Exercices - Informatique - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S19 May 2014

Exercices - Informatique - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices de sciences mathématique sur l'informatique - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Approche géometrique d’une courbe connue, Produit scalaire, Barycentres, la suite de Fibonacci.
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b. Visualiser le lieu (L) de P lorsque M se déplace sur l’axe des abscisses. Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de la courbe (L) ?

c. Afficher les coordonnées du point P. Quelle relation les coordonnées de P doivent-elles vérifier si la conjecture est valide ?

d. Afficher l’inverse de l’abscisse de P. Faire varier M : que constate-t-on ?

e. Peut-on, grâce à cette observation, valider ou invalider la conjecture ? Pourquoi ?

2. Démonstration de la conjecture

a. On appelle  l’abscisse du point M. Déterminer une équation de la droite (CM).

b. En déduire les coordonnées du point N puis celles du point P.

c. Quelle est la fonction g qui, à l’abscisse  de P, associe son ordonnée y ?

d. Quel est l’ensemble des valeurs que peut prendre l’abscisse de P ? Sur quel ensemble est définie la fonction g ?

e. En déduire la nature de la courbe (L). la tracer sur la figure de la question 1.

Commentaires

Dans l’ensemble, les élèves ne connaissent les coniques que comme étant des représentations graphiques de fonctions. Cette approche est l’occasion de leur montrer que ces courbes peuvent aussi avoir une définition géométrique.

Prérequis : manipulation des fonctionnalités de base d’un LGD - équation de droite.

1. Conjecture : le point P semble se déplacer sur l’hyperbole d’équation 1

1y x   , donc son ordonnée

devrait être l’inverse de son abscisse, augmenté de 1.

L’affichage des valeurs semble conforter la conjecture : toutefois ce travail à l’ordinateur ne valide aucun

résultat. On peut penser que le lieu (L) est l’hyperbole d’équation 1

1y x   .

2. Démonstration

a. La droite (CM) a pour vecteur directeur le vecteur ( ; 1)CM   et passe par le point ( 0 ;1)C : une

équation est 1

1 lorsque 0y x  

    .

b. Les coordonnées de N sont 1

( 1 ; 1) 

  , celles de P sont 1

( ; 1)   .

c. L’ordonnée de P est égale à la somme de l’inverse de son abscisse et de 1 : 1

g ( ) 1    .

d. Le point N et par conséquent le point P n’existent que si 0  , sinon (CM) est parallèle à (AB) ; ce qui correspond à M différent de l’origine du repère : la fonction g est définie sur *.

e. Le lieu (L) du point P lorsque M décrit l’axe des abscisses, en étant différent de l’origine du repère, est

l’hyperbole d’équation 1

1y x   qui se déduit de l’hyperbole d’équation

1 y

x  par la translation du

vecteur de coordonnées (0 ; 1).

2-7 : Approche géometrique d’une courbe connue

Dans un repère orthonormal ( ; , )O i j , on considère le cercle (C)d’origine O et de rayon 6 puis un point

M sur ce cercle. Le point N est le point de l’axe des abscisses, distinct de O, tel que le triangle OMN soit isocèle en M. Le point K est le milieu du segment [MN].

Le but du travail est d’identifier la nature du lieu géométrique de K lorsque M parcourt le cercle (C).

1. Conjecture grâce à un LGD

a. Afficher le repère d’origine O puis créer le cercle (C) de centre O et de rayon 6.

Placer un point M variable sur (C). Construire successivement les points N et K.

b. Tracer le lieu (L) de K lorsque M se déplace sur (C).

Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de la courbe (L) ?

S’agit-il de la courbe représentative d’une fonction ? Justifier la réponse.

c. Afficher les coordonnées du point K. Puis faire afficher la somme du carré de l’abscisse de K et de neuf fois le carré de l’ordonnée de K. Déplacer le point M. Que constate-t-on ?

2. Etude et tracé de (L)

a. On appelle  une mesure (en radians) de l’angle  ,i OM . Déterminer en fonction de  les coordonnées du point M, puis celles du point N.

b. En déduire les coordonnées (x ; y) du point K.

Vérifier qu’elles sont solutions de l’équation 2 29 81x y  .

c. Montrer que si K(x ; y) appartient à (L) alors les points 1K ( ; )x y et 2K ( ; )x y appartiennent aussi à

(L). Qu’en déduit-on pour la courbe (L) ?

d. Montrer que la restriction de (L) au quadrant 0, 0x y  est la courbe représentative de la fonction f

définie sur l’intervalle [0, 9] par 2 1

( ) 81 3

f x x  .

e. Etudier les variations de f sur l’intervalle [0, 9].

f. Tracer (L) en expliquant les différentes étapes de sa construction.

3. Produit scalaire

3-1 : Périmètre et aire d’un triangle

On connaît les 3 formules d’Al-Kâshi reliant côtés et angles d’un triangle : 2 2 2 2 cosa b c bc    , etc.

ainsi que la formule de l’aire  et des sinus : 1 1 1

sin sin sin 2 2 2

ab bc ca    A .

La question est de savoir si on peut trouver une relation « simple » entre  et les côtés a, b, c.

1. En écrivant par exemple que 2sin 1 cos   et en utilisant Al-Kâshi, montrer que

              1 1

4 4 a b c a b c a b c a b c p p a p b p c             A

p est le demi-périmètre du triangle.

2. Retrouver la formule en coupant votre triangle en deux triangles rectangles.

3. Peut-on trouver une formule semblable pour un quadrilatère convexe ?

4. Tester la formule sur des triangles de formes variées : regarder particulièrement les triangles très pointus ou très aplatis.

5. Trouver un triangle dont les côtés diffèrent d’une constante k (soit a, a + k, a + 2k par exemple) et dont l’aire t est fixée.

3-2 : Ensemble de points et produit scalaire

On donne deux points A et B tel que AB = 4.

Le but de l’exercice est de déterminer l’ensemble des points M du plan tels que 12MA MB  à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

1. Construction de la figure

a. Faire apparaître le repère pour la construction de A et B.

b. Créer les points A et B de coordonnées respectives  0 ; 0 et  4 ; 0 .

c. Construire un point M variable puis les segments [MA] et [MB].

d. Créer la valeur numérique p qui représente le produit scalaire MA MB . Faire afficher cette valeur avec deux décimales.

2. Conjecture d’une réponse

a. Déplacer le point M dans le plan et observer pour chaque position de M la valeur de p. On peut visualiser quelques positions de M pour lesquels p est égal à 12. Conjecturer l’ensemble des points M cherché.

b. Il existe deux points E et F de l’axe des abscisses appartenant à l’ensemble cherché. Lesquels ? Pourquoi ? Justifier.

c. Pour chaque position de M, créer la valeur a de l’angle géométrique EMF . Faire afficher cette valeur avec une décimale. Déplacer le point M et observer simultanément les valeurs de p et de a : que semble valoir a lorsque p = 12 ?

d. En déduire l’ensemble des points demandés.

3. Démonstration

Soit I le milieu de [EF].

a. Exprimer MA et MB en fonction de M I et IA .

b. Démontrer la conjecture émise sur l’ensemble des points M du plan tels que 12MA MB  .

4. Construction de l’ensemble de points

a. Construire l’ensemble des points trouvés en question 3.c.

b. Plus généralement, si k est un réel quelconque l’ensemble des points M du plan tel

que .MA MB k est-il toujours un cercle ?

3-3 : Inversion (M. Chevalier)

(C) est un cercle de centre O et de rayon 4, (d) une droite donnée dont la distance à O est 8. La perpendiculaire à (d) passant par O coupe (d) en H.

M est un point variable de (d). (MB) et (MC) sont les tangentes à (C) issues de M.

La droite (BC) coupe (OH) en I et (OM) en K.

A. Que se passe t- il lorsque M décrit la droite (d) ?

B. Passons à la démonstration :

1. Montrer que OI OH OK OM   .

2. Montrer que 16OK OM  .

3. En déduire OI et conclure.

4. Sur quel ensemble de points se déplace le point K lorsque M décrit la droite (d) ?

4. Barycentres

4-1 : Lieux de points

Dans le plan, on donne les point O, A, B et C non alignés.

À chaque point M du plan on associe l’unique point M’ défini par l’égalité ' 4 3 1, 5MM MA MB MC   .

Le but de l’exercice est de déterminer l’ensemble des points M’ du plan tels que

' 4 3 1, 5MM MA MB MC   lorsque M décrit un cercle donné.

A. Conjecture à l’aide d’un logiciel

1. a. Construire une droite (D) quelconque.

b. Déterminer alors le lieu des points M’ lorsque M parcourt (D).

2. a. Construire un cercle (L) quelconque.

b. Déterminer alors le lieu des points M’ lorsque M parcourt (L).

3. Que pensez-vous de la nature de la transformation f qui transforme M en M’ ?

B. Approche de la démonstration

1. Construire le barycentre G des points pondérés (A ; 4), (B ; −3), (C ; 1,5).

2. Que pouvez-vous dire des vecteurs GM et 'GM ?

3. Conclure.

C. Généralisation

1. Reprendre les questions précédentes avec ' 4 3MM MA MB MC   .

2. Reprendre les questions précédentes avec 'MM aMA bMB cMC   .

4-2 : Avec des barycentres

Dans le plan P, on donne quatre points O, A, B et C et un cercle ( ) de centre O.

Le point M est un point quelconque variable sur le cercle ( ). On associe au point M l’unique point M’

du plan P défini par l’égalité : ' 2MM MA MB MC   .

Il s’agit de déterminer le lieu géométrique (L) du point M’ lorsque le lieu géométrique du point M est le cercle ( ).

1. a. A l’aide d’un logiciel de géométrie plane construire les points O, A, B et C, le cercle ( ) et un point libre M sur ce cercle.

b. Construire le point M’ associé à M.

c. En observant plusieurs positions du point M faire une conjecture sur la nature du lieu géométrique du point M’.

2. a. Trouver une relation simple entre les vecteurs IM et 'IM I est un point à déterminer.

b. Déterminer le lieu géométrique (L) du point M’.

5. Suites

5-1 : Somme d’entiers

A - Somme des n premiers entiers naturels impairs

On considère la suite (In) définie, pour tout entier naturel non nul, par : In = 1 + 3 + …. + (2n − 1).

1. Conjecture avec un tableur

a. Créer les colonnes A et B jusqu’à n = 30.

b. Quelle est la formule à entrer en C3 ?

c. Recopier vers le bas la cellule C3 jusqu’à n = 30.

d. Conjecturer l’expression de In en fonction de n.

2. Démonstration

Démontrer la conjecture faite précédemment.

B - Découvrir une égalité

On considère les deux suites (Sn) et (Pn) définies, pour tout entier naturel n non nul, par :

Sn = 1 + 2 + 3 + … + n et Pn = 13 + 23 + 33 + … + n3.

1. Conjecture avec un tableur

En suivant la disposition ci-contre quelle conjecture faites- vous ?

2. Démonstration

a. Vérifier que, pour tout entier 2n  , Pn = Pn−1 + n3.

b. La suite (Un) est définie, pour tout entier naturel non nul, par : Un = Sn².

Exprimer Un en fonction de n.

c. Vérifier l’égalité U1 = P1 et que, pour tout entier 2n  , Un = Un−1 + n3

d. On admet alors que les suites (Un) et (Pn) sont égales. En déduire la conjecture émise.

5-2 : Suite définie par une relation de récurrence

(un) est la suite définie, pour tout entier naturel n, par : u0 = 1 et 1 1

n n

n

u u

u  

 .

1. Conjecture avec un tableur :

a. Calculer nu jusqu’à n = 30.

b. Faire apparaître les valeurs de un sous forme de fraction.

c. Conjecturer une expression donnant, pour tout entier naturel n, un en fonction de n.

2. Démonstration

a. (vn) est la suite définie, pour tout entier naturel n, par : 1

n n

v u  . Démontrer que la suite (vn) est une

suite arithmétique.

b. Démontrer la conjecture faite à la question 1.

5-3 : Recherche de solution approchée d'une équation du type f(x) = 0 par dichotomie.

Situation et principe :

f est une fonction définie sur un intervalle I.

Il arrive parfois que l'on sache que l'équation f(x) = 0 admet une solution et une seule (par exemple par application du théorème des valeurs intermédiaires) sans être capable de calculer cette solution de façon précise.

Il existe plusieurs algorithmes permettant de donner des encadrements (de plus en plus fins) de cette solution. L'un de ces algorithmes est celui de la dichotomie. (En grec, dichotomie signifie « couper en deux »).

La méthode sera ici présentée sur un exemple.

Énoncé :

On considère le cas de l'équation cos x x avec  0 ;x  . On définit la fonction f sur  0 ; par

  cosf x x x  . On doit donc résoudre l'équation   0f x  .

1. On pose 0 0a  et 0b  . On note  0 0 0;I a b .

a. Calculer 0 00 2

a b c

  puis 0( )f c . Déterminer alors si la solution  appartient à  0 0;a c ou si elle

appartient à  0 0;c b . On note  1 1 1;I a b l’intervalle choisi.

b. Calculer 1 11 2

a b c

  puis 1( )f c . En procédant comme au 1. a. en déduire le nouvel intervalle  2 2;a b

dont l'amplitude est égale à la moitié de celle de  1 1;a b , auquel appartient  .

2. En poursuivant le procédé amorcé à la question 1. b., on définit sur les suites ( )na , ( )nb et ( )nc

telles que  ;n na b  et 2

n n n

a b c

  .

3. Sur tableur, préparer une feuille de calcul sur le modèle suivant :

Aide sur le tableur :

Vous allez être amenés à utiliser la fonction SI du tableur dont voici la syntaxe :

=SI(condition ; valeur à afficher si VRAI ; valeur afficher si FAUX)

Exemple : En saisissant , on obtient : .

Pour régler le format d’affichage d’un nombre :

Sélectionner le(s) nombre(s) concernés, cliquer sur Format, cellule, nombres. Choisir alors le format qui convient.

a. Remplir les cellules B4 et C4. Entrer les formules adéquates dans les cellules D4, E4, F4, G4 et H4.

b. Dans la cellule B5 : =Si(E4*G4≤0 ;B4 ;D4) ;

c. Que doit-on écrire dans la cellule C5 ?

4. Travail sur papier :

a. Quelles conjectures peut-on énoncer à propos des suites ( )na et ( )nb ?

b. Proposer une démonstration validant ces conjectures.

5-4 : Le nombre d’or (B. Galasso)

Les questions Q1, Q2, … sont à rédiger classiquement sur une copie.

Les questions T1, T2, … sont à traiter à l’aide d’un tableur et à faire vérifier par le professeur.

1ère partie : définition du nombre d’or

Le nombre d’or est le nombre irrationnel noté par la lettre grecque  (prononcer phi) et égal à

1 5

2 

  .

Q1. Donner une valeur approchée à 10 – 6 près du nombre d’or  .

T1. Donner une valeur approchée à 10 – 12 près du nombre d’or  .

2ème partie : construction géométrique du nombre d’or

Construire un carré ABCD de côté 1 et marquer le milieu I de [AB].

Tracer le cercle de centre I et de rayon IC ; il coupe la demi-droite [AB) en E. Construire le rectangle AEFD.

Q2. Calculer la valeur exacte de IC puis démontrer que 1 5

AE DF 2

   .

NB :le rectangle AEFD est appelé rectangle d’or car le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d’or.

3ème partie : le nombre d’or solution d’une équation

Q3. Montrer que le nombre d’or  est solution de l’équation 2 1 0x x   .

Q4. Démontrer alors que l’inverse de l’opposé de ce nombre  est aussi solution de cette équation.

4ème partie : Fractions en cascade

On considère la suite de fractions : 1 2 3 4 3

1 1 1 2 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...

12 1 1

2

F F F F F

       

Q5. Simplifier ces fractions et en donner une valeur approchée à 10 – 6 près.

Q6. Reprendre les calculs en remplaçant 2 par 1.

T2. Sur un tableur, saisir un nombre A positif dans la cellule A1.

Dans la cellule A2, marquer « = 1 + 1/A1 », puis recopier vers le bas jusqu’à la ligne 30.

Observer les décimaux obtenus et comparer au nombre d’or.

NB : On demandera l’écriture des nombres décimaux avec 12 décimales.

T3. Recommencer en remplaçant A par un autre nombre positif.

5èmepartie : la suite de Fibonacci

Léonard de Pise, plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci (1175-1250), était un commerçant et un grand voyageur. Son livre Liber abbaci, qui est principalement consacré aux calculs commerciaux, est aussi un recueil de petits problèmes dont celui très célèbre sur l’évolution d’une population de lapins qui l’amène à introduire la suite de nombres entiers suivants :

- les deux premiers termes sont 0 et 1,

- chaque terme suivant est la somme des deux termes précédents ;

voici donc les 7 premiers termes : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Q7. a. Continuer cette suite jusqu’au 15ème terme.

b. Calculer le quotient du 12ème terme par le 11ème, puis le quotient du 13ème terme par le 12ème, puis le quotient du 14ème par le 13ème et enfin le 15ème par le 14ème. Que constate-t-on ?

T4. a. À l’aide d’un tableur, calculer les trente premiers termes de la suite de Fibonacci.

b. Calculer la suite des quotients obtenus en divisant un terme par son précédent. Que constate-t-on ?

6ème partie : les puissances de

Q8. a. Vérifier que 2 1   .

b. Montrer que 3 2 1   en partant de l’égalité 3 2    et en remplaçant 2 par 1  . Montrer de

la même façon que 4 3 2   .

c. Exprimer de la même façon 5 , 6 et 7 en fonction de  .

Q9. Montrer que 1 1

1  

   ; exprimer de même 2 , 3 et 4 en fonction de  .

5-5 : Suites récurrentes

L’objectif de cet exercice est double :

 En mathématiques : prendre conscience de l’effet de la valeur du premier terme d’une suite définie par récurrence.

 En TICE : continuer à apprendre à utiliser un tableur.

Première partie : les observations

On s ‘intéresse à la suite u définie par : 0

1

1

1 10

3 n n

u

u u

  

  

.

1. Calculer, à l’aide d’un tableur, les vingt premiers termes de cette suite.

2. Conjecturer alors le sens de variation et la limite de cette suite.

3. Modifier la valeur du premier terme u0 (par exemple u0= 30) en conservant la formule de récurrence.

Vos conjectures concernant le comportement de la nouvelle suite sont-elles les mêmes ?

4. Faire ainsi, en procédant de la même manière, plusieurs (6 ou 7 en plus des deux déjà effectués) essais successifs, en changeant seulement la valeur du premier terme u0, tout en conservant la même formule de récurrence.

5. Faire un graphique représentant ces suites. Citer trois valeurs de u0 telles que la suite u est strictement croissante, trois valeurs telles que la suite u est strictement décroissante, et une valeur telle que la suite u est constante.

Que peut-on dire de la limite de la suite, dans chaque cas ?

8. La suite u semble toujours monotone, et cela ne dépend que de la valeur de u0 (la formule de récurrence étant toujours la même).

A quel intervalle semble devoir appartenir u0 pour que la suite soit strictement croissante ? strictement décroissante ?

Deuxième partie

Modifier la feuille de calcul de façon à pouvoir calculer les valeurs des termes de la suite u définie par son premier terme u0 qu’on pourra modifier et par la formule de récurrence un+1 = a un + b, a et b pouvant être modifiés.

1. On prend u0 = 10. Calculez les termes de la suite nu pour diverses valeurs de a et b : on prendra des

valeurs de a comme indiquées et diverses valeurs de b (−10, −2, 0, 5, 10). Complétez le tableau.

a variation limite a variation limite

1a  0 1a 

1a   1a

1 0a   1a

2. Est-ce que le changement de premier terme modifie quelque chose ?

Troisième partie : les démonstrations des conjectures de la première partie du TP.

1. Quelle(s) méthode(s) proposez-vous pour démontrer que la suite définie au début de la première partie est croissante ?

2. Faire la démonstration.

3. Démontrez que la suite u est majorée .

4. En déduire qu’elle converge.

5. Quelle égalité doit vérifier la limite l de cette suite ? En déduire l.

5-6 : Suite récurrente

On considère la suite numérique  n nu définie par : 0

1

0

1

2 n

n

u

u u

  

 

.

1. a. En utilisant un tableur calculer et représenter graphiquement les 20 premiers termes de cette suite.

b. Le nuage de points obtenus a-t-il une particularité ?

Appeler l’examinateur pour une vérification de la construction faite.

2. Essayons de déterminer une expression de nu en fonction de n pour tout entier naturel n.

a. Conjecturer une expression de nu en fonction de n.

Appeler l’examinateur pour une vérification de la conjecture.

b. Démontrer cette conjecture.

Production demandée.

- Le nuage de points attendu dans la question 1 et la particularité trouvée à ce nuage.

- La stratégie de démonstration retenue à la question 2 ainsi que les étapes de cette démonstration.

5-7 : Deux suites récurrentes

Les suites  na et  nb sont définies par 0 1a   et 0 2b  et pour tout naturel n par

 1 1

2 n n na a b   et  1

1 4

5 n n nb a b   .

1. A l’aide de la calculatrice ou d’un tableur afficher les 20 premiers termes des deux suites et émettre une conjecture concernant le sens de variation de ces deux suites.

2. On considère la suite  nu définie par n n nu a b  pour tout naturel n. Afficher les 20 premiers

termes de cette suite et émettre une conjecture sur le signe et la convergence de nu .

3. On considère la suite 5

2 n n ns a b  . Afficher les 20 premiers termes de la suite.

4. Quelle semble être la nature de ces deux suites ? sont-elles arithmétiques ? géométriques ?

5. Exprimer ns et nu en fonction de n. En déduire des expressions de na et nb . Conclure quand à la

convergence de ces suites.

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