Exercices de statistiques - 11, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 11, Exercices de Probabilités et statistiques

PDF (347.9 KB)
10 pages
206Numéro de visites
Description
Exercices de statistiques - 11 - Probabilités. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Module et argument d’un produit, d’un quotient, Résolution dans des équations du second degré, Écriture complexe des transfo...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 10
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Les suites de Michel Mendès-France

Classe de Terminale S

Démonstrations à connaître Géométrie - Probabilités

Restitution organisée des connaissances

Pour chaque question nous rappelons la démonstration et nous essayons de proposer une mise en situation… Lorsqu’il n’y a pas de démonstartion demandée vous pouvez inventer une question…

1. Géométrie 1-a : Module et argument d’un produit, d’un quotient 1-b : Résolution dans des équations du second degré 1-c : Écriture complexe des transformations 1-d : Distance d’un point à un plan 1-e : Distance d’un point à une droite 1-f : Caractérisation barycentrique d’une droite, d’un plan, d’un segment, d’un triangle

2. Probabilités 2-a : Formule des probabilités totales (c)

2-b : Propriétés des n

p

     

(c) (triangle de Pascal et binôme de Newton).

1. Géométrie

1-a : Module et argument d’un produit, d’un quotient

Les démonstrations sont relativement simples, nous ne la ferons que pour le quotient, pour le produit

c’est pareil ; on rappelle que 2

z zz .

Soient deux complexes z et z’ et leur quotient '

z

z , le conjugué de

'

z

z est

'

z

z d’où

22

2' ' ' ' ' '

zz z z zz

z z z z z z

          

.

L’égalité des carrés donne bien sûr l’égalité des modules puisuqe ces derniers sont positifs.

Pour l’argument on a  , arg( ) (2 )u OM z  si z est l’affixe du point M et u le vecteur directeur de l’axe horizontal. Par ailleurs

         , ' , , ' , , ' arg( ) arg( ') (2 )OM OM OM u u OM u OM u OM z z         ;

cherchons maintenant

  '

( ' )' ' 'arg arg arg ' arg( ') arg( ) , ' (2 ) i

i

i

z r e r e z z OM OM

z rre

  

   

               

     .

Exercice

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v du plan. On rappelle que pour tout

vecteur w non nul, d’affixe z, on a : z w et  arg( ) ,z u w défini à 2k près.

Dans cet exercice, on prend comme prérequis le résultat suivant :

Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls alors arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) (à 2k près).

1. Soit z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, démontrer que arg arg( ) arg( ') 2 '

z z z k

z

     

  .

On note A et B les points d’affixes respectives 2i et –1. A tout nombre complexe z, distinct de 2i, on

associe le nombre complexe 1

2

z Z

z i

  

.

2. Donner une interprétation géométrique de l’argument de Z dans le cas où 1z   .

3. Déterminer et représenter graphiquement, en utilisant la question précédente, les ensembles de points suivants :

a. L’ensemble E des points M d’affixe z tels que Z soit un nombre réel négatif.

b. L’ensemble F des points M d’affixe z tels que Z soit un nombre imaginaire pur.

1-b : Résolution dans des équations du second degré

La résolution est identique à ce qui se passe dans : on a donc l’équation 2 0az bz c   où a, b et c

sont des réels. On calcule 2 4b ac   ; si  est positif c’est comme dans , sinon

2' ' 'i i         ; on a donc les solutions 1 ( )

2

b i z

a

    et 2

( )

2

b i z

a

    .

On remarque également que les deux racines sont conjuguées (ceci n’est valable que si a, b et c sont réels) .

Exercice 1

On considère dans l’équation du second degré 2 2(1 cos ) 2(1 cos ) 0z u z u     où u est un pramètre

réel appartenant à l’intervalle [0 ;  ].

1. Résoudre cette équation dans .

2. Déterminer le module et l’argument des solutions.

Exercice 2

Rechercher tous les couples 1 2( , )z z de nombres complexes satisfaisant aux conditions : 1 2

1 2

1

2

2 3

z z

z z

 

   

.

Donner la forme trigonométrique de chacun des nombres ainsi obtenus.

Exercice 3

1. Quelle est l’équation du second degré de la forme 2 0z az b   dont les solutions sont 1 iz re et

2 iz re  ?

2. Résoudre dans l’équation 2 2 cos 1 0Z Z    .

3. En déduire la résolution dans de l’équation 4 22 cos 1 0z z    . On donnera les solutions sous forme trigonométrique.

4. Les quatre solutions de l’équation précédente sont les affixes de quatre points du plan complexe. Pour quelle(s) valeur(s) de  ces quatre points sont ils les sommets d’un carré ?

5. Décomposer en produit de deux facteurs du second degré le polynôme 4 2( ) 2 cos 1P x x x    .

1-c : Écriture complexe des transformations

Les transformations concernées sont :

translation : M a pour image M’ dans la translation de vecteur u si ' ' 'MM u z z u z z u       ;

homothétie de centre ( ) de rapport k : ' ' ( ) 'M k M z k z z kz k              ;

rotation de centre ( ) , d’angle  :

  '

arg , ' '

' ( ) ' '' 1

i i i i

z

M M z z e z e z z e z e

zzM M

z

   

 

      



            

                

 

.

Comme vous êtes observateurs vous vous dites que homothétie et rotation ont une écriture quasiment

identique, du style ' ( )z a z    , sauf que a est réel pour l’homothétie et imaginaire de module 1 pour

la rotation. Que se passe-t-il pour un a complexe quelconque, eh bien on a la composée d’une

homothétie de rapport positif, k a , et d’une rotation d’angle arg( )a  . C’est une similitude directe

de centre  , de rapport k et d’angle  .

Exercice

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v du plan. On rappelle que pour tout

vecteur w non nul, d’affixe z, on a : z w et  arg( ) ,z u w défini à 2k près.

1. Soient M, N et P trois points du plan, d’affixes m, n et p tels que m n et n p .

a. Démontrer que  arg , p m

MN MP n m

   

  à 2k près.

b. Interpréter géométriquement p m

n m

 .

2. En déduire la traduction complexe d’une rotation de centre  d’affixe  et d’angle de mesure  ,  désignant un nombre réel.

3. Application : soient les points A d’affixe 1 et B d’affixe i. Déterminer les affixes des points C tels que ABC forme un triangle équilatéral.

Correction

1. a. Par définition on a  arg( ) ,p m u MP  et  arg( ) ,n m u MN  ; on a alors :

         , , , , , arg( ) arg( ) arg p m

MN MP u MP MN u u MP u MN p m n m n m

         

car arg arg arg a

a b b   .

b. p mp m MP

n m n m MN

  

  .

2. La rotation de centre  ( ) et d’angle  est telle que si M a pour image M’, on a

  '

, ' (2 ) arg (2 ) z

M M z

    

     

 et

' ' ' 1 1

M z M M

M z

        

  ;

le complexe 'z

z

 a pour argument  et pour module 1, il s’écrit donc

' iz e z



 

 d’où

 ' iz e z    .

3. Deux possibilités : rotation de centre A et d’angle 3

 ou rotation de centre A et d’angle

3

  qui

envoient B sur C :

   3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

i

c e i c i i i i i

      

                      

ou

   3 1 3 1 3 1 3 3 1 1 3

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

i

c e i c i i i i i

       

                      

.

1-d : Distance d’un point à un plan

n

H

A

Soit ( , , )A A AA x y z un point de l’espace, P le plan d’équation 0ax by cz d    et H le projeté orthogonal

de A sur P. Il faut donc calculer la distance AH.

Le vecteur

a

n b

c

         

est normal à P ; le vecteur AH est colinéaire à n , il existe donc t réel tel que AH tn .

Calculons le produit scalaire .AH n en posant que H a pour coordonnées (x, y, z) :

. ( ) ( ) ( )H A A A A A A A AAH n a x x b y y c z z ax by cz ax by cz d ax by cz                 ;

par ailleurs comme AH tn on a 2 2 2. . .AH n AH n AH a b c      . On a donc finalement

2 2 2

A A Aax by cz d AH

a b c

   

  (les valeurs absolues apparaissent pour assurer que AH est positif).

Remarque : la démonstration donnant la distance d’un point à une droite dans le plan est exactement la

même ; on obtient alors 2 2

A Aax by c AH

a b

  

 où la droite a pour équation ax + by +c =0.

Exercice

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k . Les points A, B et C ont pour coordonnées :

( 1 ; 2 ;1), (1 ; 6 ; 1), (2 ; 2 ; 2)A B C   .

1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés et que le vecteur

1

1

3

n

         

est normal au plan (ABC).

2. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (  ) orthogonale au plan (ABC) passant par le point D(0 ; 1 ; −1).

4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H avec le plan (ABC). Quelle est la distance de D au plan (ABC) ?.

5. Démonstration de cours : démontrez que la distance de D au plan (ABC) est

2 2 2

D D Dax by cz d d

a b c

   

  où 0ax by cz d    est une équation cartésienne de (ABC). Retrouvez ainsi

le résultat précédent.

6. Soit M un point quelconque de (DC) de paramètre t (soit DM tDC , t réel) ; vérifier que la distance

AM est minimale lorsque 5

14 t   . En déduire les coordonnées du point Q, projeté orthogonal de A sur

(DC).

1-e : Distance d’un point à une droite

H

M

(d)

n

A

K

On prend une droite (d) passant par A, de vecteur directeur n et un point M de l’espace. Soit (P) le plan

passant par A et orthogonal à n , on appelle K le projeté orthogonal de M sur (d) et H le projeté de M sur

(P) ; on a alors 2 2 2MK KH MH  avec Pythagore, mais comme AKMH est un rectangle, MA = HK. On

en déduit 2 2 2MK MA MH  : chacun de ces termes se calcule facilement et c’est donc fini…

Exercice

1. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j .

a. Soient u, v, w, x0, y0 des nombres réels tels que 2 2 0u v  . Etablir une formule donnant la distance

du point 0 0 0( , )M x y à la droite d’équation 0ux vy w   .

b. Soient a, b, c des réels strictement positifs, on considère les points ( , 0)A a et (0, )B b . Calculer la

distance du point O à la droite (AB).

2. Soient a, b, c des réels strictement positifs ; on considère les points ( , 0, 0)A a , (0, , 0)B b et (0, 0, )C c

dans un repère orthonormal ( ; , , )O i j k de l’espace.

a. Calculer la distance du point C à la droite (AB).

b. Montrer la relation

        2 2 2 2

Aire Aire Aire AireABC OAB OBC OCA   .

1-f : Caractérisation barycentrique d’une droite, d’un plan, d’un segment, d’un triangle

D’une manière générale le barycentre de deux points A et B affectés des coefficients  et  est tel que

0AG BG AG AB

   

    

. Comme on peut toujours diviser les coefficients par un même

nombre, on peut choisir 1   , ce qui donne AG AB , soit la définition de la colinéarité de AG et

AB . De 1   on tire 1   , soit

(1 ) 0AG BG   

où  est un réel quelconque. Ceci caractérise alors G comme un point quelconque de la droite (AB) lorsque  parcourt .

Particulièrement si 0 1 0 1 1 0 1           on voit avec AG AB que G parcourt le

segment [AB] ; si 0 1    , G parcourt la demi-droite « après » B et si 1 0    , G parcourt la

demi-droite « avant » A.

Dans un plan la situation est tout à fait semblable, mis à part qu’un plan est défini par trois points non

alignés A, B, C ; on considère alors le barycentre G de       , , , , ,A B C   en prenant tout de suite

1     . On a donc

   0 (1 ) 0 0AG BG CG AG BG CG AG BG GA CG GA                       ,

soit

AG AB AC  

avec  et  parcourant . G parcourt alors le plan dans son ensemble.

Le même raisonnement que précédemment nous permet alors de dire que lorsque  et  parcourent

l’intervalle [0 ; 1], G est à l’intérieur du triangle ABC (en fait dans ce cas les coordonnées de G dans le

repère  , ,A AB AC sont précisément  et  ). Les autres régions du plan pouvant être caractérisées de manière semblable.

Exercice 1

Voici un très joli exercice permettant de caractériser le point d’intersection des bissectrices d’un triangle comme barycentre des sommets du triangle.

On considère dans les complexes z1 et z2 de modules 1 et d’arguments  et .

1. Montrer que  

2

1 2

1 2

z z

z z

 est un réel positif ou nul.

2. A et B sont deux points du plan complexe d’affixes respectives a et b. Calculer en fonction de a et b

l’affixe z du barycentre G de  ( , ), ( ,A b B a .

3. Montrer que OG est un vecteur directeur de la bissectrice de l’angle des demi-droites de vecteurs

directeurs OA et OB .

4. On considère un triangle UVW et on note les longueurs des côtés UV w , VW u et WU v .

Montrer que le centre du cercle inscrit dans UVW est le barycentre de       , , , , ,U u V v W w .

Exercice 2

Voici un autre exercice dans le même style mais sans utiliser les complexes.

On considère un triangle isocèle ABC de côtés BC = 2a, AC = AB = 3a, a étant un réel strictement positif. On note A’ le milieu de [BC] et H l’orthocentre du triangle.

1. Soit  une mesure de l’angle BAC . Montrer que 7

cos 9

  .

2. Soit B’ le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). Calculer '

'

B A

B C . En déduire deux réels u et v tels

que B’ soit le barycentre du système  ( , ) ; ( , )A u C v .

3. En s’aidant de la deuxième question, déterminer trois réel a, b, c tels que H soit le barycentre du

système  ( , ) ; ( , ) ; ( , )A a B b C c .

Correction

C'

H B'

A

A' CB

BC = 2a, AC = AB = 3a

1. Un petit coup d’Al-Kashi donne immédiatement :

2 2 2 2 2 2 2 2

2

14 7 2 . .cos( ) 4 9 9 18 cos( ) cos( )

918

a BC AB AC AB AC BAC a a a a BAC BAC

a           .

2. Le calcul de '

'

B A

B C revient à celui de

'

'

B A

B C  puisque les vecteurs 'B A et 'B C sont de sens contraire.

Dans le triangle ABB’ on a ' 7 7

cos ' .3 9 3

AB AB a a

AB     ; comme ' 'AC AB B C  on a

7 2 ' 3

3 3 B C a a a   . On a donc

' 7 / 3 7

2 / 3 2'

B A a

aB C     .

Evidemment les valeurs algébriques ne sont que la traduction des vecteurs correspondants :

' 7 2 ' 7 ' 2 ' 7 ' 0

2'

B A B A B C B A B C

B C         et donc B’ est le barycentre du système  ( , 2) ;( , 7)A C .

3. Comme la figure est symétrique par rapport à (AA’) et que (AA’) est une hauteur, il faut que b = c :

dans ce cas on a H barycentre de  ( , ) ; ( , ) ; ( , )A a B b C b , soit celui de  ( , ) ; ( ', )A a A b c et H est sur

(AA’).

Par ailleurs H est sur (BB’), donc il faut regrouper  ( , ) ; ( , )A a C b en B’, il suffit donc de prendre

H = barycentre de  ( , 2) ;( , 7) ;( , 7)A B C .

2. Probabilités

2-a : Formule des probabilités totales (c)

Propriété et démonstration

On note ( )

( ) ( )

A

P A B P B

P A

  la probabilité de l’événement B sachant que A est réalisé. Soit E l’univers de

possibilités et une famille d’ensembles 1 2, , ..., nA A A formant une partition de E (la réunion de tous ces

ensembles est E et leurs intersections deux à deux est vide).

On a alors  1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nP B P B A B A B A       ; comme i jA A lorsque i est différent de j, on a

également ( ) ( )i jB A B A    . Par conséquent 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nP B P B A P B A P B A       .

Utilisons les probabilités conditionnelles : ( )

( ) ( ) ( ). ( ) ( )

i A i A ii i

i

P A B P B P A B P B P A

P A

     pour chaque i.

Il vient finalement 1 21 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )A A A nnP B P B P A P B P A P B P A    .

Exercice

Dans une classe de trente élèves sont formés un club photo et un club de théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois.

1. On interroge un élève de la classe pris au hasard. On appelle P l’événement : « l’élève fait partie du club photo » et T l’événement : « l’élève fait partie du club théâtre ». Montrer que les événements P et T sont indépendants.

2. Lors d’une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents. Un premier élève est tiré au sort. Il doit prendre la photo d’un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort.

a. On appelle T1 l’événement : « Le premier élève appartient au club théâtre ». Calculer 1( )P T .

b. On appelle T2 l’événement « L’élève pris en photo appartient au club théâtre ». Calculer 21 ( )TP T puis

21 ( )

T P T . En déduire 2 1( )P T T et 2 1( )P T T .

b. On appelle T0 l’événement : « L’élève pris en photo appartienne au club théâtre ».

c. Démonstration de cours : Démontrer que  2 2 1 2 11 1( ) ( ) ( ) ( )T TP T P T P T P T P T  . Calculer 2( )P T .

3. Toutes les semaines on recommence de façon indépendante la séance de photographie avec tirage au sort du photographe et du photographié. Le même élève peut être photographié plusieurs semaines de suite.

Calculer la probabilité qu’au bout de 4 semaines aucun membre du club théâtre n’ait été photographié.

Correction

Club photo : 10 membres, club théâtre : 6 membres. Deux élèves sont membres des deux clubs à la fois.

1. Avec des patates le résultat est immédiat.

P(P) = 10/30 = 1/3 et P(T) = 6/30 = 1/5.

On a alors 2 1

(P T) 30 15

P    et 1 1 1

(P) (T) 3 5 15

P P   

donc les événements sont indépendants.

Ceci est un pur hasard de calcul, si vous changez par exemple le nombre d’élèves dans la classe ça ne marche plus

2. a. 1 2 1

( ) 10 5

P T   .

b. 21 1

( ) 9

TP T  : il reste à tirer un membre du club théâtre parmi les neuf restants.

2 1

2 ( )

9T P T  : si 1T est réalisé le premier élève ne fait pas de théâtre, il reste deux choix parmi 9 restants.

2 1 2 11

1 1 1 ( ) ( ) ( )

9 5 45 TP T T P T P T     ; 2 1 2 1

1

2 4 8 ( ) ( ) ( )

9 5 45T P T T P T P T     .

b. Avec les probabilités totales, on a :

     2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 11 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T TP T P T T T T P T T P T T P T P T P T P T          .

Donc 2 1 8 9 1

( ) 45 45 45 5

P T     .

2 10−2 = 8

6−2 = 4

Le calcul aurait pu se faire directement avec un arbre.

3. Loi binomiale : 4n  , 2 4

1 ( ) 5

p P T   ; la probabilité cherchée est, en posant X = nombre de fois où

l’élève photographié n’appartient pas au club théâtre : 4

4 0

4

4 4 256 ( 4) (1 )

4 6255 P X p p

       

  .

2-b : Propriétés des n

p

     

(c) (triangle de Pascal et binôme de Newton).

Propriété et Exercice

1. Démonstration de cours. Démontrer que, pour tous entiers naturels n et k tels que 1 k n  , on a :

1 1

1

n n n

k k k

             

      .

2. En déduire que pour tous entiers naturels n et k tels que 2 1k n   , on a :

2 2 2 2

2 1

n n n n

k k k k

                   

         .

3. On considère deux entiers naturels n et k tels que 2 1k n   . On dispose d’une urne contenant n boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches.

On tire au hasard et simultanément k boules de l’urne. On appelle A l’évènement « au moins une boule rouge a été tirée ».

a. Exprimer en fonction de n et de k la probabilité de l’évènement A , contraire de A. En déduire la probabilité de A.

b. Exprimer d’une autre manière la probabilité de l’évènement A et montrer, à l’aide de la formule obtenue à la question 2, que l’on retrouve le même résultat.

Correction

1. Démonstration : il est plus simple d’utiliser ( 1)...( 1)

( 1)...2.1

n n n n k

k k k

      

  que

!

!( )!

n n

k k n k

   

  , la mise au

même dénominateur étant plus visible.

1 1 ( 1)...( 1 1 1) ( 1)...( 1 1) ...( 1)

1 ( 1)...2.1 ( 1)...2.1 ( 1)...2.1

n n n n n k n n k n n k

k k k k k k k k

                           

         ;

le dénominateur commun apparaît alors : k!

Il suffit donc de multiplier la première fraction par k en haut et en bas, ce qui donne

( 1)...( 1) ( 1)...( ) ...( 1)

! !

k n n k n n k n n k

k k

         .

On peut mettre ( 1)...( 1)n n k   en facteur du numérateur de la fraction de gauche :

( 1)...( 1) ( 1)...( 1)

! !

n n k k n k n n n k

k k

          

et c’est fini.

2. Réécrivons 1 1

1

n n n

k k k

             

      un rang plus bas pour n et pour k :

2 2 1

2 1 1

n n n

k k k

              

        ;

réécrivons 1 1

1

n n n

k k k

             

      un rang plus bas pour n mais pas pour k :

2 2 1

1

n n n

k k k

              

      ;

ajoutons les deux lignes : 2 2 2 1 1

2 2 1 1

n n n n n n

k k k k k k

                               

              .

3. Dans l’urne on a 2 boules rouges et n − 2 boules blanches ; il y a n

k

     

tirages simultanés possibles de

k boules de l’urne.

a. A = « au moins une boule rouge a été tirée » ; A = « aucune boule rouge n’a été tirée » = « les k boules

tirées sont blanches » : il y a 2n

k

     

manières de faire et

2

(A)

n

k P

n

k

            

.

On a donc

2 2

(A) 1

n n n

k k k P

n n

k k

            

        

           

.

b. A peut se produire si on tire 1 rouge et k − 1 blanches, nombre de manières : 2 2 2

2 1 1 1

n n

k k

            

       ,

ou 2 rouges et k − 2 blanches : nombre de manières : 2 2 2

2 2 2

n n

k k

            

       .

On a alors

2 2 2

1 2 (A)

n n

k k P

n

k

        

     

     

.

L’égalité entre les deux est alors l’égalité des numérateurs :

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

n n n n n n n n

k k k k k k k k

                                          

                   ,

soit l’égalité du 2.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome