Exercices de statistiques - 1 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 1 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 1 - 2° partie Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Etude d’une fonction, Exploitation pour l’étude du bénéfice, Tableau de variation.
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x 0 4 10 18 29 38 48 55

f(x) −368 640 720 160

Annexe n°3

-1000

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 10 20 30 40 50 60

x

y

6. Logistique, France, juin 2001

Partie A : 16 points. Etude d’un bénéfice

Une entreprise fabrique des boîtes de rangement.

q est un nombre entier de centaines de boîtes fabriqués et vendues en un mois.

On admet que le bénéfice net en centaines d’euros, B(q) est donné par :

B(q)= −q² + 94 q – 445

I – Etude d’une fonction

Soit la fonction f définie pour x appartenant à l’intervalle [10 ; 70] par :

  2 94 445f x x x    .

1. Soit f ’ la fonction dérivée de f. Calculer f ’(x).

2. Etudier le signe de f ’(x).

3. Compléter le tableau de variation de f dans la feuille annexe.

4. Dans le repère de la feuille annexe, on a donné la représentation graphique de f. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)  1 500 en laissant apparents les traits de construction nécessaires pour cette résolution.

II – Exploitation pour l’étude du bénéfice

1. En utilisant l’étude de la variation de la fonction précédente,

a. déterminer le nombre de centaines de boîtes qu’il faut vendre pour obtenir un bénéfice maximal.

b. Quel est, en centaines d’euros, le montant du bénéfice maximal ?

2. En utilisant la courbe représentative de la fonction précédente, déterminer graphiquement à quel intervalle doit appartenir le nombre de centaines de boîtes pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 1 500 euros.

Partie B : 4 points. Etude d’une prévision

L’entreprise a fabriqué et vendu 450 centaines de boîtes en 2000 ; elle envisage une augmentation de production de 5 % par an.

Les productions annuelles évoluent donc selon une suite géométrique.

1. Déterminer le premier terme de cette suite ainsi que sa raison.

2. Déterminer le nombre prévisionnel, arrondi à l’unité, de centaines de boîtes à fabriquer durant l’année 2006.

ANNEXE

Tableau de variation

x 10 70

Signe de f ’(x)

Variation de f

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

x

y

7. Transports exploitation, France, juin 2000

Exercice 1 (17 points)

Les questions 1, 2 et 3 peuvent être traitées de manière indépendante.

Le coût de revient journalier d’un véhicule tracteur avec semi-remorque de 40 tonnes se compose :

- d’un terme fixe : le coût par jour, en francs ;

- d’un terme variable : le coût au kilomètre, en francs.

On donne les informations suivantes :

Coût au km (en F) Coût par jour (en F)

Septembre 1998 2,43 2 246

Septembre 1999 2,50 2380

1. On se place dans le cas particulier où 600 km sont parcourus par jour en septembre 1998 comme en septembre 1999.

a. Calculer le coût de revient journalier en septembre 1998 puis en septembre 1999.

b. Calculer le coût de revient journalier par km en septembre 1998 puis en septembre 1999.

c. Calculer le pourcentage d’augmentation du coût de revient journalier par km entre septembre 1998 et septembre 1999 (arrondir au centième).

2. On considère le mois de septembre 1999 et on se place dans le cas général où le nombre de kilomètres parcourus par jour est noté n.

a. Donner l’expression du coût de revient journalier C1 en fonction de n.

b. Donner l’expression du coût de revient journalier par kilomètre C2 en fonction de n.

c. Une entreprise de transport souhaite limiter le coût de revient journalier par km à 7,50 F. Calculer la distance journalière minimale pour atteindre cet objectif.

3. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [300 ; 600] par :

  2 380

2,5f x x

  .

a. Déterminer f ’(x) où f ‘ est la dérivée de la focntion f.

b. En déduire le sens de variation de la fonction f.

c. Compléter le tableau figurant enannexe où les résultats seront arrondis au centième.

d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [300 ; 600] dans le repère de l’annexe.

4. Retrouver graphiquement le résultat de la question 2.c. en laissant apparents les traits permettant la lecture graphique.

Exercice 1 (3 points)

Un transporteur désire acheter un véhicule tracteur. Il fait un emprunt de 850 000 F remboursable en 6 ans, au taux mensuel de 0,5 % sous forme de mensualités constantes. Calculer le montant d’une mensualité (arrondir au franc).

ANNEXE (à rendre avec la coipe)

x 300 350 400 450 500 550 600

f(x) 9,3 6,47

6

6,25

6,5

6,75

7

7,25

7,5

7,75

8

8,25

8,5

8,75

9

9,25

9,5

9,75

10

10,25

10,5

10,75

11

300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650

x

y

8. Transport logistique, France, juin 1999

Détermination d’un bénéfice maximum

Une entreprise dispose d’une chaine de production qui produit jusqu’à 1000 objets. L’exercice a pour but de déterminer quelle est la quantité d’objets qu’il faut produire bpour, une fois vendus, assurer un bénéfice maximum à cette entreprise.

I. On appelle C le coût total de production, exprimé enkF, et n le nombre de centaines d’objets produits.

C et n sont liés par la relation 2 9C n  .

1. Compléter le tableau 1 de l’annexe 1.

2. On considère la fonction f définie pour tout x de l’intervalle [0 ; 10] par   2 9f x x  . Tracer la

courbe représentative (C) de la fonction f dans le repère de l’annexe 2.

II. Une centaine d’objets est vendue 10 kF. En supposant que tous les objets produits sont vendus, on appelle R la recette en kF et n le nombre de centaines d’objets vendus

1. Compléter le tableau 2 de l’annexe 1.

2. Vérifier que R = 10n.

3. On considère la fonction g définie pour tout x de l’intervalle [0 ; 10] par   10g x x . Tracer la courbe

représentative (D) de la fonction g dans le repère de l’annexe 2.

III. Pour n centaines d’objets vendus, le bénéfice B de l’entreprise, exprimé en kF, est égal à la différence entre la recette R, exprimée en kF, et le coût total de production C, exprimé en kF, de ces n centaines d’objets.

1. Ecrire une relation entre B et n.

2. On considère la fonction h définie pour tout x de l’intervalle [0 ; 10] par      h x g x f x  . Sur

l’annexe 2, en utilisant les courbes représentatives de f et g, tracer celle de h.

3. L’entreprise voulant faire des bénéfices, par une lecture graphique de l’annexe 2 :

a. proposer un intervalle possible où doit se trouver le nombre de centaines d’objets qu’il lui faut vendre ;

b. déterminer une estimation du nombre d’objets qu’il lui faut vendre pour que son bénéfice soit maximum.

4. Vérifier, que pour tout x de l’intervalle [0 ; 10],   2 10 9h x x x    .

a. On note h ‘ la fonction dérivée de la fonction h. Calculer  'h x .

b. Résoudre l’équation, d’inconnue x,  ' 0h x  . On note x0 la solution de cette équation. Calculer

 0h x .

c. Compléter le tableau 3 de l’annexe 1.

d. Indiquer ce que représente la valeur de  0h x pour la fonction h.

5. En utilisant les résultats obtenus à la question précédente, indiquer quel est le nombre d’objets qu’il faut produire pour, une fois vendus, assurer un bénéfice maximum à l’entreprise ; indiquer quel est ce bénéfice maximum (donner sa valeur arrondie au kF).

Annexe 1 (à rendre avec la copie)

Tableau 1

Nombre de centaines d’objets produits : n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Coût en kF : C

Tableau 2

Nombre de centaines d’objets vendus : n

0 2 3 5 8 10

Recette en kF : R

Tableau 3

x 0 5 10

Signe de h ’(x)

Variation de h

Annexe 2 (à rendre avec la copie)

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

y

9. Transport exploitation, France, juin 1999

Deux entreprises, Alsatrans et Nortrans, utilisent des méthodes différentes pour déterminer le nombre de commandes à passer dans l’année afin que le coût total destockage soit minimal, sans qu’il y ait rupture de stock. La possession d’un stock de marchandises entraîne des frais : le »coût de possession ». Chaque commande passée entraîne des frais : le « coût de passation ». Le coût total de stockage est la somme de ces deux coûts.

I. L’entreprise Alsatrans calcule le nombre d’articles à commander à chaque commande en utilisant la formule :

2a c Q

P t

 

où :

Q est le nombre d’articles à commander à chaque commande,

a est le coût de passation d’une commande,

c est le nombre d’articles commandés en 1 an,

P est la prix d’achat d’un article en francs,

t est le taux annuel de possession.

1. Calculer le nombre d’articles à commander à chaque commande dans les conditions suivantes :

a c P t

280 F 1 500 30 F 20 %

Donner le résultat à l’unité près par excès.

2. En déduire le nombre de commandes à passer dasn l’année.

II. 1. L’entreprise Nortrans assure pour le compte d’un client la gestion des stocks dans le cadre d’une prestation de transport élargie.

Le coût de possession du stock est donné par la formule :   8 000

g n n

 où n est le nombre de

commandes passé dans l’année. Le coût de passation est 320 F par commande.

Compléter le tableau 1 de l’annexe, la troisième colonne correspondant au cas général où la valeur de n n’est pas donnée.

2. Soit la fonction f définie sur l’intervalle [2 ; 10] par   8 000

320f x x x

 

a. Déterminer  'f x f ’ est la dérivée de la fonction f.

b. Montrer que  'f x peut s’écrire sous la forme    2

2

320 25 '

x f x

x

  .

c. Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel x, le signe de 2 25x  . En déduire le signe de  'f x

dans l’intervalle [2 ; 10].

d. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 10]. Les valeurs de  2f et  10f

sont à mettre dans ce tableau.

e. Compléter le tableau de valeurs de l’annexe.

f. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans le repère de l’annexe.

3. a. Déduire de l’étude précédente le nombre de commandes que l’entreprise Nortrans doit passer dans l’année afin d’obtenir un coût total de stockage minimum. Donner le montant de ce coût minimum.

b. Déterminer graphiquement les différents nombres de commandes à passer dans l’année pour lesquels le coût de stockage est inférieur à 3 600 F (laisser apparents les traits permettant la lecture graphique et donner le résultat à l’aide d’une phrase).

Annexe (à rendre avec la copie)

Question II.1. : tableau 1

Nombre de commandes dans l’année 2 10 n

Coût de possession (en F)

Coût de passation pour l’année (en F)

Coût total de stockage (en F)

Question II.2.e. : tableau 2

x 3 4 5 6 8

f(x) 3 627 3 253

Question II.2.f. : tableau 2

3000

3500

4000

4500

5000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

y

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