Exercices - les suites - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S19 May 2014

Exercices - les suites - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices de sciences mathématique sur les suites - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les Suite récurrente, L’algorithme de la racine carrée, Les lettres de Gaston.
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b. Soit la fonction 2 1

( ) 1

x f x

x

  

. Tracer sa courbe représentative C ainsi que la droite D(y=x).

c. Représenter graphiquement la construction des premiers points de la suite un et conjecturer son comportement (sens de variation,majorant, minorant,limite).

6-40 : Suite récurrente – 4 (c)

On définit la suite nu par son premier terme 0u et la relation de récurrence :

1

6

2

n n

n

u u

u

  

1. Montrer qu’il existe deux valeurs a = 2 et b = –3 de 0u tels que la suite nu soit constante

2. Soit 6

( ) 2

x f x

x

  

; après avoir étudiée f sur , tracer sa courbe représentative ainsi que la droite y = x

sur l’intervalle [0 ; 5] et représenter les premiers termes de nu (on prendra 0 0u  ).

Conjecturer le comportement de un (sens de variation, limite).

3. Montrer que si 0u est différent de a et b, il en est de même de nu (faire une démonstration par

récurrence).

4. Calculer 1

1

n

n

u a

u b

 en fonction de

n

n

u a

u b

 . En déduire la nature de la suite

n n

n

u a v

u b

  

. Donner

l’expression de vn en fonction de n puis celle de un . Calculer la limite de un quand n tend vers +.

Correction

1. nu est constante :   2

1

6 2 6 6 0

2

n n n n n n n n n

n

u u u u u u u u u

u

           

 , équation du second

degré qui a les solutions a = 2 et b = –3 de 0u tels que la suite

2.

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Le tracé avec le tableur. Voir http://laroche.lycee.free.fr/telecharger/divers/suite_recurrente.xls

Comportement de un : pas monotone, tend vers 2.

3. Supposons donc un différent de 2 et −3.

On aura par exemple 1 6

2 2 6 2 4 2 2

n n n n n

n

u u u u u

u

         

 ce qui est impossible. Même

chose pour 3nu   .

4. 1 1 1

6 6 2 4 2

2 2 2 21 1 1

6 6 3 6 4 12 4 3 4 4 3

2 2

n n n

n n n n n n n n

n n nn n n n

n n

u u u

u a u u u u u a v v

u u uu b u u u b

u u

 

    

                          

 

.

La suite nv est géométrique de raison 1

4  , de premier terme 0v (qui dépend de 0u ) donc

0

1

4

n

nv v  

    

. Comme on a

    2 3 2 3 2

3 2 3 2 1 3 2 3 1 1

n n n n n n n n n n n n n n n

n n n

u v v v v u u v u v u u v v u

u v v

                       

;

il reste à remplacer…

On remarque que nv tend vers 0 (suite géométrique de raison q telle que 1

1 4

q   ) et donc que nu

tend vers 0 2

2 1 0

 

 .

6-41 : L’algorithme de la racine carrée

Un algorithme de calcul de a (algorithme de Héron, déjà connu des Babyloniens) consiste à utiliser la

suite récurrente 1 1

2 n n

n

a u u

u

      

de premier terme u0 quelconque et positif.

1. Vérifier graphiquement que un converge.

2. Montrer que si u0 est positif, u1 est forcément supérieur à a puis montrer que tous les un sont

supérieurs à a .

3. Montrer que la suite un est décroissante ; conclure quand à la convergence de un.

4. Faire l’application numérique pour a=2.

5. On prend 1a  .

a. Montrer que pour tout n , 2 21 1 1

( ) ( ) 22

n n nu a u a u a a

      .

b. Montrer par récurrence que   2

0

1

2

n

nu a u a  

     

.

c. En supposant que 0 2u a  , au bout de combien d’itérations sera-t-on sûr que nu est une valeur

approchée de a à 910 près ?

6-42 : Récurrence sur deux termes

On considère la suite (un) définie par : 0 1

1 1

0, 1

7 8n n n

u u

u u u 

  

  .

1. Montrer que la suite sn définie par 1n n ns u u  est une suite géométrique dont on précisera la raison.

En déduire sn en fonction de n.

2. On pose ( 1)nn nv u  et on considère la suite tn définie par tn=vn+1vn. Exprimer tn en fonction de sn.

3. Exprimer vn puis un en fonction de n (on pourra calculer de deux manières la somme 0 1 ... nt t t   .

4. Déterminer lim 8

n

nn

u

 .

6-43 : Coccinelles

On sait tous qu’il y a des années à coccinelles et d’autres sans ! On se propose d’étudier l’évolution d’une population de coccinelles à l’aide d’un modèle utilisant la fonction numérique f définie par

f(x) = kx(1 − x),

k étant un paramètre qui dépend de l’environnement (k réel).

Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur à un million.

L’effectif des coccinelles, exprimé en millions d’individus, est approché pour l’année n par un nombre réel un, avec un compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l’année zéro il y a 300 000 coccinelles, on prendra u0 = 0,3.

On admet que l’évolution d’une année sur l’autre obéit à la relation un+1 = f(un), f étant la fonction définie ci-dessus.

Le but de l’exercice est d’étudier le comportement de la suite (un) pour différentes valeurs de la population initiale u0 et du paramètre k.

1. Démontrer que si la suite (un) converge, alors sa limite l vérifie la relation f(l) = l.

2. Supposons u0 = 0,4 et k = 1.

a. Etudier le sens de variation de la suite (un).

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 1nu  .

c. La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

d. Que peut-on dire de l’évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ?

3. Supposons maintenant u0 = 0,3 et k = 1,8.

a. Etudier les variations de la fonction f sur [0 ; 1] et montrer que 1 1

0 ; 2 2

f    

       .

b. En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence,

– montrer que, pour tout entier naturel n, 1

0 2

nu  ;

– établir que, pour tout entier naturel n, un+1 > un.

c. La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

d. Que peut-on dire de l’évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ?

4. On a représenté sur les feuilles annexes la fonction f dans les deux cas étudiés ci-dessus ainsi que la droite d’équation y = x. Le troisième graphique correspond au cas où u0 = 0,8 et k = 3,2.

a. Illustrer sur les deux premiers graphiques les résultats trouvés en 1. et 2. en laissant les traits de construction et en faisant apparaître en abscisse les valeurs successives u0, u1, u2,. . .

b. En utilisant la même méthode, formuler une conjecture sur l’évolution de la population dans le troisième cas.

1er cas : u0 = 0,4 et k = 1.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

2e cas : u0 = 0,3 et k = 1,8.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

3e cas : u0 = 0,8 et k = 3,2.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

6-44 : Les lettres de Gaston (c)

On définit la suite ( )nu par 0 1 3

2000, 200 4

n nu u u   .

1. Dans un repère de votre choix, représenter les droites d’équation respectives y x et 3

200 4

y x  ,

puis les premiers termes de la suite ( )nu .

2. On pose pour tout n 800n nv u  . Montrer que la suite ( )nv est géométrique. En déduire l’expression

de nu en fonction de n et la limite de ( )nu . Au bout de combien de temps a-t-on 810nu  ?

3. Gaston L, garçon de bureau aux éditions Dupuis, se plaint à sa dulcinée : « Voyez-vous, m’oiselle Jeanne, tous les jours je sais traiter le quart de mon courrier en retard, mais il m’arrive 200 lettres de

plus chaque matin .» « Monsieur Gaston, vous arriverez bien à trouver une solution, vous êtes si intelligent… » Oui, mais quelle solution, sachant qu’hier soir il y avait 2000 lettres sur le bureau de notre héros ?

4. La question a. est indépendante de ce qui précède

a. Si ( )nx est une suite croissante, on définit ( )ny par 0 1...

1

n n

x x x y

n

  

 . Montrer que ( )ny est croissante

et que pour tout n on a n ny x . Que peut-on dire pour une suite ( )nx décroissante (on ne justifiera pas

ses affirmations).

b. On appelle nM la quantité de lettres qu’il y eu en moyenne sur le bureau de Gaston pendant les n

premiers jours (en comptant comme jour 0 le soir où il y avait 2000 lettres). Exprimer nM en fonction

de n. Quel est le sens de variation de  nM . La suite  nM est-elle convergente ?

Généralisation : On considère une suite v donnée (???) et la suite u dont le terme général un est la

moyenne arithmétique :

1

1 n

n k

k

u v n

  .

A partir du calcul des premiers termes et d’une représentation graphique, on demande de conjecturer une expression de un en fonction de n, que l’on demande de démontrer.

Correction

1.

0

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500 2000 2500

2. 800n nv u  .  1 1 3 3 3

800 200 800 800 600 4 4 4

n n n n nv u u v v          .

On a donc 0 0 800 2000 800 1200v u     et 3

1200 4

n

nv  

    

puis 3

800 1200 800 4

n

n nu v  

      

.

n un n un

0 2000 9 890,1016235

1 1700 10 867,5762177

2 1475 11 850,6821632

3 1306,25 12 838,0116224

4 1179,6875 13 828,5087168

5 1084,765625 14 821,3815376

6 1013,574219 15 816,0361532

7 960,1806641 16 812,0271149

8 920,135498 17 809,0203362

A n = 17 on a 810nu  .

3. Le pauvre Gaston L. n’arrivera jamais à éliminer son courrier en retard… : il en restera toujours au moins 800. Et m’oiselle Jeanne sera bien déçue…

4. a. Remarquons que :  0 0 ...

... 1 1

n n n n

x x y x x n y

n

       

 ; cherchons 1ny  :

  10 1 1 1

1...

2 2

n nn n n

n y xx x x x y

n n

 

     

  .

Si ny est croissante on a 1n ny y  d’où  

   1 1 1 1

1 2 2

n n n n n n n n

n y x y n y x n y x y

n

  

         

 .

Comme ( )nx est croissante, on a  0 1 1 1 1 1... ... 1n n n n nx x x x x x n x           donc

  10 1 1

1...

1 1

nn n n

n xx x x y x

n n

 

    

  . CQFD.

En fait on avait    

0 1

1 ... ... 1

1

n n n n n n n n

n x x x x x x x n x y x

n

           

 .

Voici un exemple sur une suite décroissante : 1 0,9n nx x  .

n xn 0

n

k

k

x

 0

1

1

n

k

k

x n

  

0 10 10 10

1 9 19 9,5

2 8,1 27,1 9,03333333

3 7,29 34,39 8,5975

4 6,561 40,951 8,1902

5 5,9049 46,8559 7,80931667

6 5,31441 52,17031 7,45290143

7 4,782969 56,953279 7,11915988

8 4,3046721 61,2579511 6,80643901

9 3,87420489 65,132156 6,5132156

10 3,4867844 68,6189404 6,23808549

11 3,13810596 71,7570464 5,97975386

12 2,82429536 74,5813417 5,73702629

13 2,54186583 77,1232075 5,50880054

14 2,28767925 79,4108868 5,29405912

15 2,05891132 81,4697981 5,09186238

16 1,85302019 83,3228183 4,90134225

17 1,66771817 84,9905365 4,72169647

18 1,50094635 86,4914828 4,55218331

19 1,35085172 87,8423345 4,39211673

20 1,21576655 89,0581011 4,24086196

21 1,09418989 90,152291 4,09783141

22 0,9847709 91,1370619 3,96248095

La suite ny semble également décroissante.

On peut remarquer simplement que ny est la moyenne des termes de nx .

b.  0 1 0 1 0 1 800 1... 800 800 ... 800 ...

1 1 1 1

n n n n

nu u u v v v v v v M

n n n n

               

    ;

or nv est géométrique donc 11 1

0 1 0

1 1 (3 / 4) 3 ... 1200 4800 1

1 1/ 4 4

nn n

n

q v v v v

q

                   

d’où

11 0,75 4800 800

1

n

nM n

  

 .

Comme nu est décroissante, nM doit être également décroissante. La suite converge également : le

terme 11 0,75n tend vers 1, 11 0,75

1

n

n



 tend vers 0 donc nM tend vers 800.

6-45 : Suite récurrente

On considère la suite nu définie par 0

1

1

8

(2 )n n n

u

u u u

 

   

.

1. a. Calculer 1u et 2u .

b. Tracer dans un repère orthonormal la courbe représentative P de la fonction f : ( ) (2 )f x x x  ainsi

que la droite d (y = x).

c. Utiliser d et P pour construire sur l’axe des abscisses les points 1 2 3, ,A A A d’abscisses respectives

1 2 3, ,u u u .

2. a. Montrer par récurrence que 0 1nu  .

b. Montrer que nu est croissante.

3. On considére la suite 1n nv u  .

a. Montrer que 21n nv v  .

b. Montrer par récurrence que 20 n

nv v . En déduire l’expression de nv puis celle de nu .

c. Déterminer la limite de nv puis celle de nu .

6-46 : Le nombre d’or

Les questions Q1, Q2, … sont à rédiger classiquement sur une copie.

Les questions T1, T2, … sont à traiter à l’aide d’un tableur et à faire vérifier par le professeur.

1ère partie : définition du nombre d’or

Le nombre d’or est le nombre irrationnel noté par la lettre grecque  (prononcer phi) et égal à

1 5

2 

  .

Q1. Donner une valeur approchée à 10 – 6 près du nombre d’or  .

T1. Donner une valeur approchée à 10 – 12 près du nombre d’or  .

2ème partie : construction géométrique du nombre d’or

Construire un carré ABCD de côté 1 et marquer le milieu I de [AB].

Tracer le cercle de centre I et de rayon IC ; il coupe la demi-droite [AB) en E. Construire le rectangle AEFD.

Q2. Calculer la valeur exacte de IC puis démontrer que 1 5

AE DF 2

   .

NB :le rectangle AEFD est appelé rectangle d’or car le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d’or.

3ème partie : le nombre d’or solution d’une équation

Q3. Montrer que le nombre d’or  est solution de l’équation 2 1 0x x   .

Q4. Démontrer alors que l’inverse de l’opposé de ce nombre  est aussi solution de cette équation.

4ème partie : Fractions en cascade

On considère la suite de fractions : 1 2 3 4 3

1 1 1 2 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...

12 1 1

2

F F F F F

       

Q5. Simplifier ces fractions et en donner une valeur approchée à 10 – 6 près.

Q6. Reprendre les calculs en remplaçant 2 par 1.

T2. Sur un tableur, saisir un nombre A positif dans la cellule A1.

Dans la cellule A2, marquer « = 1 + 1/A1 », puis recopier vers le bas jusqu’à la ligne 30.

Observer les décimaux obtenus et comparer au nombre d’or.

NB : On demandera l’écriture des nombres décimaux avec 12 décimales.

T3. Recommencer en remplaçant A par un autre nombre positif.

5èmepartie : la suite de Fibonacci

Léonard de Pise, plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci (1175-1250), était un commerçant et un grand voyageur. Son livre Liber abbaci, qui est principalement consacré aux calculs commerciaux, est aussi un recueil de petits problèmes dont celui très célèbre sur l’évolution d’une population de lapins qui l’amène à introduire la suite de nombres entiers suivants :

- les deux premiers termes sont 0 et 1,

- chaque terme suivant est la somme des deux termes précédents ;

voici donc les 7 premiers termes : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Q7. a. Continuer cette suite jusqu’au 15ème terme.

b. Calculer le quotient du 12ème terme par le 11ème, puis le quotient du 13ème terme par le 12ème, puis le quotient du 14ème par le 13ème et enfin le 15ème par le 14ème. Que constate-t-on ?

T4. a. À l’aide d’un tableur, calculer les trente premiers termes de la suite de Fibonacci.

b. Calculer la suite des quotients obtenus en divisant un terme par son précédent. Que constate-t-on ?

6ème partie : les puissances de

Q8. a. Vérifier que 2 1   .

b. Montrer que 3 2 1   en partant de l’égalité 3 2    et en remplaçant 2 par 1  . Montrer

de la même façon que 4 3 2   .

c. Exprimer de la même façon 5 , 6 et 7 en fonction de  .

Q9. Montrer que 11 1 

   ; exprimer de même 2 , 3 et 4 en fonction de  .

7. Divers

7-47 : Polynomes de Bernoulli

1. Rappeler la démonstration de : 1 ( 1)

1 2 3 ... 2

n n S n

       .

2. Démontrer par récurrence que 2 2 22 ( 1)(2 1)

1 2 ... 6

n n n S n

       puis que 3 3 3 23 11 2 ...S n S     .

L’obtention de ces formules n’a rien d’évident : la première était connue d’Euclide, la deuxième d’Archimède car il s’en sert pour calculer des volumes, la troisième des Arabes, et la formule générale a été obtenue par Jakob Bernoulli vers 1720.

3. On regarde une méthode de calcul de volume utilisant la formule pour S2. Cette méthode est appelée méthode d’exhaustion (mise en forme un peu plus moderne…).

On veut calculer le volume d’un cône ; pour cela on le découpe en n tranches de hauteur h

n h est la

hauteur SO. Soit R le rayon du cercle de base (Oa0), le volume du cône sera compris entre une série de tranches plus larges que lui et une série de tranches moins larges que lui. On note mk et pk les extrémités de la base de la tranche n° k.

a. Calculer le volume de la tranche extérieure numéro k et celui de la tranche intérieure en fonction de h,

k, n, R et la largeur de la base k km p .

b. Montrer que 2 1k k k

m p R n

    

  .

bo ao

p

qn

m

S

O

c. Appelons un la somme des tranches supérieures, vn celle des tranches inférieures et V le volume

cherché : n nu V v  avec  2 2 20 0 1 1 1 1... 4

n n n

h u m p m p m p

n       et

 2 2 21 1 2 2 ... 4

n n n

h v m p m p m p

n     . Montrer

que 2 2 2

2 2

2 3 2

1 2 ... 1 2 ... ( 1)(2 1) ( 1) 2 1 .

6 n

h n n n n n n n v R n R h

n nn n n  

                      

d. En déduire que 2 1

3 V R h .

4. Pour S3 le mathématicien arabe Al-Karagi (10ème siècle ap. J.-C.) utilise la méthode suivante.

On note 1 2 3 ...na n     et dans un repère orthonormal ( ; , )O u v on construit les carrés n n nOA B C de

côté na .

a. Faire la figure et représenter les carrés pour n = 1, 2, 3 et 4.

b. Calculer l’aire du carré n n nOA B C puis celle du polygone 1 1 1n n n n n nA A B C C B   .

c. Conclure.

5. Une méthode presque générale : nous allons calculer 4 4 44 1 2 ...S n    en utilisant une méthode qui

peut se réemployer, mais qui ne donne pas vraiment de formule.

a. Déterminer un polynôme P de degré 5 tel que 4( 1) ( )P x P x x   .

b. En écrivant la relation 4( 1) ( )P k P k k   et en ajoutant toutes ces relations, montrer que 4S

s’exprime à l’aide de S1, S2 et S3.

c. Donner l’expression de S4 en fonction de n.

7-48 : Série harmonique

Montrer que la suite de terme général

1

1 n

n

p

u p

 diverge vers  .

7-49 : Une somme

Soient 1..( )i i na  , n réels strictement positifs. Montrer que 2

1 1

1 .

n n

i i

a n a   .

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