Exercices et réponses finales sixième série, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices et réponses finales sixième série, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques et réponses finales sixième série. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: évènements, exercices.
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rfserie6

Réponses finales sixième série Exercice 6.1

X fx(x)= Pr(X=x) xfx(x) x²fx(x) 0 0.167 0.000 0.000 1 0.500 0.500 0.500 2 0.300 0.600 1.200 3 0.033 0.099 0.297

Total 1.000 1.199 1.997 E(X) = 1.199 σ²X =0.559 Exercice 6.2 E(X) = 0.30 σX =0.854 Pr(X≥3) = 0.04 Pr(X≤4) = 0.99 Exercice 6.3

X fx(x)= Pr(X=x) xfx(x) x²fx(x) 0 0.198 0 0 1 0.395 0.395 0.395 2 0.296 0.592 1.184 3 0.099 0.297 0.891 4 0.012 0.048 0.192

Total 1.000 1.332 2.662 E(X) = 1.332 σ²X =0.888 Exercice 6.4

X fx(x)= Pr(X=x) xfx(x) (x-µ)²fx(x) 0 0.75 0 0.252 1 0.09 0.09 0.016 2 0.03 0.06 0.061 3 0.10 0.30 0.586 4 0.02 0.08 0.234 5 0.01 0.05 0.195

Total 1.000 0.58 1.344

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a) E(X) = 0.58 b) σX =1.16 c) Pr(X≥2) = 0.16 Pr(X≤4) = 0.99 Exercice 6.5 a) E(X) = 7.19 σX =1.0069 b) Pr(X≥8) = 0.25 Pr(X≤6) = 0.15 Exercice 6.6 K = 0.0346

X fx(x)= Pr(X=x) 100 0.159 110 0.163 120 0.166 130 0.168 140 0.171 150 0.173

Total 1.000 E(X) = 125.48 Exercice 6.7 a) E(X) = 5 b) 15 c) 7.5 Exercice 6.8 k= 0.1932 a)

X fx(x)= Pr(X=x) 5000 0.1350

20000 0.2514 30000 0.2854 50000 0.3282 Total 1.0000

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b) c) 30 675 personnes d) le profit moyen auquel l’organisateur peut s’attendre est de 4 270 000 (il faut commencer

par calculer la distribution de probabilité du profit de l’organisateur), il a donc intérêt à organiser ce concert.

Exercice 6.9 Soient les variables aléatoires suivantes : X = gain brut Y = gain net a)

X Y fx(x)= Pr(X=x) 0 -50 20/36

20 -30 10/36 200 150 6/36

Total 1.0000 b) E(X) = 38.89 francs Il n’est pas intéressant de participer à ce jeu car le droit de participation au jeu est supérieur à l’espérance du gain brut. L’espérance du gain net est donc négative. c) Un joueur sera prêt à participer à ce jeu si le droit de participation ne dépasse pas 38.89

francs. d) Il est intéressant de jouer à ce jeu si le droit de participation ne dépasse pas 7.78 francs. Exercice 6.10 a) k= 0.038

X fx(x)= Pr(X=x) 16 0.276 17 0.235 18 0.192 19 0.147 20 0.099 21 0.051

Total 1.0000 b) c) 17.711 milliers de FB/tonne

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Exercice 6.11 Soit X = gain brut au jeu Y = gain net au jeu a)

X fx(x)= Pr(X=x) 0 0.475

150 0.434 300 0.091

Total 1.0000 b) E(X) = 92.4 francs E(Y) = -7.6 francs c) 92.4 francs Un jeu a une espérance de gain net nulle si son coût vaut l’espérance de gain brut d) 24.5 francs Exercice 6.12 a) 10 francs b) l’utilité associée au placement certain est 7.7 l’utilité moyenne du placement incertain est 7.44 ⇒ préférence pour le placement certain Exercice 6.13 a)

X fx(x)= Pr(X=x) 0 0.43 1 0.18 2 0.17 3 0.11 4 0.06 5 0.03 6 0.02

Total 1.0000 E(X) = 1.36 enfants (soit 1 enfant) σX = 1.56 enfants

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b)

Y fY(y)= Pr(Y=y) 1 0.132 2 0.250 3 0.243 4 0.176 5 0.110 6 0.088

Total 1.0000 E(Y) = 3.143 enfants c) E(X) car avec E(Y), on omet les familles qui n’ont pas d’enfants Exercice 6.14 Pr(X≥5) = 0.9815 Pr(X=10) = 0.13982 Pr(X≤10) = 0.58356 Exercice 6.15 a)

X fX(x)= Pr(X=x) 0 0.8 1 0.2

Total 1.0000 E(X) = 0.2 σX = 0.4 b) il s’agit d’une loi binomiale 1) Pr(X≤5) = 0.99363 2) Pr(X≥5) = 0.03279 3) Pr(X=5) = 0.02642 4) Pr(2≤X≤4) = 0.59140 5) Pr(X≥5) = 0.03279 6) Pr(X≤5) = 0.99363 E(X) = 2 σ²X = 1.6 d) 0.90416

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Exercice 6.16 Soient : X = le nombre de fois que le joueur gagne en n essais Y = le gain brut en n essais a)

X Y fx(x)= Pr(X=x) = Pr(Y=y) 0 0 0.59049 1 100 0.32805 2 200 0.07290 3 300 0.0081 4 400 0.00045 5 500 0.00001

Total 1.0000 b) E(X) = 0.5 E(Y) = 50 francs c) 50 francs d1) 0.00856 d2) 0.99144 d3) 0.07335 d4) 0.01978 Exercice 6.17 a) 0.835 b) 914000 francs c) Pour un crédit initial de 1 000 000 francs, la banque peut s’attendre à un remboursement

moyen en fin d’année de 914 000 francs. Pour la banque, l’octroi d’un tel crédit n’est donc pas intéressant.

Exercice 6.18 a) il faut supposer que les tirages sont indépendants les uns des autres.

X fx(x)= Pr(X=x) 0 0.4096 1 0.4096 2 0.1536 3 0.0256 4 0.0016

Total 1.0000 b1) Pr(X=4) = 0.0016 b2) Pr(X≥1) = 0.5904 b3) Pr(X=2 ou X=3) = 0.1792

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Exercice 6.19 a) La variable X sera distribuée selon la loi binomiale pour autant que le comportement de

chaque action soit indépendant du comportement des autres actions (hypothèse peu réaliste).

b) Pr(X=5) = 0.2340 Pr(X≤5) = 0.7384 Pr(X≥5) = 0.4956 Exercice 6.21 a) Pr(X=5) = 0.201 b) Pr(X>5) = 0.166 Exercice 6.22 X = le nombre d’accident dû à la boisson a) Pr(X≤3) = 0.77588 b) Pr(3≤X≤5) = 0.45467 c) Pr(X≤7) = 0.9996 d) Pr(X≥2) = 0.75597 e) Pr(X=2) = 0.28156 f) Pr(X≥7) = 0.00351 E(X) = 2.5 σ²X = 1.875 Exercice 6.23 a) Z = nombre de fois que le 6 sort X = gain brut Y = gain net

Z X Y fx(x)= Pr(X=x) 0 0 -700 0.48225 1 1000 300 0.38580 2 2000 1300 0.11574 3 3000 2300 0.01543 4 4000 3300 0.00077

Total 1.0000 b) E(X) = 666.65 E(Y) = -33.35

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c) non car l’espérance du gain net est négative d) Pr(Z≥3) = 0.01621 Pr( Z=2 ou Z=4) = 0.11651 Pr (Z=2 si Z≥1) = 0.22354 Exercice 6.24 a1) 0.318 a2) 0.53 b) 0.5 c1) X = {0,1,2,3,4,5,6} c2) E(X) = 1.908 Exercice 6.25 A1) 0.113 A2) 0.797 A3) 0.902 c) 0.04 Exercice 6.26 a) 0.8187 b) 0.0175 Exercice 6.27 0.4083 Exercice 6.28 a) 0.0821 b) 0.2424 Exercice 6.30 a) 0.1317 b) 0.7414 c) 0.2731 d) 0.1561 Exercice 6.31 0.3439

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Exercice 6.32 a) 0.54 b) i=1 : 0.3 i=2 : 0.53333 i=3 : 0.7083 i=4 : 0.8333 c) 0.5435

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