Exercices - Produit scalaire - 1° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S19 May 2014

Exercices - Produit scalaire - 1° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices de sciences mathématique sur le produit scalaire - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Divers, Trigonométrie, Hexagone, Coordonnées polaires, Calculs de base.
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Classe de 1° S

Géométrie Produit scalaire

1. Divers 1-1 : QCM 1 (c) 1-2 : QCM 2 (c)

2. Trigonométrie 2-3 : Divers 2-4 : Hexagone 2-5 : Triangle rectangle 2-6 : Coordonnées polaires 2-7 : pi/12 2-8 : Calculs de base

3. Dans le plan 3-9 : Basique 1 3-10 : Basique 2 3-11 : Basique 3 3-12 : Basique 4 3-13 : Basique 5 3-14 : Basique 6 (c) 3-15 : Basique 7 3-16 : Rectangle (c) 3-17 : Angles d’un triangle (c) 3-18 : Carré 3-19 : Parallélogramme 1 3-20 : Parallélogramme 2 (c) 3-21 : Projections (c) 3-22 : Produit scalaire 3-23 : Triangle et projection 3-24 : Rectangle et projection 3-25 : Carré qui tourne (c) 3-26 : Cercles 1 3-27 : Cercles 2 (c) 3-28 : Cercles 3 (c) 3-29 : Cercles 4 (c) 3-30 : Cercles 5 3-31 : Cercles 6 3-32 : Cercle et droites 3-33 : Cercle et droites (c)

3-34 : Courbe (c) 3-35 : Lignes de niveau 1 (c) 3-36 : Lignes de niveau 2 (c) 3-37 : Lignes de niveau 3 (c) 3-38 : Fonction scalaire de Leibniz 3-39 : Distance d’un point à une droite (c) 3-40 : Distance d’un point à une droite 2

4. Droites 4-41 : Menelaüs 4-42 : Médianes orthogonales 4-43 : Droite d’Euler (c) 4-44 : Droite d’Euler - 2 (c) 4-45 : Angles et droites (c) 4-46 : Cercle inscrit, cercle circonscrit 4-47 : Puissance d’un point - Géométrique 4-48 : Puissance d’un point - analytique (c) 4-49 : Classique (c)

5. Relations métriques 5-50 : Un triangle très spécial (c) 5-51 : cos et sin 5-52 : 3 carrés (c) 5-53 : Repérage 5-54 : Projeté orthogonal (c) 5-55 : Equation trigo (c)

6. Dans l’espace 6-56 : Plan et plan (c) 6-57 : Distance d’un point à un plan (c) 6-58 : Distance d’un point à un plan 2 (c) 6-59 : Plan et tétraèdre 6-60 : Tétraèdre (Bac S 2003, Polynésie) 6-61 : Routes aériennes (Bac S 2000,Centres ét.) 6-62 : Tétraèdre et p.s 6-63 : Espace / VF (c) 6-64 : Pyramide (c)

1. Divers

1-1 : QCM 1 (c)

Une seule réponse est juste, pas de justification, les réponses fausses font perdre la moitié des points.

1. Si 1

sin 3

x  alors

a. aucun calcul n’est possible sans connaître x. b. 2 2

sin 2 9

x  c. tanx =1.

d. 2

cos 3

x  . e. 7

cos2 9

x  .

2. La longueur du cercle circonscrit à un triangle équilatéral de côté a est :

a. 2 a b. 2

3

a c.

3

3

a d

2

3

a e. 2 a

3. Soient 1

et 2

m m u v

m

            

m est un réel. Déterminer m pour que les vecteurs soient colinéaires.

a. m = 0 b. 1

2

2 3,

2 3

m

m

 

  c.

1

2

1

3

m

m

 

 d.

1

2

1 3

1 3

m

m

 

 

e. Pas de valeur de m possible.

Correction

1. Si 1

sin 3

x  alors (e) : 2 1 7

cos2 1 2sin 1 2 9 9

x x     .

2. La longueur du cercle circonscrit à un triangle équilatéral de côté a est : le rayon est la distance entre

le centre de gravité et un des sommets, soit les 2/3 de la hauteur : 2 3 3

3 2 3 a a ; le périmètre est alors

3 2 2

3 r a  ; la seule réponse possible est (d) car 23 ( 3) …

3. 1

et 2

m m u v

m

            

sont colinéaires si leur déterminant est nul, soit

2 21 0 2 2 0 2 2 0 2

m m m m m m

m

          ;

on a 24 8 12 (2 3)     d’où les deux racines 1

2

1 3

1 3

m

m

 

  . Réponse (d).

1-2 : QCM 2 (c)

Une seule réponse juste à chaque question. Si vous répondez bien vous gagnez 0,5 point, si vous répondez mal vous perdez 0,25 point, si vous ne répondez pas , 0 point.

question 1.

Si a = 315° alors

a a = 5,497 rad b a = 7 rad

c a = 102,8 rad d a = 4/7 rad

question 2.

Si la diagonale d’un carré vaut 8 alors le périmètre du carré vaut :

a 16 2 b 32 2

c 8 2 d 32

question 3.

ABC est un triangle équilatéral. O est son centre de gravité, que vaut l’angle BOC ?

a 30° b 120°

c 60° d 180°

question 4.

Les droites passant par (−1, 2) et de coefficient directeur 1/m ont pour équation :

a mxy+2m+1=0 b m(xy)+2=m

c my=x+2md xmy+2m+1=0

question 5.

Quel est le rayon d’un cercle dont un arc qui mesure 50° a pour longueur 3 cm ?

a 20 cm b 2 cm

c 10,8 cm d aucune des

réponses

question 6.

Un polyèdre en forme de ballon de football possède 32 faces : 20 sont des hexagones réguliers et 12 des pentagones réguliers. Combien ce solide a-t-il de sommets ?

a 72 b 56

c 90 d 60

question 7.

Un libraire achète un livre 70 €, le vend 80 €, le rachète 90 € et le revend 100 €. Quel est son bénéfice ?

a 10 € b 0 €

c 20 € d 100 €

question 8.

Une table à trois pieds repose sur un plan. Peut-elle être bancale ?

a oui b non

c ça dépend d aucune idée

correction

question 1 : Réponse b : si a = 315° alors 7

2 2 4 4

a k k  

      en radians.

question 2 : Réponse a : si la diagonale d’un carré vaut 8 alors le côté du carré vaut 8

2 et le périmètre

du carré vaut 8 32 32 2

4 16 2 22 2

   .

question 3 : Réponse b : si ABC est un triangle équilatéral, O son centre de gravité alors l’angle BOC vaut 120°.

question 4 : Réponse d : une droite passant par (−1, 2) et de coefficient directeur 1/m a pour équation

1 2 ( ( 1)) 2 1 2 1 0y x my m x my x m

m              ; il reste à changer les signes.

question 5 : Réponse c : on rappelle que la longueur de l’arc d’un cercle de rayon R intercepté par un

angle  en radians est R . On convertit 50° en radians : 50

50 180

   , l’arc intercepté a pour longueur

50 3 .180 3 10,8

180 50 R R  

 

    .

question 6 : Réponse d : chaque pentagone est séparé d’un autre pentagone par des hexagones ; il y a autant de sommets que de sommetes de pentagones, soit 5.12 = 60.

question 7 : Réponse c : côté dépenses il y a 70+90 = 160, côté recettes il y a 80+100 = 180 ; son gain total est 20 €…

question 8 : Réponse b : trois pieds sont toujours sur un plan…

2. Trigonométrie

1. Compléter le tableau suivant

Degrés 0° 30° 45° 60° 90° 180°

Radians

Cos

Sin

Tan

Cotan

2. Compléter les égalités suivantes à l’aide de cos x et sin x (excepté pour la 1°).

cos2x + sin2x = 1 + tan2x =

cos ( – x) = sin ( – x) = tan ( – x) =

cos ( 2

 − x) = sin (

2

 − x) =

3. Placer les angles suivants sur un cercle : 45° ; 150° ; 270° ; 120° ; 210° ; 300°.

4. Donner la mesure principale des angles suivants puis placer ces angles sur le cercle trigonométrique.

a. 5 ; 8 ; 3

4

 ;

9

4

 ;

23

3

 ;

51

6

b. − ; −3 ; − 3

5

 ; −

8

6

 ; −

35

3

 ; −

291

7

 .

5. A l’aide des deux figures ci-contre retrouver les valeurs exactes de cos 30°, sin 30°, cos 60°, sin 60°, cos 45° et sin 45°.

carrétriangle équilatéral

6. Soit ABC un triangle tel que l’angle B vaut 4

 et l’angle C vaut

3

 . H et K sont les projetés

orthogonaux de A sur (BC) et de C sur (AB). De plus BH = 6.

a. Faire la figure. Quelle est la mesure en radians de l’angle A ? En degrés ? Placer le point M d’abscisse

curviligne A sur le cercle trigonométrique.

b. Donner une valeur approchée de cos, sin et tan de A avec le cercle (inutile d’utiliser la calculatrice…).

c. Calculez les longueurs AH, AC, BC, CK et AK.

d. Déduisez en les valeurs exactes de cos( A ), sin( A ) et tan( A ).

7. ABC est un triangle quelconque dont les angles sont aigus ; S est l’aire de ABC, H le projeté orthogonal de C sur [AB]. On pose AB = c, AC = b, BC = a.

a. Montrer que S = 1

2 bc sin A ; donner deux autres relations similaires exprimant S. En déduire la

« formule des sinus » : sin

a

A =

sin

b

B =

sin

c

C .

b. Application numérique : ABCD est un quadrilatère tel que 30ACB  , 70BCD   , 25ADB  et

60ADC   . La longueur CD vaut 8. Calculer les longueurs CA et CB à 10−3 près.

2-3 : Hexagone

On considère un repère orthonormé ( ; , )O i j . ABCDEF est

un hexagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.

1. Donner deux mesures des angles orientés

suivants :(OA ; OB) , (OE ; OC) (vous ferez apparaître les

calculs nécessaires).

2. a. Citer deux angles de vecteurs ayant pour mesure 22

3

 .

b. Citer deux angles de vecteurs ayant pour mesure 31

3

  .

3. Placer sur le cercle trigonométrique le point G tel que

3 (OA ; OG)

8

   . Donner une mesure de l’angle

(OC ; OG) .

O

A

B C

D

E F

i

j

4. Recopier et compléter le tableau suivant :

Point M Angle  OI ; OM Abscisse du point M Ordonnée du point M B

C

D

E

F

5. H est le point tel que OH 2OF .

a. Calculer les coordonnées du vecteur OH dans le repère ( ; , )O i j .

b. Calculer OH et  ; OHi (coordonnées polaires de H).

2-4 : Triangle rectangle

On considère les points A, B, C, D et E tels que :  , 12

AB AC

  ,   2

, 3

AB AE

  et   11

, 12

AD AE

 .

Démontrer que le triangle ACD est rectangle en A.

2-5 : Coordonnées polaires

On considère le repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Soit A le point de coordonnées cartésiennes (2 ; –2). Quelles sont ses coordonnées polaires ?

2. Soit B le point de coordonnées polaires 5

2 2 ; 4

     

. Déterminer les coordonnées cartésiennes de B.

3. Quelle est la nature du triangle AOB ? Justifier.

2-6 : pi/12

1. Développer

2 6 2

4

     

, puis simplifier le résultat.

2. En considérant la relation liant cos 2a et cos2 a et en prenant 12

a   , montrer que

6 2 cos

12 4

   .

2-7 : Calculs de base

Cet exercice est composée de questions simples et indépendantes visant à tester vos connaissances sur le produit scalaire.

1. Déterminer l’ensemble des points  ;M x y du plan tels que 2 2 2 0x y x y    .

2. Déterminer une équation du cercle de centre  2 ; 3 et tangent à la droite d’équation 1y x  .

3. Soit  AB un segment de longueur 4 .

Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que 2 2 16MA MB  .

4. ABCD est un parallélogramme tels que 4AB  , 3AD  et 6AC  . Calculer .AB AC  

5. Sur la figure ci-contre,

A B

CD

J

I

1

ABCD est un carré de côté 1 , I et J sont les milieux respectifs de  DC et  BC . On note  la

mesure de l’angle IAJ .

Donner la valeur exacte de cos puis donner une valeur approchée de  à 1 degré près.

3. Dans le plan

3-8 : Basique 1

La figure ci-contre représente un rectangle ABCD tel que : AB = 5 et BC = 3 ; un triangle ABF équilatéral et un triangle BCE rectangle et isocèle en C. Le point H est le milieu du segment [AB].

Calculer les produits scalaires suivants :

1. AB AH ;

2. BC BE ;

3. AB AF ;

4. BD CE ;

5. BE BA ;

6. AD CE .

F

ED C

BA

3-9 : Basique 2

Sachant que les vecteurs u et v sont tels que 3u  , 7v  et 13u v  , calculer les produits scalaires

suivants :

1.  3u u v  .

2.   2

2u v .

3-10 : Basique 3

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O i j . Soient les points A(1 ; 1), B(4 ; 3) et C(−1 ; 6).

1. Calculer le produit scalaire .AB AC .

2. En déduire cos  , puis une valeur approchée de  en degré à 10−1 près.

3-11 : Basique 4

On considère un triangle ABC tel que AB = 4, AC = 6 et π

3 ABC  . Calculer BC.

3-12 : Basique 5

ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 7 et BC = 5.

1. Calculer le cosinus de l’angle ACB .

2. En déduire la valeur exacte du sinus de l’angle ACB .

3. On note I le milieu de [AB]. Calculer la longueur CI.

4. On note J le projeté orthogonal du sommet B sur le côté [AC]. Calculer la longueur BJ.

3-13 : Basique 6 (c)

Soit  un cercle de centre O(3, 1) et de rayon 5 et A le point de coordonnées (4, 3).

Vérifiez que A est un point du cercle et déterminer l'équation de la tangente à  passant par A.

Correction

L’équation de  est     22

3 1 5x y    .

Remplaçons x et y par les coordonnées de A :     2 2

4 3 3 1 1 4 5      . Ok !

La tangente à  passant par A est l’ensemble des points M du plan tels que . 0AM AO  , soit en

coordonnées : 4 4

. 0 4 16 3 9 0 4 3 25 0 3 3

x x y x y

y

                  

     .

3-14 : Basique 7

ABCD est un carré de côté a et DCE est un triangle équilatéral.

On s’intéresse au triangle BDE .

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. a. Calculer le produit scalaire AB DE en fonction de a. On pourra utiliser une projection orthogonale.

b. Calculer le produit scalaire DA DE en fonction de a .

c. En déduire l’égalité   2

1 3 2

a DB DE   .

B C

DA

E

d. Utiliser ce résultat pour calculer 2BE . On pourra décomposer BE en BD DE puis en déduire BE .

2. Calculer, en fonction de a , l’aire exacte des triangles :

a. ECD .

b. ECB (on pourra appliquer la formule des sinus).

c. En déduire que l’aire exacte du triangle EDB est égale à   2

1 3 4

a  .

3-15 : Rectangle (c)

EFGH est un rectangle, avec EH = a et 3

2 EF a ; M est le milieu de [FG] et K est défini par

1

3 HK HG ;

L est le projeté orthogonal de K sur (EM).

1. Calculer, en fonction de a, les produits scalaires : .EF EM et .EH KE .

2. En utilisant des relations de Chasles, montrer que 25

. 4

a EK EM  .

3. En exprimant d’une autre façon le produit scalaire .EK EM , en déduire la distance EL en fonction de a.

4. Déterminer une mesure en degrés de l’angle KEM .

Correction

L

K

M

G

F

H

E

1. 2

23 9. . 2 4

EF EM EF EF a a  

     

; 2. . ( )EH KE EH HE a a a     .

2.     21 3 1 5

. . . . . . 0 . . 0 2 2 2 4

a EK EM EH HK EF FM EH EF HK EF EH FM HK FM a a a a            .

3. Par projection sur (EM) : 2 2 9 1 10

. . . . 4 4 2

EK EM EL EM EL a a a EL    donc 25 2 10

. 4 410

a EL a

a   .

4. On calcule EK avec Pythagore, puis    

25

. 24cos , ,

. 2 45 10

2 2

a

EK EM EK EM EK EM

EK EM a a

      .

3-16 : Angles d’un triangle (c)

ABC est un triangle tel que AB = 7, BC = 5 et CA = 8. On note H le pied de la hauteur issue de B et G le centre de gravité du triangle.

1. Calculer les angles de ce triangle.

2. Calculer le produit scalaire .AB AC et en déduire la longueur AH.

3. Exprimer AG en fonction des vecteurs AB et AC , en déduire la longeur AG.

Correction

G

H

C

B

w=8v=7u=5

A

1. Avec Al-Kashi, on a immédiatement : 2 2 2 40 1

7 5 8 2.5.8.cos cos 60 80 2

C C C         . De même

on trouve 2 2 28 7 5 11

cos 31 2.8.7 14

A A  

     et 89B  .

2.   11

. . .cos , 7.8. 44 14

AB AC AB AC AB AC   , par ailleurs 44

. . 5,5 8

AB AC AH AC AH    .

3. 2 2 1 1 1 1

3 3 2 2 3 3 AG AI AB AC AB AC

       

  . On a alors

2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2012. . . . .49 .44 .64

3 3 9 3 3 9 9 9 9 9 AG AG AB AC AB AB AC AC

            

  .

D’où 201

3 AG  .

3-17 : Carré

On se donne un carré ABCD de côté a, ainsi que I, J, K et L les points tels que 1

4 AI AB ,

1

4 BJ BC ,

1

4 CK CD ,

1

4 DL DA .

1. Dans le repère  , ,A AB AD donner les coordonnées des points de la figure.

2. Montrer que (BL) est orthogonale à (AK).

3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection U de (BL) et (AK), V de (BL) et (CI), W de (CI) et (DJ), X de (DJ) et (AK).

4. Montrer que UVWX forme un carré. Quelle est son aire ?

X

W

V

U

L

K

J

I

C

D

BA

u=90

3-18 : Parallélogramme 1

Soit un parallélogramme ABCD tel que AB = 2BC. On note I le milieu de [AB] et J celui de [DC]. Soit a la longueur BC.

1. Calculer DI2 et IC2 en fonction de a et du cosinus de l'angle  ,AB AD . En déduire que le triangle DIC est rectangle.

2. Retrouver ce résultat sans calcul.

3-19 : Parallélogramme 2 (c)

1. En utilisant le théorème de la médiane, montrer que pour tout parallélogramme ABCD, on a :

 2 2 2 2 1

2 AB AD AC BD   .

2. Résoudre le système S : 7

12

x y

xy

  

 .

3. On considère un parallélogramme ABCD dont on connaît les longueurs des diagonales et un angle :

13BD  ; 37AC  et  = 60°. On note : x = AB et y = AD.

a. En utilisant le résultat de la question 1., montrer que : 2 2 25x y  (1).

b. En utilisant l’angle  , montrer que : 2 2 13x y xy   (2).

c. Montrer que le système constitué des équations (1) et (2) est équivalent au système S de la question 2.

d. Conclure quant aux dimensions du parallélogramme ABCD.

Correction

CD

BA

1. Ecrivons et développons :

    222 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 . 2 .

2 . 2 .

AB AB AC CB AC CB AC CB AC AD AB AD AD

AC AD AB AD AB AD AC AB AD

         

      

    222 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 . 2 .

2 . 2 .

AD AD AB BD AB BD AB BD AB BD AB BA AD

AB BD AB AD AB AD BD AB AD

         

       

ajoutons :  2 2 2 22 AB AD AC BD   .

2. ¨ 2127 7 7 12 0

12 12 12

x y x x x x

xy xy xy

        

       

, d’où les racines 4 et 3, ce qui donne les couples

solution :  4 ; 3 et  3 ; 4 .

3. On considère un parallélogramme ABCD dont on connaît les longueurs des diagonales et un angle :

13BD  ; 37AC  et  = 60°.

On note : x = AB et y = AD.

a. On remplace dans  2 2 2 2 1

2 AB AD AC BD   :  2 2

1 37 13 25

2 x y    .

b. Avec Al Kashi dans le triangle ABD :

2 2 2 2 2 2 212 . .cos 13 2 13 2

BD BA AD AB AD BAD x y xy x y xy           .

c.      

2 2

2 2 22 2

25 13 12 1213

2 25 24 25 4925

xy xy xyx y xy

x y xy x y x yx y

                 

              

.

Comme x et y sont des longueurs, l’équation   2

49x y  donne uniquement 7x y  .

d. On a donc les deux dimensions 4AB  et 3AD  ou le contraire.

3-20 : Projections (c)

Soit ABCD un rectangle tel que AB = 5 et AD = 3. On appelle A' et C' les projetés orthogonaux de A et C

sur (BD). En calculant de deux manières différentes le produit scalaire .AC DB calculez la distance A'C'.

Correction

Par projection, on a . ' '. ' '. ' ' 34AC DB A C DB A C DB A C     ; avec les coordonnées par exemple en

mettant B à l’origine : 5 0 0 5

. . 25 9 16 0 3 0 3

AC DB     

             

d’où 16 16

' ' 34 34

A C

  

.

3-21 : Produit scalaire

Soient A et B deux points du plan tels que AB = 5.

1. Construire C défini par . 10AB AC  et AC = 4.

2. Placer le barycentre D de (A, 12 ) et (B , −7 ) ainsi que le barycentre E de (A, 1) et (C, −3).

3. Calculer les produits scalaires .AB AD .AC AE et .AD AE . En déduire le produit scalaire .CD BE . Que représente la droite (DC) pour le triangle BED ?

3-22 : Triangle et projection

On considère un triangle OAB, rectangle en O, I le milieu de [AB] et H le projeté orthogonal de O sur [AB]. Les points P et Q sont les projetés orthogonaux de H respectivement sur [OA] et [OB].

Partie A

On considère un repère orthonormé ( ; , )O i j tel que A(4 ; 0) et B(0 ; 10).

1. Faire une figure. Que conjecture-t-on sur les droites (PQ) et (OI) ?

2. Déterminer des équations de (AB) et (OH).

3. En déduire les coordonnées de H.

4. Déterminer les coordonnées de P, Q et I.

5. Démontrer que les droites (PQ) et (OI) sont orthogonales.

Partie B. Cas général sans repère

1. Calculer OH AB . En déduire que OP OA = OQ OB .

2. Après avoir exprimé QP OA et PQ OB en fonction de OQ OB , les comparer.

3. Démontrer que les droites (PQ) et (OI) sont orthogonales.

Correction

Partie A

P

Q H

I

B

AO

1. (PQ) et (OI) semblent orthogonales.

2. (AB) : 4 0 4

0 10 40 4 0 5 2 20 0 0 10 0

x x y x y

y

          

  ,

(OH) : 4

OM.AB 0 0 4 10 0 2 5 0 10

x x y x y

y

              

   .

3. Coordonnées de H :

29 40 25 29 1,3

5 2 20 0 2 20 0 20 2 29 2 2

2 5 0 5 40 100 (5 / 2) (5 / 2) 3,7

2 29 29

y x y y y y

x y x y x y x

             

                

.

4. I apour coordonnées  2 ; 5 , P 100

; 0 29

     

et Q 40

0 ; 29

     

.

5. On fait le produit scalaire : 100 / 29 2 200 200

PQ.OI 0 40 / 29 5 29 29

            

.

Partie B. Cas général sans repère

1. OH.AB= OH.AO+ OH.OB= 0 , on a OH= OP+ OQ donc

0 OH.AB=OP.AO+ OQ.AO OP.OB+ OQ.OB= -OP.OA+ OQ.OB OQ.OB OP.OA    .

2. 0

QP OA QO OA OP OA OQ OB       , 0

PQ OB PO OB OQ OB OQ OB       , QP OA PQ OB   .

3.   1 1 1

QP OI PQ OA OB PQ OA PQ OB 0 2 2 2

         .

3-23 : Rectangle et projection

Soit ABCD un rectangle tel que AB = 6 cm et AD = 2 cm ; E

est le milieu de [BC] et F défini par 1

3 DF DC ; H est le

projeté orthogonal de F sur (AE).

1. En utilisant les égalités AF = AD DF et AE = AB BE ,

calculer AF . AE .

On détaillera et justifiera toutes les étapes du raisonnement.

H

F

E

D C

BA

2. Pour la suite de l’exercice, on admet que AF . AE = 14.

a. En calculant d’une autre manière le produit scalaire, déterminer la longueur AH.

b. En calculant d’une autre manière le produit scalaire, déterminer cos( )EAF .

3. Soit I le milieu de [FE] et G le centre de gravité du triangle AEF.

a. Montrer que 1

( ) 3

AG AE AF  .

b. En déduire la longueur AG.

3-24 : Carré qui tourne (c)

On considère la configuration obtenue à partir de deux carrés ayant un sommet commun (en gris) et de la construction de deux parallélogrammes (en blanc). Montrer que les centres des carrés et des parallélogrammes sont les sommets d’un carré.

P

O A

B

R

C

D

Q

S

On pourra se placer dans le repère ( ; , )O OA OB et prendre ( , )OA OD  .

Correction

Pour vérifier qu’on a bien un carré il suffit de vérifier qu’on a des angles droits et que les diagonales ont même longueur. Voir le fichier

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