Exercices de statistiques - 4 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 4 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 4 - 1° partie Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Construire une sphère, le plan défini par une arête, le cercle de diamètre.
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Exercices d’entrée dans les Universités belges

Jacques Collot

Géométrie dans l’espace

1. GSE020, Mons, questions-types 2000-2001 1 2. GSE021, Mons, questions-types 2000-2001 1 3. GSE022, Mons, questions-types 2000-2001 1 4. GSE023, Mons, questions-types 2000-2001 2 5. GSE024, Mons, questions-types 2000-2001 2 6. GSE025, Mons, questions-types 2000-2001 3 7. GSE026, Mons, questions-types 2000-2001 3 8. GSE027 4 9. GSE029 – Mons, questions-types 2000-2001.5 10. GSE030, Mons, questions-types 2000-2001.6 11. GSE031, Mons, questions-types 2000-2001. 7 12. GSE032, Mons, questions-types 2000-2001. 7 13. GSE033, Mons, questions-types 2000-2001. 8 14. GSE034, Liège, 1997. 9 15. GSE035, Liège, juillet 2001. 10 16. GSE036, Liège, septembre 2001. 10 17. GSE037, Mons, questions 1995 à 1998. 12 18. GSE038, Mons, 1998. 12 19. GSE039, Bruxelles, juillet 2000 13 20. GSE040, Louvain, juillet 2000, série 1 14

21. GSE041, Louvain, juillet 2000 série 2. 15 22. GSE042, Louvain, septembre 2000. 16 23. GSE043, Louvain, juillet 2001, série 1. 16 24. GSE044, Louvain, juillet 2001, série 2. 17 25. GSE045, Louvain, septembre 2001. 18 26. GSE046, Liège, juillet 2002 19 27. GSE047, Liège, septembre 2002 19 28. GSE048, Liège, juillet 2003. 20 29. GSE049, Liège, septembre 2003. 20 30. GSE050, Liège, septembre 2003 21 31. GSE051, Bruxelles, juillet 2003 22 32. GSE052, Louvain, juillet 2002, série 1 22 33. GSE053, Louvain, juillet 2002, série 2 23 34. GSE054, Louvain, septembre 2002 24 35. GSE055, Louvain, juillet 2003, série 1 25 36. GSE056, Louvain, juillet 2003, série 2 26 37. GSE057, Louvain, septembre 2003 27 38. GSE058, Liège, juillet 2004 30 39. GSE059, Liège, juillet 2004 30

1. GSE020, Mons, questions-types 2000-2001

Construire une sphère passant par quatre points non colinéaires.

Correction

On choisit trois couples de points. Chaque couple définit une droite.

Chaque droite définit un plan médiateur.Les trois plans médiateurs se coupent un point qui est le centre de la sphère.

2. GSE021, Mons, questions-types 2000-2001

Par une droite (d) donnée, construire un plan tangent à une sphère donnée.

Correction

1. La droite est sécante à la sphère.

Dans ce cas le plan tangent est imaginaire.

2. La droite est tangente à la sphère au point A.

Soit la droite (p) qui joint le centre de la sphère au point de tangence A. Le plan perpendiculaire à la droite (p) au point A est le plan cherché.

3. La droite est extérieure à la sphère.

Par le centre de la sphère, on construit le plan (a) perpendiculaire à la droite. Le point de percée de la droite dans le plan (a) définit le point A. L'intersection du plan (a) et de la sphère est un cercle. Dans le plan (a), on trace les tangences (x) et (y) au cercle, issues de A (il suffit de tracer le cercle dont le diamètre AO avec O centre de la sphère). Les deux plans tangents sont définis par (d), (x) et (d), (y).

3. GSE022, Mons, questions-types 2000-2001

Démontrer que le plan défini par une arête et le milieu de l'arête opposée d'un tétraèdre quelconque divise ce volume en deux tétraèdres équivalents.

Correction

Le plan détermine avec la base du tétraèdre une médiane.

Un triangle est divisé par une médiane en deux triangles de surface égale. (Les bases sont égales et la hauteur est la même).

Les deux tétraèdres ont donc même volume puisque l'aire des bases est égale et que la hauteur (dans le sens vertical) est la même.

4. GSE023, Mons, questions-types 2000-2001

Construire un dièdre connaissant l’angle de son rectiligne, une de ses faces et une droite quelconque appartenant à l’autre face.

Correction

P

A

A'

h

x a C

2

d'

B

p

d

C 1

Soit p la face du dièdre. La droite donnée d perce p en P. Soit A’ la projection orthogonale de A, point quelconque de d et AA’ = h.

Construisons C1, le cercle de diamètre PA’ dans p et C2, le cercle de de centre A’ et de rayon tan

h x

a 

où a est l’angle indiqué sur la figure.

On pose 1 2B C C  : AB est perpendiculaire à PB, AA’ est perpendiculaire à PB, donc le plan AAB est

orthogonal à PB, soit également au plan p et au plan ABP.

Les plans p et ABP forment le dièdre cherché et arctan h

x a  .

5. GSE024, Mons, questions-types 2000-2001

Montrer que le produit des symétries autour des arêtes d’un trièdre trirectangle est la transformation identique.

Correction

B

A

C

z

y

O

x

A'

Soit le tétraèdre OABC supporté par les axes Ox, Oy et Oz de l’espace : la symétrie par rapport à une des arètes d’un point M(x, y, z) a pour effet de changer deux des coordonnées en leurs opposées : par ex. dans la symétrie d’axe (Ox) M devient M’(x, −y, −z). En répétant cela sur les trois axes on retombre évidemment sur M.

         , , , , , , ( ) ( ), ( ), ( ) , ,x y z x y z x y z x y z x y z                .

6. GSE025, Mons, questions-types 2000-2001

Soit un tétraèdre dont les arêtes opposées sont deux à deux égales.

Démontrer que les droites qui joignent les milieux de ces arêtes forment des couples d’arêtes égales se coupant en un seul point commun, et que ces droites forment dans l’espace un trièdre trirectangle.

Correction D

N

K

O

I

B

A M C

J L

/ / , 2

/ /

/ / , 2

AB IN AB IN

IN MJ et IN MJ AB

MJ AB MJ

  

   

; même chose pour montrer que NK = LM et NK // LM

ainsi que IL = KJ et IL // KJ.

INMJ, LMKN et IKJL sont trois parallélogrammes dont les diagonales se coupent en un même point O.

2 2

BC AD NK BJ ID KM NL LM       , etc. Les parallélogrammes sont des carrés, or les diagonales

d’un carré se coupent à angle droit donc IL, LK et MN forment un trièdre trirectangle.

7. GSE026, Mons, questions-types 2000-2001

Calculer l’aire totale et le volume d’un tétraèdre régulier connaissant le rayon R de la sphère qui lui est circonscrite.

Correction

D

H M

B

C

A

D

A H M

Tétraèdre régulier : tous les côtés sont égaux à c ;

ABC triangle équilatéral, base = c, hauteur = 3

2 c , aire = 2

3

4 A c .

Dans le plan ADM on cherche DH :

2 2 2

2

2 2 2 2 2

3

4 3 3 3 2

1 0 4 2 3 3

3

2

DH c HM

DH c AH c c AH AH AH c DH c

HM c AH

  

                    

       

.

Le volume du tétraèdre est donc 2 3 1 1 3 2 2

3 3 4 3 12 V Base Hauteur c c V c     et l’aire latérale est

2 4 . 3L LA Base A c   .

y

x

M

H

O

A K D Il reste àétablir une relation entre le rayon R de la sphère circonscrite et c : sachant que R est égal à la distance de l’orthocentre du tétraèdre à un de ses sommets, on reprend ADM et on cherche OH.

Prenons le repère  , ,K KD v de sorte que les coordonnées des points sont :

  2

0, , , 0 , 0, 0 , : , 0 2 2 2

c c M A K D

           

     .

O est à l’intersection de KM et HD d’où l’on tire facilement ses coordonnées : 2

0, 4

c      

. On a donc

2 22 6 2 6

4 16 4 3

c OB c R c c R      et enfin

3 3 2 2 6 2

3 12 3 3

R V R

        

   ainsi que l’aire

latérale : 2 8 3

3 LA R .

8. GSE027

Soit ABCD un tétraèdre régulier (les 6 arêtes sont égales et valent c). On demande :

1. De démontrer que AB est orthogonal à CD.

2. De démontrer que la droite IJ, qui joint les milieux des côtés AB et CD est perpendiculaire à AB et CD.

3. Calculer la hauteur du tétraèdre en fonction de c.

Correction

D

I

A

J

C

B

G

1. Première méthode : toutes les faces sont des triangles équilatéraux. Traçons les hauteurs AJ et BJ : le plan BJA est orthogonal à CD donc AB est orthogonal à CD.

Deuxième méthode : calcul du produit scalaire

  2 2. . cos60 cos60 0ABCD AB AD AC c c       .

2. Première méthode : comme IJ appartient au plan DIC, IJ est orthogonal à AB.

Deuxième méthode : 1 1

2 2 IJ AB BC CD   ;

2 2 21 1 1. . . cos60 0 0 2 2 2

IJ AB AB BC AB CD AB c c        .

c. La hauteur h d’un triangle équilatéral vaut 3

2 c . Par ailleurs la hauteur du tétraèdre est liée à l’arête c

et à la hauteur h par 2

2 2 2 2

3 3 tetra tetrah c h h c

      

  .

9. GSE029 – Mons, questions-types 2000-2001.

On considère une pyramide SABCD.

La base ABCD est carrée et la longueur de côté L. Le sommet S est situé sur la perpendiculaire menée de

A au plan ABCD. La distance entre S et A est égale à 2.L .

On appelle O le centre de gravité du carré ABCD.

1. Démontrer que DS est orthogonal à CD.

2. Par un point quelconque I de OC, on mène un plan perpendiculaire à la diagonale AC.

Démontrer que les droites d’intersection de ce plan perpendiculaire à AC avec les faces SDC et SCB de la pyramide ne sont pas parallèles respectivement à SD et SB.

Correction

S

A

D

C

B

O

I

K

J

L

1. orthogonal à SA plan ABCD plan SAD plan ABCD plan SAD DC SD DC     

2. Plan KJL//SA ; le rectiligne du dièdre formé par les plans ABD et SBD est l’angle SOA qui est

inférieur à 90° puisque 90SAO   . Le plan SBD n’est donc pas parallèle au plan KJL.

10. GSE030, Mons, questions-types 2000-2001.

Dans l’espace, on considère un plan (a) et une droite (d1) perpendiculaire à ce plan et passant par un point A de ce plan. Une seconde droite (d2) appartient au plan (a), mais ne passe pas par A. Soit d la distance de ce point à (d2).

Un segment de longueur constante L s’appuie par ses extrémités sur (d1) et (d2) ; les extrémités de ce segment se déplacent en glissant le long de (d1) et (d2). Le segment [d] se déplace donc dans l’espace.

On appelle M le point milieu de ce segment. On demande :

1. de déterminer dans quel plan se déplace le point M ;

2. de déterminer, pour chaque position de la droite, à quelle hauteur se situe le point M par rapport au plan (a).

Correction

A

A'

X

Y M

(a)

d2d1

d

M

(a) Y

X

A A'd2

d1

Il faut bien sûr supposer que L > d. Soit X l’extrémité de [d] qui s’appuie sur (d1) et Y l’extrémité qui s’appuie sur (d2).

M se déplace dans le plan médiateur du segment [d]. Notons x = AX, la hauteur de M par rapport à (a)

est 2

x . Les valeurs extrèmes de x sont 2 2 2 2- L Ld x d    .

11. GSE031, Mons, questions-types 2000-2001.

Soit un parallélogramme ABCD appartenant à un plan P1. Les côtés de ce parallélogramme sont tels que AB = 2 et AD = 1 et l’angle BAD = 60°.

Par chacun des sommets du parallélogramme, on mène une droite perpendiculaire à P1.

Un second plan P2 distinct de P1 coupe ces quatre droites en les points A’, B’, C’ et D’.

1. Démontrer que ABCD’ est un parallélogramme.

2. Déterminer la relation liant AA’, BB’, CC’ et DD’.

Correction

N

M

P

Q

C'

CB

D'

DA

A'

B'

1. AA’, BB’, CC’ et DD’ sont orthogonaux à P1 donc les plans AADD’ et BBCC’ sont parallèles. P2 est

coupé par des plans parallèles donc ' '/ / ' 'A D B C ; de même ' '/ / ' 'A B C D donc ABCD’ est un parallélogramme.

2. ' ' ' ' ' '

'/ / ' ; '/ / ' ' '

AA A D BB B C AA DD BB CC

DD AD CC BC     , or

' ' ' ' (car et ' ' ' ')

A D B C AD BC A D B C

AD BC   

' ' .

' '

AA BB

DD CC  

12. GSE032, Mons, questions-types 2000-2001.

On considère un cylindre de révolution circonscrit à une sphère et le double cône dont le sommet est le centre de la sphère, les deux bases étant celles du cylindre.

On coupe les trois corps (cylindre, sphère et double-cône) par un plan perpendiculaire à leur axe commun.

1. Montrez que l'aire de la section totale dans le cylindre est égale à la somme des deux autres.

2. Si on note R le rayon de sphère, calculez le volume du cylindre et celui du double-cône.

Correction

Sphère

Cylindre

Cône

O x r

y

r

1. Coupons les solides par un plan passant par l’axe du cylindre. Vu dans ce plan le cône a pour équation

y x , la sphère 2 2 2x y R  , le cylindre x R .

Si maintenant on coupe par un plan perpendiculaire à l’axe les aires sont : pour le cylindre 2Rp , pour le

cône 2yp et pour la sphère  2 2R yp  . On vérifie immédiatement que aire du cylindre est la somme des aires du cône et de la sphère (dans ce plan…).

2. De même on a 2 32 2cylindreV R R Rp p   , 2 31 22

3 3 côneV R R Rp p   et

34

3 sphèreV Rp d’où

cyl cône sphV V V  .

13. GSE033, Mons, questions-types 2000-2001.

Soit une sphère de centre O et un point I situé à l’extérieur de celle-ci à une distance l de O. On demande :

1. Quel est le lieu des centres des cercles sections de cette sphère avec l’ensemble des plans passant par I.

2. De calculer le volume engendré par la rotation autour de OI, du triangle équilatéral dont OI est un des côtés (Le volume sera calculé en fonction de l).

Correction

P 1

IO

A

B

Sphère

P 2

1. Coupons la sphère par un plan p passant par OI. Considérons les plans P1 et P2 perpendiculaires à p et passant par I. P1 est tangent à la sphère en A (A sur p ), dans le plan p , OA est perpendiculaire au plan P1.

Le plan P2 coupe la sphère selon un cercle de centre B (B sur p ), OB est perpendiculaire à P2. A et B sont

sur le cercle de diamètre OI.

Le lieu de points cherché est la portion de la sphère de diamètre OI située à l’intérieur de la sphère donnée.

y

O 11/2

60°

A

2. La droite (OA) a pour équation 3y x (figure), le volume cherché est

  11

2 232

0 0

1 2. 2.

3 V x dx x

p p p

           .

14. GSE034, Liège, 1997.

Soient ABCD quatre points de l’espace et soient MNPQ les milieux respectifs des segments AB, BC et DA.

Démontrer que  2 2 2 22 MP NQ AC BD   .

Correction

A

C

D

P

M

B

Q

N

Q est le milieu de [AD] et P celui de [CD], (QP) est parallèle à (AC) et 1

2 QP AC .

De même on a , , 2 2 2

BD AC BD MQ MN NP   . Par ailleurs

2 2 2 2 2 2, , 2 . , 2 .MP MQ QP NQ NP PQ MP MQ MQ QP QP NQ NP NP PQ PQ          , soit

  2 2

2 2 2 2 2 . 2 2

BD AC MP NQ PQ NP QM

           

    ; le dernier terme est nul car NP et QM sont

parallèles et de sens contraire. Finalement on a bien  2 2 2 22 MP NQ AC BD   .

15. GSE035, Liège, juillet 2001.

On considère un tétraèdre régulier (c’est-à-dire dont tous les côtés sont égaux). Soit E le milieu du côté [CD].

1. Montrer que la droite CD est perpendiculaire au plan ABE.

2. Montrer que la hauteur du triangle ABE issue de A est perpendiculaire à la face BCD et que la hauteur du triangle ABE issue de B est perpendiculaire à la face ACD. (Rappelons qu’une hauteur du tétraèdre est une droite passant par un des sommets et perpendiculaire à la face opposée. Le pied d’une hauteur est son intersection avec la face à laquelle elle est perpendiculaire.)

3. Montrer que les pieds des hauteurs du tétraèdre sont les orthocentres des faces correspondantes.

4. En déduire que les quatre hauteurs du tétraèdre sont concourantes.

Correction

D

E

B

C

N

F

A

M

P

H

1. Le triangle ADC est équilatéral dont AE est une hauteur, AE DC . De même BE est une hauteur de BCD donc BE CD ; on a donc BECD A .

2. AP est une hauteur de ABE, AP EB ; comme AP appartient au plan ABE, AP est orthogonale à la face BCD. AM est une hauteur de ABE, AM AE , etc. donc AM est orthogonal à la face ACD.

3. Soit par exemple la face BCD, le plan APD est orthogonal à BC donc AP est une hauteur du triangle BCD, P est l’orthocentre de BCD. Même chose pour les autres faces : M orthocentre de ACD et N de ABC.

4. BM AE donc BM est une hauteur du triangle ABE ; H AP AE  est l’orthocentre de ABE ;

DN AF donc DF est une hauteur du triangle ADF.

Comme les triangles ABE et ADF sont égaux et que ces triangles ont la hauteur AP en commun, H est l’orthocentre du triangle ADF.

On fait le même raisonnement pour la quatrième hauteur relative à la face ADB. Les quatre hauteurs sont bien concourantes.

16. GSE036, Liège, septembre 2001.

On considère un prisme droit ABCDABCD’, à base carrée ABCD.

BA

D' C'

B'A'

D C

1. Si X est le centre (intersection des diagonales) de la face ABCD’, la hauteur du triangle BXB’ issue de B’ est perpendiculaire au plan ACB.

2. Prouver que si les diagonales BD’ et BD sont perpendiculaires, alors la perpendiculaire abaissée de B’ sur le plan ACB passe par le milieu de l’arête DD

Correction

BA

D' C'

B'A'

D C

X

M

H

1. ' ' ' 'A C D B donc ' ' 'A C XB B d’où HB’ est orthogonale au plan XBB et comme 'HB XB ,

' ' 'HB A C B .

M

D' B'X

BD

H

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