Exercices de statistiques - 9 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 9 - 1° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 9 - 1° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Restitution organisée des connaissances, Analyse.
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Classe de Terminale S

Démonstrations à connaître Analyse

Restitution organisée des connaissances

Pour chaque question nous rappelons la démonstration et nous essayons de proposer une mise en situation… Lorsqu’il n’y a pas de démonstration demandée vous pouvez inventer une question…

1. Analyse 1-a : Propriétés des suites 1-b : Théorème des gendarmes pour les fonctions 1-c : Théorème des valeurs intermédiaires / Corollaire du théorème 1-d : Dérivation d’une fonction composée / dérivation du produit de deux fonctions 1-e : Théorème : « il existe une unique fonction f dérivable sur telle que f’ = f et f(0) = 1 1-f : Propriétés de exp et ln

1-g : Croissances comparées : ln

lim 0 x

x

x  , lim

x

x

e

x   , lim 0x

x xe

 

1-h : Théorème : « si f est continue sur un intervalle I et si a est un point de I, la fonction F telle que

( ) ( ) x

a

F x f t dt  est l’unique primitive de f sur I s’annulant en a ». 1-i : Intégration par parties 1-j : Equation y’ = ay + b : existence et unicité de la solution passant par un point donné.

1. Analyse

1-a : Propriétés des suites

On rappelle la définition d’une suite tendant vers  : une suite admet pour limite  si tous les

termes de la suite à partir d’un certain rang sont dans un intervalle de la forme [ ; [A  où A est un réel

quelconque (la définition est la même pour  , mais les termes seront dans un intervalle ] ; ]A ).

Théorème 1

Si une suite (un) est croissante et non majorée, alors lim n n

u 

  ; si une suite (un) est décroissante et

non minorée, alors lim n n

u 

  .

Démonstration

Soit (un) croissante, non majorée et M un réel quelconque. On est sûr qu’à partir d’un certain rang N, on

aura nu M pour n > N puisque un est croissante. Puisque un n’est pas majorée, on peut choisir M aussi

grand que l’on veut et les termes de la suite seront dans un intervalle ] ; [M  ce qui correspond à la

définition.

Théorème 2 (admis)

Toute suite croissante majorée par M converge vers l avec l M . Toute suite décroissante minorée par

m converge vers l avec l m .

Théorème 3

On dit que deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si :

 

,

lim 0

n n

n n

n n n

u v

u croissante v décroissante

v u 

    

  

.

Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et ont même limite l. De plus on a n nu l v  .

Démonstration

On utilise le th. 2 : nu est croissante et majorée par 0v donc converge vers l ; nv est décroissante et

minorée par 0u donc converge vers l’. Comme on a  lim 0n n n

v u 

  , à partir d’un certain rang N la

distance entre nu et nv devient aussi petite que l’on veut, de même que celle entre l et l’ ; on peut écrire

cela de la manière suivante :

( ') ( ' ) ( ) ' lim( ') lim( ) lim( ) 0 0 0 0n n n n n n n n n n n

v u v l l l l u l l v l l u v u   

                  

et par conséquent l = l’.

Exercice 1

Soit (un) une suite. On considère les propriétés suivantes :

– P1 : la suite (un) est majorée ;

– P2 : la suite (un) n’est pas majorée ;

– P3 : la suite (un) converge ;

– P4 : la suite (un) tend vers  ;

– P5 : la suite (un) est croissante.

Dans tous les cas on demande de justifier la réponse.

1. Donner la traduction mathématique des propriétés P1 et P4.

2. Si les propriétés P1 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un) ?

3. Si les propriétés P2 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un) ?

4. Une suite vérifiant la propriété P4 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P2 ?

5. Une suite vérifiant la propriété P2 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P4 ?

Correction

1. P1 : il existe au moins un réel M tel que pour tout n entier, nu M ;

P4 = négation de P1 : il n’existe aucun réel M pour lequel, pour tout entier n, nu M .

2. Si P1 et P5 sont vraies, la suite (un) est convergente (théorème de cours).

3. Si (un) est croissant et non majorée, elle grandira plus que toute valeur réelle, elle tendra donc vers  .

4. Si la suite (un) tend vers  alors elle ne peut-être majorée, c’est donc vrai.

5. Si la suite (un) n’est pas majorée elle ne tend pas forcément vers  . Par exemple ( 1) n

nu n  .

Exercice 2

A. Démonstration de cours.

Soit (un) une suite croissante non majorée.

1. Soit M un nombre réel et n0 un entier naturel tel que 0

nu M . Démontrer que pour tout entier

naturel n, si n > n0 alors un > M.

2. Quelles conséquences peut-on en tirer pour la suite (un) ?

3. Enoncer le théorème du cours ainsi démontré.

B. Répondre par Vrai ou Faux aux propositions suivantes en justifiant chaque réponse :

1. Si une suite n’est pas majorée alors elle tend vers  .

2. Si une suite est croissante alors elle tend vers  .

3. Si une suite tend vers  alors elle n’est pas majorée.

4. Si une suite tend vers  alors elle est croissante.

Correction

A. 1. Comme (un) est croissante, pour tout n > n0, on a 0n n

u u et par conséquent nu M .

2. La suite (un) n’est pas majorée ; comme elle est croissante elle tend vers  .

3. « Toute suite croissante non majorée tend vers  . »

B. Vrai/Faux

1. Faux : voir exemple à l’exercice1.

2. Faux : exemple typique nnu K q  où 0 < q < 1 : nu tend vers K alors que nq est décroissante et

nK q est croissante.

3. Vrai : ce sont deux termes antinomiques.

4. Faux : on peut très bien avoir par exemple une suite oscillante et croissante.

Exercice 3

Partie I

A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affectés. Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n’en enlèvent aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Pour chacune des affirmations suivantes répondre sans justification par Vrai ou Faux :

(A) Soit (un) et (vn) deux suites à valeurs strictement positives. Si, pour tout entier n, n nv u et si

lim n n

u 

  alors 2

lim n n

n

v

u   .

(B) Toute suite bornée est convergente.

(C) Pour toutes suites (un) et (vn) à valeurs strictement positives qui tendent vers  , la suite de terme

général n

n

u

v converge vers 1.

(D) Toute suite croissante non majorée tend vers  .

Partie II

Pour chacune des propositions de la première partie, justifier votre réponse :

– dans le cas où la proposition vous paraît fausse : en donnant un contre-exemple.

– dans le cas où la proposition vous paraît exacte : en donnant une démonstration.

Correction

Parties I & II

(A) Vrai : 2

2 n n n n n n n n

n

v v u v v u v u

u       . Donc comme lim n

n u

   , on a

2

lim n n

n

v

u   .

(B) Faux : exemple classique : ( 1)nnu   qui est bornée par −1 et 1 et qui ne converge pas.

(C) Faux : évidemment… Exemple : 2nu n et nv n .

(D) Vrai : reprendre l’exercice 1.

Exercice 4

On rappelle la définition d’une suite tendant vers  : une suite (un) tend vers  si pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A.

Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers  .

2. On considère la suite (un) définie par 0 0u  et la relation de récurrence 1 un

n nu u e

   .

a. Etablir que la suite (un) est croissante.

b. Démontrer que si la suite (un) a pour limite un réel l, alors l vérifie la relation ll l e  .

c. Conclure quand à la convergence de la suite (un).

Correction

Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers  .

Par l’absurde : si (un) était croissante et non majorée et qu’elle tende vers une limite L, alors il arriverait

un moment (une valeur N de n) où Nu L   où  est un réel positif choisi arbitrairement (aussi petit

qu’on le veut) ; si le terme suivant est supérieur à L  , la suite ne converge pas vers L et si le terme suivant reste inférieur à L, la suite est majorée. Dans les deux cas il y a contradiction.

2. 1 un

n nu u e

   .

a. Il est immédiat que 1 0 un

n nu u e

    . donc (un) est croissante.

b. Si la suite (un) a pour limite un réel l, alors 1lim lim l

n n n n

u u l l l e  

     .

c. De la relation précédente on tire 0le  ce qui est impossible (ou plus prosaïquement ce qui signifie que l est  puisque la suite est monotone). La suite ne converge donc pas.

1-b : Théorème des gendarmes pour les fonctions

Rappelons au préalable la signification profonde de lim ( ) x

h x L 

 : à partir du moment où x devient

suffisamment grand la valeur de ( )h x L devient aussi petite que l’on veut, on a alors h(x) dans

n’importe quel intervalle de la forme  ;L L   où  est un réel strictement positif.

Théorème

Soit f, g, h trois fonctions définies dans un intervalle  ;I a  telles que ( ) ( ) ( )f x h x g x  sur I. Alors

si lim ( ) lim ( ) x x

f x L g x  

  , on a lim ( ) x

h x L 

 . On a évidemment le même résultat en  .

Démonstration

Considérons un intervalle J contenant L :

Pour x suffisamment grand f(x) et g(x) sont dans J, et par conséquent h(x) également. Comme on peut faire ceci pour n’importe quel intervalle contenant L, h a forcément pour limite L.

La démonstration est identique si on veut appliquer à lim ( ) x a

h x L

 , la seule différence provient du

comportement de x : on dira alors que x est aussi proche que l’on veut de a, soit que x est dans un

intervalle de la forme  ;a a   , le reste étant identique.

Exercice

1. On considère la fonction numérique f définie sur [1 ; [ par 1 1

( ) expf x x x

    

  .

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( ; , )O i j du plan.

Pour tout réel 1  , on considère les intégrales

2 1 ( )J dx

x

    et

2 1 1 ( ) expK dx

x x

 

    

  .

Le but de l’exercice est d’étudier, sans chercher à la calculer, l’intégrale ( )K  .

a. Déterminer la limite de f en  . Interpréter graphiquement le résultat.

b. b. Montrer que la dérivée de f peut s’écrire 2

1 1 1 '( ) exp

x f x

x xx

         

    . En déduire le sens de

variation de f.

c. Donner l’allure de la courbe C.

2. a. Interpréter géométriquement le nombre ( )K  .

b. Soit 1  , montrer que 1 1 1

exp ( ) exp 2 2

K   

        

    .

c. En déduire que 1

( ) 2

K e  .

3. a. Calculer ( )J .

b. Démontrer que pour tout réel 1  , 1 1

exp ln(2) ( ) exp ln(2) 2

K   

        

    .

4. Démonstration de cours.

Démontrer le théorème suivant : soient u, v et w des fonctions définies sur [1 ; [ telles que pour tout

réel 1x  , ( ) ( ) ( )u x v x w x  . S’il existe un réel l tel que lim ( ) x

u x l 

 et lim ( ) x

w x l 

 alors lim ( ) x

v x l 

 .

5. Déduire de ce qui précède la limite de ( )K  lorsque  tend vers  .

Correction : voir exponentielle_exercices_corriges, ex 8

] [ L f(x) g(x) h(x)

1-c : Théorème des valeurs intermédiaires / Corollaire du théorème

L’énoncé du théorème est le suivant : soit f continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I ; pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Démonstration avec des suites

Choisissons a b et définissons deux suites (an) et (bn) telles que 0a a et 0b b ; on fait maintenant

une utilisation du balayage : supposons qu’à un moment (soit pour une valeur de n) on soit sûr que

 ( ) ; ( )n nk f a f b ; plaçons nous alors dans l’intervalle  ;n na b et calculons 2

n na bu f  

    

: soit k est

supérieur à u, auquel cas nous prenons 1 1, 2

n n n n n

a b a b b 

   , soit il lui est inférieur auquel cas nous

prenons 1 1, 2

n n n n n

a b a a b 

   . Dans tous les cas on sera sûr que  1 1( ) ; ( )n nk f a f b  .

En faisant une récurrence il est alors clair que an est croissante, bn est décroissante et en plus, comme à

chaque fois on prend le milieu de l’intervalle, l’écart entre les deux est tel que 1 1 1

( ) 2

n n n nb a b a    , soit

que 0 0 1

( ) 2

n n n b a b a   . Cette suite géométrique tend vers 0 et par utilisation des gendarmes on a

lim limn n n n

a b c  

  ; enfin comme f est continue,

 lim ( ) ; lim ( ) (lim ) ; ( lim ) ( ) ; ( ) ( )n n n n n n n n

k f a f b f a f b f c f c f c    

             

.

Corollaire : l’équation f(x) = k a une unique solution c dans [a ; b] si [ ( ) ; ( )]k f a f b et f est strictement

monotone.

Le théorème précédent justifie l’existence de c mais pas son unicité. Supposons qu’il existe c’ tels que f(c’) = k, alors entre c et c’, soit f est constante (interdit par le strictement) soit elle n’est pas monotone…

autrement dit pour tout c’ de [a ; b] , si 'c c alors ( ') ( )f c f c .

Exercice : la Règle de L’Hopital (mathématicien français du 18ème siècle)

Préliminaire : le Théorème de Rolle.

Soit f continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ et f(a) = f(b), alors il existe au moins un point c de ]a ; b[ tel que f’(c)=0.

Si f est constante tous les points x donnent f’(x) = 0. Sinon, comme f est continue sur [a ; b], il existe un

point c tel que pour tout x de [a ; b], ( ) ( )f x f c M  (si f(a) est différent de M, sinon on fait le même

raisonnement avec ( ) ( )f x f c m  ).

Soit ( ) ( )

( ) f x f c

g x x c

 

, si x>c, g(x)  0, et si x<c, g(x)  0 ; on a donc lim ( ) 0

x c

g x 

et lim ( ) 0 x c

g x 

d’où

lim ( ) 0 '( ) x c

g x f c

  .

A quel(s) endroit(s) de cette démonstration a-t-on utilisé le TVI ?

Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b], dérivables sur ]a ; b[.

1. Soit la fonction  définie par ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )

f b f a x f x f a g x g a

g b g a

    

 . Calculer ( )a et ( )b .

2. Montrer que '( )x s’annule sur ]a ; b[ et qu’il existe c dans ]a ; b[ tel que

'( )( ( ) ( )) '( )( ( ) ( ))g c f b f a f c g b g a   .

3. Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I , a un point de I, f et g dérivables sur I sauf en a

et telles que f(a) = g(a) = 0 et , '( ) 0x I x a g x     .

a. Montrer que si '( )

lim '( )x a

f x l

g x  alors

( ) lim

( )x a

f x l

g x  .

b. Montrer que la réciproque est fausse en considérant les fonctions 2 1

( ) sin( )f x x x

 et g(x) = sinx.

c. Application : déterminer la limite en 0 de 3

3

cos( ) 1 ( )

x

x u x

x e

  .

1-d : Dérivation d’une fonction composée / dérivation du produit de deux fonctions

La méthode de démonstration étant semblable on donne les deux pour le prix d’une…

Démonstration du produit

Avant de faire quoi que ce soit revenons à la définition du nombre dérivé : pour f continue et dérivable en x0, on a

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )

h

f x h f x f x h f x f x f x h f x h f x hf x h h

h h  

            

où ( )h tend vers 0 lorsque h tend vers 0.

Soient maintenant deux fonctions u et v dérivables en x0, on a :

0 0 0 1( ) ( ) '( ) ( )u x h u x hu x h h    et 0 0 0 2( ) ( ) '( ) ( )v x h v x hv x h h   

où 1( )h et 2( )h tendent vers 0 quand h tend vers 0.

Effectuons le produit :   0 0 0 1 0 0 2( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )uv x h u x hu x h h v x hv x h h       , développons et mettons h en facteur :

   0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( )uv x h u x v x h u x v x u x v x h h v x h h u x h         ;

le bloc  1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( )h v x h h u x h    tend vers 0 lorsque h tend vers 0 et représente une fonction 3( )h qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0 (en fait on sépare les termes constants et les termes variables).

Finalement on a quelque chose de la forme 0 0 0 3( ) ( ) ( ' ')( ) ( )uv x h uv x h u v uv x h h     donc le nombre

dérivé de uv en x0 est 0( ' ')( )u v uv x , ce qui donne la formule bien connue.

Remarque : pour obtenir les autres formules on prend tout d’abord la fonction 1

v u  et donc telle que

u.v = 1 ; on dérive ce qui donne 2

1 ' ' ' ' 0 ' '

u u u v uv v v

u u u

          

  ; en réutilisant cela on a

2 2

1 1 1 ' ' ' ' ' . ' ' '

u u v u v uv u u u u

v v v v v v v

                

      .

Démonstration de la composée

Soient u dérivable en x0 avec 0 0( )y u x et v dérivable en y0 : on a

0 0 0 2( ) ( ) '( ) ( )v y H v y Hv y H H    et 0 0 0 1( ) ( ) '( ) ( )u x h u x hu x h h    .

Ecrivons    0 0 0 1 0( ( ) ( ) '( ) ( ) ( )v u x h v u x hu x h h v u x H      avec 0 1'( ) ( )H hu x h h  ; on a alors

 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 2( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) '( ) ( )v y H v y h u x h v y H H v y hu x v y h h v y H H           

où l’on voit apparaître le terme dérivé 0 0'( ) '( )u x v y . On récupère donc la formule  ( )' '. 'v u u v u .

Exercice 1

On considère une fonction f définie sur un intervalle I et un nombre réel a appartenant à I.

1. Rappeler la définition de « f est dérivable en a ».

2. Dans chacun des cas suivants, indiquer si les deux propriétés citées peuvent être vérifiées simultanément ou non. Si la réponse est « oui », donner un exemple (un graphique sera accepté) ; dans le cas contraire, justifier la réponse.

f est continue en a et f est dérivable en a ;

f est continue en a et f n’est pas dérivable en a ;

f n’est pas continue en a et f est dérivable en a ;

f n’est pas continue en a et f n’est pas dérivable en a.

Exercice 2

On considère la fonction ( ) 2

x xe e f x

  définie sur .

1. Etudier les variations de f ; montrer que pour tout x réel on peut trouver un unique y tel que ( )y f x .

2. Soit g la fonction telle que ( )g y x . Vérifier que  2( ) ln 1g y y y   . 3. Rappeler la formule de dérivation des fonctions composées. Montrer alors que si u et v sont deux

fonctions dérivables telles que ( ( ))v u x x alors 1

'( ) '( ( ))

u x v u x  .

4. Appliquer ce résultat aux fonctions f et g précédentes.

1-e : Théorème : « il existe une unique fonction f dérivable sur telle que f’ = f et f(0) = 1

Le problème est double : existence et unicité.

Existence

Lors de la présentation de l’exponentielle on part de la méthode d’Euler et après de nombreuses manipulations sur les suites on obtient l’existence de exp(x)… Ici nous allons partir du logarithme néperien, ce qui sera plus simple.

La fonction 1/x est continue sur ]0 ; [ , elle admet donc une unique primitive (théorème admis) sur cet

intervalle, primitive appelée lnx, telle que ln1 = 0 (voir 1.f). Par dérivation des fonctions composées on a :

  '

ln ' f

f f

 .

Notre équation se transforme alors : '( )

'( ) ( ) 1 ln ( ) ( )

f x f x f x f x x K

f x       ; comme f(0) = 1, il vient

ln1 0 0K K    .

La fonction ln est bijective et a donc une fonction réciproque appelée exponentielle d’où

( ) exp( ) ( ) exp( )f x x f x x    . Comme f(0) = 1, il reste uniquement ( ) xf x e . Enfin xe est solution de

f’ = f, on a donc   'x xe e ; de plus comme ln est croissante, exp l’est également ; pour finir, avec

exp(0) = 1 et exp croissante il est immédiat que 0xe  .

Unicité

Supposons qu’il existe une fonction g, autre solution de notre équation f’ = f ; nous pourrons toujours

écrire ( ) ( ) xg x h x e , d’où en remplaçant dans l’équation :

' '( ) ( ) ( ) '( ) 0x x x xg g h x e h x e h x e h x e      .

Comme 0xe  , il reste h’(x) = 0 d’où h(x) = C = constante. On a alors ( ) xg x Ce et comme g(0)=1, il

reste C = 1 et g = exp.

Exercice

Une exsanguino-transfusion peut se schématiser de la façon suivante : un récipient R contient un liquide L dans lequel se trouve une substance S dont on veut diminuer la concentration. Le volume de R est de p litres (genre le corps humain…) et la concentration initiale de S est de a gramme par litre dans L.

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