Exercices de statistiques - 15 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 15 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 15 - 2° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la courbe représentative, le centre de symétrie, la fonction définie.
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D

CB

A

Soit M le point de contact de la tangente, autre que la droite (AD), menée de A à  et N le point où cette tangente coupe la droite (BC).

1. Démontrer que les droites (OA) et (ON) sont les bissectrices respectives des angles de sommet O des triangles DOM et COM.

En déduire la nature du triangle AON.

2. Calculer les distances AM, AO, AN, MN et NC en fonction de a.

3. La droite(OM) coupe la droite (BC) en un point E. On pose BE = b.

a. Démontrer que l’on a EM = b.

b. En calculant de deux façons différentes l’aire du triangle AEN, déterminer EN en fonction de b.

c. Déduire des questions précédentes une relation entre a et b, puis b en fonction de a.

Exercice 5

On considère la fonction f définie sur par  ( ) 2 ln 1x xf x e e  . Le graphique ci-dessous, obtenu à l’aide d’un ordinateur, donne la courbe représentative  de f dans un repère orthonormal.

D’après le graphique on peut émettre trois conjectures :

(A) : « La fonction f est strictement croissante sur ».

(B) : « La courbe  admet deux asymptotes d’équations respectives y = 0 et y = 2 ».

(C) : « La courbe  admet un centre de symétrie ».

On suppose que l’on a démontré les conjectures (A) et (B) et on s’intéresse à la conjecture (C).

1. Si le centre de symétrie de  existe, quelle est son ordonnée ? On justifiera la réponse.

2. Montrer que l’équation f(x) = 1 admet une unique solution, notée  . Un tableur permet d’obtenir le tableau suivant :

x f(x)

−0,922 0,9998

−0,921 1,0002

Donner, en le justifiant, un encadrement de  . Que peut-on en déduire pour le centre de symétrie s’il existe ?

3. Montrer que le point S, de coordonnées (a ; b) est centre de symétrie de la courbe  si et seulement si

pour tout réel x, on a ( ) ( ) 2f a x f a x b    .

4. Calculer f(0).

Soit g la fonction définie sur par ( ) ( ) 2 ln 2g x f x  . Un tableur permet d’obtenir le tableau suivant :

x g(x)

−1,844 2,0161

−1,843 2,0165

−1,842 2,0168

Montrer que (2 ) (0) 2f f   .

Que peut-on en déduire pour l’existence d’un centre de symétrie pour  ?

7. Concours EPF 2006

Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés :

- les numéros 1 et 2 sont obligatoires,

- il suffit de choisir deux autres exercices parmi les numéros 3, 4 et 5.

Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

Exercice 1

1. On considère la fonction 2

: 1

x f x

x x  . Montrer que f est définie et dérivable sur et déterminer

la fonction dérivée f ’ de f.

2. On considère la fonction  

2

ln :

ln ln 1

x g x

x x  et on désigne par  sa courbe représentative dans

un repère orthonormal d’unités graphiques 1 cm.

a. Exprimer g en fonction de f et préciser l’ensemble de définition de g.

b. Déterminer la fonction dérivée g ’ de g (on pourra utiliser la question 1.).

c. Etudier le signe de g ’.

d. Déterminer les limites de g en 0 et  .

e. Dresser le tableau des variations de g.

f. Construire la courbe  en précisant la tangente au point d’abscisse 1.

Exercice 2

Soient ABC un triangle quelconque et  une droite passant par A. On désigne par B’ et C’ les projections orthogonales respectives de B et C sur  . On appelle P la projection orthogonale de B’ sur la droite (AC) et Q celle de C’ sur la droite (AB).

Les droites (B’P) et (C’Q) se coupent en M. Le but de l’exercice est de démontrer que les droites (AM) et (BC) sont perpendiculaires.

1. Faire une figure.

2. Justifier les égalités suivantes : AB.AM AB.AC' AB'.AC'  .

3. Démontrer de même l’égalité : AC.AM AC'.AB' .

4. Conclure.

Exercice 3

Soient p et q deux nombres réels variables dont la somme p q est égale à un nombre réel a constant.

On considère le plan complexe et on désigne par P le point d’affixe p et par Q le point d’affixe iq. Soient R et S les points tels que PQRS soit un carré de sens direct.

1. Déterminer, par la méthode de votre choix, les affixes respectives de R et de S en fonction de p et q. En déduire que le point R est fixe.

2. Déterminer l’ensemble des points S.

Exercice 4

Une urne contient 19 jetons numérotés de 1 à 19. On tire successivement et sans remise trois jetons.

Soit k un entier quelconque tel que 3 17k  . On considère les événements suivants :

Ak : « k est le plus petit numéro de jeton tiré ».

Bk : « k est le plus grand numéro de jeton tiré ».

1. Calculer  8Ap et  8Bp .

2. Pour quelle(s) valeur(s) de k a-t-on    A Bk kp p ?

Exercice 5

Les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. Parmi les trois démonstrations suivantes lesquelles sont correctes ? Si une démonstration vous paraît incorrecte, vous justifierez votre réponse.

a. On suppose qu’il a été démontré dans une question précédente que le produit scalaire MN.PQ est nul.

On sait que si    MN PQ alors MN.PQ 0 .

Donc, comme MN.PQ 0 , on en déduit    MN PQ .

b. On sait que dans un tube à vide une bille de plomb et une plume tombent à la même vitesse dans le champ de gravitation.

On considère un tube et on constate que, en lâchant simultanément dans ce tube une plume et une bille de plomb, la plume tombe plus lentement que la bille de plomb.

On en déduit que le tube n’est pas vide.

c. Dans une entreprise, on a calculé que le bénéfice procuré par la production de n milliers d’articles est

égal à  3 245 600 30 000 eurosn n n   . La production maximale par jour est de 20 000 articles.

Pour trouver le bénéfice maximum pouvant être obtenu par jour, on remplace n par 20 dans l’expression 3 245 600 30 000n n n   .

2. Que pensez-vous du raisonnement suivant ? Soyez précis dans votre réponse.

« Deux points du plan sont toujours alignés. Supposons que pour un certain entier n, 2n  , n points du plan soient toujours alignés. Prenons alors n + 1 points A1, A2,…,An+1 de ce plan.

D’après l’hypothèse de récurrence, les n points A1, A2,…, An sont alignés sur une droite  et de même les n points A2, A3, …An+1 sont alignés sur une droite ' .

Les droites  et ' sont confondues puisqu’elles ont en commun les points A2, A3,…, An . Les n + 1 points A1, A2,…,An+1 sont donc alignés sur  .

D’après le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout entier naturel n, 2n  , n points du plan sont toujours alignés, ce qui signifie que tous les points du plan sont alignés. »

8. Concours EPF 2007

Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés :

- les numéros 1 et 2 sont obligatoires,

- il suffit de choisir deux autres exercices parmi les numéros 3, 4 et 5.

Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

Exercice 1 (obligatoire)

On considère la suite (un) définie par : 1 3

2 u  et pour tout entier naturel 1n  , 1 1

1 1

2 n n n

u u   

    

.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 1n  , un > 0.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 1n  ,

2

1 1 1 ln ln 1 ln 1 ... ln 1

2 2 2 n n

u     

                 

.

3. Pour tout entier 1n  , on pose 2

1 1 1 ...

2 2 2 n n

S     et 2

1 1 1 ...

4 4 4 n n

T     .

a. Calculer Sn et Tn en fonction de n.

b. En déduire lim n n

S 

et lim n n

T 

.

4. On admet que, pour tout 0x  , 2

ln(1 ) 2

x x x x    .

Montrer que, pour tout entier 1n  , 1

ln 2

n n n nS T u S   .

5. a. Montrer que la suite (un) est strictement croissante.

b. On admet que la suite (un) est convergente et on désigne par l sa limite.

Déduire des questions précédentes que 5

ln 1 6

l  .

Exercice 2 (obligatoire)

On considère un plan complexe muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v d’unité graphique 4 cm.

1. Déterminer l’ensemble (A) des points M d’affixe z tels que 22z z . Tracer (A).

2. Soit (B) l’ensemble des points M d’affixe z tels que 23z z .

a. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que 23z z .

b. En déduire l’ensemble (B).

3. Déterminer l’ensemble (C) des points M d’affixe z tels que    1 1 0zz i z i z     . On pourra

poser  1Z z i   et calculer le produit ZZ .

Construire (C).

Exercice 3

On considère un trapèze ABCD tel que les angles ABC et DCB aient la même mesure  .

Déterminer les valeurs de  pour que le trapèze ABCD ait une aire maximale sachant que les côtés AB, BC et CD mesurent un mètre.

Exercice 4

Un entier A est dit somme de deux carrés lorsqu’il existe deux entiers naturels x et y tels que : 2 2x y A  .

1. x et y étant deux entiers naturels, rappeler ce que représente le nombre 2 2x y pour le nombre

complexe x iy .

2. En déduire que si A et B sont des entiers qui sont sommes de deux carrés, alors le produit AB l’est aussi.

3. En observant 2 22 3 et 2 25 4 , montrer que 533 est somme de deux carrés et en donner une décomposition en produit de facteurs.

4. Monter que 313 est somme de deux carrés et en donner deux décompositions.

Exercice 5

Sur une planète lointaine vivent des individus verts et des individus bleus. 85 % des individus bleus sont musiciens et 90 % des individus musiciens sont des individus bleus.

On choisit au hasard un individu et on note x la probabilité que cet individu soit bleu. On suppose 0 1x  .

1. Les événements « l’individu est bleu » et « l’individu est musicien » sont-ils indépendants ?

2. Comparer la probabilité que l’individu soit musicien sachant qu’il est bleu et la probabilité que l’individu soit musicien sachant qu’il est vert.

3. Y a-t-il la même proportion de musiciens parmi les individus verts et les individus bleus ?

9. Concours EPF 2008

Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés :

- les numéros 1 et 2 sont obligatoires,

- il suffit de choisir deux autres exercices parmi les numéros 3, 4 et 5.

Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

Exercice 1 (Obligatoire)

Soit f la fonction définie sur  1 ;  par      1 ln 1 ln 2f x x x x      et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite en –1 de la fonction f.

2. Montrer que 1

lim ln 0 2x

x

x

   

  . En déduire la limite en  de la fonction f.

3. Montrer que la droite d'équation y = x + 1 est asymptote à la courbe Cf en  .

4. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.

5. Donner une équation de la tangente T0à la courbe Cf au point d'abscisse 0.

6. Tracer la droite T0, la courbe Cf ainsi que les asymptotes.

Exercice 2 (Obligatoire)

On pose  60 0

sin 3I x dx

  , et, pour tout entier naturel non nul n,   6

0

sin 3nnI x x dx

  .

1. a. Calculer I0.

b. En effectuant une intégration par parties, calculer I1.

2. Sans calculer l'intégrale In :

a. Montrer que la suite  n nI  est monotone.

b. Pour tout entier naturel non nul n, comparer In à l'intégrale 6

0

nx dx

.

c. Montrer que la suite  n nI  est convergente et déterminer sa limite.

Ne perdez pas de temps dans le choix des 2 exercices à prendre parmi les exercices n°3, 4 et 5

Exercice 3

Un couple a eu trois enfants. On sait que s'ils n'ont eu que des filles, la dernière s'appelle Dominique et que, sinon, le premier garçon s'appelle Dominique. Les trois enfants ont des prénoms différents.

On note G1l'événement « le premier enfant est un garçon », F1 l'événement « le premier enfant est une fille » et, de même, on définit les événements G2, F2, G3 et F3.

On note également D1l'événement « le premier enfant s'appelle Dominique » et, de même, on définit D2 et D3.

On suppose que les événements G1, G2et G3 sont indépendants, et ont pour probabilité 1/2.

1. Parmi les événements définis ci-dessus, citer deux événements contraires, puis deux événements incompatibles mais non contraires.

2. Calculer les probabilités  1Dp ,  2Dp et  3Dp .

3. Quelle est la probabilité que Dominique soit un garçon ?

4. On rencontre l'un des enfants au hasard. C'est un garçon. Quelle est la probabilité qu'il s'appelle Dominique ?

Exercice 4

Soit (P) la parabole d'équation y = x2dans un repère orthonormé.

Soit A et B deux points distincts de (P)d'abscisses respectives a et b. On suppose que a < b.

1. Pour tout point M de (P) d'abscisse x (on suppose a < x < b), calculer la distance du point M à la droite (AB).

2. En déduire qu'il existe un point M0 de la parabole (P) d'abscisse comprise entre a et b et tel que l'aire du triangle M0AB soit maximale. Déterminer son abscisse.

Exercice 5

On cherche des nombres complexes a, b et c qui vérifient les relations :

(R) : 1a b c   et 0a b c   .

1. Montrer que si a, b et c vérifient les relations (R),alors a, b et c sont non nuls.

2. On pose ' b

b a  et '

c c

a  .

a. Traduire les relations (R)en utilisant les formes trigonométriques des nombres b’ et c.

b. Montrer qu'alors     1

Re ' Re ' 2

b c   .

c. En déduire les nombres complexes b' et ctels que a, b et c vérifient les relations (R).

3. Montrer qu'il existe une infinité de triplets (a, b, c) de nombres complexes vérifiant les relations (R).

10. Concours EPF 2009

Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés :

- les numéros 1 et 2 sont obligatoires,

- il suffit de choisir deux autres exercices parmi les numéros 3, 4 et 5.

Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

Exercice 1 (Obligatoire)

Soit k un réel strictement positif et fk la fonction définie sur  par :   2kx

kf x e  .

1. Etudier la parité de la fonction fk.

2. Étudier les variations de la fonction fk et dresser son tableau de variation.

3. Déterminer la dérivée seconde kf  et résoudre l'équation   0kf x  .

4. Démontrer que, quels que soient les réels strictement positifs h et k,on a :

k hf f si, et seulement si, h k .

5. On prend 1

2 k . On désigne par  la solution positive de l'équation  1

2

0f x  .

Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de 1 2

f au point d'abscisse  .

Exercice 2 (Obligatoire)

1. Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe :  4 2 1 i  .

2. Trois nombres complexes ont pour produit  4 2 1 i  . Leurs modules sont en progression

géométrique de raison 2 et leurs arguments sont en progression arithmétique de raison 4

.

On note z1, z2 et z3 ces trois nombres où la numérotation respecte l'ordre des modules.

Sachant que z1a un argument compris entre 2

 et  , déterminer le module et un argument de chacun

des trois nombres complexes z1, z2 et z3.

3. Construire les images M1, M2 et M3 des nombres complexes z1, z2 et z3 dans le plan complexe.

Exercice 3

Dans chacune des questions suivantes, on demande de donner sans justification un exemple de fonction f définie sur l'intervalle donné et possédant la propriété demandée.

1. La fonction f est définie et dérivable sur , le nombre dérivé de f en 0 est nul, mais f n’admet pas d’extremum en 0.

2. La fonction f est définie et dérivable sur , elle admet un maximum et un minimum sur l'intervalle

[1 ; 2], mais pour tout x de [1 ; 2], on a  ' 0f x  .

3. La fonction f est définie sur  et n’a pas de limite en  .

4. La fonction f est définie et continue sur  0 ;  et n’a pas de limite en 0.

Exercice 4

Un fumeur souhaite réduire sa consommation. Suite à de premières observations, on constate que :

• s’il reste un jour sans fumer, il a 40 % de chances de fumer le lendemain ;

• s’il cède et fume un jour, il a 20 % de chances de fumer le lendemain.

On désigne par pn la probabilité qu'il fume le n-ième jour.

1.Exprimer pn+1 en fonction de pn.

2. Pour tout entier n, on pose 1

3 n nq p  . Quelle est la nature de la suite  nq ?

3. Déterminer la limite de pn. Que peut-on en conclure ?

Exercice 5

Dans un repère orthonormal ( ; , )O i j ,on désigne par  la courbe représentative de la fonction

logarithme népérien. Soient A et B les points de  d'abscisses respectives 2 et 8.

À tout réel m de l'intervalle [2 ; 8], on associe le point M d'abscisse m et on note Tm la tangente à  au point M.

1. Construire une figure à main levée.

2. Expliquer pourquoi déterminer m tel que l'aire du triangle AMB soit maximale revient à déterminer m tel que la distance de M à la droite (AB) soit maximale.

3. Déterminer m tel que l'aire du triangle AMB soit maximale.

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