Exercices de statistiques - 15 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 15 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

PDF (308.7 KB)
11 pages
154Numéro de visites
Description
Exercices de statistiques - 15 - 1° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la fonction définie, l'équation, le volume, le volume maximum.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 11
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Terminale S Concours EPF

1. Concours EPF 1999 1 2. Concours EPF 2000 3 3. Concours EPF 2002 5 4. Concours EPF 2003 7 5. Concours EPF 2004 9

6. Concours EPF 2005 11 7. Concours EPF 2006 14 8. Concours EPF 2007 16 9. Concours EPF 2008 18 10. Concours EPF 2009 20

1. Concours EPF 1999

Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés :

- les numéros 1 et 2 sont obligatoires,

- il suffit de choisir deux autres exercices parmi les numéros 3, 4 et 5.

Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

Exercice 1

On considère les intégrales :

1

20 2

dx I

x

  ,

21

20 2

x J dx

x

  et

1 2

0

2K x dx 

1. a. Calculer la dérivée de la fonction numérique f définie sur [0 ; + [ par: 2( ) ln( 2)f x x x  

b. En déduire la valeur de I.

2. a. Démontrer que 2I + J = K.

b. Démontrer que 3K J  . (On pourra intégrer K par parties).

c. En déduire les valeurs de J et K.

Exercice 2

Partie A Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par 1

( ) 4 ln 4

f x x x   . On ne demande pas sa courbe

représentative.

1. Étudier les variations de f et préciser les limites de f en 0 et en  .

2. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution  dont on donnera un encadrement par deux entiers consécutifs.

3. En déduire le signe de f(x) sur chacun des intervalles ]0 ; [et ] ;  [.

Partie B

On se propose de déterminer une valeur de  à 10-2 près.

1. Soit g la fonction définie sur ]0 ;  [ par 1

( ) 4 ln 4

g x x  .

Étudier les variations de g et montrer que l'image par g de l'intervalle [3 ; 4] est incluse dans l'intervalle [3 ; 4].

2. On considère la suite définie par U0 = 3 et Un+1 = g(Un).

a. Démontrer que Un est bien définie et que, pour tout n élément de , 3 4nU  .

b. Démontrer que Un −  et Un+1 −  sont de signes contraires (on pourra justifier rapidement le fait que  est l'unique solution de g(x) = x).

3. a. Montrer que, pour tout x élément de ]3 ; 4[ : 1

'( ) 12

g x

b. En déduire que, pour tout n élément de : 1

12 n n

U  

c. En déduire une valeur approchée de  à 10-2 près.

Exercice 3

On place les entiers de la manière suivante :

Montrer que le plus grand nombre de la nème ligne est le carré d'un entier.

Déterminer la place de 1999 : numéro de ligne et rang par rapport au début de la ligne.

Exercice 4

En utilisant une feuille de carton rectangulaire de 80 cm de long et 50 cm de large, on veut fabriquer une boîte sans couvercle ayant la forme d'un parallélépipède rectangle. Pour cela, on découpe dans la feuille quatre carrés égaux (voir la figure) puis on plie le car-

ton suivant les segments AB, BC, CD et DA.

On appelle x la mesure en cm du côté de chaque carré.

1. Préciser entre quelles valeurs doit se trouver x pour que la boîte soit réalisable.

2. Déterminer le volume, noté V(x), de la boîte obtenue.

3. Déterminer la valeur de x qui rend le volume maximum.

4. Calculer les dimensions et le volume V de la boîte de volume maximum.

Exercice 5

Une entreprise comprend 40 % de cadres et 60 % d'employés. On sait que 20 % des cadres et 10 % des employés parlent l'anglais.

1. On interroge une personne de cette entreprise au hasard ; quelle est la probabilité pour que ce soit

a. un cadre parlant l'anglais ;

b. un employé parlant l'anglais ;

c. une personne parlant l'anglais.

2. La personne interrogée parle l'anglais. Quelle est la probabilité pour que ce soit un employé ? Quelle est la probabilité pour que ce soit un cadre ?

3. On interroge au hasard 15 personnes de cette entreprise. Quelle est la probabilité pour que, sur ces 15 personnes

a. au moins une personne parle l'anglais ?

b. seulement 8 personnes parlent l'anglais ?

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

A

D

B

C

Terminale S mai 2000

2. Concours EPF 2000

Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés :

- les numéros 1 et 2 sont obligatoires,

- il suffit de choisir deux autres exercices parmi les numéros 3, 4 et 5.

Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

Exercice 1

Soit f la fonction numérique définie sur ]0 ;  [ par 2

ln ( )

x f x

x  .

1. Étudier les variations de la fonction f. Montrer que, pour tout entier naturel k, avec k > 2,

1

( 1) ( ) ( ) k

k

f k f t dt f k

   .

2. On considère la suite S définie par son terme général 2 2 2

lnln 2 ln 3 ...

2 3 p

p S

p     où p est un entier

naturel supérieur ou égal à 2.

a. Montrer que la suite S est croissante.

b. En utilisant la question 1., montrer que 2 2

2

lnln 2 ( )

2

p

p p

p S f t dt S

p     .

En déduire un encadrement de pS .

c. Calculer, en utilisant une intégration par parties, 2

( ) p

f t dt ; en déduire que la suite S est majorée.

Exercice 2

Dans le plan, on considère un carré ABCD tel que AB DC . Soit O le centre du carré ; I et J les milieux respectifs de [AB] et [CD].

1. On considère G1 le barycentre du système {(A, 1) ; (B, –3) ; (C, 1) ; (D, –3)}. Déterminer G1.

2. a. On considère G2 le barycentre du système {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, –3) ; (D, –3)}. Déterminer G2 et le placer.

b. Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que

2 . 3 . 3 . 0MA MA MB MA MC MA MD    .

Construire cet ensemble.

c. Soit f l'application du plan sur lui-même qui à tout point M fait correspondre le point M' défini par :

' 3 3MM MA MB MC MD    .

Reconnaître f et en donner les éléments caractéristiques.

Exercice 3

Étant donné un nombre réel a, on considère la suite *( )n n u

définie par u1 = a et pour 1n  :

2 3 1 1 2 3 ...

n n nu u u u u     

1. Calculer u2, u3 et u4 en fonction de a.

2. Calculer, pour 2n  , un en fonction de 1nu  ; puis un en fonction de 2nu  .

3. Calculer, pour 2n  , un en fonction de a.

4. Étudier, suivant les valeurs de a, la convergence de cette suite et calculer sa limite lorsqu'elle converge.

Exercice 4

On considère la figure (F) formée d'un rectangle ABCD et de quatre demi-disques extérieurs à ce rectangle et de diamètres respectifs AB, BC, CD et DA. On suppose que le rectangle a pour périmètre 200 cm. On appelle x la mesure, en cm, du côté AB.

CD

BA

1. Préciser entre quelles valeurs doit se trouver x pour que cette figure soit réalisable.

2. Déterminer l'aire de cette figure, notée S(x).

3. Pour quelle valeur de x cette aire est-elle minimale ? Quelle est alors la valeur de cette aire et la nature du rectangle ?

Exercice 5

On considère le circuit électrique ci-dessous :

Les probabilités pour que les interrupteurs A, B, C, D, E et F soient ouverts sont respectivement 3 1 1 4 2 1

, , , , , 10 2 10 5 5 10

.

Quelle est la probabilité pour que le courant passe ? (On suppose les événements indépendants.)

A

B C

D E F

3. Concours EPF 2002

Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés :

- les numéros 1 et 2 sont obligatoires,

- il suffit de choisir deux autres exercices parmi les numéros 3, 4 et 5.

Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

Exercice 1

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j ; on donne les points A(1 ; −1) et B(5 ; 3).

On considère la suite de points (Gn) définie par :

G0 est en O et, pour tout 1n  , Gn est le barycentre du système       1 ; 2 , ;1 , ;1nG A B . On note

 ;n nx y les coordonnées de Gn.

1. Calculer les coordonnées des points G1, G2 et G3.

Placer les points (unités : 2 cm sur chaque axe) et montrer qu’ils sont alignés.

2. Prouver que, pour tout n entier, Gn+1 est l’image de Gn par une homothétie dont on déterminera le centre et le rapport.

3. Montrer que, pour tout n , 1 1 3

2 2 n nx x   .

4. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n non nul, 2

3 3 3 ...

2 2 2 n n

x     .

b. En déduire une expression simple de xn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (xn).

Exercice 2

1. On considère la fonction numérique g définie par : 3 2( ) 2 3 1g x x x   .

Calculer g(1). En déduire les racines de l’équation g(x) = 0 et le signe de g.

2. Soit f la fonction numérique définie, pour x > 1, par  3 2( ) ln 2 3 1f x x x   .

a. Etudier la fonction f.

b. Résoudre l’équation f(x)=0.

c. Tracer la courbe (C) représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthonormal

( ; , )O i j (unité : 2 cm).

3. Soit F la fonction numérique définie, pour x > 1, par

    1 1

( ) ln 2 1 ln 1 3 ln 2 2 2

F x x x x x x x                   

.

a. Calculer la dérivée de la fonction F.

b. Calculer en cm2, l’aire du domaine plan compris entre la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites

d’équations 3

2 x  et 2x  .

Exercice 3

Sur la figure ci-dessous, on a tracé EA, quart de cercle de centre O et de rayon r ; on a ensuite tracé le demi-cercle de diamètre[OB] avec OB= 2r.

On appelle F le point d’intersection du quart de cercle et du demi-cercle.

1. Calculer l’aire de la lunule FA (voir la figure).

2. Calculer l’aire de la partie grisée.

Lunule FA

O A

E

B

F

Exercice 4

Une urne contient n boules ; deux sont blanches, les autres sont noires. Elles sont, à part cela, identiques et on suppose que les tirages sont tels que chaque boule a la même probabilité d’être tirée.

On vide l’urne en tirant les n boules, une à une, sans les remettre. On désigne par X la variable aléatoire égale au rang de la première boule blanche tirée.

1. Quel est l’ensemble des valeurs prises par X ?

2. Calculer la loi de probabilité de X.

3. Calculer l’espérance mathématique de X pour la loi obtenue ; que représente ce résultat ?

On rappelle que : 2

1

( 1)(2 1)

6

n

k

n n n k

   .

Exercice 5

On définit une suite de nombres complexes  n nz  par : 0 2z  et, pour 1n  , 1 1

2 n n

i z z

  .

Dans le plan complexe, on note nM le point d’affixe nz et nM  le point d’affixe niz .

1. a. construire les points 0 0 1 1 2 2 3 3 4, , , , , , , ,M M M M M M M M M    .

b. Donner les vaeurs de 1 2 3 4, , ,z z z z ainsi que celles de leurs modules et de leurs arguments.

2. Calculer nz , son module et un de ses arguments en fonction de n.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel k, 1k  , on a : 1 1 2

2 k k kM M z  .

En déduire la longueur nL de la ligne polygonale 0 1.... nM M M et calculer lim n n

L 

.

4. Concours EPF 2003

Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés :

- les numéros 1 et 2 sont obligatoires,

- il suffit de choisir deux autres exercices parmi les numéros 3, 4 et 5.

Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

Exercice 1

Dans cet exercice, on note  1 ;I   . On considère la fonction définie sur I par : 1

( ) ln

f x x x  .

1. Dresser le tableau de variations de f. On précisera les limites aux bornes de son ensemble de définition.

2. On désigne par (C) sa courbe réprésentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’origine O ; unité 2 cm. Construire la courbe (C) et préciser ses asymptotes.

3. a. Calculer la dérivée de la fonction numérique définie sur I par : ( ) ln(ln )g x x .

b. Calculer en cm2 l’aire S de la partie du plan formée par l’ensemble des points M(x ; y) du plan défini

par : 2 ; 0 ( )e x e y f x    .

Exercice 2

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On note  le cercle de centre O et

de rayon R > 0 et A le point de  d’affixe R.

Etant donné un entier 2n  , on note r la rotation de centre O d’angle 2

n

 .

On considère la suite des points  k kM  de  définie par la relation de récurrence 1 ( )k kM r M  et la

condition initiale 0M A . On note kz l’affixe de kM .

1. a. Pour tout k de , exprimer 1kz  en fonction de kz .

b. Montrer que

2k i

n kz Re

 pour tout k de .

c. Comparer nM et 0M .

d. Faire la figure lorsque n = 8 (on prendra R = 4 cm).

2. a. Démontrer que, pour tout k de , on a : 1 2 sink kM M R n

 

    

  .

b. On note 0 1 1 2 1...n n nL M M M M M M    . Déterminer la limite de nL lorsque n tend vers  .

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

Exercice 3

On considère la suite   *n n

u

définie par :

1

1

1

3( 2)

2( 1) 2( 1) n n

u

nn u u

n n

 

    

.

Partie A

1. Démontrer que cette suite est majorée par 3.

2. Démontrer que cette suite est monotone.

3. Démontrer que cette suite est convergente. Calculer sa limite.

Partie B

On considère la suite   *n n

v

définie par (3 )n nv n u  .

1. Démontrer que cette suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

2. Exprimer nv puis nu en fonction de n. Retrouver la limite de la suite   *n nu  .

Exercice 4

On considère la configuration obtenue à partir de deux carrés (en gris) ayant un sommet commun et de la construction de deux parallélogrammes (en blanc). Montrer que les centres des carrés et des parallélogrammes sont les sommets d’un carré. On prendra pour cela un repère d’origine O et on introduira les affixes des points A, B, C et D.

P

O A

B

R

C

D

Q

S

Exercice 5

ABCDEF est un hexagone régulier de centre O. on appelle H l’ensemble constitué des points O, A, B, C, D, E, F. On choisit au hasard 3 points distincts dans l’ensemble H. On donnera une justification des réponses aux questions suivantes :

a. Quelle est la probabilité que le triangle ainsi formé soit équilatéral ?

b. Quelle est la probabilité d’obtenir un triangle rectangle ?

c. Quelle est la probabilité d’obtenir un triangle isocèle non équilatéral ?

F

ED

C

B A

O

5. Concours EPF 2004

Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés :

- les numéros 1 et 2 sont obligatoires,

- il suffit de choisir deux autres exercices parmi les numéros 3, 4 et 5.

Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

Exercice 1

Partie A : Résolution de l’équation différentielle ' xy y e  (1)

1. Résoudre l’équation différentielle ' 0y y  (2).

2. Soit a un réel et u la fonction définie par ( ) xu x axe . Déterminer a pour que u soit solution de (1).

3. a. Montrer qu’une fonction v définie sur est solution de (2) si et seulement si la fonction uv est solution de (1).

b. En déduire l’ensemble des solutions de (1).

4. Déterminer la solution de (1) qui s’annule en 0.

Partie B : Etude de la fonction f définie par ( ) xf x xe .

On considère la fonction f définie sur par ( ) xf x xe et on désigne par (C) sa courbe représentative

dans un repère orthonormal ( ; , )O i j (unité graphique 2 cm).

1. Dresser le tableau de variation de la fonction f ; on précisera les limites aux bornes de l’ensemble de définition.

2. Tracer la courbe (C) ; on précisera la tangente en O et l’asymptote.

3. Soit  un nombre réel strictement positif. Calculer en cm2, l’aire ( )S  de la partie du plan formée par

l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y) telles que l’on ait 0 x   et 0 ( )y f x  .

4. Déterminer la limite de ( )S  lorsque  tend vers  .

Exercice 2

Quatre campeurs A, B, C et D tirent à la courte-paille pour savoir lequel d’entre eux fera la vaisselle.

Le campeur A présente aux trois autres quatre allumettes dont l’une a déjà servi. Ils tirent à tour de rôle et celui qui tire l’allumette qui a déjà servi fera la vaisselle (A prend la dernière allumette).

Ils procèdent au tirage. Le campeur B proteste : il prétend que c’est parce qu’il a tiré après C et D qu’il a l’allumette qui a déjà servi.

On désigne par E l’événement « Le premier tire l’allumette qui a déjà servi » ;

F l’événement « Le deuxième tire l’allumette qui a déjà servi » ;

G l’événement « Le troisième tire l’allumette qui a déjà servi ».

Calculer les probabilités des événements E, F, G (on pourra s’aider d’un arbre de probabilités ).

Commenter la réaction du campeur B.

Exercice 3

On considère la suite numérique  nu définie, pour tout entier naturel strictement positif, par 1 0u  et

1

1

2 n

n

u u

  

.

1. Donner les valeurs exactes des cinq premiers termes de la suite.

2. Quelle est la valeur exacte du 2004ème terme de la suite ?

Exercice 4

On considère un cercle de centre O et trois points A, B et C de ce cercle. On désigne par A’, B’ et C’ les

images de A, B et C par la rotation de centre O et d’angle 3

 .

Soient U, V, W les milieux respectifs des segments [A’B], [B’C] et [C’A]. Démontrer que U, V, W sont les sommets d’un triangle équilatéral.

Exercice 5

On considère le plan complexe P muni d’un repère orthonormal d’origine O.

1. Déterminer l’ensemble  des points M d’affixe z tels que 1z z  .

2. A tout nombre complexe non nul z, on associe le nombre complexe z’ défini par 1

'z z  . On définit

ainsi une transformation T de P−{O} dans lui-même.

a. Déterminer l’image de  par la transformation T. On la note  .

b. Déterminer l’image de  par T.

c. Déterminer les affixes des points d’intersection de  et  .

3. Faire une figure.

6. Concours EPF 2005

Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés :

- les numéros 1 et 2 sont obligatoires,

- il suffit de choisir deux autres exercices parmi les numéros 3, 4 et 5.

Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

Exercice 1

On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct. A tout nombre complexe z

différent de i, on associe le nombre complexe Z défini par 1z

Z z i

  

.

On pose z x iy  où x et y désignent les parties réelle et imaginaire de z.

1. Calculer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de Z.

2. Déterminer l’ensemble E1 des points du plan complexe tels que Z soit réel.

3. Déterminer l’ensemble E2 des points du plan complexe tels que Z soit imaginaire pur.

4. Soit A le point d’affixe −1 et B le point d’affixe i. Déterminer l’ensemble E3 des points du plan tels que

arg Z soit égal à 2

 ou

2

  .

5. Tracer les ensembles E1, E2 et E3.

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur par  2( ) ln 1x xf x e e   . Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

1. Vérifier que f est bien définie sur .

2. Déterminer les limites de f en  et  .

3. Montrer que la courbe C admet deux asymptotes dont l’une est la droite d’équation 2y x .

4. Déterminer la fonction dérivée f’ de f et étudier son signe sur .

5. Dresser le tableau de variation de f.

6. Construire la courbe C, en précisant la tangente au point d’abscisse 0.

Exercice 3

Un dictionnaire comporte n pages.

1. Dans ce dictionnaire on choisit une page.

La moyenne des numéros de toutes les pages restantes est 1 000,743.

a. Si on choisit la page 1, exprimer la moyenne M1 des numéros des pages restantes en fonction de n.

b. Si on choisit la page n, exprimer la moyenne Mn des numéros des pages restantes en fonction de n.

c. Déterminer alors les valeurs possibles pour n.

2. On choisit la page numérotée i. Calculer la moyenne Mi des numéros des pages restantes. En déduire le numéro de la page choisie et le nombre de pages de ce dictionnaire.

Exercice 4

On désigne par ABCD un carré de côté a, par  le demi-cercle de diamètre [CD] intérieur à ce carré et par O le milieu du segment (CD].

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome