Exercices non classés, Exercices de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices non classés, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de mathématiques sur une liste d'exercices non classés, dont l’adaptation aux nouvelles maquettes est, pour certains, franchement inadaptée et, pour d’autres, à discuter. Les principaux thèmes abordés sont les ...
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Atelier_question_de_cours

D’après les documents l’Académie de Clermont-Ferrand des journées interacadémiques de Grenoble – Décembre 2003 Lyon, février - mars 2004

Une liste d’exercices, non classés, dont l’adaptation aux nouvelles maquettes est, pour certains, franchement inadaptée et, pour d’autres, à discuter

Avertissement : les premiers exercices de la liste sont, pour la plupart, inadaptés aux programmes actuellement en vigueur. Leur formulation est souvent discutable mais elle respecte les textes originaux. Exercice A1 (Liban – Série mathématiques – 1966)

Enoncer et démontrer les théorèmes de Poncelet relatifs à la parabole. Exercice A2 (Liban – Série mathématiques – 1966)

Caractère de divisibilité par 11. Exercice A3 (Liban – Série mathématiques – 1966)

Trouver, à partir de la définition de la dérivée, la dérivée de y = sin x. On suppose connu que x

xsin tend vers 1

lorsque x, exprimé en radians, tend vers 0. Exercice A4 (Liban – Série mathématiques – 1967)

Trouver, à partir de la définition de la dérivée, la dérivée de la fonction y = cos(ax + b), où x est la variable

indépendante et a et b des constantes. On supposera que la limite de x

xsin , lorsque x, exprimée en radians, tend

vers 0, est connue. Exercice A5 (Montpellier – Mathématiques élémentaires – 1967)

a) Qu’appelle-t-on barycentre du système de trois points de l’espace, A, B, C, respectivement affectés des coefficients 1, 2, 3 ? Application : On donne quatre points de l’espace, A, B, C et D. Déterminer géométriquement l’ensemble des

points M tels que 0)MAMD).(MC3MB2MA( =+++ . b) On suppose maintenant que les quatre points A, B, C et D ont pour coordonnées, dans un repère d’origine O,

A(+2, -2, +3), B(+ 2

1 ,-2,-3), C(+3, 0, -3), D(-4, +2, +3). Donner l’équation de l’ensemble des points M

caractérisés comme précédemment. Exercice A6 (Reims – Mathématiques élémentaires – 1967)

Sachant que X

XLog a pour limite 0 quand X → +∞ (résultat du cours, concernant le logarithme népérien, qu’on ne

démontrera pas ici), en déduire que : a) xLog x tend vers 0 quand x tend vers 0 par valeurs positives ; b) x.ex tend vers 0 quand x → - ∞.

Exercice A7 (Liban – Série mathématiques – 1967)

Etablir les formules qui permettent de transformer en produit la somme de deux sinus et la somme de deux cosinus. Exercice A8 (Nantes – Mathématiques et technique – 1967)

On sait que l’ensemble des homothéties-translations forme un groupe pour le produit des transformations ponctuelles. Rappeler la signification de ce théorème.

Le théorème subsiste-t-il : a) pour l’ensemble des homothéties (H) de centre O dont le rapport est un nombre rationnel strictement

positif ; b) pour l’ensemble des homothéties (Hn) de centre O donné, de rapport n, où n est un entier relatif différent de

zéro ?

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D’après les documents l’Académie de Clermont-Ferrand des journées interacadémiques de Grenoble – Décembre 2003 Lyon, février - mars 2004

Question de cours du baccalauréat (session de février 1960 – sections A’, C, M et M’)

Le candidat doit traiter l’une des trois questions suivantes, au choix : Exercice A9

Somme et produit des racines d’une équation du second degré. Recherche de deux nombres ayant pour somme et pour produit deux nombres donnés s et p.

Exercice A10

Etudier le signe du trinôme .33x4x5 2 ++−

Exercice A11

Géométrie cotée : condition nécessaire et suffisante pour que deux droites soient parallèles. Question de cours du baccalauréat (session de février 1960 – sections technique A)

Le candidat doit traiter l’une des trois questions suivantes, au choix :

Exercice A12

Condition nécessaire et suffisante pour que deux nombres x’ et x’’ aient pour somme S et pour produit P.

Exercice A13

Descriptive : intersection d’une droite et d’un plan. Méthode : épure et notice explicative, le plan étant défini par ses traces.

Exercice A14

Variation et représentation graphique de la fonction : )2x3x(2y 2 +−= Question de cours du baccalauréat (session de février 1960 – section mathématiques)

Le candidat doit traiter l’une des trois questions suivantes, au choix :

Exercice A15

Géométrie descriptive : un plan P quelconque est déterminé par une horizontale et une frontale. Un Point (a,a’) est situé hors du plan. Déterminer la distance de ce point au plan P.

Exercice A16

Etablir les formules de transformation en produits de la somme et de la différence de deux sinus et de deux cosinus. Application : Résoudre l’équation : cos x + cos 3x = sin x + sin 5x. Placer sur le cercle trigonométrique les extrémités des arcs correspondant aux solutions trouvées.

Exercice A17

Discuter, selon les valeurs de m, le nombre des racines de l’équation : cos x + 3 sin x = m.

Déterminer effectivement ces racines pour m = - 2 , et placer sur le cercle trigonométrique les Extrémités des arcs correspondants. Question de cours du baccalauréat (session de février 1960 – section technique et économique)

Le candidat doit traiter l’une des trois questions suivantes, au choix :

Exercice A18

Dérivée d’un produit de deux fonctions de la même variable, et dérivables. Application : dérivée de y = cos x × sin x.

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D’après les documents l’Académie de Clermont-Ferrand des journées interacadémiques de Grenoble – Décembre 2003 Lyon, février - mars 2004

Question de cours du baccalauréat (session de février 1960 – section technique et économique) (suite)

Exercice A19

Enoncer les résultats connus relatifs aux propriétés simples, totales et composées. Application : une urne A contient 6 boules blanches et 5 noires ; une urne B contient 9 boules blanches et 4 noires. On tire une boule de chacune : quelle est la probabilité pour qu’on obtienne deux boules de la même couleur ? Même question pour deux boules de couleurs différentes.

Exercice A20

Rappeler, sans démonstration, les formules donnant les expressions de cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b). En déduire les formules donnant cos(a+b+c) en fonction des sinus et cosinus des arcs a, b, c, puis cos 3a en fonction de cos a et enfin sin 3a en fonction de sin a.

Exercice A21

On se propose de démontrer la propriété : Quels que soient les réels strictement positifs a et b : ln ln lnab a b= + , où ln désigne la fonction logarithme népérien. Soit a un réel strictement positif donné.

On considère la fonction F définie sur ] [0 ; + ∞ par : ( ) lnF x ax= 1. Justifier que la fonction F est dérivable sur ] [0 ; + ∞ et déterminer sa fonction dérivée F’ sur cet intervalle. 2. Que peut-on dire des fonctions F et ln ? 3. En déduire une relation entre les fonctions F et ln. 4. Calculer F(1). 5. Conclure. Exercice A22

CONGRUENCES ET MULTIPLICATION (spécialité)

1°) On rappelle la définition suivante : si x∈Ζ, y∈Z et n est un entier supérieur ou égal à 2, on dit que x est congru à y modulo n et on note x ≡y [n] lorsque n divise x – y.

a) Démontrer que la relation de congruence est compatible avec la multiplication, c’est-à-dire que si a ≡ a’ [n] et b ≡ b’ [n] alors ab ≡ a’b’ [n].

b) En déduire que si x ≡ y [n] alors, pour tout entier naturel k, xk ≡ yk [n].

2°) Application : a) Déterminer un entier naturel k tel que 167k ≡ – 1 [33].

b) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 1672004 par 33. Exercice A23 Etude simultanée de deux suites Les questions A, B et C sont indépendantes.

A. )(et )( nn vu sont deux suites définies par :

  

 

+ =

+ =

  

= =

+

+

4

3 3

2

:entier pour tout et 12

1

1

1

0

0

nn n

nn n

vu v

vu u

n v

u

Une étude de ces deux suites est faite ci-dessous. Enoncer soigneusement les définitions ou théorèmes utilisés dans les cadres grisés, numérotés de 1) à 6).

 Pour tout entier n, )( 12

1

12

84

12

93

3

2

4

3 11 nn

nnnnnnnn nn uv

vuvuvuvu uv −=

+ −

+ =

+ −

+ =− ++

1) Définition d’une suite géométrique de raison q :

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D’après les documents l’Académie de Clermont-Ferrand des journées interacadémiques de Grenoble – Décembre 2003 Lyon, février - mars 2004

Donc la suite )( nn uv − est géométrique de raison 12 1

.

2) Théorème donnant la limite de la suite géométrique )( nq q est un réel :

Donc la suite )( nn uv − converge vers 0 puisque 112 1

1 <<− .

 De plus 1100 =− uv donc pour tout n, 0≥− nn uv . 3) Définition d’une suite croissante :

0)( 3

2

3

3

3

2 1 ≥−=−

+ =−+ nn

nnn nn uv

uvu uu donc la suite )( nu est croissante.

4) Définition d’une suite décroissante :

0)( 4

1

4

4

4

3 1 ≤−=−

+ =−+ nn

nnn nn vu

vvu vv donc la suite )( nv est décroissante.

5) Définition de deux suites adjacentes :

6) Théorème des suites adjacentes :

Puisque de plus, on a montré précédemment que la suite )( nn uv − converge vers 0, les suites )( nu et )( nv sont adjacentes et convergent vers la même limite l.

 On appelle )( nt la suite définie pour tout entier n par nnn vut 83 += .

nnnnnnnnnn tvuvuvuvut =+=+++=+= +++ 83)3(2)2(83 111 Donc la suite )( nt est constante.

Pour tout n, 99128130 =×+×== ttn . Puisque les trois suites sont convergentes, les règles d’opérations sur les limites nous permettent d’affirmer que :

n n

n n

n n

vut +∞→+∞→+∞→

×+×= lim8lim3lim soit lll 118399 =×+×= .

Les suites )( nu et )( nv convergent vers 9. B. La démonstration du théorème 6) nécessite plusieurs étapes. Démontrer seulement l’étape suivante :

Si deux suites )(et )( nn vu vérifient :

)( nu est croissante •)( nv est décroissante •pour tout Ν∈n , nn vu ≤ •la suite )( nn uv − converge vers 0

alors elles sont convergentes et ont la même limite.

C. Voici trois affirmations. Pour chacune d’elles, vous direz si elle est vraie ou fausse, en justifiant votre réponse.

1. Si deux suites )(et )( nn vu vérifient )( nu est croissante et )( nv est décroissante, alors elles sont convergentes et ont la même limite.

2. Si deux suites )(et )( nn vu vérifient )( nu est croissante et la suite )( nn uv − converge vers 0, alors elles sont convergentes et ont la même limite.

3. Si deux suites )(et )( nn vu vérifient )( nv est décroissante et minorée et la suite )( nn uv − converge vers 0, alors elles sont convergentes et ont la même limite.

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