Exercices de statistiques - 3 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 3 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 3 - 2° partie Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Résoudre dans les réels, l’inéquation, Tableau de signes, le sens cont raire.
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0

1) 0 Le système devient : 2 0 système impossible.

1

1 1

2) 1 Le système devient : 2 2 2 infinité simple de solut ions. 0

1

2 4

3) 2 Le système devient : 4 2 2

y z

a z

y

x y z x z

a x y z z

x y z

x y z

a x y z

  

   

    

         

  

   

 

2

7

8 infinité simple de solut ions.2

32 2 1

1

4) Dans les aut res cas Une solut ion unique 0 il n'y a pas d'infinité double ou t riple.

1

y x

zx y z

a a x

a

y

z a

   

        

   

 

   

 

18. ALG138– Louvain, juillet 2002, série 1

Résoudre dans les réels, l’inéquation suivante :    1 5 1 5x x x x     .

Correction

Existence : 5 5.

Regardons d'un peu plus près avant de nous lancer dans les calculs. En effet , il ne faut pas oublier que la

résolut ion va demander des élévat ions au carré qui risquent d'int roduire de

x  

     

           2 2

s solut ions fausses.

1. 1 5 : l'inéquat ion est toujours vérifiée.

2. 5 1: l'inéquat ion n'est jamais vérifiée.

Il nous reste donc à étudier l'intervalle 1 ;1 .On a : 1 5 1 5

1 5 1 5 2 3 3

x

x

x x x x

x x x x x x x

 

   

     

         

 

0.

-3 -1 0 1 3

0

3 0Tableau de signes :

3 0

0 0 0

Conclusion : Seul l'intervalle 1 ;1 , nous intéresse : 0 5.

x

x

x

x

         

          

          

       

  

19. ALG139– Louvain, juillet 2002, série 1

On donne l’équation suivante, dans laquelle z est l’inconnue et c est un paramètre réel : 8

1 2

z c   

  .

Déterminer l’ensemble des valeurs de c pour lesquelles notre équation possède exactement trois racines complexes z dont la partie réelle est strictement négative.

Correction

 

 

8

1 cos sin 2 cos sin Re 2cos , : 0,1,2,.....7. 2 2 4 4 4 4 4

Pour chaque valeur de , on a une équat ion linéaire en dont on étudie le signe

Re 2 2 0 2 2

0 2 0

1 2

z c z c k k k k k i z i c z c k

k c

k z

c

c

                      

   

          

   0

2 0

3 2 0

4 2 0

5 2 0

6 0

7 2 0

8 7 7 5 5 3 3 1 1 0 0

Dans le tableau est le nombre de part ies réelles st rictement négat ives. Conclusion : 0

c

c

c

c

c

c

n

n

       

          

           

           

           

          

          

 2.c

20. ALG140– Louvain, juillet 2002, série 1

Un bateau se déplace le long d’une rivière dont le courant a une vitesse de 3 km/h. Il va tantôt dans un sens tantôt dans l’autre. Il revient ainsi à son point de départ 6 heures après être parti, en ayant effectué un périple de 36 km.

Déterminer La vitesse du bateau, sachant que celui-ci ne perd pas de temps ne changeant de sens.

Correction

1 2

la vitesse du bateau : quand le bateau est dans le sens du courant sa vitesse est 3 km/ h,

dans le sens cont raire 3 km/ h.

le temps mis dans le sens du courant , le temps dans le sens cont raire du

v v

v

t t

   

   

1 2 1 2

1 2

21 2

1 2

courant .

186 3 33

3 3 0 1 6 9 0 18 3 3

3 3 36 3

3 3 2 6 6 1.7574 et 4.2426 .

2 2 23 3 2 (à rejeter car < 0)

Conclusion : 3 3 2 / .

t t t v

v t v t v v v v

tv t v t v

v t h t h

v

v km h

                  

        

         

  

  

21. ALG141– Louvain, juillet 2002, série 2

Soit m un paramètre réel. Résoudre et discuter l’équation suivante (dans les réels) : 2sin cos 1x x m   .

Correction

2 2 2 1 1 4sin cos 1 1 cos cos 1 cos cos 0 cos . 2

1 Ce qui nous donne une première condit ion sur : ; de plus il faut 1 cos 1.

4

1 1 4 1. 1 cos : 1 3 1 4 2.

2

1 1 4 2. cos 1: 1 toujours vé

2

m x x m x x m x x m x

m m x

m x m m

m x

               

    

          

   

1 rifié pour .

4

1 1 1 4 Conclusion 2. Les solut ions sont : arccos 2

4 2

1 Avec , 2 2,

4 3

m

m m x k

m x k m x k

        

          

22. ALG142– Louvain, juillet 2002, série 2

Résoudre, dans les nombres réels, l’équation que voici :     2

2 42 log 2 6 2 log 2 6 x x

x         

.

Correction

       

    

2

2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 32 2

2 log 2 6 2 log 2 6 2 log 2 6 2 log 2 6

log 2 6 2 6 2 2 log 2 6 log 2 2 6 2

3 2 .2 6.2 2 3.2 24 2 2 .

2

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x

x

 

              

          

        

23. ALG143– Louvain, juillet 2002, série 2

On s’intéresse à l’équation suivante :  4 2 23 2 6 0z a i z ai    dans laquelle a est un paramètre réel et i représente l’unité imaginaire.

Déterminer les valeurs de a pour lesquelles cette équation possède au moins une racine complexe dont la partie réelle est nulle.

Pour chacune des valeurs de a en question, donner toutes les racines complexes de l’équation correspondante.

Correction

   

       

   

2 2 2 2

2 2

2 2 2

1 2

2 2

2 2 2

112 1

12

212 2 2

22

Le delta de cet te équat ion bicarrée est : = 3a 2 24 3 2

3 2 3 2 23 2 3 2 2

Donc : 2 3 2 3 2

3 2

1 1. 2

1

3 2. 3

3

I

i ai a i

a i a i z ia i a i

z a i a i

z a

z i z i

z i

z a i z a

z a i

    

           

         

    

  

     

 

l y a donc au moins deux racines dont la part ie réelle est nulle quelque soit la valeur de .a

24. ALG144– Louvain, juillet 2002, série 2

Des enfants se partagent un sac de billes, de manière égale. Le premier enfant prend 1 bille et le dixième des billes qui restent, puis le deuxième prend 2 billes et le dixième de celles qui restent, et ainsi de suite jusqu’au dernier enfant qui prend toutes les billes restantes. Combien y avait-il d’enfants et combien

chacun a-t-il pris de billes ? Mettre le problème en équations, puis le résoudre. Une réponse numérique ne suffit pas.

Correction

 

 

 

1 1 9 le nombre de billes : le premier enfant prend 1 , il reste : 1 1 .

10 10 10

9 1 2

10Le deuxième enfant prend 2 , comme le part age est de manière égale : 10

9 1 2

1 101 2 81 10 10

On a donc le t ableau

x x x x x

x

x

x

      

 

 

    

suivant :

Prise Reste

1 1 8 9 72

2 2 7 9 63

3 3 6 9 54

4 4 5 9 45

5 5 4 9 36

6 6 4 9 27

7 7 4 9 18

8 8 4 9 9

9 9 0

 

 

 

 

 

 

 

 

25. ALG145– Louvain, septembre 2002

Déterminer l’ensemble des valeurs du paramètre réel m pour lesquelles les inéquations suivantes sont

vérifiées pour tout x réel : 2

2

1 3 3

1

x mx

x x

    

  .

Correction

   

   

 

2

22 2

2 2 2

2

Comme 1 est toujours posit if, on obt ient le système

4 3 4 0 13 3 3 1

3 3 3 1 2 3 2 0 2

Considérons les fonct ions définies par les premiers membres. Soit 4 3

x x

x m xx x x mx

x x x mx x m x

f x x

 

            

          

   

 

   

ôme

2 2

12

2

2

4 :

le coefficient de est posit if, sera st rictement posit ive pour tout si le delta 6 55 est négat if :

11 6 55 0 t rin dont les racines sont : 3 9 55 5 11.

5

2 3 2 :

m x

x f x x m m

m m m m m

m

g x x m x

 

 

            

 

     2

12 2

2

comme le coefficient de est posit if, sera st rictement posit ive pour

1 tout si le delta 6 7 est négat if : 6 7 0, 3 9 7 7 1.

7

Conclusion : en combinant les deux condit ions : 5

x g x

m x m m m m m m

m

              

 

  1 .m

26. ALG146– Louvain, septembre 2002

Résoudre, dans les nombres réels, l’équation que voici :    

 

2

9 8 8

log 1 3 log 27

log 3 log 1

x x

x

  

  .

Correction

     

     

         

3 2 2

3

2 22 23

2 2

2 2 2

3 CE : 1 et 1.

1

log 1 3 log 1 3log 3 3

log 1 log 1log 3 log 3log 9 2

log 8 log 8 3 3

21 1 log 1 3 log 3 1 1 3 3 1 6 0

32 2

Conclusion : 3 .

x x x

x

x x x x

x x

x x x x x x x x x

x

x

     



       

   

                



27. ALG147– Louvain, septembre 2002

Déterminer le(s) polynôme(s) P(x) de degré cinq satisfaisant aux conditions suivantes :

le coefficient de x5 dans P(x) est égal à 1,   5 1

P x x P x

    

  , la somme des cinq racines (réelles ou

complexes) de P est égale à 2, P est divisible 2 1x x  .

Ensuite, calculer toutes les racines réelles de P(x).

Correction

     

   

 

 

5 4 3 2 5 4 3 2 1 0 5 4

5 2 3 4 5 5 3 2 1 0 0 5 1 4 2 3

5 4 3 2

Soit , on a : 1 en vertu de 1 2 en vertu de 2 ,

1 1 2 ; 1, 2,

2 2 1.

Puisque est divisible par

P x a x a x a x a x a x a a a

x P x x a x a x a x a x P x x P a a a a a a a x

P x x x ax ax x

P x x

       

                

 

      

              

être nulle. 2

3 2 2

5 4 3 2 3 2 2 2 2

1, le reste de la division doit

Effectuons la division euclidienne. On obt ient : 2 1 1 3 3.

2 3 3 2 1 1 1 1 1 1 .

La seule racine réell

x

P x x x a x x x a a

P x x x x x x x x x x x x x x x

 

          

                

e est 1.x  

28. ALG148– Louvain, septembre 2002

Une pierre est lâchée du haut d’un immeuble. La distance h parcourue par celle-ci en chute libre en

t secondes depuis l’instant où elle est lâchée vaut 2 1

2 h gt , où g = 9.81 m.s−2 est l’accélération due à la

pesanteur.

Du haut de l’immeuble, on entend le bruit de la pierre frapper le sol 6.5 s plus tard. Sachant que la vitesse du son est de 340 m.s−1, calculer la hauteur de l’immeuble.

Correction

1 2

2 1

2 1

22 2 1 1

2 11 2

2

1

Soit le temps de chute de la pierre, et le temps mis par le son pour remonter.

2 9.81 340

340 9.81 2 340 2 6.5 340 0 ;2

6.56.5

340 340 2 6.5 340 9.8

t t

gt h

t t

h t t t

t tt t

t

 

             

      

       1 2

5.9831 5.983 , 0.5165 175.61

75.3 A rejeter9.81 t s t s h m

      

29. ALG149– Louvain, juillet 2003, série 1.

Résoudre, dans les réels, l’équation suivante :    2 1 2 2 1 1 x x

    .

Correction

        

           

    

     

2 2

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 mult iplions les deux membres par 2 1 :

2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0.

Soit 2 1 2 1 2 0, 1 est à rejeter car 0 ;

ln 2 2 1 2 ln 2 1 ln 2 .

ln 2 1

x x x

x x x x x x

x

t t t t t t t

x x

       

           

           

       

30. ALG150– Louvain, juillet 2003, série 1.

Résoudre, dans les nombres réels, le système suivant, lequel est constitué d’une équation et d’une

inéquation :

2 3 1

2

x y

y

x

   

 

Correction

 

 

être de même signe et CE : et doivent 0.

2 1 2 1 2 1 1 On a : 2 1 ce qui rajoute une nouvelle CE : 0 0 ou .

3 3 3 2

2 1 10 1 1 1 Elevons 1 au carré : 4 0 ou .

3 3 10 2

En tenant compte des CE :

x y x

x x x y x x

x x

x x x x

x x

x

         

        

 1 1 2 1

ou ; 10 2 3

x x y

   

31. ALG151– Louvain, juillet 2003, série 1.

On considère l’équation suivante, dans laquelle p est un paramètre réel et i représente l’unité imaginaire :

   2 4 2 3 4 0z i z p i     .

1. Calculer les racines de cette équation, sous la forme a + bi , en fonction du paramètre p.

2. Déterminer p pour que le carré du module de chacune des racines soit égal à 65 (la même valeur pour les deux racines).

Rappel : le module de a + bi est égal à 2 2a b .

Correction

     

 

   

 

 

         

 

2

2 22 2

22 2

2 2

22

2 1

2 2

1. 2 2 3 4 2 3 16 4 .

5 43 4 Calculons la racine carrée de :

2 4 4 1 4 4

5 4 25 4 16 4 5 4 4 4 0

2

4 4 . Ce qui implique que

4

i p i p p i

a b pa b p

ab p a b p

p p p X p X p X

X a p

X b p

          

         

     

             

     

    

 

   

être positifs

ême signe,

2 2

1

2

2

4 et doivent .

2 4 4 En vertu de 1 et sont de m es solut ions sont donc : .

2 4 4

65 2. 4 4 4 65 4 841

5

p a b

z p i p a b l

z p i p

p p p p

          

         

32. ALG152– Louvain, juillet 2003, série 1.

L’armée du général Lee marchait d’un pas paisible et s’étirait sur dix kilomètres. Lee n’était pas tranquille, car il devait traverser un défilé dans lequel il avait perdu ses trois précédentes armées.

Aussi avait-il commandé à l’officier placé à l’arrière du convoi de lui envoyer par un cavalier un message dès que le dernier homme serait sorti du défilé. Tout alla bien cette fois et l’officier envoya un cavalier avertir Lee (qui se trouvait en tête de l’armée).

Lorsque le cavalier rejoignit l’officier à l’arrière-garde pour lui dire qu’il avait accompli sa mission, cet officier se trouvait à l’endroit où était passée la tête de l’armée lors du départ du cavalier.

On demande la longueur du trajet parcouru par le cavalier. Préciser les notations choisies et indiquer clairement les différentes étapes du raisonnement.

Correction

t 1

t 2

10 km

Officier Lee Cavalier

v C

v C

v A

L 1

1

2

: la vitesse de déplacement de l'armée

: La vitesse de déplacement du cavalier Soit :

: le temps mis par le cavalier pour rejoindre Lee

: le temps mis par le cavalier pour revenir près de l'offic

A

C

v

v

t

t

   

 

 

 

           

           

 

1 2

1 1

2 1

1 1

1 1 2 2 1 2 1

1

2

1 21 1 1 1 1 1

1 1

1

ier.

10 1

2 On a :

10 3

10 4

10 de 1 et 2 , 10 10 20 5 , de 2 et 3 , 6 ,

1010 de 5 et 6 , 20 7 , de 4 et 7 , 20 2 40 100 0

10 50 8 ,

A

C

C

A

A A

A

v t t

v t L

v t L

L v t

L L v t v t L t t

L

LL v t L L L L

L L

L

      

  

 

    

       

        

       2de 3 et 8 , 50.

La distance parcourue par le cavalier est donc 10 2 50

Cv t

km

33. ALG153– Louvain, juillet 2003, série 2.

Soit a un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, le système d’équations que voici :

2 2

2

4

x y

x y y

e e a

e e e

   

 

.

Correction

       

     

2

2

CE : 0.

2 2 .

2 2 2 2 1 0

D 4 1 n'est jamais nul puisque 0.

2

0 2 1 2 12 1 ln

4 14 2 4 1

1 ln

0 4

4 2 4 1

x y x y x y

x y x y y x y y x y

x

x

a

e e a e e a e e a

e e e e e a e e e ae a e

a a

a

a a aa a xe

aa a

a a y

a aa e

a a

             

          

   

 

        

      

  

.

1

      

34. ALG154– Louvain, juillet 2003, série 2.

Déterminer le(s) polynôme(s) P(x) de degré 6 ayant les propriétés suivantes :

1. Le coefficient de x6 dans P(x) est égal à 1.

2. Les coefficients de x3 et de x4 dans P(x) sont égaux.

3. P(x) est divisible par 2 1x x  et par 2 1x x  .

4. Le polynôme    

2 21 1

P x P x

x x x x

    est divisible par x2 – x.

Ensuite, calculer toutes les racines complexes de P(x), y compris les racines réelles, bien sûr.

Correction

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