Exercices de statistiques - 14 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 14 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 14 - 2° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: L’ensemble des valeurs, La suite de terme général.
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* le tirage d’une boule blanche enlève 2 points.

On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout tirage de deux boules, associe le nombre de points marqués.

1. 45 tirages de deux de ces boules sont possibles.

2. L’ensemble des valeurs prises par X est : {−4 ; 0 ; 4 ; 5 ; 9 ; 14}.

3.   2

14 45

p X   .

4.   1

0 3

p X   .

4. Concours ECE 2007

Durée 1 heure. Vrai ou Faux à chaque question, bonne réponse = +2, mauvaise réponse = −1, pas de réponse = 0. Calculatrice interdite.

Exercice 1

1. 2 3 1

1 tan 34

cos 4

    

      

. 2. 777

cos 0 6

   

  .

3.     22 1 1 ,x x x x x     . 4.  

3 2 3 0,x x x    .

Exercice 2

1. La limite de la suite de terme général   2

2

1 2 1

1

n

n

n n u

n

   

 n’existe pas.

2. La limite de la suite de terme général  21 sin lnnu n n n   n’existe pas.

3. La suite de terme général 3

2 2

n

n n

e n u

e n

 

 converge vers 1.

4. La suite de terme général 2 2

3 3

n n

nu              

converge vers 0.

Exercice 3

Un tour opérator propose un circuit italien composé uniquement de deux étapes. Pour la première étape le voyageur a le choix de séjourner à Florence ou Milan, pour la seconde étape le voyageur a le choix de visiter Rome ou Venise. 60 % de la clientèle ayant réservé ce circuit a choisi comme première étape la ville de Florence. 40 % des clients ayant choisi pour première étape Florence continuent leur circuit avec la ville de Rome. 30 % des clients ayant choisi pour première étape Milan continuent leur circuit avec la ville de Venise.

1. La probabilité qu’un client ayant réservé ce circuit se rende à Florence et à Venise est de 0,4.

2. La probabilité qu’un client ayant réservé ce circuit se rende à Rome est de 0,52.

3. La probabilité qu’un client ait été à Milan sachant qu’il visite Venise est de 0,25.

4. La probabilité qu’un client ait été à Florence sachant qu’il visite Rome est de 0,54 à 10−2 près.

Exercice 4

Soit la fonction f définie sur  1, 1  par   2

1 2 1

1 f x x

x    

de courbe représentative fC dans un

repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Sur  1, 1  ,    

2 2

2 ' 2

1

f x

x

  

.

2. La fonction f est décroissante sur  1, 1  .

3. L’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 0x  est 2y  .

4. Cf admet une asymptote oblique d’équation 2 1y x  .

Exercice 5

1.   1 1

1 2 3 5

i i

i

  

 .

2.     5

1 4 1i i   .

Soit la fonction f définie sur par    f z z z z  .

3.    1 2 1f i i  

Dans le plan complexe, soit M et M’ les points d’affixes respectives z et  f z .

4. Pour tout point M, les vecteurs OM et 'OM sont orthogonaux.

Exercice 6

Dans 2 , le système d’équations 4 25

3 2 4

x y

x y

      

a pour solution  1 ; 9 .

1. Dans 2 , le système d’équations 4 4

4 4

4 25

3 2 4

x y

x y

    

  

a pour solution  1 ; 3 .

2. Dans 2 , le système d’équations

1 4 25

3 2 4

x y

x y

e e

e e

   

     

a pour solution  0 ; 2ln 3 .

3. Dans 2 , le système d’équations 2

2

cos 4 25

3cos 2 4

x y

x y

    

  

a pour ensemble de solutions

  2 ; 3 ,S k k  .

4. Dans 2 , le système d’équations  

 

ln 4ln 1 25

3ln 2ln 1 4

x y

x y

     

   

a pour solution  9; 1e e  .

Exercice 7

1. 2

23

2 3 4 lim

52 7 3x

x x

x x

  

  . 2.

  8

1 ln lim

xx

x

e

   .

3.  

0

cos 2 1 lim 2

sinx

x

x x

  . 4. 2lim 2 0

x x x x

     .

Exercice 8

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( ; , )O u v .

1. Le module et un argument du nombre complexe 3 i sont respectivement 2 et 3

 .

2. Si la fonction f est la rotation de centre O et d’angle 4

 alors      13 3 1 3 1

2 f i i     

  .

Pour tous points A, B distincts et différents de O, d’images respectives C et D par f.

3. Les vecteurs AC et BD sont colinéaires.

4. AC BD .

Exercice 9

Une porte est munie d’un clavier portant les touches 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C. La porte ne s’ouvre que lorsqu’on frappe dans l’ordre 4 chiffres et 2 lettres qui forment un code. Un signal se déclenche lorsqu’aucun des 4 chiffres tapés ne fait partie du code.

Une personne ignorant le code mais sachant que celui-ci comporte 4 chiffres suivis de 2 lettres tente d’ouvrir la porte.

1. Le nombre de codes possibles est 4 29 3 .

2. Le nombre de codes possibles ne contenant que des chiffres impairs est 4 25 3 .

3. La probabilité pour que la personne déclenche l’alarme au premier essai est de 4 2

11

9 3 .

4. Cette personne effectue 4 essais successifs et indépendants les uns des autres, la probabilité pour

qu’elle déclenche l’alarme au cours du quatrième essai est de

3

4 2 4 2

11 11 1

9 3 9 3

   

  .

Exercice 10

Soit f la fonction définie sur par    2 1xf x e x x   de courbe représentative Cf dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Sur ,    2' 3 2xf x e x x   .

2. La fonction f admet un minimum local en 1x   .

3. La courbe Cf admet une tangente horizontale au point d’abscisse 2x   .

4. Cf admet une asymptote horizontale d’équation 0y  .

Exercice 11

1.  

2

3 0

1 3

82 dx

x

  . 2.

1

0

2xe dx e .

3. 1

0

cos sinx xe e dx e . 4.   1

1

cos 2x x dx 

  .

Exercice 12

Soit f la fonction définie sur par     3 4f x x x   et g la fonction définie sur  1  par

  1

1 g x

x  

.

1. Aux points où la fonction g f est définie,   2

1

11 g f x

x x

  .

2. Aux points où la fonction g f est dérivable      

2 2

2 1 '

11

x g f x

x x

 

 

.

3. Aux points où la fonction g g est définie   2

1

x g g x

x

  

.

4. Sur  1  ,      

2

1 '

1 g g x

x  

 .

Exercice 13

1. 2xy Ce , C est solution générale réelle de l’équation différentielle ' 2 0y y  .

2. 2

1 2

x y   est solution de l’équation différentielle 2' 2 2y y x x    .

3. 2

21 10 2

xxy e   est solution de l’équation différentielle 2' 2 2y y x x    .

4.   1

sin 2 cos2 4

y x x  est solution de l’équation différentielle ' 2 sin 2y y x  .

Exercice 14

On considère dans le plan un triangle ABC (les points A, B et C sont non alignés). Soit G le barycentre du

système pondéré       ; 1 , ; 1 , ; 1A B C , R le barycentre du système pondéré     ;1 , ;1A B , S le

barycentre du système pondéré       ;1 , ;1 , ;1G B C .

1. Le point G est le barycentre du système pondéré     ;1 , ;1R C .

2. Les points A, G et S sont alignés.

3. S est le centre de gravité du triangle GBC.

4.   1

3 AS AB AC  .

Exercice 15

Un sac contient vingt jetons indiscernables au toucher, 8 de ces jetons sont marqués d’un signe ◊. On extrait simultanément cinq jetons du sac. On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout tirage de cinq jetons,associe le nombre de jetons marqués d’un signe ◊.

1. L’ensemble des valeurs prises par la variable X est {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}.

2.  

8 12

32 X 2

20

5

P

          

       

.

On remet les jetons pris dans le sac et on effectue cinq tirages successivement en remplaçant dans le sac le jeton tiré après chaque nouveau tirage. On désigne par Y la variable aléatoire qui, à tout tirage de cinq jetons associe le nombre de jetons marqués d’un signe ◊.

3.   2 3

5 2 3 Y 2

2 3 5 P

           

     .

4. Y suit une loi binomiale de paramètres 5 et 2

5 .

5. Concours ECE 2008

Durée 1 heure. Vrai ou Faux à chaque question, bonne réponse = +2, mauvaise réponse = −1, pas de réponse = 0. Calculatrice interdite.

Exercice 1

Soit les nombres complexes 1 3

2

i A    et 1B i  .

1. Un argument de A est 2

3

 . 2. Le module du nombre

A

B est 2 .

3. 21 0A A   . 4. Le nombre 3 2A B est un nombre réel.

Exercice 2

1. La suite de terme général 2

2 1

1 n

n n u

n

 

 converge vers 1.

2. La limite de la suite de terme général sinnu n

   

    

n’existe pas.

3. 2. La limite de la suite de terme général 3 2

cos n n

n u

e n

 n’existe pas.

4. 2. La suite de terme général 3 1 2 1nu n n    converge vers 0.

Exercice 3

1. L’ensemble de définition de la fonction    ln 1 3x x x  est  1 ;  .

2. L’ensemble de définition de la fonction 2 xx e est  ; ln 2 .

3. L’ensemble de définition de la fonction   cos

sin x

x x est .

4. L’ensemble de définition de la fonction sin

sin 2

x x

x  est .

Exercice 4

Soit la fonction f définie sur  par   3 26 9f x x x x   .

1.     ' 3 1 3f x x x   . 2. La fonction f est décroissante sur  1 ; 3 .

3. La courbe C représentative de f est 4. La courbe C représentative de f est

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1 0 1 2 3 4

x

y

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1 0 1 2 3 4

x

y

Exercice 5

Une urne contient sept boules rouges et trois boules blanches. Une épreuve consiste à tirer de manière indépendante, successivement quatre boules avec remise dans l’urne après chaque tirage. On considère la variable aléatoire X qui associe à toute épreuve le nombre de boules rouges tirées.

1. Il y a 104 épreuves possibles. 2. L’ensembles des valeurs prises par X est {0, 1, 2, 3, 4}.

3.   3

4 3 7 1

1 10 10 p X

       

   . 4.  

4 4

4

10 7 4

10 p X

   .

Exercice 6

Dans un repère orthonormal ( ; , )O i j , soit  2 ; 1A et  0 ; 2B et soit D la droite d’équation

cartésienne 1x y  .

1. La droite parallèle à D au point B a pour équation cartésienne 2x y  .

2. La droite perpendiculaire à D au point A a pour équation cartésienne 3x y  .

3. La médiatrice du segment  AB a pour équation cartésienne 1

2 2

x y   .

4. Le cercle de diamètre  AB a pour équation cartésienne 2 2 2 3 2x y x y     .

Exercice 7

1. 2

22

4 4 lim

56x

x

x x

 

  . 2.

2

20

tan lim 1 x

x

x  .

3. La limite en  de la fonction  

2

cos

1

x x

x  n’existe pas. 4. lim 1 1

x x

     .

Exercice 8

Toute suite   *n n

u

telle que 2

2 1 1nu

nn    pour tout *n est :

1. croissante ; 2. bornée ; 3. convergente ; 4. divergente.

Exercice 9

Dans le plan complexe de repère orthonormé direct ( ; , )O u v , soit T l’application définie sur  par

  1 3

2

i T z z

  et soit A, B, C, D les points d’affixes respectives :

     1 , 1 , 1 , 1i T i T T i T T T i    .

1. Le point B est d’affixe  2 1 i . 2. Le point D est d’affixe 2 .

3. Le triangle ABC est isocèle 4. Les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

Exercice 10

Soit la fonction f définie sur  3  de courbe représentative C :

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

1. La courbe ci-dessous est celle de  x f x . 2. La courbe ci-dessous est celle de  1x f x  .

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

3. La courbe ci-dessous est celle de  1x f x . 4. La courbe ci-dessous est celle de  x f x .

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

Exercice 11

1. 2

2

2

20 2 3

3 x x dx

   . 2. 1

2 0

2 1

2 1 dx

x x

 

3.   0

1

1 2xx e dx e

   . 4.   4

1

2 1 xe

dx e e x

  .

Exercice 12

Dans une population adulte d'une ville, il y a 55 % d'inactifs ; 80 % des actifs sortent le dimanche et 20 % le samedi ; 90 % des inactifs sortent le samedi et 20 % le dimanche.

1. 47 % des adultes de cette ville sortent le dimanche.

2. 48,5 % des adultes de cette ville sortent le samedi.

Un habitant est choisi au hasard. On constate qu'il sort le samedi.

3. La probabilité pour qu'il soit inactif est d'environ 0,85.

4. La probabilité pour qu'il soit actif est d'environ 0,80.

Exercice 13

1. 2

0

2 sin cos

3 x xdx

 . 2.     2

0

2 sin cos ,

3 x n x n dx n

      .

3. 2 4

sin cos 3

x xdx

  . 4.    

2

0

sin 2 cos 2 0x x dx

 .

Exercice 14

On admet que, dans une famille, pour toute naissance d'un enfant, la probabilité d'avoir un garçon est la même que celle d'avoir une fille et que, lors de deux naissances séparées, les sexes des enfants sont indépendants. Pour une famille de deux enfants :

1. La probabilité pour que les enfants soient deux garçons est 1

2 .

2. La probabilité pour qu'il y ait au moins une fille est 3

4 .

3. La probabilité pour que les enfants soient de même sexe est 1

2 .

4. La probabilité pour que les enfants soient de sexes différents est 1

2 .

Exercice 15

Soit X la variable aléatoire réelle dont la loi est donnée par le tableau suivant :

k 0 1 2 3 4

 p X k 1 16

1

4

3

8

1

4

1

16

1.   11

1 4 16

p X   2.     2 2 3 1p X X     

3.   15

4 16

p X   4.  E 2X  .

6. Concours EFREI 2009

Durée 25 minutes. Vrai ou Faux à chaque question, bonne réponse = +1, mauvaise réponse = −1, pas de réponse = 0. Calculatrice interdite. Chosir 10 exercices.

Exercice 1

L’équation 2ln x x x  possède

a. 1 solution ; b. 2 solutions ; c. 3 solutions.

Exercice 2

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I. on note A le point de la courbe de f d’abscisse a et Cf la courbe de f.

a. Le nombre dérivé de f en a existe si Cf possède une tangente en A.

b. Si Cf admet en A une tangente, alors f est dérivable en a.

c. Pour que f soit dérivable en a, il faut que Cf admette en A une tangente.

Exercice 3

La suite  nu tend vers  . Alors :

a.  nu est croissante. b.  nu est positive. c. La suite

1 ln 1n

n

u u

   

 

converge.

Exercice 4

Soit la suite  nu définie par 0u a , où a désigne un réel non nul et, pour tout entier n par

1

1 n n

n

u u u

   . Alors :

a. La suite  nu n’est pas bornée. b. La suite  nu converge. c. Pour tout a,  nu est croissante.

Exercice 5

  3 3

1

3

4 ln 3

e

x x dx 

a. 4 31

81

e e  b. 3 1e  c.

4 31

27

e e 

Exercice 6

   ln 20 000 4 ln 5 ln 2  est égal à :

a. –ln(1/2). b. ln(20 000/40). c. 0.

Exercice 7

0

sin 7 lim

tanx

x

x 

a. 0. b.  . c. 7.

Exercice 8

Soit f une fonction définie et dérivable sur  1 ;  vérifiant   2

2 '

1

x f x

x

 et  2 ln 3f  . Alors :

a.   2

3

ln 3 6 1

3

x f x

x x

  

. b.  2ln 1x  . c.    ln 1 ln 1x x   .

Exercice 9

L’ensemble des points M d’affixe z tels que z z z  est :

a. L’union de deux droites passant par O.

b. L’union de deux demi-droites d’origine O.

c. Un cercle passant par O.

Exercice 10

Soit la fonction f définie par    

ln 1

ln 1

x f x

x

 

 . Son ensemble de définition est :

a. . b.  0 ;  . c.    1 ; 2 2 ;  .

Exercice 11

La forme exponentielle du nombre complexe 2 2

3

i

i

 est :

a. 122 i

e

 

. b.

5

122 i

e

 

. c.

5

122 i

e

.

Exercice 12

Soit la fonction f définie sur  par    2 2ln 2x xf x e e   . Alors, pour tout réel x,  f x est égal à :

a.  22ln 1 2xe x  . b.  24 ln 2 xx e . c. 2.

Exercice 13

Pour tout réel x,  cos 3 3cosx x 

a. 0. b.    3 3cos sinx x . c.  34cos x .

Exercice 14

L’ensemble des points M d’affixe z tels que arg 2 , 3 2

z i k k

z

 

     

  est :

a. Un demi-cercle de diamètre [AB] privé des points A et BA a pour affixe i et B a pour affixe 3.

b. La médiatrice du segment [AB] où A a pour affixe i et B a pour affixe 3.

c. Le cercle de diamètre [AB] où A a pour affixe i et B a pour affixe 3.

Exercice 15

Huit judokas dont deux Français participent à un tournoi international. Un podium est constitué d’un premier, un second et un troisième.

a. Le nombre de podiums possibles est 512.

b. Le nombre de podiums possibles avec deux judokas français est 6.

c. Le nombre de podiums possibles sans judoka français est 120.

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