Exercices - Informatique - 1° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S19 May 2014

Exercices - Informatique - 1° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices de sciences mathématique sur l'informatique - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Questions ouvertes, Fonctions et Courbes.
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Première S

Travaux pratiques Informatique

1. Questions ouvertes 1

1-1 : Lieu de points 1

1-2 : Distance minimale 2

1-3 : Fonctions inconnues 2

1-4 : Médianes ? 2 1-5 : Droites d’un triangle 2

1-6 : 1S-TS banque exos 12/04 2

1-7 : Cercle ou pas ? 2

1-8 : Diagonales 3

1-9 : Lieu de points 3 2. Fonctions et Courbes 3

2-1 : Parabole 3

2-2 : Second degré et optimisation 5

2-3 : Second degré et optimisation (F. Bergougnoux, C. Volland) 7

2-4 : Second degré (R. Vidal / débutants) 8

2-5 : Approche géometrique d’une courbe connue 8

2-6 : Approche géometrique d’une courbe connue 9

2-7 : Approche géometrique d’une courbe connue 10 3. Produit scalaire 11

3-1 : Périmètre et aire d’un triangle 11

3-2 : Ensemble de points et produit scalaire 11

3-3 : Inversion (M. Chevalier) 12 4. Barycentres 12

4-1 : Lieux de points 12

4-2 : Avec des barycentres 12 5. Suites 13

5-1 : Somme d’entiers 13

5-2 : Suite définie par une relation de récurrence 13

5-3 : Recherche de solution approchée d'une équation du type f(x) = 0 par dichotomie. 14

5-4 : Le nombre d’or (B. Galasso) 15

5-5 : Suites récurrentes 16

5-6 : Suite récurrente 17

5-7 : Deux suites récurrentes 17

1. Questions ouvertes

1-1 : Lieu de points

On considère un triangle ABC rectangle en B tel que 2BC = 3AB.

Un point H et un point K sont mobiles respectivement sur le segment [AB] et sur le segment [BC] de telle façon que 2BK = 3AH. On note I le milieu (mobile) du segment [HK].

1. Sur quel ensemble se déplace le point I lorsque H parcourt le segment [AB] et K le segment [BC] ? Justifier.

2. Le problème serait-il différent si le triangle ABC n’était pas rectangle ?

1-2 : Distance minimale

ABC est un triangle rectangle en A et M est un point de l'hypoténuse [BC]. Les perpendiculaires à [AB] et [AC] passant par M coupent [AB] en E et [AC] en F.

Où placer le point M pour que la distance EF soit la plus petite possible.

Faites une conjecture.

Démontrez ou invalidez votre conjecture.

1-3 : Fonctions inconnues

Déterminer toutes les fonctions f définies sur telles que pour tout x de , pour tout y de ,

     f x f y f xy x y  

1-4 : Médianes ?

A partir du triangle ABC, on construit les points M , N et P tels que A est le milieu de [PC] , B est le milieu de [AM] , C est le milieu de [BN].

Exprimer l’aire de MNP en fonction de l’aire de ABC.

1-5 : Droites d’un triangle

d1, d2, d3 sont trois droites concourantes en un point G. Construire un triangle tel que ces trois droites en soient les médianes.

Pouvez-vous construire un autre triangle tel que ces mêmes trois droites en soient les médianes ? Quelles remarques faites-vous ?

Peut-on construire un triangle tel que les trois droites soient ses hauteurs ? ses bissectrices ? ses médiatrices ?

1-6 : 1S-TS banque exos 12/04

Soient n et k deux entiers supérieurs ou égaux à 2. Montrer que nk peut s’écrire comme somme de n entiers impairs consécutifs.

1-7 : Cercle ou pas ?

Soit f une fonction définie pour tout x de [0 ; 1] par :   2 1f x x x   .

Soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

On admettra que (C) est tangente aux deux axes de coordonnées aux points de coordonnées (1 ; 0) et (0 ; 1). (C) est-elle un arc de cercle ?

1-8 : Diagonales

Quel est le nombre de diagonales d’un polygone convexe ?

1-9 : Lieu de points

ABC sont trois points non alignés du plan. M est un point variable sur (AB), (b) est la perpendiculaire à (AB) passant par C, (c) est la perpendiculaire à (AB) passant par M.

(C) et (AC) se coupent en D, (e) est la parallèle à (AB) passant par D, (e) et (b) se coupent en E, (BE) et (c) se coupent en P.

Quel est le lieu du point P ?

2. Fonctions et Courbes

2-1 : Parabole

Soit f la fonction définie sur par   2 4 1f x x x   .

1. Étudier le signe de ce trinôme.

2. Dresser le tableau de variation de la fonction f et tracer sa représentation graphique que l’on notera (P) à l’aide de GeoGebra.

3. Pour tout nombre m réel, on considère la droite  mD d’équation 2y x m   .

a. Construire cette droite sur la figure précédente de telle sorte que l’on puisse faire varier le réel m.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la construction faite

b. Déterminer graphiquement le nombre de point d’intersection de  mD et de (P) suivant les valeurs de m.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la conjecture

4. Discuter par le calcul le nombre de points d’intersection de  mD et de (P).

5. Donner les coordonnées du point d’intersection dans le cas où il est unique.

6. Lorsque  mD coupe (P) en deux points distincts mA et mB , on appelle Im le milieu de   ; m mA B . Soit E l’ensemble des point Im quand m parcourt tout entier.

a. Quelle semble être la nature de l’ensemble E ?

Appeler l’examinateur pour une vérification de la conjecture

b. Démontrer la conjecture précédente.

Correction

1. Calculons  :   2

4 4 1 1 12       ; comme  > 0, alors l’équation 2 4 1 0x x   admet deux

solutions : 1 4 12 4 2 3

2 3 2 2

x  

    et 2 4 12 4 2 3

2 3 2 2

x  

    . On obtient alors le signe de

l’expression 23 4 1x x  :

x  2 3 2 3 

23 4 1x x  +  +

2. Comme 1a  , alors la représentation graphique de f est une parabole ayant « les branches vers le

haut », et le sommet S de cette parabole a pour coordonnées ; 2 4

b

a a

      

. Or 4

2 2 2

b

a    et

  12

3 2 4 4

f a

       , d’où :

0 0

x  2 

 f x

3

G

(D-3) (D0)

(D2)

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0 1

1

x

y

3) D’après le graphique précédent :

 Si m < 0, il n’existe pas de point d’intersection de  mD et de (P).

 Si m < 0,  mD et de (P) se coupent en un seul point.

 Si m > 0,  mD et de (P) se coupent en deux points.

4) Les abscisses des points d’intersection de  mD et de (P) sont les solutions de l’équation

  2f x x m   .

Or   2f x x m   équivaut à 2 4 1 2x x x m     , c’est-à-dire à 2 2 1 0x x m    .

Calculons  :     2

2 4 1 1 4 4 4 4m m m           .

 Si m < 0, alors 0  ; on en déduit que l’équation   2f x x m   n’a pas de solution.

Il n’existe donc pas de point d’intersection entre  mD et (P).

 Si m = 0, alors 0  ; on en déduit que l’équation   2f x x m   a une solution double

0

2 1

2 2

b x

a

    .

D’où,  mD et (P) se coupent en un seul point, d’abscisse 1.

 Si m > 0, alors 0  ; on en déduit que l’équation   2f x x m   admet deux solutions

1

2 4 2 2 1

2 2 2

b m m x m

a

          et 2

2 4 2 2 1

2 2 2

b m m x m

a

         

D’où,  mD et (P) se coupent en deux points d’abscisse 1 m et 1 m .

5. Le point d’intersection est unique lorsque 0m  , et il a pour abscisse 1 d’après la question précédente.

Or  1 2f   .

Par conséquent, lorsque m = 0,  mD et (P) se coupent en un seul point G de coordonnées (1 ; −2).

6. D’après la question 4., mA a pour coordonnées   1

2 1

m

m m

          

et mB a pour coordonnées

  1

2 1

m

m m

          

. Comme Im est le milieu de   ; m mA B , alors :

   

     

1 1 1

2

2 1 2 1 4 2

2 2 2

M

M

m m x

m m m m m

y m

        

               

I

I

.

Comme mA et mB n’existent que si m est positif, alors 2My  I . En effet, dans le cas où 0m  , on a :

0 0 0A B I  . Par conséquent, l’ensemble des point Im quand m parcourt est la demi-droite [Gy).

2-2 : Second degré et optimisation

On considère un point M sur le diamètre  AB d’un cercle. Il détermine deux cercles de diamètre

    et AM MB . On pose 4 et AB AM x  . Soit  xA l’aire de la surface non colorée.

A B M

1. Réaliser une figure à l’aide du logiciel GeoGebra.

2. Conjectures :

a. Quelle est la position du point M pour laquelle  xA est maximale ?

b. Existe-t-il une position de M pour laquelle  xA soit strictement supérieure à la somme des aires

des deux disques de diamètre     et AM MB ?

c. Quelles sont les positions (si elles existent) de M pour lesquelles  xA est-elle inférieure à la moitié

de l’aire des deux disques de diamètre     et AM MB ?

3. Montrer que l’aire  xA est définie par :    2 4 2

x x x    A .

4. Démontrer la conjecture de la question 2. a.

5. Justifier la conjecture de la question 2. b.

6. Déterminer les positions (si elles existent) de M pour lesquelles  xA estt inférieure à la moitié de

l’aire des deux disques de diamètre     et AM MB .

Correction

2. a. Figure 1.

Il semble que  xA soit maximale lorsque M est le milieu du diamètre  AB .

b. Figure 2.

Il semble qu’il soit impossible de trouver une position de M vérifiant le problème.

c. Figure 3.

Il semble que les positions de M, pour lesquelles  xA soit inférieure à la moitié de l’aire des deux

disques sont telles que    0 ; 0,64 3,64 ; 4x  .

3. L’aire  xA de la surface non colorée est définie sur  0 ; 4 par :

    2 2 2 2 2

2 4 2

2 2 2 2 2

AB AM MB x x x      

                              

          A .

D’où   2 2 2 2 216 8 16 16 8 2 8 2 4

4 4 4 4 4 2

x x x x x x x x x x    

                                     

        A , par

conséquent, pour tout réel x de  0 ; 4 ,    2 4 2

A x x x     .

4.  xA est un trinôme du second degré. Comme 2

a

  (le coefficient du 2x est négatif), alors la

représentation graphique de A est une parabole ayant « les branches vers le bas », et le sommet S de

cette parabole a pour coordonnées ; 2 4

b

a a

      

. Or 2

2 2

b

a

    

 et 2

4a

   , d’où :

x 0 2 4

 f x 2

2

 0

Par conséquent, A admet un maximum 2 atteint en 2x  .

Par conséquent, la position de M pour laquelle  xA est maximale est donc le milieu du diamètre

 AB .

5.  xA est strictement supérieure à la somme des aires des deux disques de diamètre     et AM MB

signifie que :   2 2

2 44 2 2 2

x x x x

  

            

    .

Or   2 2

2 44 2 2 2

x x x x

  

            

    équivaut à 2 4 4 0x x   , c’est-à-dire à  

2 2 0x   ; ce qui

est impossible. Par conséquent, il est impossible de trouver une position de M vérifiant le problème.

6.  xA est inférieure à la moitié de l’aire des deux disques de diamètre     et AM MB signifie

que   2 2

2 1 44 2 2 2 2

x x x x

       

               

, ce qui équivaut à 23 12 8 0x x   .

Cherchons le signe de 23 12 8x x  :   2

12 4 3 8 144 96 48         ; comme  > 0, alors le

trinôme admet deux solutions : 1 12 48 12 4 3 2

2 3 6 6 3

x  

    et

2

12 48 12 4 3 2 2 3

6 6 3 x

      .

On obtient le signe de l’expression 23 12 8x x  (positif à l’extérieur des racines) :

x 0 2

2 3 3 

2 2 3

3  4

23 12 8x x  + 0 − 0 +

Par conséquent, les positions de M, pour lesquelles  xA est inférieure à la moitié de l’aire des deux

disques de diamètre  AM et  MB sont telles que 2 2

0 ; 2 3 2 3 ; 4 3 3

x               

.

2-3 : Second degré et optimisation (F. Bergougnoux, C. Volland)

1. ABC est un triangle rectangle et isocèle en A tel que AB AC 6  . M est un point mobile du segment

[AB] tel que AM x avec  0 ; 6x . N est à l’intersection de [BC] et de la perpendiculaire à [AC] passant par M ; P est le projeté orthogonal de N sur [AC].

On veut étudier le sens de variation de l’aire s du rectangle AMNP lorsque M se déplace sur [AB]. Pour cela, on introduit la fonction f associant à la distance AM l’aire s.

a. Conjecturer la (les) position (s) de M pour que l’aire soit égale à 8.

b. Conjecturer la (les) position (s) de M pour que l’aire soit maximale.

2. On veut visualiser la courbe (C) représentative de la fonction f. On notera Q un point courant de (C).

A l’aide de votre logiciel préféré tracez cette courbe (trace de Q puis lieu de points)… Reprendre alors les questions 1. a et 1. b.

3. a. Exprimer MN en fonction de x. En déduire l’expression de  f x , aire de AMNP, en fonction de x.

b. Tracer sur la figure 2 la représentation graphique de la fonction f et la comparer à la trace du point Q. Conclure.

4. Répondre de nouveau à 1.a. et 1. b. par le calcul.

2-4 : Second degré (R. Vidal / débutants)

I. On dispose de 12 mètres de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire. Quelles dimensions donner à l’enclos pour que celui-ci délimite une aire maximale ?

A. Construction avec Geogebra :

1. Dans la barre de saisie, entrez la formule « A=(0, 0) » ; créez de même le point B(0, 6) et le point M variable dans le segment [AB] (après avoir créé le segment).

Expliquez pourquoi créer ces points.

2. On se propose de construire le rectangle.

a. Que vaut sa longueur AC en fonction de la longueur AM ?

b. Construisez le segment [AC] en utilisant l’icône de menu ci-dessous

Vérifiez que lorsque M se déplace il en est de même de C.

c. Finissez la construction du rectangle. En utilisant l’icône « polygone » faites afficher son aire.

Pour quelle valeur de la longueur AM l’aire du rectangle semble-t-elle maximale ? A quelle figure géométrique cela correspond-il ?

B. Julia trouve, en utilisant Geogebra, que l’aire du rectangle semble maximale pour une valeur de AM égale à 2,99. Cette valeur vous semble-t-elle la bonne ? Essayons d’utiliser le tableur pour infirmer ou confirmer cette valeur.

a. Complétez avec le tableur un tableau donnant les valeurs de la longueur AM et de l’aire du rectangle : vous pourrez choisir pour AM des valeurs de 2,980 à 3,010 avec un pas de 0,001.

On rappelle la procédure pour remplir la colonne A : dans la cellule A2, entrez « 2,980 », puis dans A3, entrez la formule « = A2+0,001 » que vous ferez glisser avec la souris ( clic gauche ) vers le bas en sélectionnant le petit carré en bas à droite de la cellule.

Vous remplirez de même la colonne B en entrant la formule adéquate.

b. Essayez en utilisant le tableur de trouver une approximation plus précise du maximum. Vous choisirez un pas plus petit et avec un clic droit sur les axes du graphique vous pourrez modifier la fenêtre de celui-ci. Que constatez-vous ?

C. Démonstration mathématique

Appelez x la longueur AM. Dans quel intervalle x est-il situé ? Calculez l’aire A(x)du rectangle en fonction de x. Quelle est la nature de l’expression A(x) ? En déduire le tableau de variations de la

fonction ( )x A x et répondre à la question de départ.

2-5 : Approche géometrique d’une courbe connue

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A et B de coordonnées respectives ( 1 ;1)

et (1 ;1) , puis un point M sur l’axe des abscisses. On appelle H l’orthocentre du triangle ABM.

Le but du travail est d’identifier la nature du lieu géométrique de H lorsque M parcourt l’axe des abscisses.

1. Construction et conjecture grâce à un LGD

a. Créer les points A et B. Placer un point M variable sur l’axe des abscisses puis construire le point H, orthocentre du triangle ABM.

b. Visualiser le lieu (L) de H lorsque M se déplace sur l’axe des abscisses. Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de la courbe (L) ?

c. Afficher les coordonnées du point H.

Quelle relation les coordonnées de H doivent-elles vérifier si la conjecture est valide ?

d. Afficher le carré de l’abscisse de H. Déplacer le point M : que constate-t-on ?

e. Peut-on, grâce à cette observation, valider ou invalider la conjecture ? Pourquoi ?

2. Démonstration de la conjecture

a. On appelle  l’abscisse du point M. Dans le triangle ABM, déterminer une équation de la hauteur issue de M, puis une équation de la hauteur issue de A.

b. En déduire les coordonnées du point H en fonction de  .

c. Quelle est la fonction f qui, à l’abscisse  de H, associe son ordonnée y ?

d. Quel est l’ensemble des valeurs que peut prendre l’abscisse de H ? Sur quel ensemble est définie la fonction f ?

e. En déduire la nature de la courbe (L). La tracer sur la figure de la question 1.

Commentaires

Dans l’ensemble, les élèves ne connaissent les coniques que comme étant des représentations graphiques de fonctions. Cette approche est l’occasion de leur montrer que ces courbes peuvent aussi avoir une définition géométrique.

Prérequis : manipulation des fonctionnalités de base d’un LGD - équation d’une hauteur.

La réalisation de la figure permet de s’approprier les données de l’énoncé et sera une partie du compte- rendu.

1. Conjecture avec un LGD

Le point H semble se déplacer sur la parabole d’équation 2y x , donc son ordonnée devrait être le carré

de son abscisse. L’affichage des valeurs semble conforter la conjecture : toutefois ce travail à l’ordinateur ne valide aucun résultat. Il n’est qu’un élément supplémentaire pour penser que le lieu (L) est la

parabole d’équation 2y x .

2. Démonstration de la conjecture

a. La hauteur issue de M a pour équation x  .

La hauteur issue de A a pour vecteur normal (1 ;1 )MB  et passe par A( 1 ;1 ) . Elle a donc une

équation de la forme (1 ) 0x y c    avec (1 ) 1 0c     soit c   .

Une équation de la hauteur issue de A est (1 ) 0x y    

b. Le point H a pour abscisse  et son ordonnée y vérifie l’équation (1 ) 0y       .

Le point H a donc pour coordonnées  et 2 .

c. L’ordonnée de H est donc l’image de son abscisse par la fonction carré : 2( )f   .

d. Le point M décrit tout l’axe des abscisses, donc l’abscisse de H décrit : la fonction f est définie sur .

e. Le lieu (L) du point H lorsque M décrit l’axe des abscisses est la totalité de la courbe représentative de

la fonction carré définie sur : c’est donc la parabole d’équation 2y x .

2-6 : Approche géometrique d’une courbe connue

Dans un repère orthonormé du plan, on considère le carré ABCD avec A (−1 ; 0), B(−1 ; 1), C(0 ; 1) et D (0 ; 0) puis un point M sur l’axe des abscisses.

La droite (CM) coupe la droite (AB) au point N. Le point P est tel que le quadrilatère AMPN soit un rectangle.

Le but du travail est d’identifier la nature du lieu géométrique de P lorsque M parcourt l’axe des abscisses.

1. Conjecture grâce à un LGD

a. Créer le carré ABCD. Placer un point M variable sur l’axe des abscisses. Construire successivement les points N et P.

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