Exercices de statistiques - 9 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 9 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 9 - 2° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Propriétés de exp et ln, Croissances comparées, Théorème.
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1. Première méthode : on injecte dans R de manière continue du liquide L ne contenant pas la substance S et on prélève simultanément la même quantité de mélange par un tuyau de sortie de sorte que le volume de liquide dans R reste constant. Les tuyaux d’arrivée et de sortie ont des débits de d litres par heure.

On note m(t) la quantité de S dans L au bout du temps t et C(t) sa concentration.

a. Montrer que ( ) ( ) ( )m t h m t dhC t    ; en déduire que '( ) ( )m t dC t  puis que '( ) ( ) d

C t C t p

  (E).

b. Démontrer que l’unique solution de (E) est ( ) exp d

C t a t p

    

  .

c. Au bout de combien de temps la concentration de S est-elle inférieure à 5 % de sa valeur initiale ?

d. Cette méthode permet-elle d’éliminer complètement S ?

2. Deuxième méthode : toutes les minutes on prélève dans R un pourcentage fixe q de mélange que l’on remplace par la même quantité de L ne contenant pas S. A la minute n on appelle mn la masse de S restant dans R et Cn sa concentration.

a. Exprimer en fonction de n et des autres paramètres la masse nm de S prélevée à la minute n.

b. Exprimer 1nm  en fonction de nm puis 1nC  en fonction de nC . En déduire nC en fonction de n, a, p et

q.

c. Au bout de combien de minutes la concentration de S est-elle inférieure à 5 % de sa valeur initiale ?

d. En posant 60n t donner une expression de nC . Comparer au résultat du 1.

1-f : Propriétés de exp et ln

On admet l’existence d’une fonction solution de f’ = f avec f(0) = 1 (méthode d’Euler). Cette fonction est

notée exp : ( ) exp( ) xf x x e  . Voir thème précédent.

* Du fait de sa définition, il est immédiat que ( )'x xe e .

* Cette fonction est positive. On a évidemment '(0) (0) 1f f  ; par ailleurs prenons ( ) ( ) ( )g x f x f x  et

dérivons g : '( ) '( ) ( ) ( )( '( )) 0x x x xg x f x f x f x f x e e e e         (dérivation des fonctions composées :

[ ( )]' '( )f x f x    ).

Conclusion g est une constante ; calculons (0) (0) ( 0) 1.1 1g f f    d’où 1

1x x x x

e e e e

    .

* Par ailleurs la relation précédente montre qu’elle ne s’annule pas puisque s’il existait une valeur a de x

pour laquelle on a 0ae  alors on aurait 1 0 1a ae e    …bof !

* Puisqu’elle ne s’annule pas elle garde un signe constant et comme 0 1e  elle est positive.

* Comme 0xe  , sa dérivée l’est également, elle est donc strictement croissante.

* Réutilisons ( ) ( ) ( )g x f x f x  en prenant cette fois ( ) ( ) ( )g x f x a f x   ;

on dérive : '( ) '( ) ( ) ( )( '( )) 0x a x x a xg x f x a f x f x a f x e e e e             donc g est constante et vaut

(0) ( ) (0) .1a ag f a f e e   . Par conséquent on a x a x a x a x x a x x a x ae e e e e e e e e e e         .

Les autres propriétés viennent facilement.

Pour ln, c’est la réciproque de exp et ses principales propriétés découlent de cela.

* Comme exp est bijective de vers ]0 ; [ , ln l’est de ]0 ; [ vers .

* Sa dérivée est telle que    ln ln 1

1 ( )' ' ln ' (ln )' (ln )'x xx e x e x x x x

      (dérivation des fonctions

composées et utilisation de ln xx e ).

* Posons lnx u et lna v dans x a x ae e e  :

 ln ln ln ln ln ln ln lnln ln( ) ln ln ln( )u v u v u v u ve e e e uv e uv u v uv          . Exercice

Prérequis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes :

1. exp est une fonction dérivable sur ;

2. sa fonction dérivée, notée exp’, est telle que, pour tout nombre réel x, exp’(x) = exp(x) ;

3. exp(0) = 1.

En n’utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que :

– Pour tout nombre réel x, exp(x) × exp(–x) = 1.

– Pour tout nombre réel a et tout nombre réel b, exp(a + b) = exp(a) × exp(b).

1-g : Croissances comparées : ln

lim 0 x

x

x  , lim

x

x

e

x   , lim 0x

x xe

 

Démonstrations

1. La limite la plus importante est ln

lim x

x

x : en fait il s’agit de comparer lnx et x ; lorsqu’on trace ln, on

voit que sa courbe ressemble pas mal à celle de x d’où l’idée de regarder plutôt ln

lim x

x

x .

Etudions la fonction ln

( ) x

f x x

 ;

1 1 ln

2 ln2 '( )

2

x x xx x

f x x x x

 

  , donc f a un maximum en 2x e ,

2 2( )f e e  . Par ailleurs si on prend x > 1, il est clair que f est positive. On peut donc écrire

2 0 ( )f x

e  

d’où en divisant tout par x qui est positif, 1 ln 2 ln 2

0 0 x x

xx x e x e x      . Il reste à appeler les

gendarmes et à passer à la limite lorsque x tend vers  : ln

lim 0 x

x

x  .

2. En multipliant par 1

1 nx

qui tend également vers 0 on a ln

lim 0 nx

x

x  .

3. En faisant le changement de variable 1

X x  , X tend vers 0+ et

0 0

lim ln 0 lim ln 0n n

X x

X X x x   

    .

4. En faisant le changement de variable lnXx e X x   on a :

ln ln lim 0 lim lim lim

X

n Xx x X X

x x X e

x Xx e          ;

en posant Y = –X, 1

lim lim lim 0 lim 0 Y

Y x

YY Y Y x

e Ye xe

Y Ye

          

 ;

1 1 lim lim lim lim lim

n nnx x x nx Xn n n

n n nx x x x X

e e e e e

x xx Xx n nn n n

    

           

                      

     

; de la même manière que

précédemment on a lim 0n x x

x e 

 .

Remarque : grosso-modo on peut résumer la situation en disant qu’à l’infini (+ ou –) l’exponentielle l’emporte sur n’importe quel polynôme, lequel l’emporte toujours sur ln en  .

On pourrait partir de l’exponentielle définie par lim 1 n

x

n

x e

n

    

  , mais les calculs sont vraiment

déplaisants. Par contre si on utilise la définition suivante nettement plus efficace de exp : 2

lim 1 ... 1! 2! !

n x

n

x x x e

n

        

  , la plupart des limites du 4. viennent immédiatement.

Exercice

Soit les fonctions f et g définies sur par ( ) xf x x e  et ( ) (1 ) xg x x e  .

1. a. Démonstration de cours : en utilisant seulement ln

lim 0 x

x

x  , déterminer les limites de f et g

en  et  .

b. Montrer que la droite D(y = x) est asymptote de Cf.

c. Dresser le tableau de variation de f et g.

2. a. Pour tout réel x, on pose ( ) ( ) ( )h x f x g x  . Déterminer le sens de variation de h.

b. Montrer que Cf et Cg ont un unique point d’intersection d’abscisse  et que  1 ; 2  .

c. Etudier suivant les valeurs de x la position relative de Cf et Cg. Tracer D, Cf et Cg.

3. a. En utilisant les variations de f, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1 xx e  .

b. En utilisant les variations de g, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1

1

xe x

 

.

c. On pose 1

x k  , k entier naturel. Déduire des questions précédentes que

1 1 ln ln

1

k k

k k k

        

    .

4. On s’intéresse à la suite 1 1 1

1 ... ln 2 3

nS n n

      .

a. A l’aide de votre calculatrice donner des valeurs approchées à 10–4 près de 10 20 30, ,S S S . Quelles

conjectures pouvez vous faire sur le comportement de Sn ?

b. En utilisant les inégalités du 3. c. Montrer que (Sn) est décroissante et que 0 1nS  . Qu’en concluez-

vous ?

1-h : Théorème : « si f est continue sur un intervalle I et si a est un point de I, la fonction

F telle que ( ) ( ) x

a

F x f t dt  est l’unique primitive de f sur I s’annulant en a ».

Démonstration

Soit G une primitive de f sur I ; la fonction 0

( ) ( ) ( ) ( ) x

F x f t dt G x G a   est une primitive de f telle que ( ) 0F a  : comme G(a) est une constante, '( ) '( ) 0 ( )F x G x f x   et ( ) ( ) ( ) 0F a G a G a   .

Cette primitive est unique : supposons qu’il existe une fonction H différente de F qui satisfasse les

mêmes conditions, alors ( ) ( )H x F x k  où k est une constante ; en particulier on a ( ) ( )H a F a k k   ,

mais comme ( ) ( ) x

a

H x f t dt  , on a également H(a) = 0 donc k = 0 et H = F.

Exercice

Le but de l’exercice est d’établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et primitive. On rappelle que :

H est une primitive de h sur [a ; b] si et seulement si H est dérivable sur [a ; b] et pour tout x de [a ; b] on a H’(x) = h(x).

Soit f la fonction définie sur par 2( ) ln(1 )f t t  .

1. Expliquer pourquoi f est continue sur .

2. Montrer que f est croissante sur [0 ; [ .

La fonction f est représentée ci-dessous.

Pour 0  , on note ( )A  l’aire de la portion de plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe

représentative de f et la droite d’équation x  .

3. a. Soit x0 et h deux réels strictement positifs. En utilisant un rectangle convenable, établir l’encadrement

2 20 0 0 0

( ) ( ) ln(1 ) ln(1 ( ) )

A x h A x x x h

h

       .

b. En utilisant une propriété géométrique de la courbe de f donner un encadrement similaire lorsque

0 0 0x h x   .

c. Démontrer que A est dérivable en x0. Quel est le nombre dérivé de A en x0 ?

4. Expliquer pourquoi 0 (1) ln 2A  et ln 2 (2) ln 2 ln 5A   .

1-i : Intégration par parties

Résultat et démonstration

Soit u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] admettant des dérivées u’ et v’ continues, alors

 '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) b b

b

a a a

u t v t dt u t v t u t v t dt   .

Du fait que  ( ) ( ) ' '( ) ( ) ( ) '( )u t v t u t v t u t v t  et que toutes les fonctions considérées sont continues on peut

intégrer cette relation entre a et b, ce qui donne le résultat.

Exercice

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

x

y

x0+hx0

La répartition de l’énergie rayonnée par une étoile en fonction de la couleur (ou la longueur d’onde) du rayonnement est donnée par la loi de Planck dont une loi approchée est la loi de Wien. Pour chaque

longueur d’onde  une étoile de température T (en degrés Kelvin) donne un rayonnement d’intensité

1

2( 1) 5

C

T

C I

e

 

 , où C1 et C2 sont des constantes : 12 2

1 3740.10 .C W cm

 et 2 1, 438 .C cm K .

Einstein avait fait remarquer que cette loi était fausse (que se passe-t-il si  devient très petit ?), mais

donne une approximation pour certains . Comme 2 C

T est très supérieur à 1, on peut également écrire

  

 2

1 5

C

T C

I e .

1. En dérivant I par rapport à  trouver la valeur de  pour laquelle I est maximale. En déduire la

loi de Wien : 2897 .mT constante m K   .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 5000 10000 15000 20000

Longueur d'onde

In te

n si

té d

e la

r ad

ia ti

on

3000 4000 5000

Entre les deux traits verticaux on a les longueurs d’onde visibles (en Angström). Les courbes

correspondent à différentes valeurs de T. Les valeurs m de  pour lesquelles I est maximale décroissent

quand la température augmente.

L’énergie totale E émise par seconde par unité de surface de l’étoile croît avec la température T ; cette

énergie est égale à E= 0

lim u

u I d 

  .

1. Démonstration de cours.

Démontrer à l’aide de deux intégrations par parties successives que  '' ' ' '' b b

b

a a a

uv dt uv u v u vdt    .

(Pour avoir une écriture plus lisible on a omis d’écrire les (t)…)

2. Calculer b

a

I d  pour T fixé en faisant une succession d’intégrations par parties : on posera tout

d’abord 3

1 u   ,

2

1 '

k

v e

  .

3. 0

lim b

a a

I d    puis 0lim

b

b I d 

  .

4. En déduire la loi de loi de Stefan-Boltzmann : 4

4 1 4

0 2

6 . B

T E I d C k T

C  



   où Bk est la constante

de Boltzmann.

D’une façon générale, tous les corps chauffés émettent de l’énergie suivant des lois qui se rapprochent

plus ou moins des lois précédentes. La brillance énergétique 'I est toujours plus petite que la brillance

énergétique I du corps noir, et le rapport entre les deux définit le facteur d’émission spectrale ; il

dépend de la nature du corps émissif, de son état de surface, de la température, de la longueur d’onde, etc.

1-j : Equation y’ = ay + b : existence et unicité de la solution passant par un point donné.

Résultat et démonstration

Dans ce type d’équation la méthode la plus générale est la plus rentable ; on résout tout d’abord y’ = ay,

soit '

ln ax K K ax ax y

a y ax K y e e e y Ce y

          , C réel positif non nul. Pour trouver la

solution de l’équation initiale on pose C = h(x), soit ( ) axy h x e et on remplace dans l’équation :

' '( ) ( )ax axy h x e ah x e  , soit '( ) ( ) ( ) '( ) '( )ax ax ax ax axh x e ah x e ah x e b h x e b h x be       ;

il reste à intégrer h’ : ( ) 'ax b

h x e K a

   d’où la solution

' 'ax ax ax b b

y e K e K e a a

        

.

Connaissant un point tel que 0 0( )y x y on remplace et on trouve K ‘ ce qui est toujours possible dans ce

cas. Comme K’ est unique la solution est unique.

Remarque : l’intérêt de la méthode vue ici est qu’elle permet de résoudre de nombreuses équations différentielles de ce type, voire nettement plus compliquées.

Exercice 1

Une étude sur le comportement de bactéries placées dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence a conduit à proposer une loi d’évolution de la forme

2( ) 2 ( ) 0,0045 ( ) dN t

N t N t dt   (1)

t est le temps exprimé en heures. N(t) représente le nombre d’individus présents dans l’enceinte à l’instant t ; à t = 0 on a N(0)=1 (en milliers).

1. On pose 1

( ) ( )

y t N t  ; montrer que y est solution d’une équation différentielle (E) du type y’ = ay+b.

2. Résoudre (E).

3. En déduire la solution N(t) de (1).

4. Etudier les variations de N.

5. Montrer que 2

2 ( )

0,0025 0,00125

t

t

e N t

e

 . Déduisez-en une primitive de N(t).

6. On appelle nombre moyen de bactéries la limite quand T tend vers  de 0

1 ( )

T

N t dt T  . Calculer cette

intégrale et en déduire le nombre moyen de bactéries dans l’enceinte.

Exercice 2

Dans une pièce à la température constante de 20°C, à l’instant initial noté 0 la température (0) d’un

liquide est égale à 70°C. Cinq minutes plus tard elle est de 60°C.

On admet que la température  du liquide est une fonction dérivable du temps t, exprimé en minutes, et

que sa dérivée '( )t est proportionnelle à la différence entre la température ( )t et celle de la pièce.

On notera a le coefficient de proportionnalité, a .

1. Démonstration de cours.

Soit (E) l’équation différentielle 'z az .

On rappelle que la fonction axx e est une solution de l’équation (E).

Démontrer que toute solution de (E) est de la forme axx Ce , où C est une constante réelle.

2. Résoudre l’équation différentielle : ' 20y ay a  .

3. Quelle sera la température du liquide 30 minutes après l’instant initial ?

Exercice 3

Soit E1 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’ = y.

Soit E2 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’’ = y.

Le but de l’exercice est de démontrer qu’il existe une unique fonction f qui appartient à E2 et qui vérifie f(0) = 1 et f’(0) = 0.

1. Vérifier que les fonctions définies sur par xx e et xx e sont des éléments de E2.

2. Soit f une fonction dérivable sur , on pose u = f + f’.

a. Démontrer que f appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1.

b. Démonstration de cours.

On rappelle que la fonction xx e est une solution de E1.

Démontrer l’unicité de la fonction u élément de E1 qui vérifie u(0) = 1.

3. Soit f un élément de E2. On pose, pour tout réel x, ( ) ( ) xg x f x e .

a. Démontrer que si f vérifie f(0) = 1 et f’(0) = 0, alors 2'( ) xg x e .

b. Démontrer qu’il existe une seule fonction f répondant au problème posé et déterminer son expression.

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