Exercices de statistiques, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices de statistiques, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant les statistiques : Corrigé de la 4ème séance - Les chroniques et les lissages. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, Différentes possibilités pour résoudre cett...
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tp40203

Année académique 2002-2003 : Statistiques : Corrigé de la 4ème séance

Les chroniques et les lissages

Attention : Une erreur s’est glissée dans le Formulaire 4… 2ème page, corrigez : yi=a+bti (et non pas yi=ati+b) Exercice 7.3

a) ( ) ( )∏ =

==+=+ 88

80

. 88.80 8905.1)013.1)(037.1)(092.1)(174.1)(152.1)(115.1)(032.1)(059.1(11

i

i privéeC rR

donc privéeCR .88.80 = 0.8905 soit 89.05%

La consommation privée de chocolat en Belgique a crû de 89.05% sur la période de 1980 à 1988.

b) ( ) ( ) 0829.01890.111 8/18/1.88:80.88.80 =−=−+= privéeCprivéeC Rr soit 8.29% c) et d) Sachant que 11)1( ++ =+ iii yry on obtient les résultats présentés au tableau ci-dessous.

ti Yi (10 6 FB) Iyi/85 I

y i/78

1980 11848.4236 60.67 117.27

1981 12547.4806 64.26 124.19

1982 12949 66.31 128.16

1983 14438.135 73.94 142.90

1984 16632.7315 85.18 164.62

1985 19526.8268 100 193.26

1986 21323.2949 109.20 211.04

1987 22112.2568 113.24 218.85

1988 22399.7161 114.71 221.70

e) )1( .898889

privéecryy += or par hypothèse privéecprivéec rr . 88,80 .

89 = =0.0829 donc ≈ =+= )0829.01(*7161.2239989y 24256.6526 millions FB

f) ( ) 7796.10103²0829.1 4236.11848

1 7880.

88,80

80 78 ≈=

+ = −privéecr

y y millions de FB

g) 78

. 78/ y

y I iprivéeci = voir tableau ci-dessus

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Exercice 7.9 a) On peut construire le tableau suivant

ti I p

i/85 I p

i/87

1978 63.91 62.15

1979 66.76 64.91

1980 71.17 69.20

1981 76.58 74.46

1982 83.27 80.97

1983 89.68 87.20

1984 95.37 92.73

1985 100.0 97.23

1986 101.28 98.48

1987 102.85 100.0

c) Différentes possibilités pour résoudre cette question, nous en présentons deux : 1 On calcule l’indice en 1977 base 1980=100, ensuite, l’indice 1976 base 1980=100 et enfin, l’indice 1975, base 1980=100. Quand on a cet indice 1975 base 1980=100, il est alors possible de transformer toute la série chronologique en base 1975=100.

93.85 045.01 8.89

77 =+=y

24.80 071.01 93.85

76 =+=y

48.73 092.01 24.80

75 =+=y A partir de cette valeur, on peut recalculer la série complète.

2

2222.01)045.1)(071.1)(092.1(1)1)(1)(1( 78,7777,7676,7578;75 ≈−=−+++= rrrR soit 22.22%

On peut alors calculer Ip75/80= 47.732222.1 8.89

1 78,75 80/78 ≈=+R

I A partir de cette valeur, on peut

recalculer la série complète.

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On construit alors le tableau suivant :

ti I p

i/75

1978 122.22

1979 127.67

1980 136.11

1981 146.45

1982 159.25

1983 171.50

1984 182.39

1985 191.23

1986 193.68

1987 196.68

c) On peut construire le tableau suivant :

ti I p

i/80 I p

i/87 I p

i/90

1978 89.8 62.15 57.76

1979 93.8 64.91 60.33

1980 100.0 69.20 64.32

1981 107.6 74.46 69.21

1982 117.0 80.97 75.25

1983 126.0 87.20 81.04

1984 134.0 92.73 86.18

1985 140.5 97.23 90.37

1986 142.3 98.48 91.52

1987 144.5 100.0 92.94

1988 146.67 101.5 94.33

1989 148.40 102.7 95.44

1990 155.48 107.6 100.0

d) )1001980(

)1001980( ln

1 ln

1

= ===

s

v

y

y

s

v

I

I

ny

y

n µ avec n=87-78=9, )1001980( =vyI =144.5 et

)1001980( =syI = 89.8

donc 0529.0 8.89 5.144ln

9 1 ==µ soit 5.29%

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Exercice 8.8

a) Indice synthétique de prix de Laspeyres pour 1990 en base 1985 :

0385.1 )1000*4()800*5()500*10( )1250*4()800*5()450*10(

8585

8590

=++ ++=

K

KK K

KK

qp

qp

Le salaire moyen payé par la firme à son personnel a augmenté de 3.85% entre 1985 et 1990,

l'effet d'une variation de personnel en fonction des trois catégories étant gelé.

b) Indice synthétique de prix de Paasche pour 1990 en base 1985 :

9709.0 )1000*2()800*5.6()500*20( )1250*2()800*5.6()450*20(

9085

9090

=++ ++=

K

KK K

KK

qp

qp

Le salaire moyen a baissé de 2.91% entre 1985 et 1990. Cette variation reflète également

l'important changement dans la composition du personnel.

c) L'origine de la différence tient bien entendu au système de pondération utilisé pour les

différentes catégories de personnel. Contrairement à l'indice de Laspeyres, l'indice de Paasche

tient compte du fait que, de 1985 à 1990, la proportion de manutentionnaires (qui sont moins

bien rémunérés) a fortement augmenté au détriment des ouvriers spécialisés (qui sont mieux

payés).

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Examen de juin 1997 : Exercice 4 Un ménage a dépensé pour ses loisirs en 1995 : Quantités (unités) Prix moyen (frs) Livres 10 250 Disques compacts 20 750 Cinémas, concerts, etc. 25 1000 En 1996, sa consommation de loisirs est résumée dans le tableau suivant : Quantités (unités) Prix moyen (frs) Livres 5 200 Disques compacts 30 750 Cinémas, concerts, etc. 15 1250

Calculez : a) - l’indice simple (base 1995=100) de prix des différents loisirs en 1996. b) - le taux de croissance entre 1995 et 1996 du prix des livres et celui du prix

du cinéma, concerts, etc. c) - le multiplicateur entre 1995 et 1996 des prix et des quantités des

différentes composantes des loisirs. d) - (à l’exception des étudiants de l’orientation informatique) : les indices de

Paasche et de Laspeyres (base 1995=100) des loisirs de ce ménage.

Q95 P95 Q96 P96 Multi. prix Multi. quantités Livres 10 250 5 200 0.8 0.5

CD 20 750 30 750 1.0 1.5 Ciné, ... 25 1000 15 1250 1.25 0.6 a)

I

I

I

P Livre

P CD

P Ciné

96 95

96 95

96 95

200

250 100 80

750

750 100 100

1250

1000 100 125

/ .

/ .

/ .

*

*

*

= =

= =

= =

b) Taux de croissance du prix des livres : -20%. (Taux de croissance du prix des CD : 0%.) Taux de croissance du prix des concerts - cinéma : +25%. c) Multiplicateurs pour les prix et les quantités : cfr tableau d)

Indice de prix Paasche : p q

p q 96 96

95 96

200 5 750 30 1250 15

250 5 750 30 1000 15 1090

∑ =

+ + + +

= * * *

* * * . 3

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Indice de prix Laspeyres : p q

p q 96 95

95 95

200 10 750 20 1250 25

250 10 750 20 1000 25 1135

∑ =

+ + + +

= * * *

* * * . 3

Selon la méthodologie de Paasche, les prix des loisirs ont augmenté de 9.03% entre 1995 et 1996; selon la méthodologie de Laspeyres, ils ont augmenté de 13.53% entre 1995 et 1996.

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Exercice récapitulatif L’indice trimestriel de valeur des ventes de fleurs (base 1997 :1 = 100) est représenté dans le tableau suivant pour la période 1996 :1 – 2000 :4 :

Tableau 2 : Indice trimestriel de la valeur des ventes de fleurs (1997 :1 = 100) Trimestre 1996 1997 1998 1999 2000

1 101,56 100,00 103,45 111,78 123,46

2 94,29 96,42 102,74 106,86 121,78

3 96,38 99,64 100,89 109,75 115,18

4 98,22 102,67 108,13 115,61 128,89

On vous demande de calculer les moyennes mobiles et échelonnées sur 5 termes de cette chronique. L’effet saisonnier a-t-il disparu ? Calculez une « droite de Mayer » en éliminant les 10 observations centrales. Représentez graphiquement les moyennes mobiles et échelonnées ainsi que la « droite de Mayer ». en les comparant à la chronique originale. Commentez.

Trim. Indice MM5 Mech5 Dte M. Tps 96:1 101,6 1 96:2 94,29 2 96:3 96,38 98,09 98,09 98,09 3 coef ang. 1,526267 96:4 98,22 97,06 98,67 99,62 4 interc. 93,5112 97:1 100 98,13 99,25 101,14 5 97:2 96,42 99,39 99,83 102,67 6 ca1 0,5788 97:3 99,64 100,44 100,41 104,20 7 interc1 96,3536 97:4 102,7 100,98 100,98 105,72 8 98:1 103,5 101,88 102,28 107,25 9 ca2 1,2996 98:2 102,7 103,58 103,58 108,77 10 interc2 90,5872 98:3 100,9 105,40 104,88 110,30 11 98:4 108,1 106,08 106,18 111,83 12 ca3 2,7004 99:1 111,8 107,48 107,48 113,35 13 interc3 72,3768 99:2 106,9 110,43 110,18 114,88 14 99:3 109,8 113,49 112,88 116,41 15 99:4 115,6 115,49 115,58 117,93 16 00:1 123,5 117,16 118,28 119,46 17 00:2 121,8 120,98 120,98 120,98 18 00:3 115,2 19 00:4 128.9 20

Droite de Mayer

Moyennes échelonnées

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Indice, MM5, Mech5 et droite de Mayer

90

95

100

105

110

115

120

125

130

96:1 96:2 96:3 96:4 97:1 97:2 97:3 97:4 98:1 98:2 98:3 98:4 99:1 99:2 99:3 99:4 00:1 00:2 00:3 00:4

Trimestre

I

n

d

i

c

e

Indice (1997:1 =100)

MM5

Mech5

"Drte Meyer"

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DEMARCHE A RETENIR DE CE TP ! ! !

 Importance des changements de base (être capable de passer facilement d’une base à l’autre pour une série chronologique) !!!

 Calcul des différents taux  Indice de Laspeyres et de Paasche + comparaison des deux indices  Lissages :moyennes mobiles, échelonnées et droite de Mayer + représentation sur

graphique  Pour la théorie de l’examen : exemples de questions sur Internet (importance

des définitions et formules !!!)

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