Exercices - les fonctions  - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S19 May 2014

Exercices - les fonctions - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices de sciences mathématique sur les fonctions - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Rationnelle, Asymptotes.
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c. Déterminer suivant les valeurs de x la position de (C) par rapport à la droite (D) 2 3y x 

d. Tracer dans un repère orthonormé la droite (D) et la courbe (C). (on placera particulièrement les points A et B de (C) d'abcisses respectives −1/2 et 3/2 ).

e. Déterminer graphiquement puis algébriquement le signe de f.

3-29 : Rationnelle 4

On considère la fonction f définie sur \{−2 , 2} par 3

2

4 4 ( )

4

x x f x

x

  

 .

a. Trouver deux nombres a et b tels que 2

( ) 4

b f x ax

x  

b. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

c. Montrer que la courbe (C) de f a une asymptote oblique (D) et préciser la position de (C) par rapport à (D).

3-30 : Rationnelle 5

On considère les fonctions numériques f et g définies par :

2 3 21 1( ) et ( ) 2 1 3

f x x x g x x x x

          

1. Montrer que pour tout x0 , les nombres f'(x) et g(x) ont le même signe.

2. Etudier les variations de g sur . En déduire que l'équation g(x)=0 admet dans une solution unique a, avec 0<a<1 (on ne cherchera pas à calculer a). Préciser le signe de g suivant les valeurs de x.

3. Dresser le tableau des variations de la fonction f . On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (unité 3 cm), par I le point de (C) d'abcisse −1 et par J le point de (C) d'abcisse +1.

a. Vérifier que la droite (IJ) est tangente en J à (C).

b. Déterminer une équation de la tangente (T) en I à (C) .

c. Etudier la position de (C) par rapport à (T).

4. Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe (C) (on prendra 2/3 comme valeur approchée de a).

3-31 : Rationnelle 6

Soit la fonction f, définie sur \{–1, +1} par 3 2

2

2 ( )

1

x x f x

x

 

 et C sa courbe représentative dans le plan

muni d’un repère orthonormal  ; ,O i j (unité : 2 cm)

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire.

Soit g définie sur par 3( ) 3 4g x x x   .

1. Etudier les variations de la fonction g, et calculer ses limites en + et -.

2. Montrer qu’il existe un réel  unique tel que ( ) 0g  . Déterminer une valeur approchée de  à 10−2

près.

3. Etudier le signe de g sur .

Partie B : Etude de la fonction f.

1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

2. Montrer que pour tout x de \{−1, +1}, 2 2

( ) '( )

( 1)

xg x f x

x

 . En déduire le tableau de variation de f.

3. Montrer que pour tout x de \{−1, +1}, 2

2 ( ) 2

1

x f x x

x

   

 . En déduire que C admet une asymptote

oblique D à l’infini. Etudier la position de C par rapport à D.

4. Déterminer les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à la droite d’équation 2y x 

5. Tracer la droite D, les tangentes du 4. ainsi que la courbe C .

3-32 : Rationnelle 7

Soit f la fonction définie sur  par 3 2

2

1 ( )

1

x x f x

x

  

 et Cf sa courbe représentative dans un repère

orthonormé.

1. Montrer que pour tout x réel, 2

2 2

( 1)( 4) ( )

( 1)

x x x x f x

x

    

 .

2. Etudier les variations de la fonction f.

3. a. Montrer que pour x réel, 2

2 ( ) 1

1

x f x x

x

   

 .

b. Déterminer la limite de f en  et en  .

c. Montrer que la courbe Cf admet une asymptote dont l’équation sera précisée. Etudier la position de Cf par rapport à cette asymptote.

3-33 : Rationnelle 8

Soit f la fonction définie sur ]−1 ;  [ par 2 2 4

( ) 1

x x f x

x

  

 . On appelle Cf sa représentation graphique.

1. Déterminer la limite de f en −1, puis en  .

2. a. Montrer que la droite D d’équation 3y x  est asymptote à la courbe Cf lorsque x tend vers  .

b. Préciser les autres éventuelles asymptotes à Cf.

3. Etudier la position relative de Cf par rapport à D sur ]−1 ;  [.

4. a. Montrer que  

2

2

2 2 ( )

1

x x f x

x

   

 .

b. Etudier les variations de f et dresser le tableau de variation complet de f sur son intervalle de définition.

5. Déterminer l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 1.

3-34 : Rationnelle 9

Soit f la fonction définie sur par 2

2

2 3 2 ( )

2

x x f x

x

  

 . On appelle C sa représentation graphique.

Déterminer la limite de f en  , puis en  et préciser alors les éventuelles asymptotes.

3-35 : Rationnelle 10 : somme et différence d’inverses

On considère les deux fonctions f et g définies sur \{–2 ; 0} par :

1 1 ( )

2 f x

x x  

 et

1 1 ( )

2 g x

x x  

1. Etudier les limites de f et g aux bornes de leur ensemble de définition. En déduire que les courbes représentatives Cf et Cg ont les même asymptotes.

2. Etudier les variations des fonctions f et g.

3. Etudier la position de Cf par rapport à sa tangente en  (–1 ; 0), et les positions relatives des courbes Cf et Cg.

4. Représenter Cf et Cg dans un même repère ( ; , )O i j .

5. Montrer que  est centre de symétrie de Cf et ( ; )j axe de symétrie de Cg.

3-36 : Rationnelle 11 avec suite

Soit f la fonction définie sur par    

2

4 2 1

2

x f x

x

 

 et C sa courbe représentative dans un repère

orthonormé : unité graphique : 1 cm.

1. a. Calculer ( )f x .

b. Etudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.

2. Tracer C.

3. Soit D la droite d’équation 9

7 4

y x  et T la tangente à C au point A d’abscisse 4.

a. Déterminer l’équation de T.

b. Montrer que le point A appartient à C et D.

c. Montrer alors que D et T sont perpendiculaires.

d. Tracer dans le repère précédent D et T.

4. Soit (un) la suite définie par 0

1

0

( )n n

u

u f u

 

 .

1. Calculer u1, u2 et u3.

2. La suite (un) est-elle monotone ?

3-37 : Rationnelle 12 : coeff. indéterminés

On considère la fonction f définie sur  \ 2 ;1 par   2 2

ax b f x

x x

 

  .

1. Sachant que −3 est un extremum de f atteint en 0, déterminer les réels a et b .

2. On suppose que   2

6 3

2

x f x

x x

 

  . Vérifier que  

 

2

2 2

3 12 '

2

x x f x

x x

 

 

et en déduire son signe.

3. Dresser le tableau de variation de f en précisant la nature des extremums locaux.

3-38 : Rationnelle 13 : asymptote

Soit h la fonction définie sur  \ 0 ; 2 par   3 2

2

2 5 1

2

x x x h x

x x

   

 .

1. Montrer que la droite D d'équation 2 3y x  est asymptote à hC .

2. Étudier la position relative de hC et de D en précisant les coordonnées du point d'intersection.

3-39 : Rationnelle 14 : avec fonction auxilliaire

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

Soit f la fonction définie sur par   3 22 3 1f x x x  

1. Déterminer la limite de f en  et en  .

2. Dresser le tableau de variation de f sur .

3. a. En déduire que l'équation   0f x  admet une unique solution que l'on note  dans .

b. Vérifier que  1 ; 2  .

c. Donner un encadrement de d'amplitude 0,1.

4. Déterminer le signe de f sur .

Partie B : On considère la fonction g définie sur l’intervalle  1 ;  par   3

1

1

x g x

x

 

 .

1. Déterminer la limite de g en 1 et en  .

2. Justifier que g est dérivable sur  1 ;  et vérifier que    

  2

3 1

' f x

g x

x

.

3. Dresser alors le tableau de variation de g .

3-40 : Rationnelle 15 : problème long

Sur la feuille annexe, on a représenté la courbe (C) de la fonction f définie sur  0 ;  par

  3

1f x x   dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

Partie A : Étude de la fonction f

1. Déterminer la limite de f en 0 et en  . Préciser les équations des asymptotes à (C).

2. Déterminer le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation complet.

3. Placer, sur la feuille annexe, les points A et B de C d’abscisses respectives 1 et 3, puis déterminer

une équation de la droite  AB .

4. Soit M un point quelconque de (C) d’abscisse x . La parallèle à l’axe des ordonnées et passant par

M coupe la droite  AB en un point N . On note alors P le milieu de  MN .

Déterminer les coordonnées de M et vérifier que  ; 3N x x  et 23 2

; 2

x x P x

x

       

.

Partie B : Le but de cette partie est d’étudier l’ensemble  des points P lorsque le point M décrit la courbe (C).

On pose alors g la fonction définie sur  0 ;  par   23 2

2

x x g x

x

   et  sa représentation

graphique.

1. a. Déterminer la limite de g en 0 et en  .

b. En déduire que  admet une asymptote dont on précisera une équation.

c. Démontrer que la droite D d’équation 1

1 2

y x   est une asymptote à  .

2. Calculer  'g x puis établir le tableau de variation de g .

3. Étudier la position relative de la courbe (C) par rapport à la courbe  .

4. Tracer  en vert et es asymptotes avec soin sur la feuille annexe.

C

2 3 4 5 6 7

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

0 1

1

x

y

3-41 : Révision (facile)

On considère la fonction f définie sur −{−1} par 1

( ) 1

x f x

x

  

et la fonction g définie sur par

2( ) 3 1g x x x    . On appelle Cf et Cg leurs représentations graphiques. Soit D la droite d’équation

2 3y x  .

Etude de f

1. a. Etudier les limites de f en  et en  .

b. Etudier les limites de f en −1 (par valeurs inférieures, puis par valeurs supérieures).

c. Quelles sont les asymptotes de Cf et Cg ?

2. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

3. Déterminer les coordonnées du (ou des) point(s) de Cf où la tangente est parallèle à D.

4. Dans un repère orthogonal (unités : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées), tracer sur l’intervalle [−6 ; 4] la courbe Cf ainsi que ses asymptotes.

Etude de g

1. Etudier les limites de g en  et  .

2. Etudier les variations de g sur .

3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Cg avec l’axe des abscisses.

4. Déterminer l’équation de la tangente à Cg parallèle à la droite D.

Intersection

1. Déterminer les abscisses des points d’intersection de Cf et Cg.

2. Etudier suivant les valeurs de x, la position de Cf par rapport à Cg.

3-42 : Irrationnelle 1

Soit 1

( ) 1

x f x x

x

 

 .

1. Quel est son ensemble de définition ?

2. Montrez que la dérivée de f est 2

2

1 '( )

1 (1 )

1

x x f x

x x

x

   

 

.

3. Déterminez son sens de variation.

3-43 : Irrationnelle 2

Soit f la fonction numérique définie par :  ( ) 1f x x x .

1. a. Déterminer l’ensemble de définition de f .

b. Etudier la dérivabilité de f en 1 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

c. Montrer que f est dérivable sur   ; 1 et que 

 

2 3 '( )

2 1

x f x

x pour tout 1x .

d. Dresser le tableau de variation de f.

e. Représenter graphiquement la fonction f.

2. a. Montrer que l’équation 

 1

( ) 3 3

f x admet une seule solution 1x dans   ; 0 et que   1 1

0 3

x .

b. Montrer que l’équation  1

( ) 3 3

f x admet exactement deux solutions 2x et 3x dans  0 ;1 et que

   2 3 2

0 1 3

x x . Donner une valeur décimale approchée à 310 près de 1x .

3. a. On pose   3 1

( ) 2 3

u x . Montrer que l’équation (E) :   1

1 3 3

x x est équivalente à (E’) :

  38 6 1 0u u .

b. Pour i = 1, 2, 3, on pose   3 1

( ) 2 3

i iu x . Montrer qu’il existe un unique réel  i de [0 ; ] tel que

 cosi iu .

c. Prouver que    3cos3 4cos 3cos pour tout  réel.

(On rappelle que cos(a+b) = cosa.cosb – sina.sinb et sin 2a = 2sina.cosa)

d. Déduire des questions précédentes que (E’) est équivalente à l’équation   1

cos3 2

. Résoudre cette

équation dans [0 ; ] et en déduire les valeurs exactes de x1, x2 et x3.

4. Trigonométrie

4-44 : Cours

Démontrer que 0

sin lim 1 x

x

x  . Déduisez-en la dérivée de la fonction sinus.

4-45 : Cosinus

f est la fonction définie sur [0 ; ] par 1

( ) 1 cos 2

f x x x   . C sa courbe représentative dans un repère

orthonormal ( ; , )O i j (unité graphique : 2 cm).

1. Etudiez les variations de f.

2. Déterminez une équation de la tangente T1 à C au point d’abscisse 0 et une équation de la tangente T2 à C au point d’abscisse  .

3. Tracez les droites T1 et T2 ainsi que C.

4. Démontrez que l’équation ( ) 0f x  admet une seule solution x0 dans [0 ; ] . Montrez que

01,7 1,8x  . Déduisez-en le signe de f.

4-46 : trigo+courbe

a. Montrez que sin3a = 3sina − 4sin3a.

b. Soit la fonction 3 1

( ) 4 3 2

f x x x    .

Etudiez f sur et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité 4 cm).

c. Calculez f(−1) et f(+1). Trouvez graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 dans l'intervalle [−1 ; +1] ; donnez en une valeur approchée.

d. Déduisez de ce qui précède le nombre de solutions de l'équation 1

sin 3 2

a  sur [0 ; 2 ]. Aurait-on pu

utiliser une autre méthode ?

4-47 : trigo

Etudier et représenter graphiquement la fonction f(x)=x + sin2x sur l'intervalle [−2 ; 2 ].

4-48 : L’échelle dans le couloir

Soit f la fonction définie sur 0 ; 2

    

par 1 1

( ) sin cos

f x x x

  .

1. Résoudre sur cet intervalle l’inéquation sin cosx x .

2. a. Calculer f’(x) et montrer que f’(x) a même signe que 3 3sin cosx x .

b. Montrez que la fonction 3:g x x est croissante sur . En

déduire le signe de f’.

3. Dresser le tableau de variation de f et préciser ses limites en 0

et 2

 .

4. On veut déplacer une échelle dans un couloir de 1 m de large en lui faisant tourner un coin à angle droit. Quelle est la longueur maximale de l’échelle ? On pourra noter x l’angle entre l’échelle et le mur.

Que se passe-t-il (physiquement parlant) si l’échelle est plus longue que cette longueur maximale ?

Correction

1. On lit sur le cercle trigonométrique que sin cosx x lorsque 4

x   (sur cet intervalle).

2. a. 3 3 3 3

2 2 2 2

(cos ) ( sin ) (cos ) (sin ) sin cos '( )

(sin ) (cos ) (sin cos ) (sin cos )

x x x x x x f x

x x x x x x

          qui a bien le même signe que

3 3sin cosx x .

b. 3:g x x a pour dérivée 23x qui est positive donc g est croissante. Lorsque sin cosx x , on a donc

3 3sin cosx x , par conséquent f’ est positive lorsque 4

x   , négative sinon.

1 m

1 m

x

3. Lorsque x tend vers 0, cos x tend vers 1, sin x tend vers 0 en restant positif, donc

1 1 1 1

sin cos 0x x       ; de même lorsque x tend vers

2

 avec

2 x   , sin x tend vers 1 et cos x tend

vers 0 en étant positif, f tend encore vers  . 2 2 4

( / 4) 2 2 2 2 2

f      .

x 0 4

2

'f − 0 +

f

 

2 2

4. On a 1

cos cos

AC x AE

AE x    et

1 cos sin

2 sin

BD x x EB

BE x

       

  .

Donc et par conséquent ( )AB AE EB f x   …

l’échelle a une longueur maximale de 2 2 , soit environ 2,8 m.

Si l’échelle est plus longue, on ne pourra passer qu’en tordant l’échelle ou en la sciant éventuellement, mais dans ce cas elle ne servira plus…quelle tristesse.

5. Optimisation et modélisation

5-49 : Boite 1

Une boîte parallélépipédique à base carrée, d’un volume de 64 dm3 est construite dans un matériau qui revient à 3 centimes le cm2 pour le fond et le couvercle et à 2 centimes le cm2 pour la surface latérale.

Quelles doivent être les dimensions de cette boîte pour que son coût de revient soit minimum ?

5-50 : Boite 2

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné sous la forme d’un petit parallélépipède rectangle de dimensions y mm, x mm et 2x mm et de volume 576 mm2.

1. Faites un schéma et montrez que 2 2

576 288

2 y

x x   .

2. Calculez la surface totale S de ce parallélépipède rectangle en fonction de x.

3. x est compris entre 3 et 12 mm. Représentez la fonction S sur [3 ; 12] et déterminez entre quelles valeurs varie S. Quelle valeur de x rend elle S minimale ? Déterminez alors les dimensions de l’emballage.

5-51 : Aire dans un carré

Voici un carré ABCD. On donne AB = 8 cm et AB' = AD' = x avec 0 8x  .

1. Montrer que l'aire A(x) de la partie hachurée est donnée par

l'expression 2( ) 4 32A x x x    .

A B

C D

B’

C’ D’

x

x

8 cm

1 m

1 m

x 2 2

x x  

    

A

B

C

D E

2. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'aire hachurée est égale à l'aire non hachurée.

3. Déterminer pour quelles valeurs de x, l'aire hachurée est inférieure ou égale à 20 cm².

4. a. Etudier les variations de la fonction A sur [0 ; 8].

b. En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire hachurée est maximale. Que vaut alors l'aire ?

5-52 : Plaque découpée

ABCD est une plaque rectangulaire de longeur AB = 30 cm et de largueur BC = 20 cm. On en coupe le coin A en enlevant le triangle AEF défini par ED = AF = x.

1. Exprimer l'aire A(x) de la surface restante (polygone FBCDE) en fonction de x.

2. Pour quelle(s) valeur(s) de x, la surface restante est-elle égale à 550 cm² ?

3. Pour quelle(s) valeur(s) de x, l'aire A(x) est-elle minimale ? Combien vaut cette aire minimale ?

5-53 : Le cube et le parallélépipède inscrit

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 6 cm. On inscrit dans ce cube, le parallélépipède rectangle EIJKLPNM tel que EI = IJ = x et AL = x.

On veut déterminer la valeur xm pour laquelle le parallélépipède rectangle est de volume maximum.

1. On désigne par V le volume du parallélépipède.

Montrer que V est donné par la fonction f définie sur

l'intervalle [0 ; 6] par   3 26f x x x   .

2. Etudier les variations de la fonction f sur [0 ; 6].

3. Trouver alors la valeur xm et le volume maximum correspondant.

4. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, les valeurs de x pour lesquelles le parallélépipède a pour volume 0,025 litres.

5-54 : Clotûre

On dispose d'un mur long de 300 mètres et de 1000 mètres de clotûre, non installée. Quelles seront les dimensions du plus grand champ rectangulaire que l'on peut réaliser avec ces éléments ?

5-55 : Cône

Soit la fonction f définie sur –{−1,+1} par 4

2 ( )

1

x f x

x

 . On appelle C sa courbe représentative dans un

repère orthogonal (unités : 4 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée).

1. Trouver deux réels a et b tels que 2 2

( ) 1

b f x x a

x   

 .

2. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

3. Calculer f’(x) et étudier les variations de f.

4. Soit P la courbe d’équation 2( 1)y x  . Quelles sont les positions relatives de C et P ? Que peut on dire

de P ?

5. Tracer P et C dans le même repère.

H E

A

D

E

F

F G

B C

I

L

K

P

M N

J x

x

x

F

E

CD

BA

6. Volume d’un cône: Dans la figure ci-contre, on considère un triangle ABC rectangle en B. Le demi-cercle de centre O a pour rayon 1 ; la droite (BC) est tangente en H au demi- cercle ; la droite (AC) est tangente en H au demi-cercle.

On pose : AB = h, BC = x (x>1)

a. Prouver que OH BC

AH AB  . En déduire les égalités :

2 2 2

2

2 ( 1) , ,

2 1

h x h x h x h

h x    

  .

b. Rappelons que le volume d’un cône de révolution de

hauteur h et de rayon du cercle de base R est 2

3

R h V   .

c. En pivotant autour de (AB), le triangle ABC engendre un cône de révolution de sommet A. Exprimer le volume V(x) du cône en fonction de x.

d. A l’aide des résultats des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de x le volume est minimum. Calculer pour cette valeur de x l’angle BAC (à 0,1 degré près).

5-56 : Cône de révolution

Dans une sphère de centre O et de rayon R , on inscrit un cône de révolution de hauteur h .

1. Démontrer que le rayon r de la base du cône est

tel que 2 22r Rh h  .

2. En déduire que le volume est donné par

   2 31 2 3

V h Rh h  .

3. Justifier que V est défini sur  0 ; 2 R .

4. Déterminer la valeur de h , en fonction de R , pour laquelle le volume est maximal.

5. Calculer alors ce volume maximal en fonction du volume de la sphère.

5-57 : Jouet en bois

(d’après Bac Pro Productique bois, juin 2006)

B

C

A

F

A1

O

E

B1

C1

D

D1

G

x '

x

y

y '

A

BC

O

r

h

Le dessin ci-dessus représente une pièce d'un jouet en bois. La droite (x'x) est un axe de symétrie pour cette pièce. Les points A1, B1, C1 et D1 sont respectivement les symétriques des points A, B, C et D.

[AB] est un segment de droite ; BC est un arc de parabole ; CD est un arc d'hyperbole.

On donne les longueurs suivantes :

AA1 = 6 cm ; BB1 = 12 cm ; CC1 = 12 cm ; DD1 = 4 cm; OF = 2 cm ; OE = 4 cm ; OG = 12 cm.

1. Avec ces informations, placer dans le repère donné en annexe (à rendre avec la copie) les points B1, C, C1, A et A1. On précisera leurs coordonnées.

2. Etude de l'arc de parabole BC : on cherche la fonction f définie par   2f x ax bx c   où a, b et c

sont des nombres réels représentant cette parabole.

a. Pour déterminer a, b et c on sait que BC passe par B, passe par C et que la tangente à BC en B est la droite (AB).

Montrer, dans cet ordre, que 6, 1,5, 0,375c b a    .

b. L'arc de parabole BC est la représentation graphique de la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 4] par :

  20,375 1,5 6f x x x    .

Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.

c. Dans le repère défini dans l'annexe, tracer l'arc de parabole BC .

3. Etude de l'arc CD : l'arc d'hyperbole CD est la représentation graphique de la fonction g définie sur

l'intervalle [4 ; 12] par :   a

g x x .

a. Montrer que   24

g x x

 .

b. Etudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation.

4. Vérifiez que BC et CD ont même tangente en C.

5. Dans le repère de l'annexe, terminer le tracé du contour de la pièce de bois.

B

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x

y

5-58 : Courbes de Bézier

On considère trois points du plan A, B et C ainsi qu’un réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1]. On définit les points P et Q de sorte que P soit le barycentre de {(A, t) ; (B, 1 − t)} et Q celui de {(B, t) ; (C, 1 − t)} ; enfin on définit M comme le barycentre de {(P, t) ; (Q, 1 − t)}.

1. Exprimer les coordonnées de P, Q et M en fonction de t et des coordonnées de A, B, C que l’on notera

( , )A Ax y , ( , )B Bx y et ( , )C Cx y . On notera x(t) et y(t) celles de M.

2. a. Etudier les variations des fonctions x(t) et y(t) en fonction de t.

b. Que peut-on dire des points M si B est au milieu de [AC] ?

c. Peut-on trouver une relation du type y = f(x) entre x(t) et y(t) (on pourra faire l’essai en prenant A(0 ; 0), B(1 ; 1) et C(1 ; 0)) ?

3. En passant votre calculatrice en mode PARAM tracez la courbe paramétrée d’équations (X(T) = x(t) ; Y(T) = y(t)) avec A(0 ; 0), B(1 ; 1) et C(1 ; 0).

4. L’intérêt de la courbe précédente est que seuls les points A, B et C vont intervenir dans la définition ; si on déplace un point la courbe est automatiquement changée.

On veut rajouter un point D ( ; )D Dx y et recalculer une courbe sur l’idée précédente : montrez qu’il faut

alors calculer les coordonnées de M’, barycentre de 3 2 2 3{( , ) ;( , 3 (1 )) ;( , 3 (1 ) ) ;( , (1 ) }A t B t t C t t D t   .

a. Déduisez-en les fonctions X(t) et Y(t) coordonnées de M’.

b. Tracez la courbe des points M’ obtenue.

5. Ceux qui disposent de Chamois peuvent voir ce que ça donne avec le fichier

http://laroche.lycee.free.fr/telecharger/1S/bezier.cha

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