Exercices - les suites - 1° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S19 May 2014

Exercices - les suites - 1° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices de sciences mathématique sur les suites - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Généralités, Suites arithmétiques, Suites géométriques, Limite d’une somme.
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Première S

Exercices : Suites Numériques

1. Généralités 1 1-1 : Basique 1 1 1-2 : Basique 2 1 1-3 : Basique 3 1 1-4 : Basique 4 2 1-5 : Basique 5 2 1-6 : Basique 6 2 1-7 : Basique 7 2 1-8 : Basique 8 2 1-9 : Salaires 2 1-10 : Suites arithmétiques - 1 3 1-11 : Suites arithmétiques - 2 3 1-12 : Suites arithmétiques - 3 3 1-13 : Suites géométriques - 1 3 1-14 : Suites géométriques - 2 (c) 3 1-15 : Suites géométriques - 3 4

2. Convergence 4 2-16 : Limites – 1 4 2-17 : Limite d’une somme 4 2-18 : Limite d’une suite - QCM 5 2-19 : Limite d’une suite - 1 5 2-20 : Limite d’une suite - 2 5

3. Récurrence 5 3-21 : Raisonnement par récurrence (c) 5 3-22 : Un exemple « amusant » 6 3-23 : Une inégalité importante (c) 6 3-24 : Récurrence et conjecture 7

4. Exemples variés 7

4-25 : Une suite 7 4-26 : Une autre suite 7 4-27 : Encore une suite 8 4-28 : Encore une suite - 2 8 4-29 : Y fait chô 8

5. Suites adjacentes 9 5-30 : Barycentre (c) 9 5-31 : Aire 10 5-32 : Approximation décimale 10 5-33 : zeta(2) 10

6. Suites récurrentes 11 6-34 : Suite linéaire - 1 11 6-35 : Suite linéaire - 2 11 6-36 : Suite linéaire - 3 11 6-37 : Suite linéaire et aires de triangles 11 6-38 : Suite récurrente - 2 12 6-39 : Suite récurrente - 3 12 6-40 : Suite récurrente – 4 (c) 13 6-41 : L’algorithme de la racine carrée 14 6-42 : Récurrence sur deux termes 14 6-43 : Coccinelles 15 6-44 : Les lettres de Gaston (c) 17 6-45 : Suite récurrente 20 6-46 : Le nombre d’or 20

7. Divers 22 7-47 : Polynomes de Bernoulli 22 7-48 : Série harmonique 23 7-49 : Une somme 23

1. Généralités

1-1 : Basique 1

La location d'une machine coûte 60 € la 1ère journée. La 2ème journée de location coûte 65 € et chaque journée supplémentaire 5 € de plus que la précédente.

Combien de jours pourra-t-on utiliser la machine avec un budget de 3570 € ? Vous ferez apparaître sur votre copie tous les calculs nécessaires.

1-2 : Basique 2

1. (un) désigne une suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison 4.

a. Calculer u1, u2, u3.

b. Donner un en fonction de n et calculer u19.

2. (vn) désigne une suite géométrique de premier terme v0 = 2 et de raison 3.

a. Calculer v1, v2, v3.

b. Donner vn en fonction de n et calculer v10.

c. Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite (vn).

1-3 : Basique 3

Au pays des plantes géantes, les nénuphars poussent en doublant chaque jour leur surface. Un matin un nénuphar éclôt au centre d'un étang circulaire d'un rayon de 100 m ; le nénuphar mesure alors 1 cm de rayon.

1. Exprimer la surface Sn du nénuphar après n jours en fonction de l'entier n.

2. À l'aide de la calculatrice, déterminer le jour au cours duquel le nénuphar recouvrira tout l'étang.

3. Montrer que le rayon rn du nénuphar, après n jours, est le terme général d'une suite géométrique dont

on précisera la raison.

4. Deux nénuphars éclosent un certain jour à une distance de 20 m l'un de l'autre. L'un mesure 1 cm de rayon, l'autre 2 cm. A l'aide d'une calculatrice, déterminer le jour au cours duquel leurs feuilles se chevaucheront.

1-4 : Basique 4

(un) est la suite définie sur par 2

3 2

1 nu

n  

 . Déterminer le sens de variation de cette suite. Préciser

sa limite.

1-5 : Basique 5

(un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 8 et de raison q = 1

2 .

1. Calculer les termes u1, u2, u20.

2. Montrer que la somme 0 1 20...S u u u    est égale à 21

17

2 1

2

1-6 : Basique 6

Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et 1 2

2 3

n n

n

u u

u  

 .

1. Calculer les termes u1 et u2.

2. La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ?

3. Reprsenter graphiquement les premiers termes de un. Quelles conjectures émettez-vous ?

4. On admet que, pour tout n, un n’est pas nul. On pose 2

1n n

v u

  .

a. Calculer v0, v1, et v2.

b. Calculer vn+1 en fonction de vn. En déduire que (vn) est une suite arithmétique.

c. Exprimer vn en fonction de n. En déduire un en fonction de n.

1-7 : Basique 7

Déterminer la monotonie des suites  nu et  nv définies par 32 2007 1

2008 2 3

nu n n   et

2 n n

n v  (on pourra comparer

1n

n

v

v

 et1 ).

1-8 : Basique 8

On considère la suite   1n n

w

définie par       1 1 1

... 1 2

nw n n

.

1. Écrire le terme général nw à l'aide du symbole  .

2. Donner une valeur approchée de 1w , 2w et 3w à 0,1 près. Conjecturer la monotonie de la suite

 nw .

3. Démontrer votre conjecture.

1-9 : Salaires

Un chef d’entreprise paie 60 000 F par an pour l’entretien de ses machines. Lors du renouvellement du contrat pour les dix prochaines années, une société lui propose deux formules :

Contrat A : Le contrat augmente de 5% par an.

1. Exprimer en fonction de n le montant un du contrat lors de la nième année.

2. Calculer le montant du contrat pour la 10ème année.

3. Au bout de combien d’années le contrat dépasserait-il le double du contrat initial ?

4. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années.

Contrat B : Le contrat augmente de 3500 F par an.

1. Exprimer en fonction de n le montant vn du contrat lors de la nième année.

2. Calculer le montant du contrat pour la 10ème année.

3. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années.

4. Quel est le contrat le plus avantageux ?

1-10 : Suites arithmétiques - 1

1. Soit   0n nu  une suite arithmétique. On sait que 5 125u  et 16 48u  . Calculer la raison et le

premier terme de cette suite.

2. En déduire nu en fonction de n .

3. Pour quelle valeur de n a-t-on 127nu   ?

4. A partir de quel rang a-t-on 250nu   ?

5. Calculer la somme 1789 1790 2007...S u u u    .

1-11 : Suites arithmétiques - 2

Soit   1n nu  la suite arithmétique de raison 4 et de premier 1 5u   . Calculer la somme   25

1

k

k

S u k

 

1-12 : Suites arithmétiques - 3

On considère la suite  nu définie par 1 1u  et 1 4

1

n n

nu u

n

 

 .

1. Calculer 2u .

2. Démontrer que la suite  nv définie par n nv n u est une suite arithmétique dont on précisera le

premier terme et la raison de  nv .

3. En déduire l’expression de nv en fonction de n , puis l’expression de nu en fonction de n .

4. En déduire que la suite  nu est strictement monotone et bornée.

1-13 : Suites géométriques - 1

On laisse tomber une balle d’une hauteur de 1 mètre. A chaque rebond elle rebondit des 3/4 de la hauteur d’où elle est tombée.

1. On note nu la hauteur atteinte au n ième rebond. Calculer la hauteur atteinte au 2ème rebond, au 10ème, au

1000ème.

2. A quel rebond la hauteur atteinte est elle inférieure à 10−12 mètre ? Quelle est alors la distance parcourue par la balle ?

1-14 : Suites géométriques - 2 (c)

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 23% de son intensité lumineuse.

1. Soit I0 l’intensité d’un rayon lumineux à son entrée dans la plaque de verre et I1 son intensité à la sortie. Exprimer I1 en fonction de I0.

2. On superpose n plaques de verre identiques ; on note In l’intensité du rayon à la sortie de la n-ième plaque.

a. Exprimer In en fonction de 1nI  .

b. Quelle est la nature de la suite In ? Déterminer l’expression de In en fonction de n et de I0.

c. Quel est le sens de variation de In ?

3. Quelle est l’intensité initiale d’un rayon dont l’intensité après avoir traversé 4 plaques est égale à 15 ?

4. Calculer le nombre minimum de plaques qu’un rayon doit avoir traversé pour que son intensité sortante soit inférieure ou égale au quart de son intensité entrante ?

Correction

1. La perte de 23 % correspond à 1 0 0 0 23

0,77 100

I I I I   .

2. a. A chaque passage l’intensité est multipliée par 0,77 : 10,77n nI I  .

b. nI est une suite géométrique de raison 0,77. On a  0 0 0,77n nnI I q I  .

c. Comme 1 10,77n n nI I I   , nI est décroissante.

3. On cherche 0I sachant que 4 15I  :   4

4 0 0 4

15 15 0,77 42,67

0,77 I I I     .

4. On cherche n pour que 0 0 0 1

0,77 0,25 0,77 0,25 4

n n nI I I I     . A la machine on a les résultats

suivants :

n In n In

0 1 9 0,09515169

1 0,77 10 0,0732668

2 0,5929 11 0,05641544

3 0,456533 12 0,04343989

4 0,35153041 13 0,03344871

5 0,27067842 14 0,02575551

6 0,20842238 15 0,01983174

7 0,16048523 16 0,01527044

8 0,12357363 17 0,01175824

Pour n=6 on est en dessous de 1/4.

1-15 : Suites géométriques - 3

On place un capital C de 10 000 € à 6% par an en capitalisant les intérêts.

1. De combien dispose-t-on au bout d’un an ? de 2 ans ? de n ans ?

2. Au bout de combien d’années le capital initial sera-t-il doublé ?

3. On place C à t% par an. Sachant qu’au bout de 10 ans ce capital est doublé quel est le taux annuel des intérêts ?

4. On rajoute C tous les ans, toujours à 6% par an. De combien disposera-t’on au bout de 10 ans ?

2. Convergence

2-16 : Limites – 1

Déterminer la limite des suites définies par leur terme général

   2 32 2 2n n nna    3sinnb n n  3 7n nnc .

2-17 : Limite d’une somme

On considère la suite   1n n

u

définie par :

1

1 1 1 1 1 ...

1 2 1

n

n

k

u nn k n n n n n

          

 .

1. Montrer que, pour tout entier 1 ; nk , on a 1 1 1

1nn n n k  

  .

2. En déduire que, pour tout n de : 1

n

n n u

nn n  

 .

3. Montrer que la suite  nu est convergente et préciser sa limite.

2-18 : Limite d’une suite - QCM

Dire si les propriétés sont vraies, fausses ou si l’on ne peut rien dire (on justifiera ses dires).

1. Une suite ( )nu vérifie pour tout n > 100 l’inégalité 21 1 n

n u

n  

 .

a. ( )nu est bornée. b. ( )nu tend vers 1 c. ( )nu est croissante

2. Une suite ( )nv qui vérifie pour tout n 1 1n

n

v

v

  est strictement décroissante.

3. La suite ( )nw définie par 1 ( 1) sin

1

n

n

n w

n

  

 vérifie

2

1 nw

n  

. Elle est :

a. décroissante, b. bornée, c. convergente.

4. Toute suite convergente est bornée.

5. Toute suite non majorée tend vers  .

2-19 : Limite d’une suite - 1

1. Soit une suite de terme général un . Que signifie : la suite (un) a pour limite  ?

2. Soit la suite (un) définie par 2 2

n

n u

n

  pour n 1.

a. Montrez qu’à partir d’un certain rang 0n , à déterminer, tous les termes de la suite appartiennent à

l’intervalle ]10 ;  [.

b. Soit A un réel aussi grand que l’on veut (on peut supposer 10A  ) ; montrez qu’à partir d’un certain

rang 0n , à déterminer en fonction de A, tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ]A ;  [.

c. En déduire à l’aide du 1. la limite de la suite (un).

d. Donnez une méthode pratique permettant d’obtenir cette limite sans avoir recours à la définition.

2-20 : Limite d’une suite - 2

Cet exercice se présente comme un questionnaire à choix multiples (QCM). Les quatre questions sont indépendantes.

Pour chaque question il y a deux conclusions correctes. Le candidat doit cocher au plus deux cases (celles qu’il juge correctes). Aucune justification n’est demandée.

On considère trois suites (un), (vn) et (wn) qui vérifient la propriété suivante :

« Pour tout entier naturel n strictement positif : n n nu v w  ».

1. Si la suite (vn) tend vers −∞, alors :

□ La suite (wn) tend vers −∞

□ la suite (un) est majorée

□ la suite (un) tend vers −∞

□ la suite (wn) n’a pas de limite.

2. Si un > 1, wn = 2un et lim(un) = l, alors :

□ lim (vn) = l

□ La suite (wn) tend vers +∞

□ lim (wnun) = l

□ On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

3. Si lim (un) = −2 et lim (wn) = 2, alors :

□ La suite (vn) est majorée

□ lim (vn) = 0

□ la suite (vn) n’a pas de limite

□ On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

4. Si 2

2

2 1 n

n u

n

  et

2

2

2 3 n

n w

n

  alors :

□ lim (wn) = 0

□ lim (vn) = 2

□ lim (un) = 2

□ la suite (vn) n’a pas de limite.

3. Récurrence

3-21 : Raisonnement par récurrence (c)

1. On note 1 2 3 ....... !n n     (et on lit « factorielle » n).

Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel 1n  , on a : 1! 2nn  .

2. Démontrez que, pour tout entier naturel n, l’entier 23 2n n est un multiple de 7.

Correction

1. Pour 1n  la propriété est 1 11! 2 1 1   ce qui est vrai.

Supposons que 1! 2nn  ; alors il faut montrer que  1 1( 1)! 2 ! 1 2n nn n n      . Or par hypothèse 1! 2nn  donc en multipliant par 1n qui est supérieur à 2, on a    1 1! 1 2 1 2 2 2n n nn n n       .

2. Vérifions pour quelques valeurs que cela marche :

n 23 2n n 23 2

7

n n

0 0 0

1 7 1

2 77 11

3 721 103

4 6545 935

5 59017 8431

6 531377 75911

7 4782841 683263

8 43046465 6149495

9 387419977 55345711

10 3486783377 498111911

On suppose donc que 23 2n n est un multiple de 7, soit 23 2 7n n k  où k est un entier.

Montrons maintenant que   2 1 13 2 7 '

n n k    : cela donne 2 2 23 3 2 2 7 ' 3 9 2 2 7 'n n n nk k         ;

or 2 23 2 7 3 2 7n n n nk k     d’où en remplaçant :

   23 9 2 2 7 ' 2 7 9 2 2 7 ' 2 9 2 9 7 7 ' 2 7 9 7 7 'n n n n n nk k k k k k k                    .

On a donc ' 2 9nk k   qui est bien un entier.

3-22 : Un exemple « amusant »

Soit ]0 ;1[k . Montrer que 22(1 )(1 )...(1 ) n

np k k k    converge et trouver sa limite.

3-23 : Une inégalité importante (c)

1. Montrer que pour tout réel x positif ou nul et pour tout entier n positif ou nul, on a (1 ) 1nx nx   .

2. Soit la suite !

n n

n u

n  . Calculer les valeurs de un pour n=1, 2, 3, 10, 100 .Que remarquez vous ?

3. En utilisant le 1., montrer que pour tout n>0, on a 1

2n

n

u

u   . En déduire le sens de variation de nu et

que 1

1

2 n n

u

4. Quelle est la limite de un quand n tend vers  .

Correction

1. Par récurrence : pour n = 0, 0(1 ) 1 0 1 1x x     ; ok.

On suppose que (1 ) 1nx nx   et on multiplie tout par 1 x :

      1 2 2(1 ) 1 1 1 1 1 1 1nx x nx x nx nx n x nx n x               .

C’est ok !

2. !

n n

n u

n  .

n n! nn un

1 1 1 1

2 2 4 0,5

3 6 27 0,22222222

4 24 256 0,09375

5 120 3125 0,0384

6 720 46656 0,0154321

7 5040 823543 0,0061199

8 40320 16777216 0,00240326

9 362880 387420489 0,00093666

10 3628800 1E+10 0,00036288

100 9,333E+157 1E+200 9,3326E-43

La suite semble décroître et tendre vers 0.

3.  

   

    1 1

1

1 1 1! ! 1 1 1

1 ! 1 !

n n n n n n

n n n n

n n nu n n n

u n n n n nn n n

 

               

       .

On applique l’inégalité du 1. avec 1

x n  :

1 1 1 1 2

n

n n n

      

  . CQFD.

Tous les termes de la suite sont positifs évidemment donc 1

1

1 2 1

2

n n

n n

u u

u u

    , la suite est bien

décroissante.

Par récurrence on a 1 1 1 1 1

1 1 12

u

    ; puis 1

1

2 n n

u

 et 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

n n n n n

n

u u u

u

  

      . Ok !

4. Comme 1

2n tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini, et que u 0nu  , on a lim 0n

n u

  .

3-24 : Récurrence et conjecture

On considère la suite (un) définie par 0

1

1

2 3n n

u

u u n

 

   pour tout entier naturel n.

1. Etudier la monotonie de la suite (un).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 2nu n .

b. Quelle est la limite de la suite (un) ?

3. Conjecturer une expression de un en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

4. Exemples variés

4-25 : Une suite

un est la suite définie par 2n

nu n

 . Déterminer le sens de variation de un.

4-26 : Une autre suite

Soit (un) la suite de terme général 1

1 ( 2)

n n u

n  

 définie pour n > 0.

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite (un).

2. On admet les deux résultats suivants :

* pour tout n pair non nul, ( 2) 1n  ,

* pour tout n impair, ( 2) 1n   .

a. Montrer que pour tout n > 0, on a : 1

1 1 ( 2)n

   

.

b. En déduire que pour tout n > 0, on a l’encadrement 1 1

1 1nu n n     .

c. Montrer que la suite (un) converge et déterminer sa limite.

4-27 : Encore une suite

On définit une suite (un) par 0

1

1

1 2 1

2 n n

u

u u n

  

   

.

1. Calculer u1, u2, u3. La suite (un) est-elle croissante ou décroissante?

2. On pose vn = un − 4n + 10. Calculer v0, v1, v2, v3.

3. Montrer que la suite (vn) est géométrique, en préciser la raison.

4. En déduire l’expression de vn en fonction de n.

5. En déduire l’expression de un en fonction de n.

6. Quelle est la limite de (un)?

7. On pose Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un. Donner l’expression de Sn en fonction de n.

4-28 : Encore une suite - 2

On définit une suite (un) par 0

1

1

1 1

2 n n

u

u u n

  

   

1. Montrer que 1 2 3 1 1 7

, , 2 4 8

u u u     . La suite (un) est-elle géométrique, arithmétique ?

2. On définit la suite (vn) par 2 6n nv u n   . Calculer 0 1 2 3, , ,v v v v .

3. Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 1

2 .

4. En déduire l’expression de vn puis celle de un en fonction de n.

5. Quelle est la limite de (vn) ? Celle de (un) ?

6. Calculer 0 1 ...n nS v v v    .

7. Calculer ' 0 1 ...n nS u u u    .

4-29 : Y fait chô

On admet que si on mélange un litre d'eau à la température T et un litre d'eau à la température T’, on

obtient deux litres d'eau à la température '

2

T T .

On dispose d'un litre d'eau à la température T0 = 80 °C ; on lui ajoute un litre d'eau à la température 20 °C ; on obtient deux litres à la température T1.

On prélève alors un litre sur les deux obtenus, auquel on ajoute un litre d'eau à la température 20 °C ; on obtient deux litres d'eau à la température T2.

On répète le processus : on prélève un litre sur les deux obtenus, auquel on ajoute un litre d'eau à la température 20 °C ; on obtient deux litres à la température T3.

1. On fabrique ainsi une suite (Tn) telle que Tn+1 est la température du mélange d'un litre d'eau à la

température Tn et d'un litre d'eau à la température 20°C.

a. Calculer T1, T2 et T3.

b. Exprimer Tn+1 en fonction de Tn.

2. Soit la suite (un) telle que pour tout n, un = Tn  20.

a. Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique.

b. Exprimer un en fonction de l'entier n.

c. En déduire que pour tout n, 60

20 2

n n T   .

d. À l'aide d'une calculatrice, déterminer le premier rang n à partir duquel 21nT  .

5. Suites adjacentes

5-30 : Barycentre (c)

Soit an et bn les suites définies pour tout n entier naturel par :

0 0

1

1

2, 3

1 (3 2 )

5

1 (2 3 )

5

n n n

n n n

a b

a a b

b a b

     

   

 

1. Soit (un) la suite de terme général n n nu a b  . Montrer que un est constante et calculer un.

2. Soit (vn) la suite de terme général n n nv a b  . Montrer que vn est une suite géométrique. En déduire

l'expression de vn en fonction de n.

3. Exprimer an et bn en fonction de un et vn puis en fonction de n. Calculer lim et limn n n n

a b  

.

Correction

1.      1 1 1 1 1 1

3 2 2 3 5 5 5 5 5

n n n n n n n n n n n nu a b a b a b a b a b u             .

un est constante et vaut 0 0 0 5u a b   .

2.      1 1 1 1 1 1 1

3 2 2 3 5 5 5 5

n n n n n n n n n nv a b a b a b a b v           .

vn est une suite géométrique de raison 1

5 et de premier terme 0 0 0 1v a b    . On a donc

0

1

5

n n n

v v q

  .

3. On a

1 1 5

2 2 52

2 1 1 5

2 2 5

n n nn n

n n nn n n

n nn n nn n n n n n

u v aa

u v au a b

u vu v bv a b b b

                   

            

.

Comme 1

5n tend vers 0 à l’infini,

5 lim lim

2 n n

n n

a b  

  .

On vérifie avec le tableur par exemple :

n an bn n an bn

0 2 3 7 2,4999936 2,5000064

1 2,4 2,6 8 2,49999872 2,50000128

2 2,48 2,52 9 2,49999974 2,50000026

3 2,496 2,504 10 2,49999995 2,50000005

4 2,4992 2,5008 11 2,49999999 2,50000001

5 2,49984 2,50016 12 2,5 2,5

6 2,499968 2,500032 13 2,5 2,5

5-31 : Aire

Première partie

On considère la courbe (C) de la fonction inverse : 1

( )x f x x  pour 1 2x  . On voudrait trouver une

valeur approchée de l’aire comprise entre (C), l’axe (Ox) et les droites d’équations x = 1 et x = 2. On découpe l’intervalle [1 ; 2] en n intervalles de même amplitude.

1. Donner les valeurs x0, x1, …, xn des bornes des intervalles.

2. Déterminer les images de ces valeurs par f.

3. En considérant les aires des n rectangles dont l’un des sommets est sur la courbe (C), déduire, en fonction de n, un encadrement de l’aire cherchée.

Deuxième partie

On considère la suite (un) définie par :

1

1 1 1 1

1 2 2

i n

n

i

u n n n n i

        , pour tout n de

*, et la

suite (vn) définie par :

1

0

1 1 1 1

1 2 1

i n

n

i

v n n n n i

 

        , pour tout n de

*.

1. Déterminer u1, u2, u3, u4, v1, v2, v3, v4 et en donner des valeurs approchées à 10–2 près.

2. Représenter les points correspondants sur une droite.

3. Démontrer que la suite (un) est croissante et la suite (vn) est décroissante.

4. Calculer vnun et démontrer que lim 0n n n

v u 

  .

5. Quelle conjecture peut-on faire pour les suites (un) et (vn) ?

6. En utilisant une calculatrice, donner une valeur approchée à 10−3 près de u50 et v50 puis de u150 et v150 .

5-32 : Approximation décimale

On considère les suites (un) et (vn) définies par : 1 10 n

nu   et 1 10 nnv

  pour tout n de .

1. Donner les valeurs de u0, v0, u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4.

2. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

3. Quelle est leur limite ?

4. Que peut-on dire du nombre dont l’écriture décimale est 0,9999… ?

5. On connaît le développement décimal périodique d’un nombre. Donner une méthode permettant de retrouver la fraction dont ce nombre est issu.

5-33 : zeta(2)

On considère la suite   1n n

u

définie par 2 2 2 2

1

1 1 1 1

1 2

p n

n

p

u p n

     et la suite   1n nv  définie par

1 n nv u

n   .

1. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

2. Soit l leur limite. Donner un entier n0 pour lequel l’encadrement de l par 0n

u et 0n

v est un

encadrement d’amplitude inférieure ou égale à 10–3.

3. En utilisant une calculatrice, donner une valeur approchée de 0n

u et 0n

v .

Est-il possible que l soit égal à 2

6

 ?

6. Suites récurrentes

6-34 : Suite linéaire - 1

On considère la suite nu définie par 0

1

5

2 5

3 n n

u

u u

  

   

.

1. Calculer les 6 premiers termes de cette suite ; que pouvez vous conjecturer sur son comportement (sens de variation, limite) ?

2. On pose 3n nv u  ; montrer que nv est une suite géométrique, donner l’expression de nv puis celle

de nu en fonction de n. Prouver les résultats obtenus de manière divinatoire au a.

3. On considère 0 1 ...n ns v v v    et 0 1 ...n nS u u u    . Donner les expressions de ns et nS en fonction

de n ; déterminer leurs limites quand n tend vers l’infini.

6-35 : Suite linéaire - 2

1. Quel est le taux d’intérêt mensuel t que l’on doit utiliser pour obtenir un taux d’intérêt annuel T ?

2. On emprunte une somme S à un taux d’intérêt annuel T sur n années. Déterminer le montant du remboursement mensuel R (traite).

3. Vous empruntez 10 000 € à 5 % l’an sur 12 ans. Déterminez la traite que vous devrez payer mensuellement. Quel est le montant total des intérêts payés à la banque ?

6-36 : Suite linéaire - 3

Soit la suite   1n n

u

définie par : 1 1

2 u  et 1

1 1

2 5 nnu u   .

1. Montrer que la suite  nv de terme général 2

5 n nv u  est une suite géométrique.

2. En déduire l'expression de nv puis de nu en fonction de n. Calculer alors la valeur exacte de 4u .

3. Montrer que la suite  nu est décroissante et calculer sa limite.

4. Déterminer le plus petit entier naturel p à partir duquel 0,401nu

5. Exprimer la somme 1 2 ...n nS u u u    en fonction de n .

6. Déterminer la limite de la suite  nS . Est-elle convergente ?

6-37 : Suite linéaire et aires de triangles

Soit la suite (un) définie par son premier terme u1= 25

8 et par la relation 1

3 25

4 8 n nu u   .

Partie I

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite (un).

2. En utilisant une représentation graphique adaptée émettre quelques conjectures sur le comportement de (un) : sens de variation, limite.

3. Soit la suite (vn) définie par 25

2 n nv u  .

a. Montrer que (vn) est une suite géométrique.

b. Déterminer le terme général vn en fonction de n.

c. En déduire le terme général un en fonction de n.

4. Etudier la limite de la suite (un).

Partie II

On considère un triangle ABC isocèle rectangle tel que BA = BC = 5.

On divise ce triangle en 4 triangles isocèles rectangles obtenus en joignant les milieux des côtés et on numérote 1 le triangle central (Etape 1).

Chacun des 3 triangles non numérotés est alors divisé en 4 triangles isocèles rectangles obtenus comme précédemment et on numérote 2 le triangle central comme précédemment. Il y a donc 3 triangles numérotés 2 (Etape 2).

Après trois étapes, on obtient la figure ci-dessous contenant 1 triangle numéroté 1, 3 triangles numérotés 2 et 9 triangles numérotés 3.

1

A B

C

Etape 1

1

2 2

2

A B

C

Etape 2

1

2 2

2

3 3 3 3

3 3

3 3

3

A B

C

Etape 3

Pour tout entier n différent de 1, on désigne par an l’aire de la surface totale de tous les triangles numérotés de 1 à n après n étapes.

1. Calculer l’aire du triangle ABC.

2. a. La différence a2 − a1 représente l’aire des triangles numérotés 2. La différence 1 25

2 a représente

l’aire restante (non numérotée) à l’étape 1. Combien vaut le rapport 2 1

1

25

2

a a

a

?

b. La différence a3 − a2 représente l’aire des triangles numérotés 3. La différence 2 25

2 a représente

l’aire restante (non numérotée) à l’étape 2. Combien vaut le rapport 3 2

2

25

2

a a

a

?

3. En déduire alors que 1 3 25

4 8 n na a   .

4. En déduire la limite vers laquelle tend l’aire numérotée lorsqu’on poursuit à l’infini le numérotage.

6-38 : Suite récurrente - 2

Soit la suite (un) définie par 1 0 1 1

n n

n

u u et u

u   

1. Calculer les 10 premiers termes de un .

2. Si un  0, on pose 1

n n

t u  . Calculez les 10 premiers termes de la suite tn .

3. Trouvez une expression de tn en fonction de n, puis de un en fonction de n.

6-39 : Suite récurrente - 3

Soit la suite ( )nu définie par u0 et 1 2 1

1

n n

n

u u

u

 

1. Pour quelle(s) valeur(s) de u0 a-t-on un constante ?

2. On prend u0 = 2.

a. Calculer les 5 premiers termes de la suite.

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