Exercices de statistiques - 14 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 14 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 14 - 1° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: les nombres complexes, la courbe représentative.
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Terminale S Concours ECE, EFREI

1. Concours ECE 2004 1

2. Concours ECE 2005 5

3. Concours ECE 2006 9

4. Concours ECE 2007 13

5. Concours ECE 2008 17

6. Concours EFREI 2009 20

1. Concours ECE 2004

Durée 1 heure. Vrai ou Faux à chaque question, bonne réponse = +2, mauvaise réponse = −1, pas de réponse = 0. Calculatrice interdite.

Exercice 1

1.

2

2 lim

1

n

n

e

n  

 . 2.

 

sin lim

ln 1n

n

n  n’existe pas.

3.  3

2

2 1 lim 2

1

n

n

n n

n

  

 . 4. 2

1 lim 9 1 3

4n n n n

      .

Exercice 2

Soient z1 et z2 les deux nombres complexes solutions de l’équation 2 4 6 0z z   .

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal ( ; , )O u v , on considère les points M1 et M2 d’affixes

respectives z1 et z2 puis I le milieu du segment  1 2M M .

1. Le nombre 1 2z z est imaginaire pur. 2. L’affixe du point I est imaginaire pur.

3. Les droites (OM1) et (M1M2) sont perpendiculaires. 4. Le triangle OM1M2 est équilatéral.

Exercice 3

1. Si  n nu  est une suite géométrique de raison q alors  n nu  est une suite géométrique de raison q.

2. Si  n nu  est une suite bornée alors  n nu  est une suite convergente.

3. Si  n nu  est une suite bornée alors  1

n

n

n

u n

       

est une suite qui converge vers 0.

4. Si 1 1

2 2

n

nu  

     

, n  alors  n nu  est une suite qui converge vers 1

2 .

Exercice 4

Soit la fonction f définie sur par   2 3cos sinf    .

1. La fonction est paire.

2. La courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j est symétrique par rapport au

point O.

3. La fonction f est  - périodique.

4. 0

2 3 2 3

0

cos sin cos sind d

      

   .

Exercice 5

Dans un jeu de 32 cartes, on effectue des séries de 4 tirages successifs indépendants d’une carte avec remise. On relève après chaque tirage la couleur de la carte, on obtient une série de 4 éléments de

l’ensemble {,,,. On note par exemple P() la probabilité d’avoir la série « coeur, trèfle, pique, carreau».

1. P() > P().

2. La probabilité d’obtenir  sachant que la deuxième carte piochée est un trèfle est strictement

supérieure à P().

3. P()= 44

32

4

     

.

4. P()=P().P().P().

Exercice 6

Soient f et g deux fonctions continues sur l’intervalle  1 ; 1 .

1. Si     1 1

1 1

f x dx g x dx  

  alors pour tout réel x de  1 ; 1 ,    f x g x .

2. Si pour tout x de  1 ; 1 ,    f x g x alors     1 1

2 2

1 1

f x dx g x dx  

  .

3. Si pour tout x de  1 ; 1 ,    2f x g x alors     2

1 1

1 1

f x dx g x dx  

       

.

4. Si pour tout x de  1 ; 1 ,   0f x  alors     1 1

1 0

2f x dx f x dx

  .

Exercice 7

Soit T la transformation du plan complexe de repère orthonormal ( ; , )O u v qui au point M d’affixe z

associe le point M’ d’affixe z’.

1. Si ' 2z z i   alors T est une translation de vecteur 2u v .

2. Si ' 2z z i  alors T est une homothétie de centre A d’affixe i et de rapport 2.

3. Si  ' Imz z alors T est la projection orthogonale sur l’axe  ;O v .

4. Si ' 2z iz   alors T est la rotation de centre B d’affixe 1 − i et d’angle 2

  .

Exercice 8

Soit f la fonction définie sur  1  par   1

1

x f x

x

  

et C sa courbe représentative dans un repère

orthonormal.

1. La courbe de la fonction g1 définie sur  1  par  1 1

1

x g x

x

  

se déduit de C par symétrie par

rapport à l’axe des x.

2. La courbe de la fonction g2 définie sur  1  par  2 1

1

x g x

x

  

se déduit de C par symétrie par

rapport à l’axe des y.

3. La courbe de la fonction g3 définie sur  1  par  3 3

1

x g x

x

  

se déduit de C par symétrie par

translation de vecteur  0, 2u .

4. La courbe de la fonction g4 définie sur  12  par  4 1 2

1 2

x g x

x

  

se déduit de C par homothétie

de centre O et de rapport 2.

Exercice 9

1. 2

0

1 2 2

t dt

t

    

   . 2.

1

0

4

3 t t tdt  .

3.   2

1

5 3 1 ln 4ln 2

4 x xdx   . 4.

3

sin 23 2

0

cos 2 1tte dt e

         

 .

Exercice 10

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère la droite D d’intersection des

deux plans d’équations cartésiennes 2x z  et 0x y z   .

1. La droite D passe par la point (0, 1, 2).

2. La droite D a pour système paramétrique

1

2 ,

1

x k

y k k

z k

     

   

.

3. Le vecteur  1, 2, 1u   est un vecteur directeur de la droite D.

4. La droite D est orthogonale au plan d’équation cartésienne 2x y z   .

Exercice 11

Soit la fonction f définie sur par   1

ln 2

xe f x

      

de courbe représentative C dans un repère

orthonormal ( ; , )O i j .

1.   1

' 1 x

f x e

 

sur .

2.  

lim 1 x

f x

x  .

3. La droite d’équation 2y x  est asymptote à la courbe C.

4. La droite d’équation ln 2y   est asymptote à la courbe C.

Exercice 12

1. Le nombre complexe   10

1 i est imaginaire pur.

2. Le nombre complexe  

2

1 3

1

i

i

 est de module 1 et l’un de ses arguments est

7

3

 .

Soit A le point d’affixe 1 2i  et B le point d’affixe i du plan complexe de repère orthonormal ( ; , )O u v .

3. L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant   1 2 1 2 4z i z i     est le cercle de centre A et de rayon 4.

4. L’ensemble des points M d’affixe z tels que 1 2z i

z i

  

 est la droite (AB) privée du point B.

Exercice 13

1. Si  

 

2 4

2 4

4

3 3 3

x  alors 2

3 x  . 2. Si

2

3

3 ln 4ln 3

2 x

      

alors ln 8x  .

3. Si    1

2 ln 2 2lnx e e

       alors 4x  . 4. Si    ln 2 1 ln 1x x   alors 0x  .

Exercice 14

1. La fonction   2

3

1 1x x x x

x

   est la dérivée de la fonction

3 2

2

2 5 1x x x

x

  sur * .

2. La fonction   1

2 5

sin cos 2

x x x est la dérivée de la fonction   5

2cosx x sur .

3. La fonction 2 5

2 2 5

xe x

x

 est la dérivée de la fonction 2 5xx e  sur

5 ;

2

      

.

4. La fonction    2 2

2 1 ln 1

1

x x x x x

x x

   

  est la dérivée de la fonction  2ln 1x x x x  sur .

Exercice 15

Une urne contient sept boules rouges et trois boules blanches. Une épreuve consiste à tirer successivement quatre boules avec remise dans l’urne après chaque tirage. On considère la variable

aléatoire X qui associe à toute épreuve le nombre de boules rouges tirées.

1. Il y a 104 épreuves possibles.

2. L’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est  1, 2, 3, 4 .

3.   3

3 7 1

10 10 P X

     

  .

4.   3

3 7 3

10 10 P X

     

  .

2. Concours ECE 2005

Durée 1 heure. Vrai ou Faux à chaque question, bonne réponse = +2, mauvaise réponse = −1, pas de réponse = 0. Calculatrice interdite.

Exercice 1

Soit f la fonction définie sur {3} par 22 7 8

( ) 3

x x f x

x

  

 .

1. 3

lim ( ) x

f x

  .

2. Si 3x  , 2

( ) 2 1 3

f x x x

   

.

3. Les droites d’équations x = 3 et y = 2x − 1 sont asymptotes à la courbe représentative de f dans un

repère orthonormal ( ; , )O i j .

4. f est strictement croissante sur    ; 2 4 ;   .

Exercice 2

1. 3

3

cos lim

sin 2x

x x

x x x

 n’existe pas. 2.

sin

0

1 lim 1

x

x

e

x

  .

3. 1

1 lim

1x

x

x

  

 . 4.

  0

ln 1 4 lim 0

3x

x

x

  .

Exercice 3

On note n

p

     

le nombre de combinaisons de p éléments parmi n.

1.  

3

1

2 !3n

n

n

n

     

 .

2. L’ensemble des entiers solutions de l’équation 5 2

5 2

n n

n

       

    est {0 ; 1}.

3. Le nombre 20 ! est divisible par 192 .

4. Le coefficient de x18 dans le développement de   20

1x  est 190.

Exercice 4

Soit la fonction définie sur par  ( ) cos sinf x x .

1. La fonction f est impaire.

2. La courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j est symétrique par rapport au

point O.

3. La fonction f est  - périodique.

4. La courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j ne coupe jamais l’axe horizontal

(Ox).

Exercice 5

Dans le plan complexe de repère orthonormal ( ; , )O u v , soit z tel que z i et z i

Z z i

  

.

1. z i

Z z i

  

. 2. 1Z  .

3. Si z x iy  avec x et y réels,  

2 2

22

1 Re( )

1

x y Z

x y

  

  . 4.

2

2

1

1

z Z

z

 

 .

Exercice 6

1. 3

0

ln 2 3

dx

x

 . 2.  0 2 1 2 e dx

e x e

   .

3.  2

ln 2 ln

e dx

x x   . 4.  

 

 

1 2

0

ln 2 3 2

3 ln 2

xx dx

  .

Exercice 7

Soient les suites numériques  n nu  et  n nv  définies par : 0 11, 1, un

n n nu u u v e

    .

1. La suite  n nv  est géométrique.

2. La suite  n nv  est convergente.

3. Pour tout entier n, si 0 1 ...n nS v v v    , 1

lim 1

n n

S e  

.

4. La suite  n nw  définie par  lnn nw v est géométrique.

Exercice 8

1. Si  ; 2x  ,     102

ln 2 2 ln 2 5

x x   .

2. L’ensemble de définition de la fonction f définie par   ( ) ln lnf x x est  1 ;  .

3. L’ensemble des solutions de l’inéquation      ln 4 ln 1 2ln 2x x x     est  4 ; 8 .

4. La dérivée de la fonction f définie par  ( ) ln lnf x x sur  1 ;  est 1

'( ) 2 ln

f x x x

 .

Exercice 9

Soit X la variable aléatoire réelle dont la loi est donnée par le tableau suivant.

k 0 1 2 3 4

(X )p k 1

16

1

4

3

8

1

4

1

16

1.   11

1 X 4 16

p    .

2.  0 X 2 (X 3) 1p        .

3. X suit une loi binomiale de paramètres 4 et 1

2 .

4. L’espérance E(X) de la variable aléatoire X est E(X) = 4.

Exercice 10

Dans le plan complexe de repère orthonormal ( ; , )O u v , soit  le point d’affixe 2 − i et A le point

d’affixe i.

1. La rotation de centre  et d’angle 3

  est représentée par la transformation complexe T définie par

  1 3

( ) 2 2 2 2

T z i z i i           

.

2. L’image B du point A par la transformation T est d’affixe 1 3 3i  .

3. L’image C du point A par l’homothétie de centre  et de rapport 1

2 d’affixe 1.

4. Le triangle ABC est rectangle au point C.

Exercice 11

Soit A et B deux événements non impossibles et non certains d’un univers  . On note A l’événement

contraire de A et (A / B)p la probabilité que l’événement A soit réalisé sachant que B est réalisé.

1. Si A et B sont indépendants, alors A B et A B sont indépendants.

2. Si A et B sont indépendants et p(A) = 0,2 et p(B) = 0,6 alors  A B 0, 48p   .

3.  A B/A B 1p    .

4. Si p(A) = 0,2, p(B)=0,4 et (B/ A) 0,6p  alors p(B) = 0,56.

Exercice 12

1. 10 + 15 + 20 +…+ 95 + 100 = 1 045.

2. 3 + 9 + 27 +…+ 36 = 1 089.

3. Si 1

ln 1nu n

      

pour n , 2n  ,  2 3 ... lnnu u u n    .

4. Si 1

3 2

n n u   pour n , 0 1 2 3

1 ... 3 5

2 n n

u u u u u n         .

Exercice 13

1. L’ensemble des solutions réelles de l’équation 2 2

6 5x

x e

e

   est  2 ln 2 .

2.   33 1lim 2 0x

x x x e

    .

3. La dérivée de la fonction f définie par 2 1( ) xf x e  sur est

2 1

2 '( )

2 1

xxf x e x

 

.

4. Une primitive de la fonction 2

5 3

x

x

e x

e  sur est :  

2 ln 5 3

5

xx e  .

Exercice 14

Dans le plan complexe de repère orthonormal ( ; , )O u v , soit A, B, C et D quatre points distincts d’affixes

respectives zA, zB, zC, zD.

1. Les points A, B, C sont alignés si et seulement si il existe k tel que arg 2C A

B A

z z k

z z

   

  .

2. Le triangle ABC est isocèle en C (aplati éventuellement) si et seulement si 1C A

B A

z z

z z

 

 .

3. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (aplati éventuellement) si et seulement si

A C B Dz z z z   .

4. Si D est le barycentre du système pondéré       ;1 , ; 2 , ; 3A B C alors   1

2 3 2

D B A Cz z z z   .

Exercice 15

Soit f la fonction définie sur par  2sin

si 0( )

0 si 0

x xf x x

x

    



.

1. La fonction f est continue en 0.

2. La fonction f est dérivable en 0 et f’(0)=0.

3. Sur *, 2 2 2

2

2 cos( ) sin( ) '( )

x x x f x

x

  .

4. La fonction f’ est continue en 0.

3. Concours ECE 2006

Durée 1 heure. Vrai ou Faux à chaque question, bonne réponse = +2, mauvaise réponse = −1, pas de réponse = 0. Calculatrice interdite.

Exercice 1

1. 7 6

4 3

       

    .

2. 3 3 3 3 .

3.    cos 3 cos 1  .

4. 3 1

2 3 2

   .

Exercice 2

1. cos

lim 1 n

n n

n n

  

 .

2.   1

lim 1 cos 0 n

n n

    

  .

3.    2 2lim ln 1 ln 1 2 x

x x x 

      .

4. 0

cos 1 lim 0 x

x

x

  .

Exercice 3

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, d’affixes

respectives 1 − 2i, 1 + 2i. On définit sur {1 2 }i  la fonction f par   1 2

1 2

z i f z

z i

    

.

1. L’ensemble des points M d’affixes z tels que   1f z  est la médiatrice du segment [AB].

Si M est un point d’affixe z x iy  où  ;x y   et 1 2z i  :

2.       

2 2

22

2 3 Re

1 2

x x y f z

x y

   

   .

3.       

22

4 4 Im

1 2

x f z

x y

 

   .

4. L’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) est imaginaire pur est le cercle de centre D d’affixe 1 et de rayon 2.

Exercice 4

Soit une fonction f définie et dérivable sur de courbe représentative Cf dans un repère orthonormal

( ; , )O i j , telle que Cf admet une tangente horizontale au point d’abscisse x = 0. Alors :

1. f est paire. 2.  ' 0 0f  .

3.    ' 0 0f f . 4. La fonction f admet un maximum local en x = 0.

Exercice 5

L’ensemble des solutions de l’équation 22 9 5 0x x   est  1 ; 52  . On en déduit que l’ensemble des solutions réelles de l’équation :

1. 22 9 5 0x xe e   est  ln 2 . 2. 4 22 9 5 0x x   est 2

2

       

.

3.   2

2 ln 9ln 5 0x x   est 5 2

1 ; e

e

   

  . 4. 22sin 9sin 5 0x x   est  ,6 k k

   .

Exercice 6

Soient A et B deux événements non impossibles d’un même univers  . On note A l’événement

contraire de A et  B Ap la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé.

Si   1

A 4

p  ,   2

B 3

p  et   1

A B 6

p   alors :

1.  A 1

B 24

p  . 2.  B 1

A 9

p  .

3.      A B A A Bp p p    . 4.  B 3

A 4

p  .

Exercice 7

1. 2 1 2x   équivaut à 3 1

; ; 2 2

x               

. 2. 1 3x  équivaut à  ; 8x  .

3. 22 3x  équivaut à 5 ; 5x     . 4. 1x x  équivaut à 1

; 2

x        

.

Exercice 8

Soit   5 3P X X X a   un polynôme avec a .

1. Pour tout a , z est racine de P si et seulement si z est racine de P.

2. Pour tout a , z est racine de P si et seulement si −z est racine de P.

3. Pour tout a ,   0P z  si et seulement si   Im 0P z  et   Re 0P z  .

4.   0P i  si et seulement si 0a  .

Exercice 9

Dans le plan complexe de repère orthonormé direct ( ; , )O u v , soit A, B et C les points d’affixes

respectives 2 − i, 2 + 2i et 2. Soit E l’équation :  2 2 2 2z i i z i     .

1. Si l’affixe z du point M vérifie l’équation E alors M est sur la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point C.

2. Si l’affixe z du point M vérifie l’équation E alors :    arg 2 2 arg 2 2

z i z i

      .

3. Si l’affixe z du point M vérifie l’équation E alors : . 0AM BA  .

4. Si l’affixe z du point M vérifie l’équation E alors M est sur le cercle de diamètre le segment [AB].

Exercice 10

Toute fonction f définie sur de courbe représentative Cf dans un repère orthonormal ( ; , )O i j est telle

que :

1. Si Cf admet une asymptote horizontale d’équation y = 2 en  alors l’équation   2f x  n’a pas de

solution sur .

2. Si Cf admet une asymptote horizontale d’équation y = 2 en  alors  lim 2 x

f x 

 .

3. Si  lim x

f x 

  alors Cf n’admet pas d’asymptote en  .

4. Si Cf admet une asymptote oblique d’équation 2 3y x   en  alors  

lim 2 x

f x

x   .

Exercice 11

1. La fonction   2

ln 2 3

x x x x  est une primitive de la fonction 1

3 2

x x x  

sur  0 ;  .

2. Les fonctions f solutions dans de l’équation différentielle ' 3 xy y e   sont définies sur par

  3 3

x x ef x ke

   où k .

3.   3

3

2

3 1x dx  .

4.   2

cos 1 2

x x dx

    .

Exercice 12

Soit E l’équation 4 1 2z i  . Si , ,z a ib a b    , alors :

1. Le système 4 2 2 4

3 3

6 1

4 4 2

a a b b

a b ab

    

 

est équivalent à E. 2.   2

2 2 1 2a b i   .

3. 4 2 2 42 5a a b b   . 4. 2 2 4a b  .

Exercice 13

Soit  n nu  la suite définie par 1 2n nu u    avec 5 2u  .

1. Le premier terme de la suite est 0 12u  .

2. La suite  n nu  est convergente.

Soit  n nv  la suite définie par un

nv e .

3. La suite  n nv  est une suite arithmétique de raison 2e .

4. La suite  n nv  est convergente.

Exercice 14

Toute fonction f définie sur de courbe représentative Cf dans un repère orthonormal ( ; , )O i j est telle

que :

1. Si    2 0f x f x   pour tout x de alors la droite d’équation 1x  est un axe de symétrie de la

courbe Cf.

2. Si    2 2f x f x   pour tout x de alors le point de coordonnées (1 ; 1) est un centre de symétrie

de la courbe Cf.

3. Si   3

1 1

1 f x

xx    

pour tout x de  0 ;  alors  lim 0 x

f x 

 .

4. Si  3 1x f x  pour tout x de  ; 0 alors  lim x

f x 

  .

Exercice 15

Une urne contient cinq boules blanches, deux boules noires et trois boules rouges. On extrait simultanément deux boules de l’urne (on suppose les tirages équiprobables). On considère le jeu suivant :

* le tirage d’une boule noire rapporte 7 points ;

* le tirage d’une boule rouge rapporte 2 points ;

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