Exercices - probabilités - statistiques - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S19 May 2014

Exercices - probabilités - statistiques - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices de sciences mathématique sur les probabilités - statistiques - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Pièces de monnaie, Première langue, Dés spéciaux.
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Il a devant lui quinze paquets identiques et doit retrouver les quatre appareils "tropicalisés". Ils les ouvre jusqu'à ce qu'il ait obtenu les quatre.

1. Il ouvre quatre paquets. Quelle est la probabilité pour qu'il retrouve les quatre appareils "tropicalisés" ?

2. Quelle est la probabilité pour qu'il soit obligé d'ouvrir au moins cinq paquets ?

25. Pièces de monnaie

On lance deux pièces de monnaie bien équilibrées. Le joueur paye m francs. Si le lancer amène deux FACE, on gagne 30 €. Si le lancer amène un FACE, on gagne 5 €. On appelle X le gain net obtenu, gain exprimé en fonction de m.

Déterminer la probabilité d’obtenir deux FACE et d’obtenir un FACE.

Dresser la loi de probabilité de la variable X.

Calculer l’espérance mathématique de X, espérance de gain net.

Quel doit être le prix de la partie pour que ce soit un jeu équitable ?

26. Tennis

Un joueur de tennis réussit sa première balle de service à 75%. Il réussit sa seconde balle de service à 90%.

Quelle est la probabilité pour que ce joueur commette une double faute (service perdu à la seconde balle) ?

27. Première langue

Dans une classe , tous les élèves pratiquent deux langues : soit l’anglais et l’allemand, soit l’anglais et l’espagnol.

Dans la classe, 60% des élèves pratiquent l’allemand, 75% sont des filles et la moitié des élèves du cours d’espagnol sont des garçons. On interroge, au hasard, un élève de cette classe.

Déterminer la probabilité des événements suivants :

G : « l’élève est un garçon ».

E : « l’élève pratique l’espagnol ».

F  A : « l’élève est une fille germaniste ».

1. Déterminer la probabilité d’interroger un élève germaniste, sachant que c’est une fille. Puis d’interroger une fille sachant que c’est un élève germaniste.

2. On interroge un garçon. Quelle est la probabilité pour qu’il pratique l’allemand ?

28. Urnes

On dispose de deux urnes U1 et U2. L’urne U1 contient trois boules blanches et une boule noire, l’urne U2 contient une boule blanche et deux boules noires.

On lance un dé non truqué. Si le dé donne un numéro inférieur ou égal à 2, on tire une boule dans l’urne U1 ; sinon on tire dans l’urne U2 (les boules sont indiscernables au toucher).

Calculer la probabilité de tirer une boule blanche (on pourra faire un arbre.).

29. Cinéma

Une entreprise produisant des pellicules pour le cinéma dispose de 3 ateliers n°1, n°2, n°3, qui fabriquent respectivement 20%, 50% et 30% de la production de l’entreprise.

Pour chaque pellicule on note :

E l’événement : la pellicule est produite par l’entreprise (E est l’événement certain).

B1 l’événement : la pellicule est produite par l’atelier n°1.

B2 l’événement : la pellicule est produite par l’atelier n°2.

B3 l’événement : la pellicule est produite par l’atelier n°3.

D l’événement : la pellicule est défectueuse.

Sachant que les proportions des pellicules défectueuses fabriquées par les ateliers n°1, n°2, n°3 sont respectivement égales à 0,05 ; 0,03 et 0,04 ; Calculer :

1. la probabilité pour qu’une pellicule produite soit défectueuse.

2. la probabilité pour qu’une pellicule défectueuse provienne de l’atelier n°1.

30. Football

Un match de football doit opposer dimanche l’équipe des Joyeux démolisseurs à celle des Artistes inconscients. Par temps sec, la probabilité de victoire des Artistes inconscients est 0,6. Par temps de pluie elle tombe à 0,3. Hélas pour les Artistes, le match se déroule à Londres et la probabilité pour qu’il pleuve dimanche est de 0,9 (seulement 0,9 car c’est la saison sèche en Angleterre).

Quelle est la probabilité de victoire pour les Artistes inconscients ?

En fait on apprend en lisant le journal le lundi, que les Artistes inconscients ont gagné le match. Quelle est la probabilité pour qu’il est plu le dimanche ?

31. Dés spéciaux

On lance simultanément deux dés sur une table. L'un est cubique ; ses faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'autre est tétraédrique ; ses faces sont numérotées 1, 2, 3, 4. Les deux dés sont homogènes (c'est-à- dire que pour chacun des deux dés, les faces ont la même probabilité d'apparition).

On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque lancer associe la valeur absolue de la différence des nombres figurant sur les deux faces en contact avec la table.

1. Quelles sont les valeurs prises par X ?

2. Déterminer la loi de probabilité de X.

3. Calculer l'espérance mathématique et la variance de X.

32. Une population active

Dans une région, 45 % de la population active sont des hommes. On sait aussi que 5 % des femmes et 4 % des hommes de cette population active sont au chômage. On interroge au hasard une personne de cette région. On note F l'événement "être une femme", H l'événement "être un homme", et C l'événement "être au chômage".

1. Quelles sont les probabilités p(H) ; p(F) ; pF(C) ; pH(C) ?

2. En remarquant que C = (CF) (CH), calculer la probabilité pour qu'un individu pris au hasard soit au chômage.

3. Sachant que la personne interrogée est au chômage, quelle est la probabilité pour que ce soit une femme ? un homme ?

33. Tir à l’arc

Un tireur à l’arc envoie 10 flèches sur la cible. On admet que chaque tir est indépendant des précédants et que la probabilité d’atteindre la cible est pour chaque tir égale à 0,75.

1. Calculer la probabilité :

a. d’atteindre exactement 7 fois la cible ;

b. d’atteindre au moins une fois la cible ;

c. d’atteindre au moins 5 fois la cible.

2. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de fois où la cible est atteinte.

a. Calculer l’espérance de X.

b. Calculer la probabilité des événements : (X  1) et (3 < X  5).

Les résultats seront arrondis à la troisième décimale.

34. Etude de marché

Lors d’une étude de marché, la société PAPEX a étudié la répartition de ses clients selon deux critères, leur besoin en papier et leur possibilité de financement :

35% de ses clients utilisent moins de 12 tonnes de papier par an et, parmi ceux-ci, 80% sont solvables.

40% de ses clients utilisent de 12 à 20 tonnes de papier par an et, parmi ceux-ci, 85% sont solvables.

pour le reste de ses clients, seuls 10% ne sont pas solvables.

1. La société choisit au hasard l’un de ses clients. Quelle est la probabilité

a. pour qu’il utilise plus de 20 tonnes de papier ?

b. pour qu’il ne soit pas solvable ?

2. La société établit un échantillon de 20 de ses clients choisis au hasard. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de clients solvables parmi ces 20 clients.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et son espérance.

b. Donner la probabilité de l’événement (X  4).

On donnera les résultats à la cinquième décimale.

35. Statistiques - 1

Au dernier devoir commun de mathématiques en PS2, un élève était absent : le professeur a relevé ci- dessous les 17 notes de ses élèves.

élève 1

élève 2

élève 3

élève 4

élève 5

élève 6

élève 7

élève 8

élève 9

élève 10

élève 11

élève 12

élève 13

élève 14

élève 15

élève 16

élève 17

9 12 3 10 9 14 15 14 8 11 5 11 14 17 5 15 7

1. La médiane de cette série est égale à :  9,5  10  10,5  11.

2. Le premier quartile Q1 est égal à :  7  7,5  8  8,5  9.

3. Le tableau de la série de notes avec effectifs est :

4. La valeur exacte de la moyenne de la série de notes est égale à :

 10  179

17  10,53  10,52.

5. La variance de la série de notes est environ égale à :

 3,92  15,4  4,05  16,4.

6. A ce dernier devoir commun, la série des résultats de la 1°S1 est résumée par le diagramme en boîte suivant :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 L’écart interquartile de la série des résultats de PS1 est égal à :

 3,5  16  8  4,5.

7. Sachant que la moyenne en 1°S1 pour les 30 élèves présents est 10,2, la moyenne globale sur les deux classes est environ égale à :  10,36  10,75  10,32  10,5.

Notes 3 5 7 8 9 10 11 12 14 15 18

Effectifs 1 2 1 1 2 1 1 2 3 2 1

Notes 4 5 7 8 9 10 11 12 14 15 17

Effectifs 1 2 2 1 1 1 1 2 3 2 1

Notes 3 5 7 8 9 10 11 12 14 15 17

Effectif 1 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1

Notes 3 5 7 8 9 10 11 12 14 15 17

Effectif 1 2 1 2 2 1 2 2 3 2 1

36. Statistiques - 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42

Voici ci-dessus le diagramme en boîte d’une série statistique.

1. a. Quelle est la médiane de cette série ?

b. Quels sont les premier et troisième quartiles ?

c. Quelles sont les valeurs minimale et maximale de cette série ?

2. a. Déterminer l’écart interquartile.

b. Recopier et compléter les phrases :

« Au moins ….. % des valeurs sont inférieures ou égales à 15 » ;

« Au moins ….. % des valeurs sont inférieures ou égales à 32 » ;

« Environ …. % des valeurs sont comprises entre 15 et 32 ».

37. Statistiques - 3

On simule 1000 fois l’expérience qui consiste à lancer deux dés. On note à chaque lancer, la somme des deux nombres obtenus. On obtient les résultats suivants.

Somme xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

nombre de lancers ni

28 64 76 102 148 170 142 106 72 74 18

ni xi

ni (xix )2

1. Compléter la ligne des ni xi et calculer la moyenne x .

2. Compléter la dernière ligne du tableau et calculer la variance V à 210 près.

3. En déduire une valeur approchée de l’écart type  à 110 près.

38. L’écartement interpupillaire.

Afin de centrer les lunettes en face des pupilles, les opticiens s’intéressent à « l’écartement interpupillaire ». Il est ainsi mesuré en millimètres.

On a mesuré cet écartement, désigné par e, pour 50 femmes et les résultats statistiques sont données ci- dessous avec une répartition en classes :

e (mm) [55 ; 56,5[ [56,5 ; 58[ [58 ; 59,5[ [59,5 ; 61[ [61 ; 62,5[ [62,5 ; 64[ [64 ; 65,5[ [65,5 ; 67[ [67 ; 68,5[ [68 ; 70[

Nombre 2 3 4 7 9 8 7 5 3 2

1. Donnez les différents indices de position et de dispersion de cette série.

2. Dessinez la boîte à moustache de cette série. Vous donnerez évidemment le détail des calculs

3. Déterminez le pourcentage des valeurs de la série comprises entre –2 et +2 .

39. Les bébés

La série suivante donne la taille en cm des 550 nourrissons nés dans une maternité dans l'année.

Taille xi 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

Nombre 20 31 52 56 65 90 80 82 38 18 9 9

a. Donnez les différents indices de position et de dispersion de cette série.

b. Dessinez la boîte à moustache de cette série. Vous donnerez évidemment le détail des calculs

40. Radar

Sur une autoroute, des relevés de vitesse par radar, effectués sur 2400 véhicules, ont permis de dresser le tableau ci-contre. Les vitesses sont exprimées en km/h.

1. A partir de ces données, on peut répartir les vitesses des véhicules par classes. Quelle est l'amplitude de chaque classe ? Quelles sont les différentes classes ?

2. Calculer la fréquence et l'effectif de chaque classe.

3. Combien de véhicules dépassent la vitesse maximale autorisée (130 km/h) ?

4. Quelles sont les classes modale et médiane ?

41. Etude d’un minimum

On considère la série statistique formée des nombres 2, 3 et 5. On sait que la fonction qui au réel x associe : (x – 2)2 + (x – 3)2 + (x – 5)2 est minimale pour la moyenne de cette série.

On se propose de déterminer pour quelle valeur de x la fonction f qui à x associe :

x – 2 + x – 3 + x – 5

est minimale.

1. Calculer la moyenne et la médiane de la série 2, 3 et 5

2. Montrer que pour x > 2 : x – 2 = x – 2. De la même façon simplifiez x – 2 pour x < 2.

3. Faites la même chose pour les autres valeurs absolues.

4. En déduire l’expression simplifiée de f(x) sur des intervalles bien choisis (on pourra faire un tableau).

5. En déduire le sens de variation de f sur .

6. Tracer la représentation graphique de f.

7. Montrer que f admet un minimum pour une valeur de x, que l’on déterminera. Que retrouve-t-on ?

42. Jetons sans remise

Une urne contient n jetons : 5 jetons rouges et  5n jetons noirs, numérotés de 1 à n , 5n  .

Un joueur tire au hasard, successivement et sans remise, deux jetons de l'urne.

1. a. Soit  l'ensemble de tous les tirages. Déterminer le nombre de tirages possibles.

b. On note np la probabilité de l'événement A : " les deux jetons sont de couleurs différentes ". Montrer

que 2

10 50 n

n p

n n

 

 .

2. Le joueur gagne 2 euros s'il réalise A et perd 1 euro dans le cas contraire. On note X le gain algébrique du joueur.

2. a. Donner la loi de probabilité de X et vérifier que   2

2

31 150n n E X

n n

   

 .

b. Déterminer la composition de l'urne pour que le jeu soit équitable. Conclure.

Vitesse v Pourcentage des véhicules

v < 60 0

v < 70 3

v < 80 8

v < 90 18

v < 100 30

v < 110 48

v < 120 78

v < 130 86

v < 140 92

v < 150 100

3. a. Étudier les variations de la fonction f définie sur  5 ;  par   2

5 10

x f x

x x

 

 .

b. En déduire la ou les valeur(s) de n pour la quelle le joueur a le plus de chances de réaliser A . Préciser la probabilité correspondante.

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