble des points M du plan tels que∥∥∥ −−−→ MO +

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC

∥∥∥= 12.

f. Soit M un point de la droite (AB). On désigne par β la partie ima- ginaire de l’affixe du point M . On note N l’image du point M par la

rotation de centre Ω et d’angle π

2 .

a. Montrer que N a pour affixe 5 2 −β+

5 2

i.

b. Comment choisir β pour que N appartienne à la droite (BC) ?

Exercices sur les complexes 56

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

102 Polynésie juin 2004 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On prendra pour unité graphique 1 cm.

a. On désigne par A, B et I les points d’affixes respectives :

zA = 3+2i, zB =−3 et zI = 1−2i.

a. Faire une figure que l’on complètera au cours de l’exercice.

b. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z = zI − zA zI − zB

.

Que peut-on en déduire sur la nature du triangle IAB ?

c. Calculer l’affixe zC du point C image de I par l’homothétie de centre A et de rapport 2.

d. Soit D le barycentre du système {(A, 1) ; (B, −1) ; (C , 1)} ; calcu- ler l’affixe zD du point D.

e. Montrer que ABC D est un carré.

b. Déterminer et construire l’ensemble Γ1 des points M du plan tels que :

∥∥∥ −−→ MA −

−−→ MB +

−−−→ MC

∥∥∥= 1 2

∥∥∥ −−→ MA +

−−→ MC

∥∥∥ .

c. On considère l’ensemble Γ2 des points M du plan tels que

∥∥∥ −−→ MA −

−−→ MB +

−−→ MC

∥∥∥= 4 %

5.

a. Montrer que B appartient à Γ2.

b. Déterminer et construire l’ensemble Γ2.

Exercices sur les complexes 109

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

101 Liban juin 2004 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère

( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra pour

unité graphique 2 cm.

a. Résoudre dans C l’équation

(z −2i) ( z2 −2z +2

) = 0.

Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponen- tielle (justifier les réponses).

b. Soient A et B les points d’affixes respectives zA = 1+ i et zB = 2i. à tout complexe z différent de A on associe le complexe

z ′ = z −2i

z −1− i .

a. Soit (E ) l’ensemble des points M d’affixe z tels que z ′ soit ima- ginaire pur.

Montrer que B ∈ (E ). Déterminer et construire l’ensemble (E ).

b. Soit (F ) l’ensemble des points M d’affixe z tels que ∣∣z

∣∣= 1. Déterminer et construire (F ).

c. Soit R la rotation de centre Ω (

3 2

; 5 2

) et d’angle

π

2 .

a. Calculer l’affixe du point B ′, image de B par R et l’affixe du point

I ′, image par R du point I (

1 2

; 3 2

) .

b. Quelles sont les images de (E ) et (F ) par R ?

Exercices sur les complexes 108

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

51 Liban juin 2008 Retour au tableau Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

a. Soit z un nombre complexe d’argument π

3 .

Proposition 1 : « z100 est un nombre réel ».

b. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z différente de 1 du plan

telle que ∣∣∣

z

1− z

∣∣∣= 1.

Proposition 2 : « l’ensemble (E) est une droite parallèle à l’axe des réels ».

c. Soit r la rotation d’angle − π

2 et dont le centre K a pour affixe 1+ i

% 3.

Proposition 3 : « l’image du point O par la rotation r a pour affixe( 1−

% 3 ) + i

( 1+

% 3 )

».

d. On considère l’équation (E) suivante : z2 +2 cos (π

5

) z +1 = 0.

Proposition 4 : « l’équation (E) a deux solutions complexes de mo- dules égaux à 1 ».

E