Exercices de statistiques - 6 - 3° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 6 - 3° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 6 - 3° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: les limites, les complexes, les transformations planes et complexes.
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- Toutes les pages blanches situées au verso de ce sujet peuvent être utilisées à l’usage de brouillon si vous le souhaitez. Aucun brouillon ne vous sera distribué.

- L’usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit.

- Aucun autre document que ce sujet et sa grille réponse n’est autorisé.

- Attention, il ne s’agit pas d’un examen mais bien d’un concours qui induit un classement. Même si vous trouvez ce sujet « difficile », ne vous arrêtez pas en cours de composition, n’abandonnez pas, restez concentré(e) et faites de votre mieux. Les autres candidats rencontrent probablement les mêmes difficultés que vous !

Barême : afin d’éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque bonne réponse est gratifiée de 3 points, tandis que les mauvaises réponses sont pénalisées par le retrait d’1 point.

5-a : LES LIMITES

1.  2lim 2 4cos x

x x x     

A.  B. 0 C. n’existe pas D. aucune des 3 réponses précédentes

2.  2 0

lim 2 4cos x

x x x     

A.  B. 0 C. n’existe pas D. aucune des 3 réponses précédentes

3.  

lim sinx

x

x 

A. −1 B. 1 C. n’existe pas D. aucune des 3 réponses précédentes

4.  0

lim sinx

x

x 

A. −1 B. 1 C. n’existe pas D. aucune des 3 réponses précédentes

5-b : LES COMPLEXES

Soit 41 23 i

z e z

 , où 2z est un réel strictement négatif.

5. 1z

A. 23z B. 23z C. 23iz D. 23iz

6.  1arg z

A. 4

 B.

4

  C.

3

4

 D.

3

4

 

7. 1z

A. 4 23 i

e z

B. 4 23 i

e z

 C. 4 23 i

e z

 

D. 4 23 i

e z

 

8. 101z est un

A. réel strictement positif B. réel strictement négatif

C. imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive

D. imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative

5-c : TRANSFORMATIONS PLANES ET COMPLEXES

Soient f et g les transformations complexes qui à tout point M, d’affixe z du plan associent respectivement les points

d’affixes   1f z iz i    et  g z z  .

9. f est

A. une translation B. une rotation C. une homothétie D. une réflexion

10. g est

A. une translation B. une rotation C. une homothétie D. une réflexion

11. l’affixe du point fixe de f est

A. −1 B. +1 C. −i D. +i

12. l’écriture complexe associée à g f est

A. 1iz i   B. 1iz i   C. 1iz i  D. 1iz i 

5-d : LOGIQUE

13. Pour prouver que I est le milieu de [AB], il suffit de prouver que

A. pour tout point M : 2MA MB MI  B. AI BI

C. AI IB AB  D. AI et AB sont colinéaires

14. Pour que quatre points distincts A, B, C et D soient coplanaires, il est nécessaire

A. que trois de ces points soient alignés B. que les droites (AB) et (CD) soient parallèles ou sécantes

C. de trouver un réel  tel que  AD AB AC  D. aucune des 3 réponses précédentes

15. Si a et b sont irrationnels, alors forcément

A. a+b est irrationnel B. ab est irrationnel C. a2 est rationnel D. aucune des 3 réponses précédentes

16. Si f est définie en a, alors nécessairement

A. f est continue en a B. ln(f) est définie en a C. 1

f est définie en a D.

1 f

e est définie en a

5-e : ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DANS

17. 4 2 6 6x x   admet dans 

A. 0 solution B. 1 ou 3 solutions C. 2 solutions D. 4 solutions

18. 4 2 6 6x x   admet dans 

A. 0 solution B. 1 ou 3 solutions C. 4 solutions D. 5 solutions

19.      2

ln ln 6 6x x   admet dans 

A. 0 solution B. 1 ou 3 solutions C. 2 solutions D. 4 solutions

20.    2ln ln 6 6x x   admet dans 

A. 0 solution B. 1 ou 3 solutions C. 2 solutions D. 4 solutions

21. 2 1xx e   admet dans 

A. 0 solution B. 1 solution C. 2 solutions D. 3 ou 4 solutions

22. 2 22xx e e  admet dans 

A. 0 solution B. 1 solution C. 2 solutions D. 3 ou 4 solutions

23. 1 1

3xe e

  a pour solution dans 

A.  0 ; 3 B.    ; 3 0 ;    C.  D. aucune des 3 réponses précédentes

24. 1 1

3xe e a pour solution dans 

A.  0 ; 3 B.    ; 3 0 ;    C.  D. aucune des 3 réponses

précédentes

5-f : ÉQUATIONS DANS

25. La somme des solutions complexes de l’équation 4 2 12 0z z   est égale à

A. 0 B. 1 C. −12 D. aucune des 3 réponses précédentes

26. Le produit des solutions complexes de l’équation 4 2 12 0z z   est égale à

A. 0 B. 1 C. −12 D. aucune des 3 réponses précédentes

5-g : DÉRIVÉES ET PRIMITIVES

27. Sur * la dérivée de

1

: xe

f x x

 est définie par  'f x

A. 1

2

1 xe

x  B.

1

3

1 x

x e

x

 C.

1

3

1 x

x e

x

 

D. aucune des 3 réponses précédentes

28. Sur  ; 0 une primitive F de  lnx x  est définie par  F x

A.  lnx x x  B.  lnx x x  C.  lnx x x   D.  lnx x x  

29. Sur ; 2

 

      

la primitive F de  tanx x telle que   0F   est définie par  F x

A.  ln cos x B.  ln cos x C.  ln cos x D.  ln cos x 

30. Sachant que sur  :    ''f x f x  alors  f x ne peut pas être égale à

A. 0 B. xe C. cos x D. sin x

5-h : INTÉGRALES

31. 1 2

1

xxe dx

 

A. 2

e  B.

1e

e

 C.

1e

e

     

D. aucune des 3 réponses précédentes

32. 1 2

1

xxe dx



A. 0 B. 1e e  C. 1

3

e e D. 15e e

5-i : ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Soient (E) : ' 2 2 5y y x   et (F) : '' 2 ' 2y y  .

33. Une solution de (E) est définie par  f x

A. 2 2 5

2

x xe

 B. 2 2 5

2

x xe

 C. 3x  D. aucune des 3 réponses précédentes

34. Une solution de (F) est définie par  g x

A. 2 1xe  B. 2xe x  C. 1 D. x

35.   2: 5 3xy x y x e x   

A. est solution de (E) et de (F) B. est solution de (E) mais pas de (F)

C. est solution de (F) mais pas de (E) D. n’est solution ni de (E) ni de (F)

36.   2: 3 3xy x y x e x   

A. est solution de (E) et de (F) B. est solution de (E) mais pas de (F)

C. est solution de (F) mais pas de (E) D. n’est solution ni de (E) ni de (F)

5-j : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE

Dans un repère orthonormal on considère le plan P d’équation 2 3 4x y z    et le point A de coordonnées

(2 ; −1 ; 3)

37. Une équation cartésienne du plan passant par A et parallèle à P est

A. 2 3 4x y z   B. 2 3 10x y z    C. 0x y z   D. aucune des 3 réponses précédentes

38. Une équation cartésienne d’un plan passant par A et perpendiculaire à P est

A. 1 1 13

2 3 3 x y z   B. 3 8y z  C. 2 4x z    D. aucune des 3 réponses précédentes

39. La distance du point A au plan P est égale à

A. 14 B. 7 C. 14 D. aucune des 3 réponses précédentes

40. L’intersection du plan P avec la sphère de centre A et de rayon 3 est

A. vide B. un point C. un cercle D. aucune des 3 réponses précédentes

5-k : ESPACE ET VECTEURS

Soient A et B deux points distincts de l’espace. L’ensemble des points M tels que

41. 3 5 5 3MA MB MA MB  

A. est une droite ou un cercle B. est une sphère C. est un plan D. aucune des 3 réponses précédentes

42. 3 5 5 3MA MB MB MA  

A. est une droite ou un cercle B. est une sphère C. est un plan D. aucune des 3 réponses précédentes

43. 3 5 2 2MA MB MA MB  

A. est une droite ou un cercle B. est une sphère C. est un plan D. aucune des 3 réponses précédentes

44.    3 5 . 2 2 0MA MB MA MB  

A. est une droite ou un cercle B. est une sphère C. est un plan D. aucune des 3 réponses précédentes

5-l : SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

 nu étant une suite telle que 3 5u   et 6 40u  , si  nu est arithmétique alors

45. 3 4 7...u u u   

A. 100 B. 200 C. 70 D. aucune des 3 réponses précédentes

46. 3 4 7...u u ue e e

A. 100e B. 200e C. 70e D. aucune des 3 réponses précédentes

Si  nu est géométrique alors

47. 3 4 7...u u u   

A. 165

3  B. 165 C. 155

D. aucune des 3 réponses précédentes

48. 3 4 7ln ln ... lnu u u   

A. 165

ln 3

     

B.  ln 165 C.  ln 155 D. aucune des 3 réponses précédentes

5-m : DÉNOMBREMENT

Dans une trousse se trouvent un stylo bleu, deux blancs, quatre rouges indiscernables au toucher les uns des autres ; on tire au hasard et simultanément trois de ces stylos.

49. Le nombre de tirages unicolores est égal à

A. 1 B. 2 C. 4 D. aucune des 3 réponses précédentes

50. Le nombre de tirages tricolores est égal à

A. 7 B. 8 C. 9 D. aucune des 3 réponses précédentes

51. Le nombre de tirages bicolores est égal à

A. 23 B. 24 C. 25 D. aucune des 3 réponses précédentes

52. Le nombre de tirages comportant plus de rouges que de blancs est égal à

A. 35 B. 22 C. 19 D. aucune des 3 réponses précédentes

5-n : VARIABLES ALÉATOIRES

On tire 2 lettres successivement et avec remise d’un sac contenant les lettres M ;A ;T et H et on considère X la variable aléatoire associée au nombre de voyelles tirées.

Par ailleurs Y est une variable aléatoire indépendante de X prenant pour valeurs −2, 1 et 3 avec des probabilités proportionnelles aux carrés de leurs valeurs.

53. p(X=0)=

A. 7

16 B.

8

16 C.

9

16 D.

10

16

54. p(Y=3)=

A. 1

14 B.

4

14 C.

9

14 D.

15

14

55. (X)=

A. 0 B. 0,5 C. 1 D. 1,5

56. p(X = Y)=

A. 3

112 B.

25

56 C.

1

112

D. aucune des 3 réponses précédentes

5-o : ANALYSE DE COURBES

57.  2f g

A. n’existe pas B. 2 C. −2 D. 0

58. Sur [−4 ; −2],  g x

A. 2 1x   B. 2 1x    C. 2 1x  D. 2 1x  

59. l’ensemble de définition de la fonction f g est

A. [−4 ; 4] B. [−2 ; 1] C. [−4 ; 3] D. aucune des 3 réponses précédentes

60.    

2

2 lim

2x

g x g

x

  

A.  B.  C. n’existe pas D. aucune des 3 réponses précédentes

6. Concours Avenir 2010 raisonnement

Il y a 45 questions dans cette épreuve, ne sont reproduites ici que les questions de logique.

6-a : PARTIE III - A : RAISONNEMENT

Consignes : cette épreuve vise à contrôler la capacité d’analyse de la pertinence d’informations en vue de la résolution d’un problème. Chacun des énoncés de cette épreuve comprend généralement des informations initiales (qui à elles seules ne permettent pas de répondre à la question), et deux informations notées (1) et (2) correspondant chacune d’elles à une information complémentaire.

Le candidat doit décider si l’une des propositions (1) ou (2), ou les deux combinées fournissent des informations suffisantes pour répondre à la question. Plus précisément, le candidat doit choisir l’une des 4 réponses (A), (B), (C) ou (D) définies comme suit :

(A) Si l’information (1) permet à elle seule de répondre à la question, et si l’information (2) à elle seule ne permet pas de répondre à la question.

(B) Si l’information (2) permet à elle seule de répondre à la question, et si l’information (1) à elle seule ne permet pas de répondre à la question.

(C) Si les deux informations (1) et (2), ensemble ou indépendamment l’une de l’autre, permettent de répondre à la question.

(D) Si les deux informations (1) et (2) ensemble ne permettent pas de répondre à la question.

Exemple : l’entier p est-il divisible par 5 ?

(1) p/15 est un entier.

(2) p/12 est un entier.

Solution :

L’information (1) nous assure que p est divisible par 15, donc par 5 ; l’information (2) nous assure que p est divisible par 12, ce qui ne garantit pas la divisibilite par 5.

La réponse est donc (A).

26 - Quel âge a ma soeur Nelly sachant que mon frère Pascal a 5 ans ?

(1) Nelly a 3 ans de moins que moi.

(2) J'ai 6 ans de plus que Pascal.

A. (1) seule B. (2) seule C. (1) et (2) D. Ni (1) ni (2)

27 - Un tube de longueur égale à 9 mètres est coupé en trois morceaux. Quelle est la longueur du morceau le plus long ?

(1) Un morceau mesure 4,70 m.

(2) La difference des longueurs entre deux morceaux est 1,10 m, et le troisieme morceau mesure 1,40 m.

A. (1) seule B. (2) seule C. (1) et (2) D. Ni (1) ni (2)

28 - X et Y sont deux nombres strictement positifs. Le produit X.Y est-il strictement plus grand que 20 ?

(1) 10X  et X/Y > 2.

(2) 2Y  et X/Y > 5.

A. (1) seule B. (2) seule C. (1) et (2) D. Ni (1) ni (2)

29 - Madame Chance possède un terrain rectangulaire. Suite à un héritage, la longueur du terrain a été augmentée de 5 m, et la largeur a été également augmentée de 15 m. Quel est le nouveau périmètre du terrain ?

(1) Le périmètre du terrain était de 360 m.

(2) L’aire du terrain était de 3 000 m2.

A. (1) seule B. (2) seule C. (1) et (2) D. Ni (1) ni (2)

30 - Combien coûte un prototype ?

(1) 2 prototypes et 1 échantillon initial coutent 23 k€.

(2) 4 prototypes et 3 échantillons initiaux coutent 59 k€.

A. (1) seule B. (2) seule C. (1) et (2) D. Ni (1) ni (2)

31 - En début d’année, Messieurs Martin et Vincent placent respectivement une somme X au taux de 4,5 % et une somme Y au taux de 5,5 %. En fin d’année, la somme de chacun des gains est 290 €. Quelle est en euros la valeur de X ?

(1) Le gain de M. Vincent est de 170 €.

(2) X = 3Y.

A. (1) seule B. (2) seule C. (1) et (2) D. Ni (1) ni (2)

32 - Lequel de Stéphane ou de Maxime a obtenu le meilleur classement au concours AVENIR ?

(1) Paul est moins bien classé que Maxime.

(2) Stéphane est mieux classé que Paul.

A. (1) seule B. (2) seule C. (1) et (2) D. Ni (1) ni (2)

33 - Hervé est allé au concert. Olivier est-il allé au concert ?

(1) Quand Alexandre ne va pas au concert alors Olivier ne va pas au concert.

(2) Quand Hervé va au concert alors Alexandre va au concert.

A. (1) seule B. (2) seule C. (1) et (2) D. Ni (1) ni (2)

34 - Sachant que X est un nombre strictement positif, quelle est la valeur numérique de Z, sachant que

Z = [(X + Y + 3) – 1] / [(XY – 3)/(X Y)]

(1) X = 6.

(2) Y = 3.

A. (1) seule B. (2) seule C. (1) et (2) D. Ni (1) ni (2)

35 - X, Y et Z sont des nombres strictement positifs. Quel est le plus grand des trois ?

(1) 3X > 2(Y + Z).

(2) Y > X + Z.

A. (1) seule B. (2) seule C. (1) et (2) D. Ni (1) ni (2)

6-b : PARTIE III-B : RAISONNEMENT

Consignes : l’exercice suivant vise à mesurer les facultés combinatoires du candidat (résolution spontanée d’alternatives, organisation du système de pensée, intuition, …).

À partir des informations contenues dans la phrase énoncée pour chaque question, le candidat doit identifier la seule déduction vraie parmi les quatre possibles.

36 - La plupart des escrocs peuvent être démasqués.

A. La plupart des escrocs sont punis.

B. Les escrocs méritent d’être châtiés.

C. La police agit efficacement contre les escrocs.

D. Quelques escrocs ne sont pas démasqués.

37 - En règle générale, un véhicule coûte plus cher à l’entreprise de nos jours qu’il y a 10 ans.

A. Les constructeurs utilisent aujourd’hui des matériaux plus coûteux.

B. Les véhicules d’aujourd’hui sont plus confortables.

C. Les coûts de production ont augmenté ces 10 dernières années.

D. Le coût de la vie a augmenté en 10 ans.

38 - L’homme d’aujourd’hui est en moyenne plus instruit qu’au siècle passé.

A. À notre époque, un enfant en sait probablement plus que son grand-père.

C. Des parents intelligents ont des enfants intelligents.

B. Les méthodes pédagogiques sont actuellement meilleures.

D. Des hommes intelligents épousent des femmes intelligentes.

39 - La police constate qu’une des méthodes pour faire respecter la limitation de vitesse aux automobilistes consiste à placer des contrôles radar aux endroits adéquats.

A. Lorsque les automobilistes remarquent les contrôles radar, ils respectent la limitation de vitesse.

B. L’un des moyens de faire respecter les limitations de vitesse est de procéder a des contrôles radar.

C. Le problème du respect de la limitation de vitesse peut etre résolu par des contrôles radar en nombre suffisant.

D. Le meilleur moyen d’amener un automobiliste a changer son comportement consiste a le soumettre à des contrôles radar.

40 - En une année d’exercice, un responsable d’entreprise a réalisé un bénéfice net après impôt de 280 000 euros.

A. La productivité de la société en question est élevée. C. La conjoncture de cette année était favorable à la réalisation d’un bénéfice.

B. L’entrepreneur a réalisé un bénéfice avec son entreprise.

D. 280 000 euros est un bénéfice conséquent.

41 - Alors que les réserves d’eau dans les terres stagnent, l’industrialisation et le besoin en eau ne cessent de croître.

A. Il sera nécessaire dans le futur de ne pas gaspiller d’eau.

C. Les conditions de vie seront de plus en plus difficiles.

B. Dans l’avenir l’industrie manquera d’eau. D. La planète sera de plus en plus industrialisée.

42 - Le problème de la drogue révèle que notre société est décadente.

A. Notre sociéte ne s’interroge par sur son avenir. C. Les problèmes de notre temps révèlent quelques-uns des aspects du développement de notre société.

B. Le problème de la drogue est un point de repère fiable pour mesurer le déclin de notre société.

D. Les problèmes visibles sont ceux qui représentent le mieux notre société.

43 - Dans nos villes, les agressions sont plus fréquentes la nuit que le jour.

A. Il est courant dans l’obscurité, qu’un passant trop peu méfiant soit agressé.

C. La probabilité de se faire agresser est plus elevée la nuit que le jour.

B. L’obscurité est propice aux agressions. D. Le fait que les rues soient moins fréquentées favorise

une augmentation des agressions.

44 - Les avions à réaction se déplacent par propulsion.

A. Les gaz propulsés provoquent une réaction qui permet à l’avion de se déplacer.

C. La plupart des avions a réaction sont des avions à la ligne élancée, facilement maniables.

B. L’avion a réaction se déplace à contrevent, contrairement aux autres avions.

D. La propulsion par réaction permet aux avions a réaction de voler plus vite que d’autres.

45 - Notre nourriture a toujours constitué notre culture, notre caractère. Aujourd'hui avec le manque de clarté qui existe sur la composition des produits qui devient de plus en plus industrielle et d'origine inconnue, nous ne savons plus ce que nous mangeons.

A. La nourriture est de plus en plus de mauvaise qualité. C. La nourriture est essentielle pour notre survie.

B. Il est important de savoir ce que l'on mange. D. Cette nouvelle nourriture nous fait perdre notre identité.

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