Exercices de thermodynamique, Exercices de Principes fondamentaux de physique

Télécharge Exercices de thermodynamique et plus Exercices au format PDF de Principes fondamentaux de physique sur Docsity uniquement! 1 Université de Rennes I préparation CAPES 2004-2005 U.F.R. S.P.M. Thermodynamique Exercice 1 : Construction d’une équation d’état à partir des coefficients thermoélastiques. On définit le coefficient de dilatation isobare α et le coefficient de compressibilité isotherme χT par : PT V V       ∂ ∂=α 1 et T T P V V       ∂ ∂−=χ 1 1) Que valent ces coefficients pour un gaz parfait ? 2) Les coefficients α et χT d’un gaz réel ont été mesurés et trouvés de la forme : BPAT A + =α BPAT B PT + −=χ 1 Où A et B sont des constantes propres au gaz considéré. a. Quelle est l’équation d’état à laquelle obéit ce gaz ? b. Comment s’écrirait cette équation à très haute température et très faible pression ? Exercice 2 : Comparaison entre un gaz parfait et un gaz de van der Waals Afin de prendre en compte les interactions qui s’exercent entre les molécules qui constituent un gaz réel, Johannes van der Waals a proposé en 1873 le modèle d’équation d’état suivant : ( ) nRTnbV V n ap =−              + 2 1.) Comparer cette équation d’état à celle d’un gaz parfait. Quelle est la signification physique des termes supplémentaires ? 2.) On définit le facteur de compression d’un gaz par RT pV Z m= où Vm est le volume molaire du gaz. a) Que vaut le facteur de compression pour un gaz parfait ? b) Estimer le volume molaire du dioxyde de carbone à 500 K et 100 atm en le considérant comme un gaz de van der Waals (a = 3,592 atm.l2.mol-2, b = 4,267×10-2 l.mol-1). c) Calculer le facteur de compression du CO2 pris dans ces conditions et comparer le à celui du gaz parfait. Le CO2 est il plus compressible ou moins compressible qu’un gaz parfait ? Quelle est l’origine physique de cet écart à la compressibilité du gaz parfait ? Selon vous comment évoluerait Z aux très hautes pressions pour le CO2 ? docsity.com 2 Exercice 3 : Gaz de Dieterici (d’après ENSI) Un tel gaz a pour équation (pour une mole) :      −=− RTV a RTbVp exp)( , avec a constante. 1.) Donner les expressions des coefficients thermoélastiques α (coefficient de dilatation isobare) et β (coefficient d’augmentation de pression isochore) pour ce gaz. 2.) Dans le domaine des faibles pressions, on peut utiliser une expression du type :       += V A RTPV 1 a) retrouver l’équation d’état du gaz parfait si V→∞. b) Déterminer A par un développement limité au premier ordre en V 1 . c) Que deviennent α et β ? Exercice 4 : Compression mono et bi étagée A. Compression en une étape (« mono étagée ») n moles de gaz parfait subissent les transformations réversibles suivantes à partir de l’état initial i (Pi Ti) : (1) : adiabatique jusqu’à l’état A (PA > Pi, TA) (2) : isobare de l’état A à l’état final f (Pf = PA, Tf = Ti) On définit le taux de compression global i f P P =α . On note vm pm C C =γ le rapport des chaleurs spécifiques molaires à pression et à volume constants et R la constante des gaz parfaits. On rappelle que pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait : constTP =− γγ1 . 1. Représenter la suite des transformations (1) et (2) dans un diagramme de Clapeyron (volume en abscisse, pression en ordonnée). Faites figurer l’isotherme Ti sur ce diagramme. 2. a. Exprimer le travail de compression reçu par le gaz le long de l’adiabatique i→A en fonction de R, n, γ, Ti et TA. b. Même question le long de l'isobare A→f. c. Donner l’expression du travail total de compression I fiW → en fonction de R, n, γ, Ti et α. d. Représenter I fiW → sur le diagramme précédent. B. Compression en deux étapes (« bi étagée ») On considère maintenant la nouvelle suite de transformations réversibles suivantes : (1) : adiabatique de l’état i à l’état B (PA > PB > Pi, TB) (2) : isobare de l’état B à l’état C (PC = PB, TC = Ti) (3) : adiabatique de l’état C à l’état D (PD = PA, TD) (4) : isobare de l’état D à l’état f (Pf = PD, Tf = Ti) docsity.com 5 Exercice 7: Oscillations mécaniques. On considère un grand récipient rempli d’air et surmonté d’un cylindre mince de section S fermé par un piston pouvant se déplacer verticalement sans frottement. L’ensemble étant initialement à l’équilibre, on enfonce légèrement le piston de z0 en dessous de sa position de repos. On fait l’hypothèse que les transformations thermodynamiques subies par l’air sont quasi-statiques et adiabatiques. 1) Montrer que le piston effectue des oscillations autour de sa position au repos. 2) Un capteur de pression placé au fond du récipient permet de mesurer une période d’oscillation t = 1,12 s. En déduire la valeur de γ pour l’air. Comparer à celle d’un gaz parfait diatomique. Exercice 8 : Bilan énergétique en régime d’écoulement permanent. On supposera l’écoulement infiniment lent. Soit une portion de canalisation délimitée par Σ et par les surfaces planes Σe et Σs. L’air entre dans la canalisation par Σe et en ressort par Σs ; les pression et température avant Σe et après Σs sont notées respectivement Pe, Te ; Ps, Ts. On se place dans le cas d’un régime permanent avec un débit molaire D. Soit dn le nombre de moles d’air qui traverse Σe entre les instants t et t + dt On définit le système Γ formé par la réunion de Γ1 : air contenu entre Σe et Σs et Γ2 : dn moles d’air. a) Compte tenu des hypothèses, que peut-on dire de l’énergie interne de Γ1 au cours du temps ? I. z capteur de pression P0 V0 T0 Pat Données : masse du piston m = 16,6 g section du tube S = 2×10-4 m2 V0 = 10 L Pat = 10 5 Pa g = 9,81 m.s-2 Σs Q& W& Σ Σe Pe Te dn Ps Ts Σs Q& W& Σ Σe Pe Te Ps Ts dn t t + dt docsity.com 6 b) On appelle ue et us les énergies internes molaires de l’air au niveau de Σe et Σs. exprimer alors la variation d’énergie interne dU de Γ entre les instants t et t + dt. c) On appelle ve et vs les volumes molaires de l’air au niveau de Σe et de Σs. Exprimer alors le travail des forces de pression au niveau de Σe et Σs pendant l’intervalle de temps dt. d) Entre Σe et Σs, l’air reçoit de la chaleur et du travail utile : soit W& et Q& les puissances mécaniques et calorifiques correspondantes. Démontrer que DhhQW es )( −=+ && , hs et he désignant l’enthalpie molaire de l’air à la sortie et à l’entrée de la canalisation. Exercice 9 : Système ouvert. On considère un gaz réel dont l’équation d’état est pour l’unité de masse rTbvP =− )( , b et r étant des constantes. Les chaleurs massiques à volume constant et à pression constante cv et cp seront supposées constantes. A. Donner l’expression de l’énergie interne et de l’enthalpie pour l’unité de masse du gaz. B. Un réservoir de volume V0 parfaitement isolé thermiquement contient à l’instant initial une masse M0 du gaz précédent à la température T0, sous la pression P0. Le gaz s’échappe vers l’extérieur à travers une vanne avec un débit-masse constant m0 . On supposera la vitesse du gaz parfaitement négligeable. A un instant t la masse de gaz restant dans le réservoir est M, sa température T, sa pression P. Au passage à travers la vanne, le gaz subit une détente Joule-Thomson (isenthalpique) de la pression P qui règne à l’intérieur du réservoir à la pression extérieure P1 supposée constante. 1) Exprimer la température T1 du gaz à la sortie de la vanne. 2) Quelle est l’énergie emportée par le gaz qui sort du réservoir pendant l’unité de temps ? 3) Calculer la variation d’énergie à l’intérieur du réservoir par unité de temps. 4) Ecrire la conservation de l’énergie et en déduire les lois d’évolution de la température et de la pression à l’intérieur du réservoir en fonction du temps. Exercice 10 : Irréversibilités thermiques. 1) Les parois d’un mur sont soumises à deux températures différentes T1 et T2 < T1. Le régime étant permanent évaluer la création d’entropie liée aux transferts de chaleur à travers le mur. Quelle relation doivent satisfaire T1 et T2 pour que ce terme d’entropie créée disparaisse ? 2) a. Un fluide de masse M et de capacité calorifique massique c, initialement à la température T0, est brusquement mis en contact avec une source à la température Tc. Faire le bilan entropique de l’évolution. Tracer la variation du terme d’entropie créée en fonction de Tc/T0. Conclure. b. On décide de porter le fluide de T0 à Tc mais en deux étapes en choisissant une source de température intermédiaire Ti. Quelle est la nouvelle entropie créée ? Pour quelle valeur de Ti est-elle minimale ? Comparer cette valeur minimale à la valeur trouvée à la question précédente. c. Généraliser le problème à n sources. Quelle est la nouvelle expression de l’entropie créée ? Que devient ce terme quand n devient très grand ? Vers quel cas limite se rapproche t- on alors ? docsity.com 7 Exercice 11 : Etude thermodynamique théorique d’un moteur à combustion interne (CAPES externe 1996) Préliminaires 1. On considère un système fermé. Qu’est-ce qu’un système fermé ? Enoncer le premier principe de la thermodynamique pour un système fermé subissant une transformation « finie », c’est à dire non élémentaire, l’amenant d’un état 1 à un état 2. Que traduit le premier principe de la thermodynamique ? 2. On considère un système fermé constitué par n moles d’un gaz considéré comme parfait, pour lequel la capacité thermique molaire à volume constant CVm est constante. Rappeler l’expression de l’équation d’état du système. Donner l’expression de la différentielle de l’énergie interne du système en fonction de la température. 3. Le système précédent subit une transformation isentropique. Qu’est ce qu’une transformation isentropique ? La quantité γ = CPm/CVm étant supposée constante, montrer que la grandeur T V γ-1 reste invariante au cours de cette transformation. On rappelle que pour un gaz parfait, CVm = R/(γ-1). Etude du moteur On considère un moteur à combustion interne à allumage par bougies. On se limite à l’étude de l’un des cylindres du moteur. Le cycle thermodynamique décrit par le fluide est le cycle de Beau de Rochas. On en donne, sur la figure, la représentation dans un diagramme où l’on porte en ordonnée la pression P du fluide et en abscisse le volume V du gaz contenu dans la chambre du cylindre. Les différentes étapes du cycle sont les suivantes : • M-A : admission du mélange gazeux air-essence à la pression constante P0. En A, il y a fermeture de la soupape d’admission et le volume V est alors égal à Vmax. • A-B : compression, supposée isentropique, du mélange. Dans l’état B, le volume est Vmin. • B-C : échauffement isochore du gaz. • C-D : détente isentropique du gaz. Dans l’état D, le volume est Vmax. • D-A : refroidissement isochore du gaz. • A-M : refoulement des gaz vers l’extérieur, à la pression P0. docsity.com 10 2. Cycle de Carnot. On considère dans un premier temps que le fréon décrit un cycle idéal de Carnot constitué de 2 adiabatiques et de 2 isothermes, toutes quatre réversibles. 2.1. Représentez ce cycle dans un diagramme entropique (T,S). On prendra soin de faire apparaître la courbe d’équilibre liquide-vapeur ainsi que les points A, B, C, D. 2.2. Exprimez la quantité de chaleur Qi échangée avec la source chaude en fonction de la température de l’habitation Ti et des entropies SB et SC. 2.3. Exprimez la quantité de chaleur Qe échangée avec la source froide en fonction de la température extérieure Te et des entropies SA et SD. 2.4. Exprimez le coefficient de performance ε du cycle de Carnot en fonction de Ti et Te. Application numérique. 3. Influence des échangeurs thermiques. Les échanges de chaleur entre l’air extérieur et l’évaporateur d’une part, le condenseur et l’intérieur de l’habitation d’autre part, se font au moyen d’échangeurs de chaleur. On considère dans toute la suite du problème que pour assurer un bon transfert de chaleur, un écart de 15°C est nécessaire entre les températures des fluides qui échangent de la chaleur. On désignera respectivement par TA et TC les températures du fréon dans l’évaporateur et dans le condenseur. 3.1. Donnez les températures du fréon dans les échangeurs. 3.2. Quelle est alors dans ces conditions la valeur du coefficient de performance ε’ de l’installation ? 3.3. Représentez le cycle dans un diagramme de Clapeyron (P,V) en faisant apparaître la courbe d’équilibre liquide-vapeur ainsi que les isothermes TA et TC. La pression PB au point B est-elle nécessairement égale à la pression PC au point C ? 4. Cycle ‘réel’. La compression du fréon vapeur, assimilé à un gaz parfait est effectué suivant une loi polytropique caractérisée par n = 1,20. Autrement dit, entre les points A et B la vapeur obéit à une loi du type constPV n = où P et V désignent respectivement la pression et le volume de la vapeur. Par ailleurs le taux de compression est fixé à 7. 4.1. En traitant le compresseur comme un système ouvert, montrez que le travail nécessaire à la compression du fréon, se déduisant simplement de sa variation d’enthalpie, est : ( )AABBcomp VPVPn n W − − = 1 . 4.2. Exprimer le travail wcomp nécessaire à la compression de l’unité de masse du fréon en fonction de n, TA et r ( )MRr = . 4.3. Que vaut le travail précédent, sachant que le rendement mécanique du compresseur est de 0,85. Application numérique. 4.4. Quelle est la température TB en fin de compression ? 4.5. Nous essayons ici de préciser le caractère de l’évolution B → C. 4.5.1. Quelles sont les pressions PC et PA du fréon lors des phases de condensation et d’évaporation ? Application numérique. 4.5.2. Comparez PB et PC. Conclusion sur le caractère de l’évolution B → C ? Cette évolution peut-elle être isotherme dans son intégralité ? docsity.com 11 4.6. Quelle quantité de chaleur fournissent le refroidissement et la condensation de l’unité de masse de fréon. On désignera par Lv la chaleur latente de vaporisation et on tiendra compte de ce que l’efficacité (ou rendement) de l’échangeur est 0,90. 4.7. En déduire la valeur du coefficient de performance ε’’ de l’installation. 4.8. Comparez ε, ε’ et ε’’. Conclusions. Données relatives au fréon : • masse molaire : M = 122 g • rapport des chaleurs massiques γ = cP/cV = 1,14 • la pression de vapeur saturante PS exprimée en bar dépend de la température t exprimée en °C suivant la relation PS = 0,123 t + 4,305 • La chaleur latente de vaporisation LV exprimée en K J kg-1 dépend de la température t exprimée en °C suivant la relation LV = 152,9 – 0,50 t • Constante molaire des gaz parfaits R = 8,32 J K-1 mol-1 Exercice 13 : Compression isotherme d’un mélange liquide-vapeur On considère un cylindre droit, dont la base a une surface s = 100 cm2, fermé par un piston mobile sans frottement et de masse négligeable. On désigne par h la hauteur de ce cylindre ; ses parois sont parfaitement perméables à la chaleur et il est placé dans un thermostat de température constante T0 = 373 K. On enferme dans ce cylindre un mélange équimolaire d’air et de vapeur d’eau, tous les deux considérés comme des gaz parfaits, sous une pression totale 2 P0 = 2 10 5 Pa. La hauteur initiale du cylindre est h0 = 20 cm. On donne : • Pression d’équilibre liquide-vapeur à 373 K : P0 = 10 5 Pa, • Masse molaire de l’eau M0 = 18 g mol -1 • Chaleur latente de vaporisation de l’eau à 373 K : L0 = 2250 10 3 J kg-1 On augmente très progressivement la pression jusqu’à la valeur finale : 3 P0 = 3 10 5 Pa a) Déterminer les pressions partielles Paf et Pvf de l’air et de la vapeur d’eau, ainsi que la hauteur hf du cylindre dans l’état final. b) Par rapport à la masse d’eau totale, quelle proportion se trouve sous forme vapeur dans l’état final ? c) Quelle aura été la variation d’énergie interne du contenu du cylindre lors de cette transformation ? Représenter la transformation effectuée pour l’eau dans un diagramme d’Andrews (P,u) (avec u volume massique). Exercice 14 : Distinction chaleur interne – chaleur latente. a) Une masse de 1 kg d’eau liquide est contenue dans un récipient fermé par un piston, à 100°C sous 1 atm. Par déplacement infiniment lent du piston, l’ensemble étant dans un thermostat à 100°C, on réalise la vaporisation totale de l’eau. A l’état final, le volume Vf est égal à 1,67 m3. Données : chaleur latente massique de vaporisation LV = 2,25 10 6 J kg-1 ; Calculer la chaleur fournie par le thermostat, le travail échangé, les variations d’énergie interne, d’enthalpie, et d’entropie de l’eau. docsity.com 12 b) On place directement 1 kg d’eau liquide, prise à 100°C, dans un récipient thermostaté à 100°C, initialement vide, et de volume Vf = 1,67 m 3. L’eau s’y vaporise instantanément. Déterminer les mêmes grandeurs qu’au a) ainsi que la création d’entropie. Exercice 15 : Mercure liquide : compressibilité ; vaporisation. On rappelle que la quantité de chaleur reçue par l’unité de masse d’un fluide au cours d’une transformation réversible élémentaire peut s’exprimer par : massiques, PV P V cc hdPdTcQ ldVdTcQ    += += δ δ 1) On comprime de façon réversible et isotherme un litre de mercure liquide de la pression de 1 bar jusqu’à la pression de 1000 bar à la température de 27°C. Calculer : a) la variation de volume pendant la compression : ∆V b) le travail dépensé : W c) la quantité de chaleur reçue : Q d) la variation de l’énergie interne : ∆U. 2) La compression entre les mêmes limites de pression est réalisée de façon adiabatique réversible à partir de la température 27°C. Calculer la température finale du mercure. 3) Calculer le rapport V P c c des chaleurs massiques du mercure liquide à pression et volume constants. 4) La pression de vapeur saturante du mercure vaut 131,7 Pa à 399 K et 144,5 Pa à 401 K. Calculer la chaleur latente de vaporisation du mercure à 400 K. Données : La vapeur du mercure se comporte comme un gaz parfait. Masse molaire du mercure : M = 200 g mol-1 On supposera constantes les quatre grandeurs suivantes : Coefficient de dilatation du mercure : 151015 1 −−×=      ∂ ∂= K T V V P α Coefficient de compressibilité isotherme : 1121038 1 −−×=      ∂ ∂−= Pa P V V T χ Masse volumique du mercure : ρ = 13,6 103 kg/m3 Chaleur massique à pression constante : cP =117 J K -1 kg-1 Exercice 16 : CAPES interne 1991 Exercice 17 : CAPES interne 1993 docsity.com