Exercices de statistique mathématique, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de statistique mathématique, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur la statistique mathématique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Estimateurs et leur comparaison, exercices de 1 à 5.
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Master de Mathématiques G11 : STATISTIQUE MATHÉMATIQUE

Université de Rennes I

T.D. 4. Estimateurs et leur comparaison

Sur cette feuille, on considère un modèle statistique {P⊗nθ } pour les observationsX = (X1, . . . , Xn), n ≥ 1. Il est dominé et on note {f(·, θ)} la famille des densités de {Pθ}.

Exercice 1 Donner une situation où un estimateur T estime g(θ) sans biais, tandis que T 2 est un estimateur biaisé de g2(θ).

Dans quelle situation T 2 sera-t-il aussi un estimateur sans biais de g2(θ) ?

Exercice 2 Pour chacun des modèles avec les fonctions de densité suivantes , déterminer l’E.M.V. de θ.

1. f(x, θ) = θcθx−(θ+1)1I{x≥c}, c > 0 une constante et θ > 0 (lois de Pareto). 2. f(x, θ) = (x/θ2) exp{−x2/(2θ2)}1I{x>0}, θ > 0 (lois de Rayleigh).

Exercice 3 On considére un modèle gaussien avec Pθ = N(m,σ2), θ = (m,σ2). 1. Déterminer l’estimateur des moments de θ à l’aide des deux premiers moments des lois.

2. Déterminer l’E.M.V. ?

3. Ces estimateurs sont-il biaisés ? Asymtotiquement sans biais ?

Exercice 4 On considère le modèle avec Pθ la loi uniforme sur [0, θ], le paramètre θ > 0 et n ≥ 2. 1. À l’aide du moment d’ordre 1, proposer un estimateur des moments θ̃ de θ.

Déterminer son risque quadratique R(θ, θ̃).

2. (a) Montrer que l’E.M.V. est θ̂ = max(X1, . . . , Xn).

(b) Montrer que sous Pθ, la loi de θ̂ a pour densité

h(x, θ) = 1 θn nxn−11I[0,θ](x).

(c) En déduire son risque quadratique. Le comparer à θ̃.

Exercice 5 On suppose n = 1 et considère le modèle des lois binomiales sur l’espace X = {0, . . . ,m},m ∈ N∗ et

f(x, θ) = ( m x

) θx(1− θ)m−x, x ∈ X ,

avec le paramètre θ ∈ [0, 1]. 1. Montrer qu’une fonction g(θ) admet un estimateur sans biais si et seulement si g est un po-

lynôme de degré ≤ m, et dans ce cas un tel estimateur est unique. 2. Soit g(θ) = θ2. Montrer que l’estimateur sans biais associé s’annule en x = 0 et x = 1.

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