Exercices - modélisation mathématique - correction 24, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices - modélisation mathématique - correction 24, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Université Bordeaux I

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Exercices de modélisation mathématique - correction 24. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite numérique repère orthonormal.
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PondicherySmars2003.dvi

[ Baccalauréat S Pondichéry avril 2003\

EXERCICE 1 4 points

On considère la suite numérique (un ) définie sur N par :

u0 = a, et, pour tout entiern, un+1 =un (2−un )

a est un réel donné tel que 0< a < 1.

1. On suppose dans cette question que a = 1

8 a. Calculer u1 et u2.

b. Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l’inter- valle [0 ; 2], la droite (d) d’équation y = x et la courbe (Γ) représentative de la fonction : f : x 7→ x(2− x).

c. Utiliser (d) et (Γ) pour construire sur l’axe des abscisses les points A1 , A2, A3 d’abscisses respectives u1, u2, u3.

2. On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l’intervalle ]0 ; 1[.

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0<un < 1.

b. Montrer que la suite (un ) est croissante.

c. Que peut-on en déduire ?

3. On suppose à nouveau dans cette question que a = 1

8 . On considère la suite

numérique (vn) définie sur N par :

vn = 1−un .

a. Exprimer, pour tout entier n, vn+1 en fonction de vn .

b. En déduire l’expression de vn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (un ).

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Première partie

On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante :

(E) z3+2z2−16= 0.

1. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme : (z−2)

(

az2+bz+c )

= 0, où a, b et c sont trois réels que l’on déterminera.

2. En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives

zA =−2−2i, zB = 2 et zD =−2+2i.

2. Calculer l’affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

3. Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angle − π

2 et F l’image de C

par la rotation de centre D et d’angle π

2 .

a. Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF.

b. Placer les points E et F.

4. a. Vérifier que : zF− zA

zE− zA = i.

b. En déduire la nature du triangle AEF.

5. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de

centre I et d’angle − π

2 .

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

Première partie ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA]. Soit α un réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe sur laquelle on raison- nera. Cette figure sera jointe à la copie. d1 est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle α. d2 est l’image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d’angle α. d3 est l’image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d’angle α. A1 est le point d’intersection de d1 et d3, B1 celui de d1 et d2 et C1 celui de d2 et d3.

1. On appelle H le point d’intersection de (BC) et d1. Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables.

2. En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sont semblables.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

A - Construction de la figure

1. Placer les points A(−4−6i), B(14), C(−4+6i), A1(3−7i), B1(9+5i) et C1(−3−i).

2. Calculer les affixes desmilieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure.

3. Montrer que A1, I, B1 sont alignés.

On admettra que B1, J, C1 d’une part et C1, K, A1 d’autre part sont alignés.

4. Déterminer une mesure en radians de l’angle (

−→ IB ,

−−→ IB1

)

.

On admettra que (

−−→ KA ,

−−→ KA1

)

=

π

4 et que

(

−→ JC ,

−−→ JC1

)

=

π

4 .

5. Quelle est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle π

4 ?

B - Recherche d’une similitude directe transformant ABC en A1B1C1

On admet qu’il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C en A1, B1 et C1.

1. Montrer que l’écriture complexe de s est z ′ =

(

1

2 +

1

2 i

)

z + 2− 2i, où z et z

désignent respectivement les affixes d’un point et de son image par s.

2. a. Déterminer le rapport et l’angle de s.

b. Déterminer l’affixe du centreΩ de s.

Pondichéry 2 mars 2003

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

3. Que représente le pointΩ pour ABC?

Le candidat joindra cette figure à sa copie

A B

C

A1

B1

C1

I

JK d1

d2

d3

α

α

α

PROBLÈME 11 points

On considère la fonction numérique f définie sur R par :

f (x)= x2ex−1− x2

2 .

Le graphique ci-dessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l’af- fiche une calculatrice dans un repère orthonormal. Conjectures À l’observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous pouvoir faire concernant a. le sens de variations de f sur [−3 ; 2] ? b. la position de la courbe par rapport à l’axe (xx) ? Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les complèter.

Partie A : contrôle de la première conjecture

1. Calculer f ′(x) pour tout réel x, et l’exprimer à l’aide de l’expression g (x) où g est la fonction définie sur R par g (x)= (x+2)ex−1−1.

2. Étude du signe de g (x) pour x réel.

a. Calculer les limites de g (x) quans x tend vers +∞, puis quand x tend vers −∞.

Pondichéry 3 mars 2003

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

b. Calculer g ′(x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.

c. En déduire le sens de variations de la fonction g , puis dresser son tableau de variations.

d. Montrer que l’équation g (x)= 0 possède une unique solution dans R. On note α cette solution. Montrer que 0,20<α< 0,21.

e. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

3. Sens de variations de la fonction f sur R.

a. Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de f ′(x).

b. En déduire le sens de variations de la fonction f .

c. Que pensez-vous de votre première conjoncture ?

Partie B : contrôle de la deuxième conjoncture

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l’axe (xx).

1. Montrer que f (α)= −α

3

2(α+2) .

2. On considère la fonction h définie sur l’intervalle [0 ; 1] par h(x)= −x3

2(x+2) .

a. Calculer h′(x) pour x élément de [0 ; 1], puis déterminer le sens de varia- tions de h sur [0 ; 1].

b. En déduire un encadrement de f (α).

3. a. Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe C avec l’axe (xx).

b. Préciser alors la position de la courbeC par rapport à l’axe des abscisses.

c. Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?

Partie C : tracé de la courbe

Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie Γ de C cor-

respondant à l’intervalle [−0,2 ; 0,4], dans le repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

avec les

unités suivantes : — sur l’axe des abscisses 1 cm représentera 0,05. — sur l’axe des ordonnées 1 cm représentera 0,001.

1. Recopier le tableau suivant et complèter celui-ci à l’aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme n×10−4 (n entier relatif).

x −0,2 −0,15 −0,1 −0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 f (x)

2. Tracer alors Γ dans le repère choisi.

Partie D : calcul d’aire

On désire maintenant calculer l’aire du domaine D délimité par la courbe Γ, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1− ln2.

1. À l’aide d’une double intégration par parties, déterminer une primitive sur R de la fonction :

x 7→ x2ex .

2. En déduire une primitive F sur R de la fonction f .

3. Calculer alors, en unités d’aire, l’aire du domaine D puis en donner une va- leur approchée en cm2.

Pondichéry 4 mars 2003

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