Exercices de statistiques - 13, Exercices de Probabilités et statistiques
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Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 13, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 13 - arithmétique. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Théorème de la division euclidienne, Algorithme d’Euclide, Propriétés de la congruence, L’ensemble des nombres premiers est ...
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Les suites de Michel Mendès-France

Classe de Terminale S

Démonstrations à connaître Spécialité

Restitution organisée des connaissances

Pour chaque question nous rappelons la démonstration et nous essayons de proposer une mise en situation… Lorsqu’il n’y a pas de démonstartion demandée vous pouvez inventer une question…

1. Spécialité : arithmétique 1-a : Théorème de la division euclidienne 1-b : Algorithme d’Euclide 1-c : Propriétés de la congruence 1-d : L’ensemble des nombres premiers est infini 1-e : Décomposition en produits de facteurs premiers 1-f : Théorème de Bezout 1-g : Théorème de Gauss 1-h : Petit théorème de Fermat

2. Spécialité : géométrie 2-a : Caractérisation complexe d’une similitude 2-b : Propriétés des similitudes 2-c : Une similitude ayant deux points fixes distincts est soit l’identité, soit une symétrie axiale 2-d : Forme réduite d’une similitude directe 2-e : Propriété : « étant donnés quatre points A, B, A’, B’ tels que A  B et A’  B’, il existe une unique similitude directe transformant A en A’ et B en B’ ».

1. Spécialité : arithmétique

1-a : Théorème de la division euclidienne

Exercice

1-b : Algorithme d’Euclide

Exercice

1-c : Propriétés de la congruence

Exercice

On considère les dix caractères A, B, C, D, E, F, G, H, I et J auxquels on associe dans l’ordre les nombres entiers de 1 à 10. On note  = {1, 2, . . . , 10}.

Définition de la congruence modulo 11 : on rappelle que si a et b désignent deux entiers relatifs, on dit

que a est congru à b modulo 11, et on écrit [11]a b , si et seulement s’il existe un entier relatif k tel que

a = b + 11k.

1. a. Démonstration de cours.

Démontrer que si [11]a b et [11]c d alors [11]ac bd .

b. En déduire que si [11]a b , alors pour tout n entier naturel on a : [11]n na b .

2. On désigne par f la fonction définie sur  par « f(n) est le reste de la division euclidienne de 5n par 11 ».

On désire coder à l’aide de f le message « BACF ». Compléter la grille de chiffrement ci-dessous :

Lettre B A C F

n 2 1 3 6

f(n) 3

Lettre C

Peut-on déchiffrer le message codé sans ambiguïté ?

3. On désigne par g la fonction définie sur  par « g(n) est le reste de la division euclidienne de 2n par 11 ». Etablir, sur le modèle précédent, la grille de chiffrement de g. Permet-elle le déchiffrement sans ambiguïté de tout message codé à l’aide de g ?

4. Le but de cette question est de déterminer des conditions sur l’entier a compris entre 1 et 10 pour que la fonction h définie sur E par « h(n) est le reste de la division euclidienne de an par 11 » permette de chiffrer et déchiffrer correctement un message de 10 caractères.

Soit i un élément de  .

a. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que si, pour tout i , i < 10, ai n’est pas congru à 1 modulo 11, alors la fonction h permet le déchiffrement sans ambiguïté de tous messages.

b. Montrer que s’il existe i , i < 10, tel que 1[11]ia  , alors la fonction h ne permet pas de déchiffrer

un message avec certitude.

c. On suppose que i est le plus petit entier naturel tel que 1 10i  vérifiant 1[11]ia  .

En utilisant la division euclidienne de 10 par i, prouver que i est un diviseur de 10.

d. Quelle condition doit vérifier le nombre a pour permettre le chiffrage et le déchiffrage sans ambiguïté de tous messages à l’aide de la fonction h ? Faire la liste de ces nombres.

1-d : L’ensemble des nombres premiers est infini

Exercice

1. Démonstration de cours : démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.

2. Soit p un nombre premier strictement plus grand que 2. Démontrer que p est congru à 1 ou à –1 modulo 4. Donner deux exemples de chacun de ces cas.

Le but de ce qui suit est de répondre à la question suivante :

« Les nombres premiers p congrus à –1 modulo 4 sont-ils en nombre fini ? »

Supposons que ce soit le cas : soit n le nombre des nombres premiers congrus à –1 modulo 4, notons A = p1p2 … pn le produit de ces nombres et B = 4A – 1.

3. Montrer que B est congru à –1 modulo 4.

4. Soit q un diviseur premier de B. Montrer que q est distinct de chacun des nombres p1, p2, …, pn précédents.

Montrer que parmi les diviseurs premiers de B, l’un au moins est congru à –1 modulo 4.

5. Quelle réponse apporter à la question posée ?

1-e : Décomposition en produits de facteurs premiers

Exercice

1-f : Théorème de Bezout

Exercice

1-g : Théorème de Gauss

Exercice

1-h : Petit théorème de Fermat

Exercice

2. Spécialité : géométrie

2-a : Caractérisation complexe d’une similitude

Exercice

2-b : Propriétés des similitudes

Exercice

2-c : Une similitude ayant deux points fixes distincts est soit l’identité, soit une symétrie axiale

Exercice

2-d : Forme réduite d’une similitude directe

Exercice

2-e : Propriété : « étant donnés quatre points A, B, A’, B’ tels que A B et A’ B’, il existe une unique similitude directe transformant A en A’ et B en B’ ».

Exercice

On considère un triangle OA0B0 rectangle isocèle en O et tel que la distance A0B0 soit égale à 4 2 . On

précise de plus que l’angle  0 0,OA OB est un angle droit direct.

On définit alors pour tout entier naturel n les points An+1 et Bn+1 de la façon suivante :

An+1 est le milieu du segment [AnBn] ;

Bn+1 est le symétrique du point An+1 par rapport à la droite (OBn).

1. Représenter le triangle OA0B0, puis construire les points A1, B1, A2, B2, A3, B3.

2. a. Démonstration de cours. Démontrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A0 en A1 et B0 en B1.

b. Soit s cette similitude : préciser son angle et son rapport, puis vérifier que son centre est O. Démontrer que, pour tout entier naturel n, la similitude s transforme An en An+1 et Bn en Bn+1.

3. a. Démontrer que les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si les entiers n et p sont congrus modulo 4.

b. On désigne par  le point d’intersection des droites (A0B4) et (B0A4). Démontrer que le triangle A0B0 est isocèle en  .

c. Calculer la distance A0B4.

d. Démontrer que 0 44A B   .

e. En déduire l’aire du triangle 0 0A B .

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