Exercices de statistique-et économétrie, Exercices de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de statistique-et économétrie, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématiques sur les principes de statistique-et d'économétrie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Estimateurs et leur risques, exercices de 1 à 7.
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Master Statistique-Économétrie STATISTIQUE ET LOGICIEL

Université de Rennes I ANNÉE 09-10

T.D. 2. Estimateurs et leur risques

Exercice 1 Calculer l’information de Kullback-Leibler H(P1, P2) dans les cas suivants : 1. Pi est la loi exponentielle de paramètre λi > 0 ;

2. Pi est la loi de Bernoulli de paramètre 0 < pi < 1 ;

3. Pi est la loi de Poisson de paramètre λi > 0 ;

4. Pi est la loi gaussienne N(mi, σ2i ) de paramètres (mi, σ 2 i ) ∈ R×]0,∞[

(commencer par les cas m1 = m2 ; ou σ21 = σ 2 2).

Exercice 2 Soit X1, . . . , Xn un échantillon de loi uniforme sur [0, θ], avec θ > 0 inconnu. 1. Estimation par la méthode des moments :

(a) Donner un estimateur θ̃n par la méthode des moments qui converge p.s. vers θ quand n→∞.

(b) Calculer son risque pour les fonctions de perte suivantes :

L2(θ, T ) = (T − θ)2 , L4(θ, T ) = (T − θ)4.

(c) Pour tout n ≥ 1, majorer Pθ(|θ̃n − θ| ≥ 10−3) (proposer plusieurs majorations). On sait de plus que θ ∈]0, 5], minorer alors le nombre d’observations indépendantes pour que Pθ(|θ̃n − θ| ≥ 10−3) ≤ 10−2.

2. Etude de l’estimateur θ̂n du maximum de vraisemblance de θ :

(a) Exprimer θ̂n en fonction de l’échantillon.

(b) Donner la loi de θ̂n, son espérance et sa variance.

(c) Comparer l’estimateur θ̂n du maximum de vraisemblance à l’estimateur θ̃n précédent.

Exercice 3 Soit un échantillon X1, . . . , Xn. Pour chacun des modèles statistiques {P⊗nθ } suivants pour cet échantillon, comparer l’estimateur des moments et l’estimateur du maximum de vraisem- blance :

1. Θ =]0,∞[, Pθ est la loi de Poisson de paramètre θ ; 2. Θ = R, Pθ est la loi uniforme sur [θ − 1/2, θ + 1/2] ; 3. Θ =]0, 1[×R, θ = (p, a), Pθ est la loi de εZ où ε et Z sont deux v.a. indépendantes, Z ∼

N(a, 1) et Pθ(ε = 1) = p = 1− Pθ(ε = −1).

Exercice 4 Soit θ = (α, λ) ∈]0, 1[×]0,∞[. On considère la loi Pθ obtenue par un mélange de pondération α entre la masse de Dirac en 0 et la loi de Poisson de paramètre λ > 0. On observe un échantillon X1, . . . , Xn de loi Pθ.

1. Justifier que Pθ({0}) = α+ (1− α)e−λ et pour k ∈ N∗, Pθ({k}) = (1− α)e−λλk/k!.

2. Soit S = n∑ i=1

1IXi=0. Vérifier que la vraisemblance de l’échantillon s’écrit sous la forme

Lα,λ(X1, . . . , Xn) = c(n, α, λ)d(λ,X1, . . . , Xn) (

1 + α

1− α eλ )S

,

avec c et d des fonctions mesurables des arguments précisés.

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3. On suppose λ fixé et connu. Montrer que l’estimateur α̂ du maximum de vraisemblance de α est unique et ne dépend que de S, λ et n.

4. Préciser la loi de S. Calculer le biais éventuel de α̂.

Exercice 5 On suppose α > −1 connu et β > 0 inconnu. Soit X1, . . . , Xn un échantillon de la loi de densité (par rapport à Lebesgue sur R)

fα,β(x) = (α+ 1)xαβ−(α+1)1I[0,β](x).

1. Calculer l’estimateur β̃n des moments d’ordre 1.

2. Déterminer l’estimateur β̂n du maximum de vraisemblance et préciser sa densité.

3. Comparer le biais et le risque quadratique de β̃n et β̂n. Que conclure ?

Exercice 6 On considère un eobservation X du modèle formé des lois binomiales de B(m, θ) de paramètre θ ∈ [0, 1] avec m ∈ N∗ (connu) :

fθ(x) = ( m x

) θx(1− θ)m−x, 0 ≤ x ≤ m.

1. Montrer qu’une fonction g(θ) admet un estimateur sans biais si et seulement si g est un po- lynôme de degré ≤ m, et dans ce cas un tel estimateur est unique.

2. Soit g(θ) = θ2. Montrer que l’estimateur sans biais associé s’annule en x = 0 et x = 1. Quelle est sa valeur en x = 2 ?

Exercice 7 Soit X1, . . . , Xn un échantillon de loi N(m, 1), m est inconnu. On définit la fonction de perte

L(T,m) = (T −m)21I|T−m|≤a + a2−γ |T −m|γ1I|T−m|>a

où γ ∈]0, 1[ et a > 0. Le but de cet exercice est de montrer que X n’est pas un estimateur de risque minimal pour cette

fonction de perte. Soient m0 ∈ R et ε ∈]0, 1[. On introduit la variable aléatoire

Tε = m01IS2≤cε + ( X −m0

ε +m0

) 1IS2>cε

où cε est l’unique solution de l’équation en x : Pm0(S 2 > x) = ε et S2 =

1 n

n∑ i=1

(Xi −X)2.

1. Vérifier que Tε est un estimateur. Calculer son espérance sous Pm0 .

2. Calculer le risque R(Tε,m0) au point m0 et vérifier que lim ε→0

R(Tε,m0) = 0

3. Que peut-on en déduire ?

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