Exercices - fonctions - 3° partie - correction, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S19 May 2014

Exercices - fonctions - 3° partie - correction, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices de sciences mathématique sur les fonctions - 3° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:Trapèze d’aire maximale,Optimisation et modélisation,Coûts de production,Théorie de la relativité,Triangle...
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d. Comme on a tan 0 = 0, on a arctan 0 = 0. De même  tan 1 arctan 1 4 4

     et

 arctan 3 3

    .

e. Comme (y = x) est la tangente à  en 0 et que c’est l’axe de symétrie entre les deux courbes, c’est la tangente à  en 0 également.

Pour 1, on fait la tangente symétrique à celle en 4

 pour tan ; comme cette dernière a pour équation

2 1 4

y x  

     

, celle en 1 pour arctan a pour équation   1

2 1 1 4 2 4

x y y x   

         

(on

intervertit simplement x et y).

0

2

0 2

x

y

f. Comme on a la dérivée de  tan u x   , appliquons cela à tan[arctan(x)] :

    2tan arctan ' arctan( ) ' 1 tan ( )x x x       .

Or    tan arctan tan arctan ' 1x x x     d’où

   2 2 2

1 1 arctan( ) ' 1 tan (arctan ) 1 arctan( ) '

1 tan (arctan ) 1 x x x

x x          

.

4-30 : Trapèze d’aire maximale

On considère un trapèze ABCD tel que les angles ABC et DCB aient la même mesure  .

Déterminer les valeurs de  pour que le trapèze ABCD ait une aire maximale sachant que les côtés AB,

BC et CD mesurent un mètre.

Correction

ABC=77,282546° -ABC=-77,282546

u v

A

B C

D

H

On pose ABC  , alors sin sin sin AH

AH AB AB

      ;

cos cos 1 2cos BH

BH AD AB

        .

L’aire est alors  

    1 2cos 1

sin 1 cos sin 2 2

AD BC AH f

    

       

  .

On dérive f :    2 2 2 2' sin 1 cos cos sin cos cos 1 cos 2cosf                  ; les racines

du trinôme sont 1 et −1/2, on cherche donc  tel que 

     1 2

cos 2 3

. L’aire maxi est alors 3 3

4 .

5. Optimisation et modélisation

5-31 : Boite

Partie I : Soit V la fonction définie sur par 3 2( ) 4 48 144V x x x x   .

1. Etudier les variations de la fonction V sur .

2. Tracer la représentation graphique de la fonction V dans un plan muni d’un repère orthogonal.

On utilisera les unités graphiques suivantes : sur l’axe des abscisses 2 cm pour 1 unité et sur l’axe des ordonnées 1 cm pour 10 unités.

Partie II : Dans un carré de côté 12, on découpe dans les quatre angles des carrés de côté x pour construire le patron d’un pavé droit sans couvercle.

12

x

1. Justifier que l’ensemble des valeurs que peut prendre x est l’intervalle [0 ; 6].

2. Montrer que le volume du pavé est donné par la formule V(x).

3. En déduire qu’il existe une valeur de x qui rend le volume maximal. Que vaut alors ce volume ?

Correction

Partie I : 3 2( ) 4 48 144V x x x x   .

1. Variations de la fonction V sur :    2 2'( ) 12 96 144 12 8 12 12 2)( 6V x x x x x x x         .

Donc deux racines, 2 et 6, le trinôme est du signe de a, soit positif sur    ; 2 6 ;   et négatif sur

 2 ; 6 .

2.

x

f



0

2 6

f’ − +

128



+ 0

0

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

-2 0 2 4 6 8

x

y

Partie II :

1. Evidemment, 2x représente ce qu’on enlève sur le côté, il faut donc que 0 2 12 0 6x x     .

2. (12 2 ) (12 2 ) ... ( )V Base Hauteur x x x V x         .

3. V est maximum lorsque x = 2 ; le volume vaut alors 128 cm3.

5-32 : Coûts de production (c)

Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets. Chaque objet est vendu 100 euros.

Le coût de production unitaire U(x) exprime le coût de production par objet produit. On a déterminé

qu’il est égal à 900

( ) 10U x x x

   pour x appartenant à l’intervalle I=[10 ;100] .

1. a. Etudier la fonction U sur I. Tracer sa courbe C ( unités : 1cm pour 5 objets / 1cm pour 10 €).

b. Déterminer pour quelle production le cout unitaire est le plus bas. Déterminer alors le bénéfice de l’entreprise.

c. Déterminer graphiquement le nombre d’objets que l’on doit fabriquer et vendre pour avoir un coût de production unitaire inférieur ou égal à 80 €.

2. Montrer que le bénéfice global de l’entreprise est 2( ) 110 900B x x x    . Déterminer son sens de

variation sur I et déterminer la production pour avoir un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice?

Correction

900 ( ) 10U x x

x    pour x dans l’intervalle I=[10 ;100] .

1. a. Dérivée : 2

2 2 2

( 30)( 30)900 900 '( ) 1

x xx U x

x x x

      d’où le tableau de variations : x + 30 est

toujours positif sur I, x − 30 est négatif avant 30, positif après.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100 120

x

y

b. Le minimum est obtenu pour 30 objets produits. Le bénéfice est alors (100 (30)) 30 1500U   .

c. Graphiquement le nombre d’objets fabriqués doit être compris entre 11,5 et 78,5.

2. Le bénéfice est 2 900

( ) (100 ( )) 100 10 110 900B x x U x x x x x x

            

  . Sa dérivée est

'( ) 2 110B x x   qui s’annule pour 55x  . Avant 55 B est coissante (B’ > 0), après 55 B est décroissante

(B’ < 0), c’est bien un maximum. Ce bénéfice maximum est alors (55) 2125B  .

5-33 : Théorie de la relativité (c)

D'après la théorie de la relativité, une particule de masse m0 au repos a une masse m à la vitesse v

donnée par la formule 0 2

2

( )

1

m m v

v

c

c est la vitesse de la lumière soit 300 000 km/s.

a. Calculez m pour v=0,3 km/s puis v=104 km/s. On prendra m0 = 1 pour les calculs et les figures.

b. Etudiez la fonction m(v) pour v variant de 0 à c. Tracez sur la même figure la droite m= m0 et la courbe représentative de m(v).

c. Pour quelle vitesse la masse vaut-elle deux fois la masse au repos ? A partir de quelle vitesse un individu verra-t-il son poids augmenter de 1% ? Conclure.

Correction

x

U

10

0

30 100

U’ + −

50

90 99

1. 0 2 2 2 2

( ) cm c

m v c v c v

   

. Pour v=0,3 km/s, m vaut pratiquement 1, pour 410v m vaut

1,00055602.

2. On a 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 1 2 2 3 / 2

1 ( ) ( ) '( ) ( 2 )( ) 0

2 ( )

cv m v c c v m v c v c v

c v

               

donc m est bien

croissante. Lorsque v tend vers c, 2 2c v tend vers 0 et m tend vers l’infini.

4. On cherche v pour que 2 2 2 2 20 2 2

3 3 ( ) 2 2 4( )

4 2

c m v m c c v v c v c

c v          

 , soit

environ 260 000 km/s.

5. 2

2 2 2 2 2 2 0 22 2

1,01 1 ( ) 1,01 1,01 (1,01) ( ) 0,0197 6000 km/s

1,01

c m v m c c v v c v c

c v

           

 . Il

faut aller vraiment très vite…

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000

v

m

5-34 : Courbe+optimisation (c)

Soit la fonction f définie sur R* par 2 2

( )f x x x

  .

a. Déterminer les limites de f .

b. Calculer f '(x) , déterminer son signe, faire le tableau de variations de f, déterminer le minimum de f pour x > 0.

c. On appelle C la courbe représentative de f, et P la parabole y = x2

Soit M le point de P d'abcisse x et N le point de C de même abcisse. Calculer N MMN y y  , préciser

son signe ainsi que sa limite en + et en −. Quelles conclusions pouvez vous en tirer ?

d. Tracer dans le même repère les tangentes à C en 1 et 2 ainsi que P puis C (unite = 2 cm)

e. Un industriel doit fabriquer une boite fermée de volume 1 litre ayant la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur h et dont la base est un carré de côté x. L'unité de longueur est le dm.

Montrer que la surface de la boîte est S(x) = 2f(x) et déterminer les dimensions de la boîte pour lesquelles cette surface est minimale.

Correction

a. A l’infini le terme 2

x tend vers 0 donc 2lim ( ) lim

x x f x x

     .

En 0 le terme 2

x tend vers l’infini et on a

0 0

lim ( ) x x

f x  

  et 0

0

lim ( ) x x

f x  

  .

b. 3

2 2

2( 1)2 '( ) 2

x f x x

x x

    ; or 3 1x  est positif lorsque 1x  et négatif sinon.

c. 2 2

( )N MMN y y f x x x

     . Ceci tend vers 0 à l’infini donc C et P sont asymptotes.

Lorsque x > 0, on a 2

0 N My y x    donc C est au-dessus de P ; lorsque x < 0, on a

2 0 N My y

x   

donc C est en-dessous de P.

d. La tangente en 1 a pour coefficient directeur 0, elle est horizontale ; la tangente en 2 a pour coefficient directeur 7/2.

e. La surface de la boîte est 2n fois la base 2x plus quatre fois le côté xh. On a donc 2( ) 2 4S x x xh  . Or

le volume de la boîte est 2 3 2

1 1 l 1 dmV x h h

x      et 2

2

1 ( ) 2 4 2 ( )S x x x f x

x    .

La surface est minimale lorsque f est minimale, c’est-à-dire lorsque x = 1 ; on a alors h = 1 et la boîte est un cube de côté 1 dm.

x

f

−∞

0

+∞

f

+∞

0

+∞

− −

−∞

+∞

1

+

3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

5-35 : Triangles (c)

ABCD est un rectangle tel que 1AB et 2AD  . M est un point variable sur  DC : on pose DM x .

Les droites  AM et  DB se coupent en I. On désigne par  S x la somme des aires des triangles ABI

et DIM .

1. Calculer  0S et  1S .

2. Démontrer que la hauteur IK du triangle ABI est égale à 2

1x  .

3. En déduire que :   2 1

1

x S x

x

  

.

4. Pour quelle valeur de x,  S x est-elle minimale ? Que vaut cette aire minimale ?

Correction

A B

D CM

I

1. Calcul de  0S et  1S : si 0x  , M D et

 0S est l’aire du triangle ABD ; soit

  2 1

0 1 2

S

  ;

si 1x  , M C et  1S est la somme des aires des

triangles ABI et DIC ; soit   1 1 1 1

1 1 2 2

S  

   .

2. Calcul de IK .

Dans les triangles IBA et IDM, les points B, I, D et

A, I, M sont alignés et  AB et  DM sont

parallèles.

On peut donc utiliser Thalès :

1

ID IM DM ID x ID x IB

IB IA BA IB       .

Dans les triangles BIK et BDA, les points B, I, D et

B, K, A sont alignés et  AD et  KI sont

parallèles.

On peut donc utiliser Thalès :

2 2

BI BK IK BI IK BI IK

BD BA DA BD BI ID      

 .

Or ID x IB . On obtient ainsi : 1 2

2 1 2 1

BI IK IK IK

BI x BI x x     

   .

3. Calcul de  S x : la hauteur IH du triangle DIM est obtenue par 22

2 1 1

x IH

x x   

  .

On obtient ainsi :   21 2 1

1 2 2 2 1 2 1

xAB IK DM IH S x x

x x

         

  ; soit  

21

1

x S x

x

  

.

4. M est un point variable sur  DC et DM x appartient à  0 ;1 .

21 :

1

x S x

x

 

 dérivable sur \{−1}, donc sur  0 ;1 , de dérivée :

         

2 2

2 2

2 1 1 2 1 '

1 1

x x x x x S x

x x

      

  .

* Sur \{−1},  'S x a le signe de 2 2 1x x  car   2

1 0x  .

* 2 2 1x x  est positif (coefficient de 2x positif) à l’extérieur de ses deux racines 1 2  et 1 2  .

* S est décroissante sur 0 ; 1 2    et croissante sur 1 2 ;1     .

21 :

1

x S x

x

 

 admet donc un minimum en 1 2x    égal à  1 2 2 2 2S     .

 S x est donc minimale pour 1 2x    et cette aire minimale vaut 2 2 2 .

5-36 : Polynômes de Legendre

On appelle polynômes de Legendre la famille de fonctions définies sur [−1 ; 1] par

0 ( ) 1P x  et ( )21( ) ( 1)

2 !

nn n n

P x x n     

((n) représente la dérivée n-ième et n! est le nombre 1.2.3….n qui se lit « factorielle de n »).

1. Calculer ( )nP x pour n=1, 2, 3, 4 et 5.

2. A l’aide d’Excel tracer ces fonctions dans un même repère. Etudier leurs variations.

3. On démontre que 1( ) ( ) ( 1) ( )n n nP x xP x n P x    pour toute valeur de n. Vérifier cette formule pour

n = 1, 2, 3 et 4. Même question pour la formule suivante :

(E) 2 1( 2) ( ) (2 3) ( ) ( 1) ( )n n nn P x n xP x n P x      .

4. Un des principaux intérêts de ces polynômes est que l’on a :

2 0 1 2

2

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

1 2

n nf x P u xP u x P u x P u

ux x       

 

a. On prend u = 1 : donner une expression simple de f. Ecrire la formule précédente jusqu’à n = 5. Peut- on deviner une formule générale ?

b. A l’aide d’Excel et de la formule (E) tracer les fonctions 0 1( ) ( ) ( ) ... ( ) n

n nf x P u xP u x P u    pour u = 1/2

et n = 0, 1, …20.

Sur la même figure tracer f et sur une figure différente tracer les fonctions ( ) ( )nf x f x . Constatations ?

Correction

0 ( ) 1P x  et ( )21( ) ( 1)

2 !

nn n n

P x x n     

1. 21 1 1

( ) ( 1)' 2 2.1! 2

P x x x x    ;

    (2)2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 ( ) ( 1) 2 ( 1) 6 2 (3 1)

8 8 22 2! P x x x x x x

          

;

(3) (2)2 3 2 2 3 3

(2) (2)2 2 5 3 3 3

1 1 ( ) ( 1) 3(2 )( 1)

482 3!

1 1 1 1 ( 1) 2 (20 12 ) (5 3 )

8 8 8 2

P x x x x

x x x x x x x x x

          

               

Pour les autres c’est plus désagréable : calculons 2 4 8 6 4 2( 1) 4 6 4 1x x x x x      et dérivons 4 fois :

2 4 7 5 3( 1) 8 4.6 6.4 4.2x x x x x      

  ,

(2)2 4 6 4 2( 1) 8.7 4.6.5 6.4.3 4.2x x x x       

,

(3)2 4 5 3( 1) 8.7.6 4.6.5.4 6.4.3.2x x x x      

, (4)2 4 4 2( 1) 8.7.6.5 4.6.5.4.3 6.4.3.2x x x    

  ; il reste à

diviser par 4

1 1

16.4.3.2.12 4!  , ce qui donne  4 24

1 ( ) 35 30 3

8 P x x x   .

Vous vous ferez une joie de vérifier que  5 35 1

( ) 63 70 15 8

P x x x x   .

2. Pour l’étude des trois premières il n’y a pas de difficulté. Pour la 4 :

 3 24 1 5

( ) 35.4. 30.2. (7 3) 8 2

P x x x x x     d’où les racines 0, 3

7 et

3

7  . La suite est facile.

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

x

y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Pour  5 35 1

( ) 63 70 15 8

P x x x x   , on a    4 2 4 25 1 15

( ) 63.5. 70.3. 15 21 14 1 8 8

P x x x x x       . On pose

2X x : 221 14 1X X  et on cherche les racines : 2 214 84 112 (4 7)     d’où

1 1

14 4 7 7 2 7 1 2 1 2 ,

2.21 21 3 33 7 3 7 X X

        , soit les quatre racines :

1 2 3 4

1 2 1 2 1 2 1 2 , , ,

3 3 3 33 7 3 7 3 7 3 7 x x x x          .

3. Vérifions simplement pour n= 4 : 5 4 4( ) ( ) 5 ( )P x xP x P x   , soit avec les calculs précédents :

     4 2 2 4 2 4 2 4 2 15 5 5 5

21 14 1 (7 3) 63 42 3 28 12 35 30 3 8 2 8 8

x x x x x x x x x x x            . Ok.

5-37 : Point de Torricelli, Point de Fermat

http://pilat.free.fr/pilat/sketchpad/fermat.htm

http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./t/torricelli.html

http://membres.lycos.fr/villemingerard/Geometri/Triangle.htm

Dans le plan P rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j , on considère les points A, B, C de

coordonnées (2 ; 0), (0 ; 1) et (0 ; −1).

Pour tout point M de P, on pose ( )M MA MB MC    et on se propose de trouver un point M0 tel que

0( ) ( )M M  pour tout point M différent de M0. Autremement dit, on cherche à minimiser la fonction

 .

Partie A

On note  le demi-axe des abscisses correspondant aux x positifs. On regarde ici ce qu’il se passe lorsque M est sur  .

1. Soient les fonctions f et g définies sur [0 ;  [ par 2( ) 2 1 2f x x x    et 2( ) 2 1 2g x x x    .

Etudier les variations de f et g.

2. Soit h définie sur [0 ;  [ par 2( ) 2 1 2h x x x    . Etudier, au moyen de la question précédente,

les variations de h.

3. Soit M un point de  . Montrer que ( ) ( )M h x  où x désigne l’abscisse de M. Quel est le minimum de

 lorsque M décrit  ? En quel point de  ce minimum est-il atteint ?

Partie B

Etude de  sur le plan entier.

1. Etablir que, pour tout point M de P, on a 2MB MC  .

2. Etant donné un réel a supérieur ou égal à 1, on note a l’ensemble des points M tels que

2MB MC a  .

a. Reconnaître 1 .

b. Reconnaître a lorsque a > 1.

Tracer sur la même figure 1 et 5 / 3 .

3. Etablir que, pour tout 1a  , a rencontre  en un unique point Ta dont on précisera l’abscisse.

4. Soit un réel 1a  .

a. Vérifier que tout point de a a pour coordonnées (x ; y) telles que 2 1 cos

, [0 .; 2 [ sin

x a t t

y a t

   



.

b. Exprimer en fonction de t la différence 2 2aMA T A et montrer que, si M est différent de Ta, cette

différence est strictement positive. En déduire que, si M est un point de a et différent de Ta, on a

( ) ( )aM T  .

5. Soit M0 le point de coordonnées 1

; 0 3

     

. Montrer que, pour tout point M du plan différent de M0,

on a 0( ) ( )M M  .

MA+MB+MC=13,3746354

FA+FB+FC=9,2694155

MC=3,3271102 cm

MB=4,438207 cm

MA=5,6093181 cm

FC=4,7850759 cm

FB=2,9071359 cm

FA=1,5772037 cm

M

F

v

u

bc

B'

C'

CB

A

O

La solution générale consiste à tracer les cercles circonscrits aux triangles équilatéraux construits sur les côtés du triangle ABC. Ces cercles se coupent en un point F, appelé point de Fermat ou de Steiner.

Correction

Partie A

1. 2( ) 2 1 2f x x x    ; 2

2 2

2 2 1 '( ) 2 1 0

2 1 2 1

x x x f x

x x

     

  sur [0 ;  [ , donc f est croissante ;

2( ) 2 1 2g x x x    ; 2

2 2

2 2 1 '( ) 2 1

2 1 2 1

x x x g x

x x

    

  .

On cherche si

2 2 2 2 2 12 1 0 2 1 4 1 3 1 0 3

x x x x x x x x              (on se rappelle que x est positif) ;

donc g est croissante lorsque 1

3 x  , décroissante sinon.

2. 2( ) 2 1 2h x x x    : lorsque 2x  , 2 2x x   donc ( ) ( )h x f x ; lorsque 2x  , 2 2x x   

et ( ) ( )h x g x . On a donc le tableau de variation ci-contre.

3. Rappelons que la distance sur une droite entre deux points A(a) et B(b) est b a .

2 2 2 2

2 2 2

( ) 2 (0 ) (1 0) (0 ) ( 1 0)

2 1 1 2 2 1 ( ).

M MA MB MC x x x

x x x x x h x

              

          

Le minimum de  lorsque M décrit  est donc le minimum de h, soit 3 2 , atteint lorsque

1 3

33 x   .

Partie B

1. Inégalité triangulaire : MB MC BC  ; or 2BC  donc 2MB MC  .

2. 2 2 2 22 ( 1) ( 1) 2MB MC a x y x y a         . En fait il s’agit simplement d’une ellipse de foyers

B et C.

a. 1 est l’ensemble des points M tels que 2MB MC BC   donc M est entre B et C, c’est le segment

[BC] (ellipse aplatie).

Le fichier http://laroche.lycee.free.fr/telecharger/1S/transf_fermat.cha montre la construction.

x

h

0

0

2 +∞

h’ + −

0 

1

3

+

3 2

2 5

Ta

i

M' M

mv=4,95 cm um=3,195 cm

m vu

AO

C

B

3. a rencontre  (abscisse positives) lorsque le rayon du cercle BM vaut a, soit en un unique point Ta :

on a alors 2 2 2 22 2 1 2 1 1a aT B T C a x a x a x a           .

4. a. Remplaçons x et y par 2 1 cos

sin

x a t

y a t

    

:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 ( 1) ( 1) 2

( 1)cos ( sin 1) ( 1)cos ( sin 1) 2

cos cos sin 2 sin 1 cos cos sin 2 sin 1 2

1 cos 2 sin 1 cos 2 sin 2

sin 2 sin

M B M C a x y x y a

a t a t a t a t a

a t t a t a t a t t a t a t a

a t a t a t a t a

a t a t

        

        

          

        

   2 2

2 2

sin 2 sin 2

( sin ) ( sin ) 2 sin sin 2 .

a t a t a

a t a t a a t a t a

   

         

Ouf…

b.

     

     

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

(2 ) 2 1 2 1 cos sin 2 1

4 4 1 cos ( 1)cos sin 4 4 1 1

1 cos 4 1 1 cos 1 cos 1 cos 4 1 .

aMA T A x y a a t a t a

a t a t a t a a

t a t t t a

             

          

         

Les deux termes sont positifs, seul le premier pourrait être nul lorsque cos t = 1, soit lorsque t = 0, c’est- à-dire lorsque M est en Ta.

On a donc pour M sur a , ( ) 2M MA MB MC MA a      et ( ) 2a a a a aT T A T B T C T A a      ;

mais 2 2 0a aMA T A MA T A    d’où ( ) ( )aM T  .

5. Lorsque a varie, aT se déplace sur le demi-axe  comme vu dans la partie A. La position de aT pour

laquelle ( )M est minimale est précisément au point M0 de coordonnées 1

; 0 3

     

(qui correspond à

1

3 a  ).

On a donc pour tout point M du plan différent de M0, 0( ) ( ) ( )aM T M    .

5-38 : Un conejo

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’à 7 mètres de lui.

Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est à dire à . . . 30 km/h !

L’avant du camion est représenté par le segment [CC’] sur le schéma ci-dessous.

Le lapin part du point A en direction de D.

Cette direction est repérée par l’angle BAD  avec 0 2

   (en radians).

1. Déterminer les distances AD et CD en fonction de  et les temps t1 et t2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.

2. On pose 7 4

( ) 2 tan 2 cos

f   

   . Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du

camion si et seulement si f( ) > 0.

3. Etudier les variations de f sur 0, 2

    

et montrer qu’elle s’annule pour deux valeurs de  dont on

donnera des valeurs approchées à 10−2 près.

4. Tracer la courbe représentative de f sur 0, 2

    

(unité : 5 cm pour chaque axe).

5. Conclure.

Rappel : La fonction tanx x est dérivable sur 0, 2

    

et a pour dérivée la fonction 2

1

cos x

x  .

Correction

1. On appelle v la vitesse du lapin, et donc 2v celle du camion.

4 cos

cos cos

AB AB AD

AD

      d’où 1

D 4

cosLapin

A t

v v    .

tan 4tan BD

BD AB

    d’où 2 am am

7 4tan

2 2C ion C ion

CB BD t

v v v v

     .

2. Le temps mis par le camion doit être supérieur à celui mis par le lapin (si le lapin veut éviter le camion…), il faut donc

2 1

7 4tan 4 7 4tan 4 7 4 2tan 0 ( ) 0

2 cos 2 cos 2 cos t t f

v v

   

  

             .

3. Variations de f : 2 2 2

4( sin )1 1 2sin '( ) 2 2

cos cos cos f t

 

  

      , qui s’annule pour

1 sin

2 6

     :

lorsque 6

   ,

1 sin '( ) 0

2 f    , f croissante,

6

 donne l’abscisse du maximum de f, qui est alors de

7 4 7 3 8 ( / 6) 2 tan 2 0,036

2 6 2 3 3cos 6

f

 

       .

Comme (0) 3,5 4 0,5 0f      et que

2

lim ( )f

 

  , la fonction s’annule deux fois : une première fois

vers 0,39, une deuxième vers 0,65 ; le lapin doit donc choisir un angle dans ces zones-là pour avoir une chance de survivre…

4.

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

x

y

5. Le lapin doit donc « choisir » un angle entre 0,4 rad (environ 23°) et 0,65 rad (environ 37°) dans ces zones-là pour avoir une chance de survivre… Ceci dit tout ceci est assez formel…

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