Exercices de statistiques - 2 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 2 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 2 - 1° partie Les thèmes principaux abordés sont les suivants: combinatoire, equa diff, complexes, une courbe, Ln et Exp.
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Terminale S 2004

Banque d’exercices

Les exercices de Spécialité et l’exercice commun avec les ES sont à la fin.

1. combinatoire 2. equa diff 3. complexes 4. une courbe 5. Ln et Exp 6. exponentielle 7. suite récurrente 8. géométrie espace 9. fonction trigo 10. distance point - plan 11. aire 12. aire

13. équa diff 14. suite récurrente 15. géométrie espace 16. suite récurrente 17. géométrie espace 18. courbe et intégrale 19. suites 20. exp+suite+intégrale 21. géométrie espace 22. géométrie espace 23. équa diff (corrigé) 24. complexes (corrigé)

25. probabilité continue 26. géométrie espace 27. adéquation à une loi équirépartie (commun avec ES) 28. spécialité - géométrie 29. spécialité - arithmétique 30. spécialité - arithmétique, codage 31. spécialité - arithmétique 32. spécialité - arithmétique

1. combinatoire

On considère 7 boules numérotées de 1 à 7. L’expérience consiste à en tirer simultanément 3.

1. Soit k un entier vérifiant 3 7k  . Combien y a-t-il de tirages de 3 boules dont le plus grand numéro est k ?

2. En déduire une expression de

7

3

1

2 k

k

       sous forme d’un unique coefficient binomial.

2. equa diff

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. On désigne par C la courbe représentative de la fonction exponentielle xx e . Pour tout point M d’abscisse t appartenant à C, on considère le point P de coordonnées (t, 0) et le point N, point d’intersection de la tangente en M à C avec l’axe des abscisses.

Montrer que la distance PN est constante.

2. Dans la suite de l’exercice, f désigne une fonction définie sur , strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement positive. Pour tout point M d’abscisse t appartenant à la courbe représentative de f, on considère le point P de coordonnées (t, 0) et le point N, point d’intersection de la tangente en M à la courbe représentative de f avec l’axe des abscisses.

a. Calculer la distance PN en fonction de f(t) et de f’(t).

b. Déterminer une équation différentielle (Ek) vérifiée par les fonctions f définies sur , strictement positives, dérivables et dont la dérivée est strictement positive, pour lesquelles la distance PN est une constante k.

c. Déterminer les fonctions f solutions de (Ek)

3. complexes

A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affecté ; une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affecté.

Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n’en enlèvent aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte. Le candidat doit cocher la case correspondante. Aucune justification n’est demandée.

1. Soit z vérifiant 6 2z z i   . L’écriture algébrique de z est :

□ 8

2 3

i □ 8

2 3

i  □ 8

2 3

i  □ 8

2 3

i

2. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant 1z z i   est la droite

d’équation :

y = x − 1 □ y = −xy = −x + 1 □ y = x

3. Soit n un entier naturel. Le nombre  1 3 n

i est réel si, et seulement si, n s’écrit sous

la forme :

□ 3k + 1 □ 3k + 2 □ 3k □ 6k (avec k entier naturel)

4. Soit l’équation (E) : 6

3

z z

z

  

, z . Une solution de (E) est :

□ 2 2i  □ 2 2i □ 1 − i □ 1 − i

5. Soit deux points A et B d’affixes respectives Az i et 3Bz  dans un repère orthonormal ( ; , )O u v .

L’affixe zC du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral avec  , (2 ) 3

AB AC   est :

□ −i □ 2i □ 3 i □ 3 2i

6. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant la relation 2

arg 2 2

z

z i

   

 

est inclus dans :

□ La droite d’équation y = −x

□ Le cercle de centre I (1 + i ) et de rayon R = 2 □ La droite d’équation y = x □ Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d’affixes respectives zA = −2 et zB = 2i .

4. une courbe

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par

( ) 2 1f x x x   .

Cette fonction est dérivable sur ]0 ; 1] et sa dérivée f’ vérifie f’(1) = 0. La courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthonormal est donnée ci-contre.

1. a. Montrer que le point M de coordonnées (x, y) appartient à C si et seulement si x > 0, y > 0 et

1x y  .

b. Montrer que C est symétrique par rapport à la droite d’équation y = x.

2. a. Si C était un arc de cercle, quel pourrait être son centre ? Quel pourrait être son rayon ?

b. La courbe C est-elle un arc de cercle ?

5. Ln et Exp

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

( ; , )O i j .

On note  et  les courbes représentatives respectives des fonctions exponentielle et logarithme népérien.

Soit A le point de  d’abscisse 0 et B le point de  d’abscisse 1.

1. a. Ecrire les équations de la tangente D à la courbe  au point A et de la tangente T à la courbe  au point B.

b. Montrer que les droites D et T sont parallèles. Quelle est leur distance ?

2. a. Démontrer que la courbe  est située entièrement « au-dessus » de D.

b. Démontrer que la courbe  est située entièrement « en dessous » de T.

c. On désigne par M un point quelconque de  et par N un point quelconque de  . Expliquer

pourquoi 2MN  .

6. exponentielle

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j .

Soit f la fonction définie sur par : 2 1

( ) 2,1 1,1 1,6 2

x xf x e e x    .

1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre [−5 ; 4] x [−4 ; 4].

Reproduire l’allure de la courbe obtenue sur la copie.

2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :

a. Sur les variations de la fonction f ?

b. Sur le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 ?

3. On se propose maintenant d’étudier la fonction f.

a. Résoudre dans l’inéquation e2x − 2,1ex + 1,1 > 0.

b. Etudier les variations de la fonction f.

c. Déduire de cette étude le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0.

4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−0,05 ; 0,15], de façon à visualiser les résultats de la question 3.

Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée y peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice ?

7. suite récurrente

On considère une suite (un) positive et la suite (vn) définie par 1

n n

n

u v

u  

· Les propositions suivantes sont-

elles vraies ou fausses ? Justifier dans chaque cas.

1. Pour tout n, 0 1nv  .

2. Si la suite (un) est convergente, alors la suite (vn) est convergente.

3. Si la suite (un) est croissante, alors la suite (vn) est croissante.

4. Si la suite (vn) est convergente, alors la suite (un) est convergente.

8. géométrie espace

Dans cet exercice, les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, une seule des trois propositions a), b) ou c) est exacte. On demande d’indiquer laquelle, sans justification.

A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affecté ; une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affecté.

Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n’en enlèvent aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. Soient A et B deux points distincts de l’espace. L’ensemble des points M de l’espace tels que

MA MB est :

a) l’ensemble vide b) un plan c) une sphère

2. On considère les points E(0 ; 1 ; −2) et F(2 ; 1 ; 0). Les coordonnées du barycentre G de (E ; 1) et (F ; 3) sont :

a) G (6 ; 4 ; −2) b) G (1,5 ; 1 ; −0,5) c) G (0,5 ; 1 ; 1,5)

3. Soit d la droite de représentation paramétrique x = 2 − t ; y = 3t ; z = −3, t . On considère les points A(2 ; 3 ; −3), B(2 ; 0 ; −3) et C(0 ; 6 ; 0). On a :

a) d = (AB) b) d = (BC) c) d ≠ (AB) et d ≠ (BC) et d ≠ (CA)

4. Les droites de représentations paramétriques respectives

x = 2 + t ; y = 1 − t ; z = 1 + t, t ,

x = −t0 ; y = −2 − 1,5t0 ; z = 3 + t0, 0t

admettent comme point commun :

a) I(3 ; 0 ; 2) b) J(2 ; 1 ; 1) c) K(0 ; 2 ; -3)

5. Les droites de représentations paramétriques respectives :

x = 1 ; y = 1 + 2t ; z = 1 + t, t ,

x = 3 − 2t0 ; y = 7 − 4t0 ; z = 2 − t0, 0t

sont :

a) parallèles b) sécantes c) non coplanaires

6. La droite de représentation paramétrique x = −4t ; y = 1 + 3t ; z = 2 + 2t, t et le plan d’équation x − 2y + 5z − 1 = 0 sont :

a) orthogonaux b) parallèles c) ni orthogonaux ni parallèles

7. L’ensemble des points tels que xy + 2z − 1 = 0 et −2x + 4y − 4z + 1 = 0 est :

a) l’ensemble vide b) une droite c) un plan

9. fonction trigo

1. Etudier les variations de la fonction f définie sur par f(x) = cos x + x.

En déduire que l’équation cos x + x = 0 a une unique solution. En donner une valeur approchée à 10−3 près.

2. On considère l’équation (E) sin 0 2

x x   , x réel.

a. Montrer que toutes les solutions de cette équation appartiennent à l’intervalle [−2 ; 2].

b. Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l’équation (E).

c. Donner une valeur approchée, à 10−3 près par défaut, de la plus grande solution.

10. distance point - plan

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. Déterminer une équation du plan P passant par le point A(1 ; 0 ; 1) et de vecteur normal

1

1

1

n

         

.

2. Soit P0 le plan d’équation x + 2yz + 1 = 0 et M le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1).

a. Sachant que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur non nul normal à l’un est orthogonal à un vecteur non nul normal à l’autre, démontrer que les plans P et P0 sont perpendiculaires.

b. Calculer les distances d et d0 du point M aux plans P et P0 respectivement.

3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite D intersection des plans P et P0.

b. Déterminer les coordonnées du point H de D tel que la droite (MH) soit perpendiculaire à la droite D.

c. Vérifier que 2 2 20MH d d  .

11. aire

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

( ; , )O i j .

On note I le point de coordonnées (1 ; 0).

Soient f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par 1( ) xf x e  et C sa courbe représentative dans le

repère ( ; , )O i j .

On note  la portion de plan comprise entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

Le but de l’exercice est de prouver l’existence d’un

unique réel  appartenant à l’intervalle [0 ; 1] tel

que, si A est le point de C d’abscisse , le segment [IA] partage  en deux régions de même aire.

Pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], on note Mx le point de coordonnées (x, f(x)) et Tx le domaine délimité par la droite (IMx), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la courbe C.

On désigne par g(x) l’aire de Tx.

1. Pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], calculer g(x) en fonction de x.

2. Etudier les variations de la fonction g sur [0 ; 1].

3. a. Par des considérations d’aires, montrer que 1

0

1 (0) ( )

2 g f t dt  .

b. Montrer qu’il existe un unique réel  de [0 ; 1] tel que g() soit égal à la moitié de l’aire de  .

4. Trouver une valeur approchée de  à 10−3 près par défaut.

12. aire

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

( ; , )O i j .

On note I le point de coordonnées (1, 0).

Soient f une fonction positive, strictement croissante et dérivable sur [0 ; 1], C sa courbe

représentative dans le repere ( ; , )O i j et  la

portion de plan comprise entre C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

Le but du problème est de prouver l’existence d’un

unique réel  appartenant à l’intervalle [0 ; 1] tel

que, si A est le point de C d’abscisse , le segment [IA] partage  en deux régions de même aire.

Pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], on note Mx le point de coordonnées (x, f(x)) et Tx le domaine délimité par la droite (IMx), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la courbe C.

On désigne par F la fonction définie sur [0 ; 1] par 0

( ) ( ) x

F x f t dt  et par g(x) l’aire de Tx.

1. Exprimer, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], g(x) en fonction de x, f(x) et F(x).

2. Démonstration de cours. Démontrer que F est dérivable et a pour dérivée f.

3. Etudier les variations de la fonction g sur [0, 1].

4. a. Par des considérations d’aires, montrer que 1

0

1 (0) ( )

2 g f t dt  .

b. Montrer qu’il existe un unique réel  de [0 ; 1] tel que g() soit égal à la moitié de l’aire de  .

13. équa diff

A. Solutions d’une équation différentielle.

On considère l’équation différentielle : (A) y’ = −10y + 6 où y désigne une fonction de la variable t, dérivable sur .

1. Démonstration de cours. Démontrer l’existence et l’unicité de la solution f de l’équation différentielle (A) telle f(0) = 0.

2. Vérifier que la solution f de l’équation différentielle (A) telle que f(0) = 0 est  10 3

: 1 5

tf t e  .

B. Etablissement d’un courant dans une bobine.

Aux bornes d’une bobine de résistance R (exprimée en ohms) et d’inductance L (exprimée en henrys), on branche, à la date t = 0, un générateur de force électromotrice E (exprimée en volts). L’unité de temps est la seconde.

L’intensité du courant dans le circuit (exprimée en ampères) est une fonction dérivable du temps, notée i. A la date t = 0 l’intensité est nulle.

Au cours de l’établissement du courant, la fonction i est solution de l’équation différentielle : Li’ + Ri = E

(ou di

L Ri E dt   )

Valeurs numériques : dans toute la suite, on prend R = 5, L = 1

2 , E = 3.

1. Déduire des questions précédentes l’expression de i(t) pour t > 0 .

2. Déterminer lim ( ) t

i t 

.

14. suite récurrente

Soit I l’intervalle [0 ; 1]. On considère la fonction f définie sur I par 3 2

( ) 4

x f x

x

  

.

1. Etudier les variations de f et en déduire que, pour tout x élément de I, f(x) appartient à I.

2. On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et 1 3 2

( ) 4

n n n

n

u u f u

u

  

 .

Montrer que, pour tout n, un appartient à I.

On se propose d’étudier la suite (un) par deux méthodes différentes.

Première méthode :

3. a. Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal d’unité graphique 10 cm.

b. En utilisant le graphique précédent, placer les points A0, A1, A2 et A3 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0, u1, u2 et u3.

Que suggère le graphique concernant le sens de variation de (un) et sa convergence ?

c. Etablir la relation 1 (1 )( 2)

4

n n n n

n

u u u u

u

   

 et en déduire le sens de variation de la suite (un).

d. Démontrer que la suite (un) est convergente.

e. Prouver que la limite l de la suite (un) vérifie l = f(l) et calculer l.

Deuxième méthode :

On considère la suite (vn) définie par 1

2

n n

n

u v

u

  

.

4. a. Prouver que (vn) est une suite géométrique de raison 2

5 .

b. Calculer v0 et exprimer vn en fonction de n.

c. Exprimer un en fonction de vn, puis en fonction de n.

d. En déduire la convergence de la suite (un) et sa limite l.

15. géométrie espace

Dans l’espace muni du repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère les points :

A(2 ; 0 ; 0), ( 1 ; 3 ; 0)B  et ( 1 ; 3 ; 0)C  

1. Placer sur une figure les points A, B et C dans le plan ( ; , )O i j .

2. Montrer que le triangle ABC est équilatéral et que O est son centre.

3. a. Déterminer l’ensemble des points M de l’espace équidistants des points A et B.

b. Déterminer l’ensemble des points N de l’espace équidistants des points B et C.

c. En déduire que l’ensemble des points P de l’espace équidistants des points A, B et C est l’axe ( ; )O k .

4. Montrer qu’il existe un unique point D dont la troisième coordonnée est positive tel que le tétraèdre ABCD soit régulier et calculer ses coordonnées.

5. Soit M un point quelconque du segment [CD]. On pose CM CD avec [0 ;1] .

a. Montrer que 2

2

2 2 1 cos

2( 1) AMB

 

 

  

  .

On définit une fonction f de dans par la relation 2

2 2

2 2 1 1 ( ) 1

2( 1) 2( 1) f

  

   

    

    .

b. Etudier les variations de la fonction f.

c. En déduire la position de M pour laquelle l’angle AMB est maximum.

d. Quelle est la valeur de ce maximum?

16. suite récurrente

On sait tous qu’il y a des années à coccinelles et d’autres sans ! On se propose d’étudier l’évolution d’une population de coccinelles à l’aide d’un modèle utilisant la fonction numérique f définie par f(x) = kx(1 − x), k étant un paramètre qui dépend de l’environnement (k réel).

Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur à un million.

L’effectif des coccinelles, exprimé en millions d’individus, est approché pour l’année n par un nombre réel un, avec un compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l’année zéro il y a 300 000 coccinelles, on prendra u0 = 0,3.

On admet que l’évolution d’une année sur l’autre obéit à la relation un+1 = f(un), f étant la fonction définie ci-dessus.

Le but de l’exercice est d’étudier le comportement de la suite (un) pour différentes valeurs de la population initiale u0 et du paramètre k.

1. Démontrer que si la suite (un) converge, alors sa limite l vérifie la relation f(l) = l.

2. Supposons u0 = 0,4 et k = 1.

a. Etudier le sens de variation de la suite (un).

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 1nu  .

c. La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

d. Que peut-on dire de l’évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ?

3. Supposons maintenant u0 = 0,3 et k = 1,8.

a. Etudier les variations de la fonction f sur [0 ; 1] et montrer que 1 1

0 ; 2 2

f    

       .

b. En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence,

– montrer que, pour tout entier naturel n, 1

0 2

nu  ;

– établir que, pour tout entier naturel n, un+1 > un.

c. La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

d. Que peut-on dire de l’évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ?

4. On a représenté sur les feuilles annexes la fonction f dans les deux cas étudiés ci-dessus ainsi que la droite d’équation y = x. Le troisième graphique correspond au cas où u0 = 0,8 et k = 3,2.

a. Illustrer sur les deux premiers graphiques les résultats trouvés en 1. et 2. en laissant les traits de construction et en faisant apparaître en abscisse les valeurs successives u0, u1, u2,. . .

b. En utilisant la même méthode, formuler une conjecture sur l’évolution de la population dans le troisième cas.

1er cas : u0 = 0,4 et k = 1.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

2e cas : u0 = 0,3 et k = 1,8.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

3e cas : u0 = 0,8 et k = 3,2.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

17. géométrie espace

Soit ABCDEFGH un cube de côté 1.

On choisit le repère orthonormal ( ; , , )O i j k , avec

, ,i AB j AD k AE   .

On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments [BC], [CD], [DH], [HE], [EF] et [FB].

1. Déterminer les coordonnées des points I, K, M.

2. Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires, dans un plan que l’on notera P (on donnera une équation du plan P dans le repère choisi).

3. Montrer que le vecteur AG est un vecteur normal au plan P.

4. Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N sur la droite (AG) sont confondus en un même point. On appellera T ce point.

Déterminer la position du point T sur le segment [AG].

5. Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon et montrer que tous ses côtés ont même longueur.

6. On considère la pyramide ayant pour base cet hexagone et pour sommet le point G. Quelle fraction du volume du cube représente le volume de cette pyramide ?

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