Exercices - fonctions - 2° partie - correction, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S19 May 2014

Exercices - fonctions - 2° partie - correction, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices de sciences mathématique sur les fonctions - 2° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:Rationnelle,Asymptotes.
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-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-5 -3 -1 1 3 5

x

y

3-17 : Rationnelle 2 (c)

On considère la fonction f définie sur −{−1} par  

2 ( )

1

x f x

x

 .

1. Calculer f’(x), déterminer son signe et et étudier les variations de f sur −{−1}.

2. Déterminer l'équation de la tangente D à la courbe au point d'abscisse 0.

3. a. Résoudre l’équation   2

1 1x   .

b. Résoudre l’inéquation 2( 1)

x x

x

 . Quelle est la position de la courbe Cf de f par rapport à la droite D ?

c. Justifier que la tangente D ne recoupe pas la courbe Cf dans ]−1 ;  [.

4. Résoudre les équations : f(x) = 0,5 ; f(x) = 0,2.

Correction

1.

 

2

4 4

4

1( 1) [2( 1)] ( 1)( 1 2 ) '( )

( 1)1

( 1)(1 )

( 1)

x x x x x x f x

xx

x x

x

       



  

positive à l’intérieur de  1 ;1 , négative à l’extérieur.

2. '(0) 1f  , (0) 0f  , la tangente a pour équation y = x.

3. a.   2 1 1 0

1 1 1 1 2

x x x

x x

        

      .

x

f

 −1 1

f’ + −



− 0

1/4

b.

    

2

2 2 2

2

1 ( 1) 0 0

( 1) ( 1) ( 1)

1 ( 1) 1 ( 1) 0 2 0 2.

xx x x x x

x x x

x x x x x x

         

   

            

Lorsque x est inférieur à −2, Cf est au-dessus de D, lorsque x est supérieur à −2, Cf est en dessous de D.

c. Les seuls endroits où la courbe coupe D c’est lorsque la différence ( )f x x change de signe, soit pour

x = −2 uniquement.

4. C’est du second degré bête et méchant : f(x) = 0,5 n’a pas de solutions ; f(x) = 0,2 a pour solutions

3 5

2

 et

3 5

2

 .

3-18 : Rationnelle 3 (c)

Soit f la fonction définie sur \{1} par :   2 3

1

x f x

x

  

.

1. Etudier le sens de variation et les limites de f .

2. Dresser le tableau de variations de f .

3. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout 1x  ,   1

c f x ax b

x   

 .

4. Démontrer que la courbe fC de f admet une asymptote oblique D en  et en  . La courbe fC

admet-elle une autre asymptote ?

5. Montrer que le point  1;2A est un centre de symétrie de la courbe fC .

Correction

1. 2 3

: 1

x f x

x

 

 est dérivable sur \{1}, de dérivée :  

       

2 2

2 2

2 1 3 2 3 '

1 1

x x x x x f x

x x

      

  .

Sur \{1},  'f x a le signe de 2 2 3x x  car   2

1 0x   . 2 2 3x x  est positif (coefficient de 2x

positif) à l’extérieur de ses deux racines –1 et 3.

f est donc croissante sur  ; 1  et sur  3; , et f est décroissante sur  1;1 et sur ]1;3].

* 2 23

lim lim lim 1x x x

x x x

x x  

    

 et

2 23 lim lim lim

1x x x

x x x

x x  

    

 .

*  

 

2 2

1

1

1

lim 3 4 3

lim 1lim 1 0

x

x

x

x x

xx

  

  

     

et  

 

2 2

1

1

1

lim 3 4 3

lim 1lim 1 0

x

x

x

x x

xx

  

  

     

.

2.   4

1 2 2

f     

et   12

3 6 2

f   .

x  1 1 3 

 'f x  0   0 

f

2  

  6

3. Après division,   2 3 1 1 4x x x     . Pour tout 1x  ,     1 1 4 4

1 1 1

x x f x x

x x

      

  .

4. La courbe fC admet une asymptote verticale d’équation 1x  car 2

1

3 lim

1x

x

x

  

 et

2

1

3 lim

1x

x

x

  

 .

  4

1 1

4 4 lim lim 0

1x x

f x x x

x x 

    

    

La courbe fC de f admet pour asymptote oblique la droite : 1D y x  en

 et en  .

5.  1;2A est un centre de symétrie de fC car :

    4 4

1 1 1 1 1 1 4 2 2 1 1 1 1

f x f x x x x x

                 

et Df = \{1} est centré en 1.

3-19 : Rationnelle 4 (c)

1. On considère le polynôme 3 2( ) 3 2P x x x   .

a. Vérifier que 2( ) ( 1)( 2 2)P x x x x    .

b. Etudier le signe de P(x).

2. On considère la fonction f définie sur {2} par 3 3 2

( ) 2

x x f x

x

  

 et C sa courbe représentative dans

un repère orthogonal (en abscisse 1 cm pour 1 unité, en ordonnée 1 cm pour 2 unités).

a. Déterminer les limites de f en + , en − et en 2. Préciser les asymptotes verticales et horizontales éventuelles.

b. Montrer que 2

2 ( ) '( )

( 2)

P x f x

x  

.

c. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

d. Tracer C dans le repère précisé ci-dessus.

3. a. Pour quelle abscisse a la tangente au point d’abscisse a est-elle horizontale ? Justifier.

b. Déterminer l’équation de la tangente T à C en x = 3 et la tracer dans le même repère que C.

4. Trouver a, b, c et d tels que 2( ) 2

d f x ax bx c

x    

 .

5. On admet que 2 4

( ) 2 1 2

f x x x x

    

. On appelle g la fonction définie par 2( ) 2 1g x x x   et P sa

courbe représentative.

a. Déterminer les limites en  et en  de f(x) – g(x). Que peut-on en déduire sur les courbes C et P ?

b. Etudier la position relative de C et P.

c. Tracer P dans le même repère que C et T en utilisant les résultats des questions a. et b.

Correction

1. 3 2( ) 3 2P x x x   .

a. 2 3 2 2 3 2( ) ( 1)( 2 2) 2 2 2 2 3 2P x x x x x x x x x x x             .

b. Pour le trinôme, on a 212 (2 3)   d’où les racines 1 21 3, 1 3x x    . Un petit tableau de

signes nous donne ( ) 0 1 3 ;1 1 3 ;P x x              .

2. 3 3 2

( ) 2

x x f x

x

  

a. En + et en − f se comportre comme 3

2x x x  et tend vers  ; en 2, on a (1,99) 391f   et

(2,01) 409f  d’où 2

2

lim ( ) x x

f x  

  et 2

2

lim ( ) x x

f x  

  . Il n’y a pas d’asymptote horizontale, mais il y en a une

verticale en x = 2.

b. 2 3 3 2 3 3 2

2 2 2 2

(3 3)( 2) ( 3 2) 2 ( )3 3 6 6 3 2 2 6 4 '( )

( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

x x x x P xx x x x x x x f x

x x x x

                

    .

c. Le sens de variation de f dépend uniquement du signe de P. On a donc le tableau de variations suivant.

d. En fin de devoir.

3. a. La tangente est horizontale lorsque la dérivée s’annule, soit pour 1, 1 3, 1 3  .

b. '(3)( 3) (3) 4( 3) 20 4 8y f x f y x x         .

4. 3 23 2 2

2 ( 2 ) ( 2 ) 22 2 2( ) 2 2 2

ax b a x c b x c dd ax ax bx bx cx c d f x ax bx c

x x x

                

   d’où

par identification des coefficients :

1 1

2 0 2 2

2 3 2 3 1

2 2 2 2 4

a a

b a b a

c b c b

d c d c

         

        

      

.

5. 4

( ) ( ) 2

f x g x x

  

donc tend vers 0 à l’infini ; lorsque x > 2, f(x) – g(x) est positif et C est au-dessus de

P ; lorsque x < 2, f(x) – g(x) est négatif et C est en dessous de P. Les deux courbes sont asymptotes.

x

f

0

+∞

f

+∞

+∞

2

+

19,4

1 31 3−∞ 1

+∞

−∞

0 0

0

−1,4

− − +

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

3-20 : Rationnelle 5 (c)

On considère la fonction 4 2

3

6 1 ( )

x x f x

x x

  

 et sa courbe C dans un repère orthonormé.

a. Trouver a, b et c tels que ( ) 1 1

a b c f x x

x x x    

  .

b. Ensemble de définition, parité, variations de f.

c. Limites de f, asymptotes à (C).

d. Position de (C) par rapport à D (y = x). Tracer D et C.

e. Résoudre f(x) = 0.

Correction

a. 2 2 2 4 2

3 3

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1 ) ( ) ( )

1 1

x x a x bx x cx x x a b c x b c x aa b c f x x

x x x x x x x

                    

    ,

soit 1, 0, 1 6 1, 2a b c a b c a b c               . On a donc 1 2 2

( ) 1 1

f x x x x x

     

.

b.  1, 0, 1fE    , f est impaire, 2 2 2 1 2 2

'( ) 1 0 ( 1) ( 1)

f x x x x

      

donc f croissante.

c. A l’infini f(x) est comme x donc lim , lim , lim ( ) 0, x x x

f f f x x   

      la droite D(y = x) est

asymptote de C.

Pour les autres limites vérifiez les signes des infinis : asymptotes en−1, 0 et 1.

d. 2 2 2 2( 1) 2( ) 2( )1 2 2 5 1

( ) 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x x x x x f x x

x x x x x x x x x

              

      . C et D se coupent pour

1

5 x   , pour la position, tableau de signes.

e. On reprend 4 2

3

6 1 ( ) 0

x x f x

x x

   

 , soit

2 4 2

2 6 1 0

6 1 0

X x x x

X X

      

  

; les racines sont alors

1 3 2 2X   , 2 3 2 2X   . Or on peut remarquer que 2(1 2) 1 2 2 2 3 2 2      d’où les quatre

solutions : 1 1 2 11 2, 1 2, 1 2, 1 2x x x x           .

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-5 -3 -1 1 3 5

x

y

3-21 : Rationnelle 6 (c)

Partie A

Soit  la fonction numérique de la variable réelle x telle que :   

 

3 ² ( )

² 1

x ax b x

x .

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de  soit tangente au point I de

coordonnées (0 ; 3) à la droite (T) d’équation y = 4x + 3.

Partie B

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que :  

 

3 ² 4 3 ( )

² 1

x x f x

x et (C) sa courbe

représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

1. Montrer que pour tout x réel, on a 

    

( ) ; ² 1

x f x et

x étant deux réels que l’on déterminera.

2. Etudier les variations de f. Préciser ses limites en l’infini et en donner une interprétation graphique. Dresser le tableau de variations de f.

3. Déterminer l’équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point I d’abscisse 0. Etudier la position de (C) par rapport à (T).

4. Démontrer que I est centre de symétrie de (C).

5. Construire la courbe (C) et la tangente (T) dans le repère proposé.

Correction

Partie A

  

 

3 ² ( )

² 1

x ax b x

x est tangente en I si  (0) 3 et  '(0) 4 (même coefficient directeur que la droite T).

  (0) 3b et       

    

2 2

2 2

(6 )( 1) 2 (3 3) '( ) '(0) 4

( 1)

x a x x x ax x a

x .

Partie B

1. Ensemble de définition .      

      

         

2 2

2

( 1) ( ) 3, 4

² 1 ² 1 1

x x x x x f x

x x x .

2.    

   

2 2

2 2 2 2

4( 1) 4 (2 ) 4( 1) '( )

( 1) ( 1)

x x x x f x

x x d’où les racines −1 et 1. Négatif à l’extérieur, positif à l’intérieur.

A l’infini   2 2

4 4 4

1

x x

x x x qui tend vers 0 donc f tend vers 3, asymptote horizontale y = 3.

3. La tangente a évidemment pour équation y = 4x + 3. On fait le signe de

          

  

2 3

2 2 2

4 4 4 ( 1) 4 ( ) (4 3) 3 4 3

1 1 1

x x x x x f x x x

x x x

qui est du signe de −x, soit (C) est au dessus de (T) pour  0x et en-dessous pour  0x .

4. Pour que le point ( , )u v soit centre de symétrie de (C) il faut que    ( ) ( ) 2f u x f u x v ; ici ça

donne :          2 2

4 4 ( ) ( ) 3 3 6 2.3

1 1

x x f x f x

x x , ok !

3-22 : Rationnelle 7 (c)

Soit f la fonction définie sur −{1} par 22 3

( ) 1

x x f x

x

  

 .

1. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

En déduire que la courbe C représentative de la fonction f admet une asymptote verticale dont on donnera une équation.

2. a. Vérifier que, pour x différent de 1, 2

( ) 3 1

x f x x

x   

 .

Peut-on en déduire que la droite d’équation y = 3x est asymptote oblique à la courbe C ? Justifier.

b. Trouver les réels a, b et c tels que, pour x différent de 1, ( ) 1

c f x ax b

x   

 .

En déduire que C admet, au voisinage de  et de  , une asymptote D dont on donnera une équation.

c. Etudier suivant les valeurs de x la position de C par rapport à D.

3. Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation .

4. Construire la courbe C et ses asymptotes.

Correction

1. 2 22 3 2

lim lim lim 2 1x x x

x x x x

x x  

       

 ;

1 1

1 lim

0x x

 

  , 1

1

1 lim

0x x

 

  : asymptote verticale x = 1.

2. a. 22 23 ( 1) 2 3

3 ( ) 1 1 1

x x xx x x x f x

x x x

         

   ; on ne tire aucune information de cette écriture car

2

1

x

x  tend vers l’infini à l’infini.

b. 2 2

2 ( )( 1) ( ) 2 3

3 1 1 1 1

0

a ax b x c ax b a x b cc x x

ax b b a x x x x

c b

           

              

d’où

1 ( ) 2 1

1 f x x

x    

 .

En  et en  , 1

1x  tend vers 0, on a une asymptote D d’équation 2 1y x   .

c. Lorsque x > 1, 1

0 1x

 donc C est au-dessus de D, lorsque x < 1,

1 0

1x

 donc C est en dessous de D.

3. 2 2 2 2

2 2 2

( 4 3)( 1) ( 2 3 )(1) 4 7 3 2 3 2 4 3 '( )

( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x x x x x x f x

x x x

                

   . Le discriminant est

négatif, f’ est du signe de −2, soit négative.

x  1 

 'f x  

f

 

 

4.

3-23 : Rationnelles 8

1. Etudier les variations de la fonction 3

2 ( )

( 1)

x f x

x  

.

2. Montrer que 2

3 2 ( ) 2

( 1)

x f x x

x

   

 . Etudier la position de la courbe (C) de f par rapport à la droite (D)

d’équation 2y x  .

3. En quel(s) point(s) la tangente à (C) est elle parallèle à (D) ?

4. Tracer cette (ces ?) tangente(s), (D) puis (C).

5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation  f x x p  où p .

6. Résoudre la question précédente par le calcul.

7. Lorsqu’il y a deux solutions, il y a deux points d’intersection entre la droite y x p  et (C).

Déterminer l’abscisse du point P, milieu de ces deux points d’intersection.

Correction

1. La fonction f est dérivable sur son domaine de définition comme fonction rationnelle.

2 32 1

4 3

32 2

3

3 ( 1) 2 ( 3) '( )

( 1) ( 1) ( 1

( 1) ( )

)

2 13 1 x x x x x f x

x x x

xx x x        

 

 

La dérivée dépend du signe de (x-3) / (x-1), les autres facteurs étant positifs.

 1 3 

f’(x) + – +

f(x)

27

4

2. On peut par exemple effectuer la division des polynômes :

x3 x2 – 2x + 1

x3 2x² + x

___________

2x2 – x

2x2 – 4x + 2

____________

3x – 2

x + 2

Etude du signe de f(x) – (x+2) : lorsque x < 2/3, cette différence est négative, donc la courbe est en dessous de la droite (on démontrerait que cette droite est asymptote à la courbe en démontrant que la limite de la différence lorsque x tend vers l’infini est zéro).

Lorsque x > 2/3, la courbe est au-dessus de la droite.

Remarque : La courbe et la droite se coupe au point d’abscisse 2/3 et d’ordonnée 2 8

2 3 3   .

3. Le nombre dérivé de f en xJ est donc égal au coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d’abscisse xJ : c’est 1. Soit à résoudre l’équation :

2

2 3 3 2 3 2

3

( 3) '( ) 1 1 ( 3) ( 1) 3 3 3 1

( 1)

1 3 1 0 .

3

J J

J J J J J J J J J

J

J J

x x f x x x x x x x x x

x

x x

             

    

1 ( )

12 Jf x  .

L’équation de la tangente à la courbe en J est :

1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) .

3 3 3 12 4 y x f y x x         

4.

y

x

5. Lorsque p < 1/4, l’intersection de la courbe et de la droite y x p  est vide.

Lorsque p > 1/4 (avec p 2), il y a deux solutions à l’équation, qui sont les abscisses des points intersection de la courbe et de la droite.

Lorsque p = 2, il y a un seul point d’intersection, il a pour abscisse 2/3 (voir 2.)

6. On doit résoudre l’équation :

3 3 2 3 2

2

3 3 2 2 2

( ) ( ) ( )( 1) ( )( 2 1) ( 1)

2 2 ( 2) (1 2 ) 0.

x f x x p x p x x p x x x p x x

x

x x x x px px p x p x p p

              

            

Remarques et interprétation : c’est une équation du second degré de paramètre p. Discutons du nombre de solutions suivant les valeurs de p :

Si p = 2, l’équation est du premier degré. La solution est x = 1/3.

2 2 2(1 2 ) 4 ( 2) 1 4 4 4 8 4 1p p p p p p p p            .

Si p < 1/4, on a  < 0, et l’équation n’a pas de solution (la droite et la courbe ne se coupent pas).

Si p = 1/4 on a  = 0, la courbe est tangente à la droite.

Si p > 1/4 il y a deux solutions qui sont les abscisses de deux points M et N.

Les solutions sont : (1 2 ) 4 1

2( 2)

p p x

p

    

 .

(1 2 ) 4 1 (1 2 ) 4 1 2 1 2 1 2 4 3 3 2 1 .

2( 2) 2( 2) 2 2 4 2 4 2 4 P M N P

p p p p p p p x x x x

p p p p p p

                     

     

3-24 : Asymptotes

Soit la fonction 3 2

2

3 10 5 ( )

( 1)

x x x f x

x

   

 définie sur { 1}  .

a. Trouvez les réels a, b, c, d tels que 2

( ) 1 ( 1)

c d f x ax b

x x    

  .

b. Déterminez les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

c. Précisez (en justifiant) les deux asymptotes à la courbe C de f.

d. Etudiez les variations de f.

Correction

Pour montrer la puissance d’un logiciel de calcul, nous faisons la correction avec Maple :

> restart;with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> f:=x->(x^3+3*x^2+10*x+5)/(x+1)^2;

:= f x   x3 3 x2 10 x 5

( )x 1 2

Question a

> f:=unapply(convert(f(x), parfrac, x),x);

(On convertit f sous forme de somme de fractions)

:= f x   x 1 7

x 1

3

( )x 1 2

> g:=unapply(op(1,f(x))+op(2,f(x)),x);

(Ceci permet de récupérer l'asymptote sous forme de fonction)

:= g x x 1

Question b

> limit(f(x),x=infinity);

> limit(f(x),x=-infinity);



> limit(f(x),x=-1,left);



> limit(f(x),x=-1,right);



Donc la droite x = -1 est asymptote de C.

Question c

> limit(f(x)-g(x),x=infinity);limit(f(x)-g(x),x=-infinity);

0

0

Donc D(y = x+1) est asymptote de C en + et - inf.

Position de C par rapport à D :

>

> solve(f(x)-g(x)>=0);

 

 RealRange ,

-4

7 

Donc C est au-dessus de D lorsque x > -4/7.

Question d

> ff:=D(f);simplify(ff(x));

:= ff x  1 7

( )x 1 2 6

( )x 1 3

x ( ) x2 3 x 4

( )x 1 3

> solve(ff(x)=0);solve(ff(x)>=0);f(0);f(1);f(-4);

, ,0 1 -4

, ,( )RealRange , -4 ( )RealRange ,( )Open -1 0 ( )RealRange ,1 

5 , 19

4 ,

-17

3

> u:=plot(f(x),x=-10..10,y=-10..10,color=black):

> v:=plot(g(x),x=-10..10,y=-10..10,color=red):

> display({u,v});

> fichier : http://laroche.lycee.free.fr/1S/etude_fonction.mws

3-25 : Factorisons (c)

Soit f la fonction définie par 2

3 2

4 4 1 ( )

6 11 6

x x f x

x x x

      

.

1. Déterminez a, b et c réels tels que : 3 2 26 11 6 ( 1)( )x x x x ax bx c        .

2. Déduisez-en l’ensemble de définition de f.

3. On admet que 3 2 26 11 6 ( 1)( 5 6)x x x x x x         . Résolvez l’inéquation f(x)  0.

Correction

1. Dévelopons : 2 3 2( 1)( ) ( ) ( )x ax bx c ax b a x c b x c         d’où a = −1, ba = 6, soit b = 5,

cb = −11, soit c = −6. On a donc 3 2 26 11 6 ( 1)( 5 6)x x x x x x         .

2. On cherche les racines de 2 5 6x x   , ce qui donne 2 et 3. On a donc {1, 2, 3}fE   .

3. On remarque que le numérateur est en fait 2(2 1)x  , donc toujours positif. Un petit tableau de signes

nous donne alors f(x)  0 lorsque ] ;1[ ]2 ; 3[x   .

3-26 : Approximations (c)

On considère la fonction 1 2

( ) 1

x f x

x

  

définie sur {1} ainsi que les fonctions ( ) 1 3g x x  et

2( ) 1 3 3h x x x   . On appelle C la courbe représentative de f.

1. Trouver a et b tels que ( ) 1

b f x a

x  

 . Etudier les variations de f, préciser ses limites à l’infini et en 1.

La partie de la courbe C correspondant à l’intervalle  1 ;1 est tracée sur la feuille jointe qui sera rendue avec la copie.

2. Etudier les variations de h, tracer dans le même repère que C les courbes représentant g et h.

3. Préciser par le calcul la position de C par rapport aux courbes de g et h.

4. On se demande s’il ne serait pas possible de trouver une fonction du troisième degré dont la courbe « ressemblerait » à C aux alentours de 0.

a. Vérifiez que 4

2 3 11 1 1

x x x x

x x     

  .

b. Déduisez-en avec l’aide du 1. que 4

2 3 3( ) 1 3 3 3 1

x f x x x x

x     

 . Tracez la courbe représentative de

2 3( ) 1 3 3 3k x x x x    sur la feuille.

c. Donnez un encadrement de 43

1

x

x à l’aide de votre calculatrice pour

1 1

2 2 x   . Que pouvez-vous dire

de ( ) ( )f x k x lorsque 1 1

2 2 x   ?

Correction

1. (1 )

( ) 1 1 1

a x bb a b ax f x a

x x x

       

   d’où 2a   et 1 3b a   . On a donc

3 ( ) 2

1 f x

x   

 .

2 2

3( 1) 3 '( ) 0

(1 ) (1 ) f x

x x

   

  donc positive, f est croissante.

Lorsque x tend vers l’infini, 3

1 x tend vers 0 donc f tend vers −2.

Lorsque x tend vers 1, x<1, 3

1 x tend vers  (f(0,99)=300) ; lorsque x tend vers 1, x>1,

3

1 x tend vers

 (f(1,01)=−300).

2. 2( ) 1 3 3h x x x   ; '( ) 3 6 3(1 2 )h x x x    donc croissante après −1/2, décroissante avant −1/2.

( 1 / 2) 1 / 4h   .

3. On cherche le signe des expressions

* 23 3

( ) ( ) 2 1 3 3 3 3 1 1 1

x f x g x x x

x x x           

   .

Lorsque x < 1 ( ) ( ) 0f x g x  donc la courbe de f est au dessus de la courbe de g ; c’est le contraire

lorsque x > 1.

* 3

2 23 3( ) ( ) 2 1 3 3 3 3 3 3 1 1 1

x f x h x x x x x

x x x             

   qui est du signe de

1

x

x , soit positif

(courbe de f au-dessus de courbe de h) lorsque [0, 1[x , négatif sinon.

4. On se demande s’il ne serait pas possible de trouver une fonction du troisième degré dont la courbe « ressemblerait » à C aux alentours de 0.

a. 2 3 44 2 3 2 3 4 4

2 3 (1 )(1 ) 1 11 1 1 1 1

x x x x xx x x x x x x x x x x x

x x x x

                   

    .

b. 4 4

2 3 2 33 3( ) 2 2 3 1 1 3 3 3 1 1 1

x x f x x x x x x x

x x x

                 

    .

c. En fait il faut montrer que 43

1

x

x est croissant pour

1 1

2 2 x   ; ceci dit on a alors

43 0,125 0,0417

1

x

x   

 .

On peut dire que ( ) ( )f x k x vaut entre −0,125 et 0,0417 lorsque 1 1

2 2 x   . Ceci donne une valeur

approchée de f sur cet intervalle.

3-27 : Eclairement (c)

En Physique il y a une loi disant que « lorsqu’un point M est situé à une distance d d’une source

lumineuse de puissance p, l’intensité de l’éclairement en M est égale à 2

p

d ».

1. Sur Terre nous recevons une intensité lumineuse d’environ 1 watt/m2. La distance Terre-Soleil est de 150 millions de km. Quelle est la puissance lumineuse du Soleil ?

2. On considère deux sources lumineuses ponctuelles A et B de même puissance p et telles que AB = l. Soit M un point de [AB], on pose AM= x avec x] 0 ; l [.

- 1

0

1

2

3

4

5

6

- 1 - 0,5 0 0,5 1

x

y

g

h

k

f

a. Montrer que l’intensité de l’éclairement en M est 2 2

( ) ( )

p p I x

x l x  

 .

b. Calculer la dérivée '( )I x et montrer que I est minimale lorsque M est au milieu de [AB].

(On rappelle que a3 – b3 = (ab)(a2 + ab + b2))

Correction

1. Attention, il faut convertir les km en m… 2 22 11 2

1 W.m 2,25.10 W (1, 5.10 )

S S

p p    .

2. a. La puissance reçue en M provenant de A est 2

p

x , celle provenant de B est

2( )

p

l x donc l’intensité

reçue en M est 2 2

( ) ( )

p p I x

x l x  

 .

b. On calcule I’(x) :

   

 

3 3

4 4 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3

2 2

3 3

(2 ) 2( 1)( ) ( )1 1 ( ) 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (2 ) 2 2 2

( ) ( )

(2 ) 2 .

( )

x l x l x x I x p p p p

x l x x l x x l x

x l x x x l x l x x l x xl x l lx x p p

x l x x l x

x l l lx x p

x l x

                  

     

                            

         

(En fait on pouvait s’arrêter au début de la deuxième ligne, ou même à la deuxième égalité… pourquoi ?)

Le terme 2 2x lx l  a pour discriminant 2 2 24 3 0l l l      et est donc toujours positif. Donc le signe

de I’ ne dépend que de celui de 2x l , négatif pour 2

l x  et positif après. Il s’agit donc bien d’un

minimum, obtenu lorsque M est au milieu de [AB].

4. Trigonométrie

4-28 : Sinus cardinal

1. On désigne par g la fonction numérique définie sur [0 ; ] par ( ) cos sing x x x x  .

a. Etudier les variations de g et dresser son tableau de variations. En déduire le signe de g sur [0 ; ] .

b. Soit f la fonction définie sur [0 ; ] par

(0) 1

sin ( ) , 0

f

x f x x

x

  

  

. Etudier les variations de f sur ]0 ; ] .

2. Etude de f en 0

a. Prouver que, pour tout réel 0x  , 3 1

sin 0 6

x x x   (on pourra introduire la fonction  définie par

31( ) sin 6

x x x x    , étudier ses variations et déterminer son signe).

b. Prouver que f est dérivable en 0 et calculer f’(0).

3. Construire la courbe représentative de f.

Correction

1. a. '( ) cos sin cos sing x x x x x x x     qui est négative sur [0 ; ] ; g est décroissante, donc

( ) (0) 0 cos0 sin 0 0g x g    , g est négative sur [0 ; ] .

b. 2 2

( )sin cos sin ( ) '( )

g xx x x f x f x

x x x

     , donc négative. La limite de f en 0 est 1 (cours de Première),

en  f vaut 0.

2. a. 3 2 1 1

( ) sin '( ) cos 1 ''( ) sin '''( ) cos 1 0 6 2

x x x x x x x x x x x x                   .

Comme ''' 0,  '' est croissante et ''( ) ''(0) 0x   , donc ' est croissante et '( ) '(0) 0x   , donc

 est croissante et ( ) (0) 0x   .

Conclusions : tout d’abord 3 3 3 1 1 1

( ) sin 0 sin sin 6 6 6

x x x x x x x x x x            , puis

''( ) sin 0 sinx x x x x       .

b. Pour prouver que f est dérivable en 0, il faut calculer 20 0 0

sin 1

( ) (0) sin lim lim lim

0x x x

x

f x f x xx

x x x  

  

  

; or

on a 3 3 2 20 0

1 1 1 sin 1 sin sin 0 sin 0 0 lim lim 0

6 6 6 6x x

x x x x x x x x x x x x

x x 

                  .

Conclusion 20

sin lim 0 '(0) x

x x f

x

   . En fait ici on n’a que la dérivée à droite puisqu’on a 0x  , mais c’est

la même chose pour x négatif car f est paire, donc les dérivées à gauche et à droite sont identiques, et la tangente est horizontale..

3.

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-15 -10 -5 0 5 10 15

x

y

La fonction sin x

x est très importante dans de nombreux domaines des mathématiques et de la

physique. On l’appelle Sinus Cardinal (est-ce à cause de la forme de la courbe qui ressemble un peu à un chapeau de cardinal ?), noté sinc.

4-29 : Arctangente

Soit la fonction 2

1 ( )

1 f x

x  

, C sa courbe.

1. Etude de f

a. Quel est l’ensemble de définition de f ? Montrez que C est symétrique par rapport à l’axe (Oy). Calculez la dérivée f’ de f.

b. Trouver une équation de la tangente (T) à la courbe (C) de f au point d'abcisse 1.

c. Etudier la position de (C) par rapport à (T) .

d. Que peut-on dire de la tangente (T') à (C) au point d'abcisse – 1 ?

2. On considère la fonction tangente définie sur ; 2 2

     

: ( ) tang x x .

a. Montrez que sa dérivée est 2'( ) 1 tang x x  .

b. Donnez une équation de sa tangente en O.

c. On appelle  la courbe de tangente sur ; 2 2

     

et  la courbe symétrique de  par rapport à la

droite (y = x). Tracez  et  dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

d. La courbe  est la courbe représentative d’une fonction appelée arc tangente , notée arctan (tan−1

sur votre calculatrice) et telle que

arctan(tan ) tan(arctan )x x x  .

Indiquer sur la figure les valeurs de arctan 0 ,  arctan 1 ,  arctan 3 . Vérifiez avec votre calculatrice.

e. De manière purement graphique, tracez la tangente à  au point d’abscisse 1 et donnez son équation.

f. On admettra le résultat suivant : la dérivée de  tan u x   où u est une fonction à valeurs dans

; 2 2

     

est  2'( ) 1 tan ( )u x u x   . Montrez que la dérivée de arctan(x) est 2 1

( ) 1

f x x

 

. Vérifiez le

résultat du 2. e.

Correction

1. Etude de f

a. L’ensemble de définition est car 21 x ne paut jamais être nul. Par ailleurs on a ( ) ( )f x f x  donc f

est paire et C est symétrique par rapport à l’axe (Oy). 2 2

2 '( )

(1 )

x f x

x  

 .

b. (T) 1 1 1

'(1)( 1) (1) ( 1) 1 2 2 2

y f x f x x          .

c.  

22 2 3 2

2 2 2 2

12 (1 ) 2(1 )1 1 1 2 ( ) 1 1

2 21 2(1 ) 2(1 ) 2(1 )

x xx x x x x x f x x x

x x x x

                      

. Ceci est positif et

donc (C) au-dessus de (T) lorsque x est positif, négatif et donc (C) en dessous de (T) lorsque x est négatif.

d. Comme f est paire, c’est la même chose à l’envers en −1.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

2. On considère la fonction tangente définie sur ; 2 2

     

: ( ) tang x x .

a. sin

tan cos

x x

x  donc

2 2 2

2 2 2

(sin )'(cos ) (cos )'(sin ) cos ( sin ) 1 '( ) 1 tan

cos cos cos

x x x x x x g x x

x x x

        .

b. Tangente en O : 1( 0) 0y x y x     .

c.

-5

-3

-1

1

3

5

-5 -3 -1 1 3 5

x

y

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