Exercices de statistiques - 3 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 3 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 3 - 1° partie Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Résoudre l’inéquation, Discuter et résoudre le système, la division du polynôme.
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Exercices d’entrée dans les Universités belges

Jacques Collot

Algèbre

1. ALG001 – Liège, septembre 1996. 1 2. ALG002 – Liège, septembre 1996. 1 3. ALG003 – Mons, questions-types 2000-2001.2 4. ALG004 – Mons, questions-types 2000-2001.3 5. ALG005 – Mons, questions-types 2000-2001.3 6. ALG006 – Mons, questions-types 2000-2001.3 7. ALG007 – Mons, questions-types 2000-2001.3 8. ALG008 – Mons, questions-types 2000-2001.4 9. ALG009 – Mons, questions-types 2000-2001.4 10. ALG130– Bruxelles, juillet 2003. 5 11. ALG131– Bruxelles, septembre 2003 6 12. ALG132– Bruxelles, septembre 2003 6 13. ALG133– Bruxelles, septembre 2003 6 14. EXALG134– Bruxelles, septembre 2003. 6 15. ALG135– Bruxelles, septembre 2003 7 16. ALG136– Exemple. Racine carrée complexe 7 17. ALG137– Louvain, juillet 2002, série 1 8 18. ALG138– Louvain, juillet 2002, série 1 9 19. ALG139– Louvain, juillet 2002, série 1 9 20. ALG140– Louvain, juillet 2002, série 1 10 21. ALG141– Louvain, juillet 2002, série 2 10 22. ALG142– Louvain, juillet 2002, série 2 11

23. ALG143– Louvain, juillet 2002, série 2 11 24. ALG144– Louvain, juillet 2002, série 2 11 25. ALG145– Louvain, septembre 2002 12 26. ALG146– Louvain, septembre 2002 12 27. ALG147– Louvain, septembre 2002 13 28. ALG148– Louvain, septembre 2002 13 29. ALG149– Louvain, juillet 2003, série 1. 14 30. ALG150– Louvain, juillet 2003, série 1. 14 31. ALG151– Louvain, juillet 2003, série 1. 14 32. ALG152– Louvain, juillet 2003, série 1. 15 33. ALG153– Louvain, juillet 2003, série 2. 16 34. ALG154– Louvain, juillet 2003, série 2. 16 35. ALG156– Louvain, juillet 2003, série 2. 17 36. ALG157– Louvain, septembre 2003. 18 37. ALG158– Louvain, septembre 2003. 19 38. ALG159– Louvain, septembre 2003. 19 39. ALG173 – Louvain, juillet 2004, série 1. 20 40. ALG174 – Louvain, juillet 2004, série 1. 20 41. EXALG176 – Louvain, juillet 2004, série 1. 21 42. EXALG177 – Louvain, juillet 2004, série 2. 22 43. EXALG178 – Louvain, juillet 2004, série 2. 23 44. ALG179 – Louvain, juillet 2004, série 2. 23

1. ALG001 – Liège, septembre 1996.

Résoudre l’inéquation suivante : 3 ( 1) 3

8

x x

x

  .

Correction

0 1

³ - 0 ³( 1) 0 : Tableau des signes :

-1 - - - 0

0 0

0 : Conclusion : 0 et 1.

³( -1) 9 9 1 9 9 Soit 0 ² 0 dont les racines sont : et 1 .

² 64 64 8 8 8

Soit 0 L'inéquat ion est toujours vérifiée.

S

x x x

x

x x x

x x x x x x x x

x

x

    

  

  

           

9 olut ions : 0 ou 1 .

8 x x  

2. ALG002 – Liège, septembre 1996.

Discuter et résoudre le système :

2 2

2 1

2 0

2 4 1

x y z a

ax ay z

ax ay a z a

        

    

a est un paramètre réel.

Correction

1 1 1

Méthode du : 2 (2 1)( 2),

2 ²

2 1 1 1

0 2 (2 1)( 2)( ² 1),

(2 1)(2 1) 2 ²

1 2 1 1

0 2 (2 1)( 2)( 1)( 1),

(2 1)(2 1) ²

1 1 2 1

0 (2 1)(2 ),

2 (2 1)(2 1)

x

y

z

a a a a a

a a a

a

a a a a

a a a a

a

a a a a a

a a a a

a

a a a a a

a a a a

        

        

 

        

 

     

 

Discussion

0 5

1 1 1 2 1. 2 0 Simple indéterminat ion

32 2 2

1 1 2 0

2 4

1

2. 0 2 0 Système impossible

0 1

5

3. 2 2 2 2 0 Système impossible

2 4 4 15

1 4.

2

x y z x z

a x y z

y z

x y z

x y z

a z

x y z

a x y z

x y z

a

     

            

    

    

   

      

   

         

 

² 1

( 1)( 1) , 0, 2

1

a x

a

a a y

a

z

 

  

   

 

3. ALG003 – Mons, questions-types 2000-2001.

Résoudre l’équation 6 5 4 3 23 4 6 5 3 2 0x x x x x x       sachant qu’elle admet i comme racine double.

Correction

4

Soit ( ) 0 l'équat ion. Si est racine double, ( ) est divisible par ² 1 : ffectuons la division on obt ient

( ) ( ² 1)( 3 ³ 3 ² 3 2)

Soit ( ) le deuxième facteur : (1) 0, donc ( ) est divisible

P x i P x x e

P x x x x x x

Q x Q Q x

 

     

 par 1.

1 3 3 3 2

Horner : 1 1 2 1 2 ( ) ( 1)( ³ 2 ² 2).

1 2 1 2 0

Soit ( ) le deuxième facteur de ( ) . On a ( ) ³ 2 ² 2 ²( 2) ( 2) ( 2)( ² 1).

( ) ( ² 1)²( 2)( 1).

Solut ions : et racines dou

x

Q x x x x x

T x Q x T x x x x x x x x x

P x x x x

i i

 

      

 

          

   

 bles, 2 et 1 racines simples.

4. ALG004 – Mons, questions-types 2000-2001.

Résoudre 4x³ − 24x² + 23x + 18 = 0, sachant que ses racines sont en progression arithmétique.

Correction

 

1

Soient et 2 les racines :

( ) ( )( )( 2 ) ³ 3( ) ² (2 )( 2 ) ( )( 2 )

24 3( )

4

23 23 (2 )( 2 ) 2(2 ) (2 2 ) 4 ² 8 5 0

4 4

18 ( )( 2 )

4

1 d'où 0 à rejet

2

a r a r

P x x a x a r x a r x a r x a r a r x a a r a r

a r

a r a r r r r r r r

a a r a r

r

 

              

      

                   

   2er et 2,5 0,5, 2, 2 4,5 ( ) 4( 0.5)( 2)( 4.5).r a a r a r P x x x x            

5. ALG005 – Mons, questions-types 2000-2001.

Si x1, x2 et x3 sont les racines de l’équation P(x) = x³ − 5x + 1 = 0, calculer S(x) : x1² + x2² + x3².

Correction

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

1 2 3 1 2 3

( ) ( )( )( ) ³ ( ) ² ( ) 0

0

5

1

Or ( )² ² ² ² 2 2 2

0 ² ² ² 10 ² ² ² 10 .

P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

            

   

       

       

        

6. ALG006 – Mons, questions-types 2000-2001.

Décomposer x5 − 1 = 0 en un produit de 3 facteurs réels.

Correction

4 3 2

1 1 2 2

4 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

1 2

1

5 4 3 2 1 0

1 1 ( ) est divisible par 1 : Horner : ( ) ( 1)( 1).

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 0

Soit ( ) le deuxième facteur : ( ) ( ² )( ² )

( ) ³ ( ) ² ( ) 0

1

P x x P x x x x x x

Q x Q x x a x b x a x b

x a a x b b a a x a b a b x b b

a a

b b

        

    

         

 

 

2 1 2 1 2 1 2

1 22 1 1 2

1 2

1 2 1 1 2 2

1 1 . Supposons 1 1 ,

11

1

1 5 1 5 et sont solut ions de l'équat ion : ² - -1 0 ,

2 2

1 5 1 5 ( ) ( 1) ² 1 ² 1 .

2 2

a a a a b b

a aa b a b

b b

a a y y y a y a

P x x x x x x

 

        

     

       

            

  

7. ALG007 – Mons, questions-types 2000-2001.

Q1(x) et c sont respectivement le quotient et le reste de la division du polynôme P(x) par xa.

Q2(x) et d sont respectivement le quotient et le reste de la division du polynôme P(x) par xb.

On demande :

1. Quel est le reste R de la division de P(x) par (xa)(xb).

2. Si Q3(x) est le quotient de cette division, déterminer Q1(x) en fonction de Q3(x).

Correction

1 2 3 1 0

1 0 1 0 1 1

0 0

( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( ) avec ( ) .

( ) ( ) , ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P x x a Q x c P x x b Q x d P x x a x b Q x R x R x R x R

c d P a R a c R a R P b R b d R b R c d a b R R

a b

c d c a b c d a ad bc c d ad bc c a R R R x x

a b a b a b a b a b

           

              

               

     .

1 3

1 3

1 3 1 3

( ) ( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

c d ad bc P x x a Q x c P x x a x b Q x x

a b a b

c d ad bc x a Q x c x a x b Q x x

a b a b

c d ad bc c d Q x x b Q x x c Q x x b Q x

x a a b a b a b

         

 

         

 

              

    

8. ALG008 – Mons, questions-types 2000-2001.

Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynôme P(x) soit divisible par (xa )2 est que P(a) = P’(a) = 0 où P’(x) désigne la dérivée de P(x).

Correction

2

2

a condit ion est nécessaire puisque si ( ) est divisble par ( - ) : ( ) ( )² ( )

'( ) 2( ) ( ) ( ) '( ). On vérifie immédiatement que ( ) '( ) 0.

La condit ion est suffisante puisque si ( )

L P x x a P x x a R x

P x x a R x x a R x P a P a

P a P

 

      

2

'( ) 0, alors : ( ) ( ) ( ) car ( ) 0.

'( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) 0 ( ) 0.

Donc ( ) est divisible par ( ). Dés lors : ( ) ( ) ( ) et ( ) ( ) ( ).

a P x x a Q x P a

P x Q x x a Q x P a Q a Q a

Q x x a Q x x a R x P x x a R x

   

       

    

9. ALG009 – Mons, questions-types 2000-2001.

1. Déterminer les paramètres a et b du polynôme suivant :

     3 22 2 2 2P x x a b x ab a b x ab       

de telle façon que le reste de la division par (x – 2) soit égal à 5, et que le reste de la division par (x + 1) soit égal à 5/4.

2. En exploitant ces seules données (sans effectuer la division), déterminer quel sera le reste de la division de P(x) par (x – 2)(x + 1)

Correction

1. (2) 8 4( 2) 2( 2 2 ) 2 5 4 8 8 11,

5 1 ( 1) 1 2 2 2 2 ,

4 4

11 4 8 8 11 2 2

4 3 3 3 ( 1).1

1 4

4

Remplacons dans une des équat io

P a b ab a b x ab ab a b

P a b ab a b ab ab a b

ab a b ab a b

a b b a ab a b

ab a b

             

              

          

                  

1 1

2 2

1 0 1 0 1 0 1 0

3 1

1 3 2 2 ns : - ( 1) - 1 ² 0 .

1 34 4

2 2

( ) étant symétrique en et , il n'y a qu'une seule solut ion.

5 5 5 5 5 2. ( ) , (2) 2 5, ( 1) ( ) .

4 4 2 4 2

a b

a a a a a a

a b

P x a b

R x R x R R R R R R R R et R R x x

    

               

               

10. ALG130– Bruxelles, juillet 2003.

Résoudre dans l’équation

2 61

1 0

1 1 1

z z

i i  et représenter les solutions dans le plan de Gauss.

Correction

 

            

   

2 6 2 6

2 6 4 2 2

2 4 2 2 4 2

4

1 0 1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 2

Occupons nous du second facteur que l'on peut simplifier en le mult ipliant par

1 1 1

2

z z z z z z z z

i i i i z i i i i

z i z z i z i z i z i

i i z i

     

             

             

     

 

  

2 4 2

2 22 2 2

2 2

2

2

1 2 1

2

C'est une équat ion bicarrée. Calculons la racine carrée du 1 4 1 3 4

53 5 4 0 1 4 0

2 4 4

1 11 ou 1 2

2 24

P

i z i z z i

i i

a ba b X X X X

ab a b

a aa i

b bb

       

 

      

               

   

             

    

 2

2

2 2 2 2

2

2 2

2 1

2

2

11 1 2 ar conséquent :

2

) 1

2 1 1 2 2 1

2 01 4 22 1

4

2 1 2 1 2 1 2 12 1

2 2 2 22 ou

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 2 2 2

ii z

i

a z i

a b a b

X X X ab a b

a a z ia

b b b z i

       

  

                 

    

            

       

               

     

2

2 2 22 2

2

2 2

2 3

2

4

)

1 0 1 1

0 01 4 22 1

4

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2 ou

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

b z i

a b a b

X X X ab a b

a a a z i

b b b z i

                  

    

             

                     

1 2 3

4 5 6

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 , ,

2 2 2 2 2 2Conclusions 2 2

, 1, 1. 2 2

z i z i z i

z i z z

                     

11. ALG131– Bruxelles, septembre 2003

Déterminer le quotient et le reste de la division de (x7 – a7 ) par (xa) (où a est réel). En déduire la valeur de 1 + 3 + 32 + 33 + …..+36

Correction

    7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6

7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6

7 2 3 4 5 6

Par Horner, on t rouve facilement que :

.

1 3 Posons 1 et 3 1 3 3 3 3 3 3 1093.

1 3

x a x a x ax a x a x a x a x a

x a x ax a x a x a x a x a

x a

x a

        

        

           

12. ALG132– Bruxelles, septembre 2003

Le reste de la division de 3x3 + x2 – ax + a par x + 2 est k et par x – 1 est –2k (où a, k  ).

Calculer a et k.

Correction

   

  3 2 2 24 4 2 3 20 , 1 3 1 2 2 6.

Conclusion 3 6 6.

P a a k a k P a a k k a

P x x x x

                    

   

13. ALG133– Bruxelles, septembre 2003

Résoudre l’équation dans L’équation 6 5 4 3 23 4 6 5 3 2 0z z z z z z       sachant qu’elle admet i comme racine double.

Correction

6 5 4 3 2 1 0

1 3 4 6 5 3 2

1 3 3 3 3 3 3 2 2 Appliquons deux fois Horner,

1 3 3 3 3 3 2 3 2 0

2 3 6 4 3 2

1 3 2 1 6 3 4 2 0

i i i i i i

i i i i i

i i i i i i

i i i

  

      

      

     

    

          2 4 3 23 2 1 6 3 4 2 .P z z i z i z i z i z           

   

           

         

3 2

22

1 2

4 3 2 1 0

1 3 2 1 6 3 4 2 Résolvons le deuxième facteur . 1 0

1 1 2 2 1 4 2

1 2 2 1 4 2 0

1 1 2 2 1 4 2 .

3 2 1 0

1 2 2 1 4 2 2 0 2 2 1 2 .

2 2 4 2

1 2 1 0

Conclusions : ,

i i i Q z Q

i i

i i

Q z z R z z z i z i z

i i R R z z z iz z z i

i

i

z i z i

     

   

   

             

              

  3 4 5 6, 1, 2, , .z z z i z i     

14. EXALG134– Bruxelles, septembre 2003.

Calculer le terme en x dans 5

2 42x x

   

  .

Correction

   

 

5 55 5

2 2 5 10 3 5 5

0 0

5 33 8

5

0

4 4 2 2 1 2 . Il faut que : 10 3 1 3.

Le terme en est donc : 1 2 2560 .

i i ii i i i

i i

i

x C x C x i i x x

x C x x

  

 

               

   

  

 

15. ALG135– Bruxelles, septembre 2003

Résoudre dans 3, en discutant par rapport au paramètre réel m, le système

2

1mx y z

x my z m

x y mz m

    

   

  

Correction

      

        

     

     

2

22 2

2 2 2

2 2

2

22

2 2 2

1 1 1 1 1 1 0 0

1 1 2 1 1 2 1 1 0 2 1 .

1 1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1 1 . 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 . 1

1 11

1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 1

1 1 1 1

x

y

z

m

m m m m m m m

m m m

m m m m m m m m m

m m m m m

m m m

m m m m m

m mm m

m m m

m m m m m m m

m m m

         

             

   

        

        

2 .

1: Le système devient : 1 double indéterminat ion.

2 1

2 : 2 2 si on addit ionne membre à membre : 0 3 système impossible.

2 4

1

2

1 Autres cas :

2

1

m x y z

x y z

m x y z

x y z

m x

m

y m

z m

   

    

          

   

   

  

 

16. ALG136– Exemple. Racine carrée complexe

Calculer 3 4i  .

Correction

 

       

   

 

   

2 22 22 2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2

2 222 2 2

2 22 2

Première méthode

3 4 3 43

2 4 4 4 4 16

5 33 4

4 44

On reconnaît la somme 3 et le produit 4 ,

a b a b a ba b

ab a et b sont de même signe a b a b

a ba b

a ba b

                 

     

          

  

    

2 2

2 2

2

et sont solut ions d'une équat ion du second dégré.

1 11 5 4 0 1 4 0 ou 1 2

2 24

a b

a aa X X X X z i

b bb

                    

    

 

  ême,mais on considère les équations

2 2 2

2 2 2

Deuxième méthode

3 5 1

1 3 2 Le début est le m

3 53 5 4 2

a a b

a b b

        

       



 

 

ême :

22 2 4 2

2

Troisième méthode

4 2 La première ligne est la m e 2 , on t ire : .

2

1 112 On remplace dans 1 : 3 3 4 0 ou .

2 24

d b a a

a aa a a a

b ba a

 

                  

       

17. ALG137– Louvain, juillet 2002, série 1

Considérons le système d’équations que voici, dans lequel a est un paramètre réel :

2

22 2 2

1

ax y z a

ax ay z a

ax y az

    

       

Déterminer l’ensemble des valeurs de a pour lesquelles ce système possède

* aucune solution, * une solution unique, * une infinité simple de solutions,

* une infinité double de solutions, * une infinité triple de solutions.

Justifier la réponse.

Correction

      

   

2

2 2

2 2

2 2

1 11 1

2 2 1 2 , 2 2 1 2 1 ,

1 1 1

1 1

2 2 2 0, 2 2 2 1 1 .

1 1 1

x

y z

aa

a a a a a a a a a a a

a a a

a a a a

a a a a a a a a a

a a a

           

         

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