Exercices de statistiques - 16 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 16 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 16 - 1° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Étude mathématique, Production demandée, Production demandée, Etude expérimentale.
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EPREUVE PRATIQUE DE MATHEMATIQUES-INFORMATIQUE

1. 1. Sujets 2008

Exercice 1. 1 : Étude d’un jeu – 06/2008 − Sujet 003

On lance trois dés bien équilibrés dont les six faces sont numérotées de 1 à 6.

Alice et Bob calculent la somme des trois nombres obtenus.

Si la somme obtenue est égale à 9, Alice gagne.

Si la somme obtenue est égale à 10, Bob gagne.

Dans tous les autres cas, la partie est annulée.

Le but de l’exercice est de déterminer qui, d’Alice ou de Bob, a la plus grande probabilité de gagner.

Étude expérimentale

1. Sur un tableur, réaliser une simulation de cette expérience aléatoire.

Appeler l’examinateur pour valider cette simulation.

2. Sur un tableur, réaliser une simulation sur un échantillon de taille 1000 de cette expérience aléatoire et déterminer, pour cette simulation, les fréquences de réussite respectives d’Alice et de Bob.

Appeler l’examinateur pour valider la feuille de calcul construite.

3. Est-il possible de conjecturer qui, d’Alice ou de Bob, a la plus grande probabilité de gagner ?

Appeler l’examinateur pour lui fournir cette réponse et lui indiquer les méthodes prévues pour les démonstrations qui suivent.

Étude mathématique

On souhaite maintenant calculer la probabilité de gagner d’Alice et de Bob.

4. Répondre aux deux questions suivantes (dans n’importe quel ordre) :

– Calculer la probabilité de gagner d’Alice et de Bob.

– Qui, d’Alice ou de Bob, a la plus grande probabilité de gagner ?

Production demandée

– Bilan de la simulation de la question 2 ;

– Réponse orale à la question 3 ;

– Réponses argumentées à la question 4.

Exercice 1. 2 : Tangentes à deux courbes – 06/2008 − Sujet 006

Soit C1 et C2 les courbes d’équations respectives xy e et xy e dans un repère orthonormal ( ; , )O u v

du plan.

Soit a un nombre réel quelconque. On désigne respectivement par M et N les points de C1 et C2 d’abscisse a et par (T1) et (T2) les tangentes à C1 et C2 en M et N.

Les droites (T1) et (T2) coupent respectivement l’axe des abscisses en P et Q.

1. Avec un logiciel de géométrie dynamique (ou une calculatrice graphique) construire les courbes C1 et C2 et les droites (T1) et (T2). Que peut-on remarquer pour les droites (T1) et (T2) ?

Appeler le professeur pour lui montrer le graphique créé et lui indiquer la conjecture faite au sujet de (T1) et de (T2).

2. A l’aide du logiciel émettre une conjecture à propos de la longueur du segment [PQ].

Appeler le professeur pour lui présenter la conjecture et la démonstration envisagée.

3. Démontrer la conjecture émise à la question 2.

Production demandée

– Exposé oral de la méthode de construction de la figure adaptée à la situation ;

– Exposé oral des conjectures ;

– Exposé de la méthode choisie pour démontrer la dernière conjecture.

Exercice 1. 3 : Suites associées – 06/2008 − Sujet 007

On considère les suites (an) et (bn) définies par : 0 020, 60a b  et, pour tout entier naturel n,

1

1

2

4

2

4

n n n

n n n

a b a

a b b

 

  



.

1. En utilisant un tableur ou une calculatrice, calculer les 50 premiers termes des suites (an) et (bn).

2. Peut-on penser que ces suites sont convergentes et quelle conjecture peut-on formuler quant à la limite de la suite (an) et à celle de la suite (bn) ?

Appeler l’examinateur pour vérifier les calculs et les conjectures.

3. Soient (un) et (vn) les suites définies, pour tout entier naturel n, par : n n nu a b  et n n nv b a  .

a. Compléter la feuille de calculs avec les 25 premiers termes des suites (un) et (vn).

b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature de chacune de ces suites ?

Appeler l’examinateur pour valider la conjecture et lui indiquer comment mettre en place la vérification demandée à la question

suivante.

c. Vérifier expérimentalement, sur la feuille de calcul, la conjecture émise, validée par l’examinateur.

Appeler l’examinateur, lui montrer les vérifications faites et lui indiquer les méthodes prévues pour les démonstrations qui suivent.

4. a. Démontrer la conjecture de la question 3. b.

b. Déterminer les expressions de an et bn en fonction de n.

c. Justifier les réponses données à la question 2 et déterminer la valeur exacte de la limite des suites (an) et (bn).

Production demandée

– Construction de la feuille de calcul complète ;

– Formulation orale des conjectures ;

– Réponses argumentées à la question 4.

Exercice 1. 4 : Marche aléatoire – 06/2008 − Sujet 010

Un pion est placé sur la case de départ :

Départ

Le lancer d’une pièce bien équilibrée détermine le déplacement du pion.

- PILE, le pion se déplace vers la droite,

- FACE, le pion se déplace vers la gauche.

Un trajet est une succession de 4 déplacements. On s’intéresse à l’événement A : « le pion est revenu à la case départ après 4 déplacements ».

A chaque lancer, on associe le réel +1 si le résultat est PILE et −1 si le résultat est FACE.

Etude expérimentale

1. Simuler à l’aide du tableur de 200 à 2000 trajets du pion et estimer la fréquence de l’événement A. Compléter le tableau suivant :

Nombred’essais 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Fréquence de A

Appeler l’examinateur pour vérifier le tableau obtenu.

Etude mathématique

2. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme des quatre réels.

a. En précisant la méthode choisie, calculer les valeurs possibles de X et le nombre de trajets possibles.

Appeler l’examinateur pour contrôler la réponse et lui indiquer la démarche prévue à la question suivante.

b. Calculer la probabilité de l’événement A à l’aide d’un schéma de Bernoulli et comparer avec l’estimation obtenue.

Production demandée

– Réaliser une simulation en utilisant les fonctions appropriées.

– Donner une réponse argumentée à la question 2.

Exercice 1. 5 : Etude de flux de populations – 06/2008 − Sujet 013

L’objet de ce travail est l’étude de flux de populations entre trois zones géographiques : une ville notée A, une zone périphérique notée B et une zone de campagne notée C.

Pour modéliser les flux de population, on fait les hypothèses suivantes :

– La population totale des trois zones reste constante.

– Chaque année la zone A perd 10% de sa population, mais accueille 10% de la populationde la zone B et 1% de la population de la zone C.

– Chaque année la zone B perd 10% de sa population, mais accueille 10% de la population de la zone A et 1% de la population de la zone C.

– Chaque année la zone C perd 2% de sa population.

Au premier janvier 2008, la zone A comptait 5 000 habitants, la zone B en comptait 2 000 et la zone C en comptait 4 000.

On désigne par an, bn et cn les nombres d’habitants respectifs des zones A, B et C au premier janvier de l’année 2008 + n. On admettra, pour l’étude mathématique, que les nombres réels an, bn et cn peuvent ne pas être entiers.

1. On souhaite décrire, avec le modèle ci-dessus, l’évolution des trois populations.

a. Représenter graphiquement, à l’aide du tableur, ou d’une calculatrice, les suites (an), (bn) et (cn).

b. Conjecturer le sens de variation et la convergence des suites (an), (bn) et (cn).

Appeler l’examinateur pour vérification des résultats obtenus et des conjectures.

2. Pour chaque année 2008 + n, soit dn la différence de population entre les zones A et B.

Conjecturer la nature de la suite (dn).

Appeler l’examinateur pour une vérification et lui indiquer les méthodes envisagées pour les démonstrations qui suivent.

3. On se propose de calculer les limites des suites (an), (bn) et (cn).

a. Déterminer l’expression de cn et de dn en fonction de n.

b. En déduire l’expression de an et de bn en fonction de n.

c. Déterminer les limites des suites (an), (bn) et (cn).

Production demandée

– Une feuille de calcul donnant les valeurs de n et des termes des différentes suites.

– Un graphique représentant les suites (an), (bn) et (cn).

– Les réponses argumentées aux questions de la Partie 3.

Exercice 1. 6 : Distance d’un point à une courbe – 06/2008 − Sujet 014

Dans le plan P rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j la courbe C est la courbe représentative de la

fonction exponentielle et le point B a pour coordonnées (2 ; −1).

On admet que la distance BM admet un minimum quand M décrit C. Ce minimum est appelé distance du point B à la courbe C.

Le but de l’exercice est de trouver la distance du point B à la courbe C.

1. Réaliser à l’aide d’un logiciel une figure dynamique correspondant à cette situation.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la figure réalisée.

a. M est un point quelconque de la courbe C. Faire une conjecture sur la position du point M pour laquelle la distance BM semble minimale. On appelle ce point M0.

b. Tracer la droite (d) perpendiculaire en M0 à la droite (BM0). Quelle semble être la position particulière de la droite (d) ?

Appeler l’examinateur pour lui présenter les conjectures émises et lui indiquer la ou les méthodes de contrôle prévues à la question c..

c. Utiliser le logiciel pour contrôler les conjectures et, éventuellement, les rectifier.

2. On se propose de déterminer la valeur exacte de la distance du point B à la courbe C .

Appeler l’examinateur pour lui présenter les contrôles faits et lui proposer une méthode permettant à la fois de déterminer le point M0 et la distance du point B à la courbe C .

a. Déterminer, par le calcul, la position du point M0.

b. Quelle est la valeur exacte de la distance du point B à la courbe C ?

3. Vérifier, par le calcul, la conjecture formulée au 1. b.

Production demandée

– Obtention à l’écran de la figure réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique.

– La formulation des conjectures et leur contrôle.

– Les stratégies de démonstration prévues pour répondre à la question 2 et le résultat des calculs.

– La vérification demandée à la question 3.

Exercice 1. 7 : Étude d’un lieu de points – 06/2008 − Sujet 020 (spécialité)

On considère le carré direct ABCD du plan orienté tel que  ; 2

AB AD  

uur uuur . On appelle O le centre du

carré. Un point M décrit le segment [DC]. La perpendiculaire à la droite (AM) passant par A coupe (BC) en N. On appelle I le milieu de [MN]. On se propose de déterminer le lieu des points I lorsque M décrit le segment [DC].

Étude expérimentale

1. Réaliser la figure avec un logiciel de géométrie dynamique.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la figure réalisée.

2. Mettre en évidence avec le logiciel la nature du triangle AMN.

3. Faire afficher le lieu des points I lorsque M décrit le segment [DC].

Appeler l’examinateur pour une vérification des conjectures et pour lui indiquer les méthodes prévues pour les démonstrations qui suivent.

Démonstrations

4. Démontrer que le triangle AMN est rectangle isocèle (on pourra utiliser une rotation de centre A).

5. En déduire la nature du triangle AIM ; établir que le point I est l’image de M par une similitude S de centre A dont on précisera l’angle et le rapport.

6. Déterminer S(D) et S(C) puis conclure sur le lieu de points cherché.

Production demandée

– Figure réalisée avec un logiciel de géométrie dynamique

– Réponses argumentées pour les questions 5 et 6.

Exercice 1. 8 : Recherche d’un lieu géométrique – 06/2008 − Sujet 021 (spécialité)

Dans le plan orienté, on considère un triangle rectangle isocèle ABB’ tel que :  ' ; 2

BB BA  

uuur uur .

Soit M un point variable de la droite (BB’) et M’ l’image de A dans la rotation de centre M et d’angle 2

  .

On note I le milieu de [BB’] et J le milieu de [MM’].

On cherche à déteminer le lieu du point J lorsque M décrit la droite (BB’).

1. a. Réaliser une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

Appeler l’examinateur pour vérification de la figure.

b. Visualiser le lieu du point J quand M décrit la droite (BB’). Quelle conjecture peut-on émettre ?

c. Que peut-on conjecturer à propos des triangles ABI et AMJ ?

Appeler l’examinateur pour vérification des conjectures.

2. Soit S la similitude directe de centre A qui transforme B en I.

a. Déterminer l’image du point M par la similitude S.

Appeler l’examinateur pour faire le point et lui indiquer la méthode prévue pour la résolution de la question 2. b.

b. En déduire le lieu du point J quand M décrit la droite (BB’).

Production demandée

– Visualisation à l’écran de la figure ;

– Formulation orale des conjectures sur le lieu du point J et sur les triangles ABI et AMJ ;

– Réponses argumentées aux questions 2. a. et 2. b.

Exercice 1. 9 : Positions relatives dans une configuration – 06/2008 − Sujet 026

Dans le plan orienté, on définit le triangle OAB et on note M le milieu du segment [AB]. On construit les triangles AOD et OBC directs, rectangles et isocèles en O.

L’objet du problème est d’étudier les longueurs et les positions relatives des segments [OM] et [DC].

Étude expérimentale

1. Construire la figure décrite précédemment à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

Appeler l’examinateur pour valider la construction.

2. En modifiant le triangle OAB, émettre une conjecture concernant les longueurs OM et DC et une autre au sujet des positions relatives des droites (OM) et (DC).

Appeler l’examinateur pour valider les conjectures et exposer la démarche envisagée pour la preuve.

Démonstrations

3. Proposer une démonstration des conjectures faites.

Production demandée

– Construction de la figure ;

– Énoncé des deux conjectures ;

– Réponses argumentées à la question 3.

Exercice 1. 10 : Courbes et équations – 06/2008 − Sujet 028

Soit m un réel. On cherche à déterminer le nombre de solutions réelles dans l’intervalle [−5 ; 5] de

l’équation : 2 2 1 0xx x me     (E).

1. Dans cette question on pose m = 2.

A l’aide d’un grapheur (logiciel ou calculatrice), donner un encadrement d’amplitude 10−1 de l’unique solution de (E).

Appeler l’examinateur pour validation du résultat et de la méthode employée.

2. Soit f la fonction définie sur [−5 ; 5] par :    2 2 1 xf x x x e   . A l’aide d’un grapheur, racer la courbe représentative de f et émettre une conjecture quant au nombre de solutions de l’équation

 f x m dans l’intervalle [−5 ; 5], en fonction des valeurs de m.

Appeler l’examinateur pour validation de la conjecture.

3. Démontrer que, pour tout m, l’équation (E) et l’équation  f x m ont le même ensemble de solutions dans l’intervalle [−5 ; 5].

4. Répondre au problème posé.

Production demandée

– Présentation de la méthode de résolution utilisée en 1. et graphique correspondant ;

– Représentation graphique et énoncé de la conjecture pour la question 2. ;

– Réponses argumentées aux questions 3. et 4.

Exercice 1. 11 : Optimisation dans l’espace – 06/2008 − Sujet 029

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère les points A(0, 6, 0), B(0, 0,

8), C(10, 0, 8). M est un point appartenant au segment [OB]. Le plan   passant par M et orthogonal à la droite (OB) coupe la droite (AC) en P.

Partie expérimentale

1. En utilisant un logiciel de géométrie, construire une figure traduisant l’énoncé.

Appeler l’examinateur pour la vérification de la construction.

2. On note respectivement N et Q les points d’intersection du plan   avec les droites (OC) et (AB) et l’on admet que le quadrilatère MNPQ est un rectangle. En déplaçant le point M, émettre une conjecture quant à la position de ce point rendant maximale l’aire du rectangle.

Appeler l’examinateur pour valider la conjecture.

Partie démonstration

On note z = OM.

3. Exprimer en fonction de z les longueurs MN et MQ.

4. Démontrer la conjecture émise en 2.

Production demandée

– La figure réalisée avec le logiciel ;

– Les démonstrations demandées dans les questions 3. et 4.

Exercice 1. 12 : Comportement d’une suite récurrente – 06/2008 − Sujet 030

Soit u1 un nombre réel fixé. On considère la suite récurrente u de premier terme u1 et telle que pour tout

entier naturel non nul n, 1 1 n

n

u u

n    .

1. En utilisant une calculatrice ou un tableur, calculer les premiers termes de cette suite et en réaliser une représentation graphique.

Le choix du nombre de termes et de la valeur de u1 est laissé au candidat, qui en testera plusieurs, dont

1 100u   .

Appeler l’examinateur pour vérifier les calculs faits.

2. En fonction des différentes valeurs de u1 :

a. émettre une conjecture sur le sens de variation de la suite u ;

b. émettre une conjecture sur la limite de la suite u.

Appeler l’examinateur pour valider les deux conjectures et indiquer la méthode prévue pour les démonstrations de la question 3.

3. Dans cette question on suppose que 1 100u   .

a. Démontrer qu’à partir d’un certain rang n0, à préciser, la suite u est décroissante.

b. Démontrer que la suite u est convergente et préciser sa limite.

Production demandée

– Ecrans montrant les calculs ayant permis d’émettre les deux conjectures.

– Démarches et réponses argumentées pour la question 3.

Exercice 1. 13 : Section plane d’un tétraèdre, optimisation d’une distance – 06/2008 − Sujet 033

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on définit les points A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) et

C(0, 0, 1) et le point I milieu du segment [AB].

Partie expérimentale

1. a. A l’aide d’un logiciel de géométrie dans l’espace, représenter le tétraèdre OABC et le point I.

b. Pour un point M du segment [AC], on définit le plan P passant par le point I et orthogonal à la doite (IM). Tracer la section du tétraèdre OABC par le plan P.

c. Le plan P coupe la droite (OB) en un point N. Construire le point N et tracer le segment [MN].

Appeler l’examinateur pour lui présenter la figure construite.

2. Étudier à l’aide du logiciel, les variations de la longueur MN et conjecturer la position du point M, sur le segment [AC], telle que cette longueur soit minimale. Quelle est, d’après le logiciel, cette longueur minimale ?

Appeler l’examinateur pour lui présenter les observations faites et les résultats obtenus.

Démonstration

On définit le réel AM

t AC

 et on admet que les coordonnées des points M et N sont respectivement

 1 , 0,M t t et  0, , 0N t .

3. Calculer la longueur MN en fonction de t.

Appeler l’examinateur pour lui expliquer la méthode prévue pour déterminer le minimum de cette longueur.

4. Déterminer la valeur de t pour laquelle cette longueur est minimale.

5. Donner la valeur minimale prise par la longueur MN.

Production demandée

– Réalisation d’une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ;

– Présentation orale, à partir de l’écran, des conjectures ;

– Solution argumentée de la question 4.

Exercice 1. 14 : Cercles et similitudes – 06/2008 − Sujet 039 (spécialité)

On considère un triangle équilatéral direct O1O2O3, le milieu O du segment [O1O2] et le cercle C de centre O1 passant par O. On note A un point du cercle C distinct du point O.

Pour tout point Mdu cercle C, on note M1 le point symétrique de M par rapport à O puis M’ le point tel que le triangle MM1M’ soit équilatéral direct.

Etude expérimentale

1. A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, construire le triangle O1O2O3, placer le point O et tracer le cercle C.

Appeler l’examinateur pour vérifier la construction.

2. Le point A étant construit sur le cercle C, construire le point A’ associé au point A par le procédé indiqué dans le préambule.

Appeler l’examinateur pour vérifier la construction.

3. Placer un autre point, noté M, sur le cercle C et construire le point M’ associé à ce point.

Visualiser la courbe (ou lieu) que semble décrire le point M’ lorsque le point M décrit le cercle C et émettre une conjecture à ce propos.

Appeler l’examinateur pour exposer votre conjecture.

4. Lorsque les points M et A sont distincts, les droites (AM) et (AM’) se coupent en un point P. Placer le point P sur la figure. Emettre une conjecture concernant le lieu décrit par le point P lorsque le point M décrit le cercle C privé du point A.

Appeler l’examinateur pour exposer votre conjecture et lui indiquer les méthodes prévues pour les démonstrations qui suivent.

Démonstrations

5. Montrer qu’il existe une similitude directe de centre O par laquelle le point M du cercle C a pour image le point M’. Préciser l’angle et le rapport de cette similitude.

6. Déterminer le lieu du point M’ lorsque le point M décrit le cercle C.

7. Préciser le lieu du point P lorsque le point M décrit le cercle C privé du point A.

Production demandée

– Réalisation d’une figure avec un logiciel de géométrie dynamique ;

– Réponse argumentée pour les questions 5. et 6. ;

– Informations obtenues concernant le point P.

Exercice 1. 15 : Suite définie par une moyenne arithmétique – 06/2008 − Sujet 044

On considère la suite (un) définie pour tout n entier strictement positif par :

 2 2 2 2 2 1

6 6 1 2 3 ...

n

n

k

u n k n n

       .

Partie expérimentale

1. A l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice, représenter graphiquement les 50 premiers termes de la suite (un).

2. Emettre une conjecture sur le type de fonction f telle que, pour tout n entier entre 1 et 50, on ait :

 nu f n .

Appeler l’examinateur pour exposer votre conjecture et proposer une méthode pour la préciser.

3. Mettre en place la stratégie validée par l’examinateur et déterminer précisément la fonction f.

Appeler l’examinateur, lui indiquer la fonction f trouvée et lui proposer une méthode pour résoudre la question 4.

Démonstrations

4. a. Démontrer que pour tout n entier naturel non nul, on a  nu f n où f est la fonction validée par l’examinateur.

b. En déduire une formule simple donnant la somme des carrés des n premiers entiers strictement positifs.

Production demandée

– Des explications orales et à l’écran pour les questions 1. à 3. ;

– Les réponses argumentées à la question 4.

Exercice 1. 16 : Points équidistants d’une droite et d’un point – 06/2008 − Sujet 045

On considère dans le plan (P) une droite D et un point F non situé sur cette droite. Il s’agit de déterminer l’ensemble G, lieu géométrique des points du plan équidistants de D et de F.

1. A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, construire la droite D et le point F. Construire également un point H sur la droite D et la droite T perpendiculaire à D en H.

Appeler l’examinateur pour vérifier la figure et exposer la démarche envisagée pour la suite de la construction.

2. Construire un point M de T équidistant de F et de H. Construire le lieu géométrique du point M lorsque le point H décrit la droite D.

Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de G?

Appeler l’examinateur pour lui montrer la figure et lui indiquer votre conjecture.

3. On considère un repère orthonormal direct ( ; , )O i j tel que D est la droite  ;O i et le point F est sur

la droite  ;O j .

Pour un point M (x, y) quelconque du plan, on considère le point H, projeté orthogonal de M sur la droite D.

a. Calculer 2MF et 2MH en fonction de x et y et en déduire une condition liant x et y pour que le point M soit équidistant de F et de D.

b. Donner alors une équation de G et conclure.

Production demandée

– Réaliser une figure adaptée à la situation ;

– Expressions de MF2 et MH2 ;

– Réponses argumentées pour la question 3. b.

Exercice 1. 17 : Tétraèdre trirectangle – 06/2008 − Sujet 062

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé d’origine O, on construit le tétraèdre OABC avec :

A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) et C(0, 0, 2).

Ce tétraèdre est dit « trirectangle » car trois de ses faces sont des triangles rectangles.

Pour tout point M du segment [AB], on construit le projeté orthogonal H du point O sur la droite (MC).

1. Proposer, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, une figure traduisant la situation et construire le lieu des points H lorsque le point M décrit le segment [AB].

Quel semble être le lieu du point H ?

Appeler l’examinateur pour vérifier le tracé du lieu et la conjecture.

2. Conjecturer les positions du point M sur le segment [AB] pour lesquelles la longueur CH semble maximale, minimale.

Appeler l’examinateur pour vérifier ces conjectures.

3. On se propose de démontrer les conjectures émises.

a. Démontrer la double égalité : 2

. .CM CO CH CO CO  uuur uuur uuur uuur uuur

.

Appeler l’examinateur pour lui indiquer les stratégies retenues pour répondre aux questions b. et c. suivantes.

b. Valider ou invalider alors les conjectures faites à la question 2. Calculer les extremums de CH.

c. Le lieu de H est-il un arc de cercle ?

Production demandée

– Expression des conjectures des questions 1. et 2.

– Réponses argumentées à la question 3.

Exercice 1. 18 : Restes modulo p – 06/2008 − Sujet 063 (spécialité)

Le but de cet exercice est d’étudier les restes modulo p (p entier strictement supérieur à 1) des suites (un)

définies par : nu an b  , a et b étant deux entiers naturels donnés.

1. Construire une feuille de calcul donnant les restes modulo 20 des 20 premiers termes de la suite (un)

définie par 12 5nu n  .

Appeler l’examinateur.

2. Adapter la feuille de calcul de façon à obtenir les restes modulo p des 20 premiers termes de la suite

définie par nu an b  , n , de telle manière qu’on puisse modifier les valeurs de a, b et p.

Notez sur votre feuille les restes obtenus dans les cas particuliers suivants :

a. p = 20 et 5 3nu n  ;

b. p = 7 et 5 3nu n  .

Quelle conjecture peut-on formuler quant aux suites formées par ces restes euclidiens ?

Appeler l’examinateur pour vérifier la conjecture émise.

3. Démonstration de la conjecture :

a. Montrer que, parmi les nombres u0, u1,. . ., up, il existe deux nombres ayant le même reste dans la division euclidienne par p, pour p entier naturel non nul.

b. Soient n0 et 0n T les rangs de ces deux nombres ( 0T  ). Montrer que aT est un multiple de p.

c. En déduire que pour tout entier naturel k, T ku  et ku ont le même reste dans la division euclidienne

par p.

d Démontrer alors la conjecture.

Production demandée

– Feuille de calcul correspondant aux diverses suites.

– Les démonstrations de la question 3.

Exercice 1. 19 : Suite aléatoire – 06/2008 − Sujet 066

On considère une suite (Sn) définie par le lancer d’une pièce équilibrée de la façon suivante :

S0 = 0 et

Sn+1 = Sn + 1 si on obtient PILE,

Sn+1 = Sn − 1 si on obtient FACE.

On note An l’événement « obtenir Sn = 0 ».

On s’intéresse à la probabilité de réaliser l’événement An pour un entier n non nul donné.

Etude expérimentale

1. En utilisant un tableur, effectuer une simulation donnant les 11 premiers termes de 1 000 suites définies de la même façon que (Sn).

Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles l’événement An est impossible ? Justifier votre réponse.

Appeler l’examinateur pour présenter votre simulation et votre justification.

2. a. Donner les fréquences d’apparition de l’événement An pour n variant de 1 à 10.

b. Faire d’autres simulations de même taille pour compléter le tableau suivant :

Fréquences d’apparition de An

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Simulation n° 1

Simulation n° 2

Simulation n°3

Simulation n° 4

Simulation n° 5

Appeler l’examinateur pour une vérification.

Etude mathématique

3. Déterminer les probabilités de réaliser les événements A2, A4 et A6.

Appeler l’examinateur pour une vérification.

4. Donner une expression de p(An) en fonction de la parité de n.

Production demandée

– Présentation orale des premiers termes des suites puis du tableau des fréquences des 5 simulations ;

– Calcul de p(A2), de p(A4) et de p(A6) ;

– Justification de la méthode de calcul de p(An).

Exercice 1. 20 : Calcul approché d’une intégrale – 06/2008 − Sujet 071

On considère l’intégrale   1

0

I f x dx  , où la fonction f est définie, pour tout nombre réel x, par

  2

1

1 f x

x  

. I est une intégrale dont on ne sait pas, en terminale S, calculer la valeur exacte.

Le but de l’exercice consiste donc à en déterminer un encadrement d’amplitude 10−2.

Pour cela on convient d’appliquer une méthode dite des « rectangles » et de partager l’intervalle [0 ; 1] en n intervalles de même amplitude, n étant un entier naturel non nul.

1. Dans cette question on donne à n la valeur 4. Quel encadrement de l’intégrale I le dessin ci-dessous suggère t-il ? Quelle est l’amplitude de cet encadrement ?

0

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,5

0 ,6

0 ,7

0 ,8

0 ,9

1

0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 1,2

x

y

Faire calculer cet encadrement par la calculatrice ou le tableur.

Appeler l’examinateur pour une vérification de l’encadrement trouvé.

2. On souhaite pouvoir généraliser, à n entier naturel non nul quelconque, l’encadrement obtenu dans le cas où n = 4.

a. Modifier l’organisation du calcul pour obtenir l’encadrement de I et son amplitude dans le cas où n = 10 puis où n = 20.

Appeler l’examinateur pour une vérification de l’automatisation effectuée.

b. Conjecturer une valeur de n à partir de laquelle l’encadrement de I obtenu a une amplitude inférieure ou égale à 10−2.

Appeler l’examinateur pour lui indiquer la conjecture émise et lui indiquer les méthodes envisagées pour la question suivante.

3. Proposer des éléments permettant de justifier que, pour la valeur trouvée en 2. b., l’amplitude de l’encadrement est bien inférieure ou égale à 10−2.

Production demandée

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