Exercices - Produit scalaire - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S19 May 2014

Exercices - Produit scalaire - 2° partie, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercices de sciences mathématique sur le produit scalaire - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Cercles, Cercle et droites, Lignes de niveau, Fonction scalaire de Leibniz, Distance d’un point à un...
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http://laroche.lycee.free.fr/telecharger/1S/DM2_ex3_corrige.cha

Dans le repère ( ; , )O OA OB avec ( , )OA OD  on a les coordonnées des points : A (1 ; 0), B (0 ; 1),

D (cos; sin).

Pour C on a ( , ) 2

OA OC

  donc les coordonnées de C sont cos( ) sin 2

    et sin( ) cos

2

     .

On en déduit les coordonnées de P : 1 1

; 2 2

     

, de S : 1 cos sin

; 2 2

      

, de R :

cos sin sin cos ;

2 2

         

et de Q : sin 1 cos

; 2 2

      

.

On vérifie qu’on a un parallélogramme en vérifiant que le milieu de [PR] est également celui de [QS],

soit le point K 1 cos sin 1 sin cos

; 2 2

           

.

Pour simplifier les calculs dans la suite on multiplie tout par 2 ce qui ne changera rien au résultat final.

cos sin 1 2

sin cos 1

u PR

v

 

 

         

     ,

1 cos sin 2

sin 1 cos

v QS

u

 

 

          

     ; en fait ici lorsqu’on va calculer les

longueurs 2PR et 2QS les termes seront identiques et vaudront 2 2u v . Il est donc inutile de faire le

calcul ; de même on a 2 .2 0PR QS uv uv    . En fait ceci suffit : on a un losange dont les diagonales ont

même longueur, c’est un carré.

3-25 : Cercles 1

Soit (C) et (C') les cercles d'équations : 2 2 4 2 2 0x y x y     et 2 2 4 4 2 0x y x y     . Déterminez les

centres et les rayons de ces cercles. Sont-ils sécants ?

3-26 : Cercles 2 (c)

Soit le repère orthonormal  ; ,O i j et les points A(−15 ; −3), B(2 ; 14), C(−8 ; 14) et D(10 ; 2).

1. Déterminez une équation du cercle  passant par A, B et C. Vérifiez que D appartient à  (on pourra

chercher une équation de la forme 2 2 0x y ax by c     ).

2. Calculez cos( , )CA CB et sin( , )CA CB ainsi que cos( , )DA DB et sin( , )DA DB .

Pouvez vous trouver une relation entre ces angles ?

Correction

1. Si A est sur le cercle ses coordonnées vérifient l’équation du cercle :

    2 2

15 3 15 3 0 15 3 234 0a b c a b c             .

De même pour B et C : 2 14 200 0a b c    et 8 14 260 0a b c     . Il reste à résoudre le système :

15 3 234 0

2 14 200 0

8 14 260 0

a b c

a b c

a b c

         

     

ce qui donne a = 6, b = −4 et c = −156 d’où l’équation

2 2 6 4 156 0x y x y     .

On aurait pu chercher l’intersection de deux médiatrices du triangle ABC ce qui aurait donné les coordonnées du centre, etc.

On vérifie que D est sur  : 2 210 2 6 10 4 2 156 164 8 156 0          ; ok !

2.   . 7 10 17 0 7

cos , . 13 2 10 13 2

CA CB CA CB

CA CB

      

 ;

   det , 7 0 17 10 17

sin , . 13 2 10 13 2

CA CB CA CB

CA CB

     

 ;

  . 25 8 5 12 140 7

cos , . 5 26 4 13 20 13 2 13 2

DA DB DA DB

DA DB

      

  ;

et    det , 25 12 8 5 340 17

sin , . 20 13 2 20 13 2 13 2

DA DB DA DB

DA DB

        

  .

Conclusion les sinus et les cosinus sont opposés, les angles diffèrente de  :    , ,CA CB DA DB   .

3-27 : Cercles 3 (c)

On considère le cercle C d’équation 2 2 8 0x y x y     et le cercle C’ de centre O’(−1 ; 3

2 ) et de

rayon 17

2 .

1. Déterminez le centre O et le rayon r de C puis déterminez une équation de C’. Tracez les 2 cercles.

2. Calculez les coordonnées des points d’intersection de ces 2 cercles.

3. Soit A(1 ; 2). Vérifiez que A est un des points d’intersection de C et C’ si vous ne l’avez pas trouvé dans les solutions du 2. Déterminez les équations des tangentes à chacun des cercles au point A.

Correction

C : 2 2 8 0x y x y     ; C’ : centre O’(−1 ; 3

2 ) et rayon

17

2 .

1. 2 2 2 2

2 2 1 1 1 1 1 1 178 8 0 2 4 2 4 2 2 2

x y x y x y x y        

                               

et donc de centre

1 1 ;

2 2 O       

et de rayon 17

2 .

2. L’équation du second cercle est   2

2 2 23 171 2 3 1 0 2 4

x y x y x y  

            

. Il faut donc

résoudre :

2 2 2 2 2 2

2 2

2 3 1 0 2 3 1 0 (4 7) 2(4 7) 3 1 0

4 7 0 4 7 08 0

x y x y x y x y y y y y

x y x yx y x y

                      

           

,

soit 2 2 2 216 56 49 8 14 3 1 0 17 51 34 0 3 2 0y y y y y y y y y                .

On a donc les solutions 1 21, 2y y  d’où les valeurs de x : 1 23, 1x x   et les points A(1 ; 2) et

B(−3 ; 1).

3. On cherche la droite orthogonale à OA passant par A, soit

1 1/ 2 1 3 3 5 . 0 0 5 0 3 5 13 0

2 1/ 2 2 2 2 2

x OA AM x y x y

y

                 

    .

On refait la même chose avec O’ :

1 1 1 1 ' . 0 0 2 2 1 0 4 6 0

2 3 / 2 2 2

x O A AM x y x y

y

                 

    .

3-28 : Cercles 4 (c)

a. Montrer que l'équation 2 2 2 8 8 0x y x y     est celle d'un cercle (C) dont on précisera le centre et le

rayon.

b. Calculer les coordonnées des points d'intersection A et B de (C) avec la droite (D) d'équation

2 1 0x y   .

c. Déterminer les équations de la tangente (T) à (C) en A ainsi que l’équation de la tangente (T’) à (C) en B.

d. Déterminer l’angle entre (T) et (T’).

Correction

a. 2 2 2 2 2 22 8 8 0 ( 1) 1 ( 4) 16 8 0 ( 1) ( 4) 25x y x y x y x y                  est un cercle (C) de

centre K(1 ; 4) et de rayon 5.

b. 2 2 2 2 2 12 8 8 0 ( 2 1) 2( 2 1) 8 8 0 5 5 0

2 12 1 2 1 2 1

yx y x y y y y y y

x yx y x y x y

                           

                .

Les points d’intersection ont donc pour coordonnées : A(−3 ; 1) et B(1 ; −1).

c. Pour (T) On cherche la droite passant par A et orthogonale au vecteur KA :

3 1 3 . 0 0 4 12 3 3 0 4 3 9 0

1 4 1

x AM AK x y x y

y

                 

   

et pour (T’) : 1 1 1

. 0 0 5( 1) 0 1 0 1 4 1

x BM BK y y

y

              

    .

d. Il suffit de trouver l’angle entre les vecteurs normaux, soit  ,AK BK  ; on a

4 0 4 0 .

3 5 3 5det( , ). 15 3 20 4 cos , sin

. 5.5 25 5 . 5.5 25 5

AK BKAK BK

AK BK AK BK  

           

        ,

ce qui donne un angle d’environ 53°.

3-29 : Cercles 5

On considère dans un repère orthonormé ( ; , )O i j les points A(2 ; 1) et C(5 ; 3).

1. Calculer la distance AC.

2. Déterminer l’équation cartésienne du cercle  de centre A et passant par C.

3. a. Montrer que le point B de coordonnées  1 ; 2 3 1 appartient au cercle  .

b. Montrer que 32 8 3BC   .

4. Déterminer une valeur approchée en degré de l’angle BAC à 10−2 près.

5. Déterminer par le calcul l’autre point de  d’abscisse 1.

3-30 : Cercles 6

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O i j . On considère les points A(–2 ; 1), B(6 ; 2) et C(4 ;

5).

1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.

2. Déterminer l’équation du cercle de diamètre [AB].

3. Déterminer l’équation du cercle  circonscrit au triangle ABC.

4. Soit  le centre du cercle  . Déterminer les points d’intersection de la droite ( C ) et du cercle  .

3-31 : Cercles 7

Soit  un cercle de centre G(−2, 1) et de rayon 5 ; A le point de coordonnées (2, −2).

1. Donner l’équation de  et vérifiez que A est un point du cercle.

2. Déterminez l'équation de la tangente à  passant par A.

3. Soit ' l’ensemble des points tels que 2 2 20 16 64 0x y x y     . Préciser la nature de ' ainsi que

ses éléments caractéristiques. Dessinez le sur la figure.

4. Que pouvez-vous dire de  et ' ?

3-32 : Cercle et droites

Dans un plan, muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j , on considère les points :  2 ; 1A ,  5 ; 7B ,

 3 ; 1C  et  5 ; 5D .

On note  l’ensemble des points  ;M x y du plan tels que . 27AM AB et  le cercle de diamètre

 CD .

1. a. Déterminer une équation de  et  .

b. Vérifier que  1 ; 7H  est un point de  et que  1 ; 1E est un point de  .

c. Construire  et  .

2. a. Résoudre le système   :S 2 2

2 13 0

8 4 10 0

x y

x y x y

   

    

b. Que peut-on en déduire ?

3. Déterminer l’équation réduite de la tangente D à  au point E puis la tracer.

4. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de  avec les axes du repère.

3-33 : Cercle et droites (c)

On considère, dans un repère orthonormé ( ; , )O i j , les points A(1 ; −2), B(4 ; −1) et C(4 ; 4).

1. a. Déterminer une équation de la médiatrice D1 du segment [AB].

b. Déterminer une équation de la médiatrice D2 du segment [BC].

c. Déterminer les coordonnées du point d’intersection I des droites D1 et D2 .

d. Comment appelle-t-on le point I par rapport au triangle ABC ?

2. Soit le cercle (C) d’équation cartésienne 2 2 3 3 8 0x y x y     .

a. Déterminer les coordonnées du centre  du cercle (C) ainsi que son rayon.

b. Que remarquez-vous ?

c. Montrer que (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC.

Correction

1. a. D1 : K le milieu de [AB] a pour coordonnées 5 3

; 2 2

   

  d’où

5

3 15 32 . 0 0 3 0 3 6 0

3 1 2 2

2

x

KM AB x y x y

y

    

                   

.

b. D2 : J le milieu de [BC] a pour coordonnées 3

4 ; 2

     

d’où

4 0 3

. 0 0 5 0 2 3 03 5 2

2

x

JM BC y y y

                      

 

.

c. 3 6 0 3 / 2

3 / 2 3 / 2

x y x

y y

      

   .

d. Le point I est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

2. a. 2 2 2 2

2 2 3 9 3 9 3 3 503 3 8 0 8 0 2 4 2 4 2 2 4

x y x y x y x y        

                                

.

 a pour coordonnées 3 3

; 2 2

     

, le rayon du cercle est 50 5 2

4 2  .

b. I  .

c. Il suffit de calculer par exemple 2 2

3 3 1 49 50 1 2

2 2 4 4 4 A

               

    ; donc (C) est le cercle

circonscrit au triangle ABC.

3-34 : Courbe (c)

Quelle est la nature de la courbe C d’équation 2 22 1 2x x y y    ?

Correction

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 142 1 2 2 2 1 0 0

2 2 2 4 4 16 x x y y x y x y x y x y x y

                            

    .

Cette courbe est vide.

3-35 : Lignes de niveau 1 (c)

Construire un triangle isocèle ABC tel que AB = AC = 13 et BC = 10. On note G son centre de gravité.

1. Calculer les longueurs AG, BG et GC.

2. Montrer que pour tout point M du plan on a 2 2 2 2 2 2 23MA MB MC MG GA GB GC      .

3. Déterminer et construire l'ensemble des points du plan tels que 2 2 2 194MA MB MC   .

4. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que 2 2 22 0MA MB MC   .

Correction

G

KJ

I

A

CB

u=13

r=10

AB = AC = 13 et BC = 10, G le centre de gravité.

1. Avec Pythagore : 2 2 2 2

169 25 144 12 .12 8 3

AI AB BI AI AG          ;

2 2 2 25 16 41 41BG BI IG BG CG        .

2. 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ... 3 2 ( ) ...MA MB MC MG GA MG GA GB GC MG GA GB GC            

3. 2 2 2 2 23 64 41 41 3 146MA MB MC MG MG        donc l’ensemble de points cherché est

l’ensemble des points M tels que 2 23 146 194 16 4MG MG MG      , soit le cercle de centre G, de rayon 4.

4. 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 . 2 . 2 ( ) 338MA MB MC MA MA MA AB AB MA MA AC AC MA AB AC             .

L’ensemble cherché est l’ensemble des points M tels que 169

(2 ) 169 . 2

MA AI AM AI    . On se place

dans le repère ( , )A AI où le point M a pour abscisse x tel que 169

2 x  ; c’est la droite perpendiculaire à

(AI) passant par ce point.

3-36 : Lignes de niveau 2 (c)

1. Soient les points A(1 ; 1) et B(1 ; 0). Déterminer l'ensemble des points M(x ; y) tels que 2 2 10MA MB  . Représenter cet ensemble.

2. Soit A(5 ; 3) et B(2 ; 4). Déterminer par une équation l'ensemble des points M du plan tels que 2 2 2MA MB   . Tracez cet ensemble.

3. Soient A et B deux points du plan tels que AB = a . Déterminez l'ensemble des points M tels que 2.MA MB a .

Correction

1. A(1 ; 1), B(1 ; 0); 2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) ( ) 2 2 4 2 3MA MB x y x y x y x y              . On cherche donc

les points tels que 2

2 2 27 1 7 1 192 ( 1) 1 2 2 2 4 4

x y x y x y  

              

. C’est le cercle de centre

C (1 ; 1/2) et de rayon 19

2 .

2. A(5 ; 3), B(2 ; 4). 2 2 2 2 2 2(5 ) (3 ) (2 ) (4 ) 14 6 2MA MB x y x y x y            . L’ensemble cherché

est la droite d’équation 14 6 2 2 3 8 0x y x y        .

3. AB = a. 2 2. ( ) ( ) A B

A B A B A B A B

A B

x x x x MA MB x y x x x y y y x x y y

y y y y

                

    . Prenons le centre du

repère en I, milieu de [AB], les coordonnées A(−p ; 0) et B(p ; 0) où p = a/2 ; on a alors 2

2 2 2 2 2 25

4 4

a x y p a a a      , soit le cercle de centre I et de rayon

5

2 a .

3-37 : Lignes de niveau 3 (c)

Soient les points A(−1 ; 1) et B(0 ; 2).

1. Déterminer l'ensemble E des points M(x ; y) tels que 2 2 2MA MB AB  . Tracez cet ensemble.

2. Déterminer l'ensemble F des points M du plan tels que 2 2 2MA MB AB  . Tracez cet ensemble.

3. Déterminer l’intersection de E et F.

Correction

1.         2 2 2 22 2 2 2 21 1 0 2 2 2 2 2 6 6 2MA MB AB x y x y x y x y                  , soit

2 2 2 2 1 3 1 93 1 0 1 1

2 2 4 4 x y x y x y

                    

    ; c’est le cercle de centre

1 3 ;

2 2 I      

et de

rayon 1.

2.         2 2 2 22 2 2 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 0MA MB AB x y x y x y x y                    , soit

une droite orthogonale au vecteur AB .

3. Pour qu’il y ait intersection il faut que 2 2 2MB AB MA  et 2 2 2MB MA AB  , ce qui n’est possible

que si 0MB M B   . Comme B n’est ni dans E ni dans F l’intersection est vide.

3-38 : Fonction scalaire de Leibniz

Soit ABC un triangle, on pose : a = BC, b = AC et c = AB. On note A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés

     , ,BC AC AB et G le centre de gravité du triangle ABC.

1. a. Montrer que 2 2 2 2 1 1

2 2 GB GC GA BC   .

b. Après avoir écrit deux autres relations analogues, montrer que:  2 2 2 2 2 21 3

GA GB GC a b c     .

2. A tout point M du plan, on associe le réel :   2 2 2f M MA MB MC   .

a. Montrer que pour tout point M du plan,   2 ² ² ²

3 3

a b c f M MG

    .

b. Pour tout réel k, soit kL l’ensemble des points M du plan tels que  f M k . ( kL est la ligne de

niveauk de l’application 2 2 2:f M MA MB MC  ).

Déterminer suivant les valeurs du réel k, la nature de l’ensemble kL .

3. Calculer de deux façons différentes le carré scalaire   2

MA MB MC  et en déduire que

² ² ² 2 ' 3 ²

6

a b c MA MA MB MC MG

        

  .

4. On considère les points communs aux cercles de diamètres    'AA et BC . Montrer que lorsqu’ils

existent ces points appartiennent à un cercle   de centre G, dont on donnera le rayon en fonction de a, b et c. (on pourra utiliser le résultat du 3°).

Déterminer la valeur du réel k tel que   kL  .

3-39 : Distance d’un point à une droite (c)

Soient les points  2 ;1A  et  3 ; 2B du plan.

1. Montrez que le vecteur 1

5 n      

est orthogonal à AB . Déduisez-en que 5 7 0x y   est une équation

de la droite (AB).

2. Soit D le point de coordonnées (1 ; 1). Vérifiez que D n’est pas sur (AB).

On cherche la distance de D à (AB), soit la distance DHH est le projeté orthogonal de D sur (AB).

3. a. Montrez que le produit scalaire .DH n vaut −3 ; on posera que H a pour coordonnées (x ; y) et on utilisera le fait que H est sur (AB).

b. En utilisant le fait que DH est colinéaire à n , montrez que . . 26DH n DH  .

c. Déduisez-en la distance DH.

4. Proposez une méthode générale permettant de donner la formule donnant la distance d’un point

( ; )D DD x y à une droite d’équation 0ax by c   .

Correction

 2 ;1A  ,  3 ; 2B .

1. 5 1

. . 5 5 0 1 5

ABn           

    ; équation de (AB) :

2 1 . . 2 5 5 5 7 0

1 5

x AM n x y x y

y

                    

. Ok !

2. 1 5 7 3 0    donc D n’est pas sur (AB).

On cherche la distance de D à (AB), soit la distance DHH est le projeté orthogonal de D sur (AB).

3. a. 1 1

. . 1 5 5 5 4 1 5

x DH n x y x y

y

                   

;

or H est sur (AB) donc vérifie 5 7 0 5 7x y x y       ; en remplaçant on a

. 5 4 7 4 3DH n x y        .

b.   2 2. cos , . 1 ( 5) . 1 26      DH n DH n DH n DH DH .

c. En faisant l’égalité des deux calculs on a 3 3

26 3 26 26

DH DH      puisque DH est positif.

4. En classe…

3-40 : Distance d’un point à une droite 2

Variante du précédent.

Soient les points  4 ; 2A  et  8 ; 3B  du plan.

1. Montrez que le vecteur 5

12 n      

est orthogonal à AB . Déduisez-en que 5 12 4 0x y   est une

équation de la droite (AB).

2. Soit D le point de coordonnées (2 ; 1). Vérifiez que D n’est pas sur (AB).

On cherche la distance de D à (AB), soit la distance DHH est le projeté orthogonal de D sur (AB).

3. a. Que vaut le produit scalaire .DH n ? On posera que H a pour coordonnées (x ; y) et on utilisera le fait que H est sur (AB).

b. En utilisant le fait que DH est colinéaire à n , montrez que . 13.DH n DH  .

c. Déduisez-en la distance DH.

4. Proposez une méthode générale permettant de donner la formule donnant la distance d’un point

( ; )D DD x y à une droite d’équation 0ax by c   .

4. Droites

4-41 : Menelaüs

Dans un repère orthonormé ( , , )O i j on considère les points A(6 ; 0) et B(2 ; 4).

1. Ecrire les équations des droites (OA) (OB) et (AB).

2. On considère la droite D d’équation y = x+4 ; déterminer les coordonnées des points P, Q et R intersections de D avec (AB), (OB) et (AO).

3. Vérifier que 1 AP BQ RO

BP QO RA  .

4. Démontrer que dans un triangle ABC, et pour une droite (D) coupant (AB) en P, (BC) en Q et (AC) en

R, on a 1 AP BQ CR

BP CQ AR   .

4-42 : Médianes orthogonales

Soit ABC un triangle et A’, B’, C’ les milieux des côtés  BC ,  CA et  AB . On désigne par G le centre de gravité du triangle ABC. On se propose de répondre aux questions suivantes :

- A quelle condition les médianes (AA’) et (BB’) sont elles orthogonales ?

- Quelle est alors la mesure en degrés de l’angle  si on suppose de plus ABC isocèle en A ?

1. Démontrer que  2 2 2 2 29 4AB AC GB GC BC    [1].

2. En déduire que les droites (BB’) et (CC’) sont orthogonales si et seulement si 2 2 25AB AC BC  .

3. a. Démontrer que 29 . . 2GBGC AB AC BC  .

b. En déduire que les droites (AA’) et (BB’) sont orthogonales si et seulement si

2( ² ²)ˆcos 5

AB AC A

AB AC

 

 [2]

c. On suppose que les droites (AA’) et (BB’) sont orthogonales et que ABC est isocèle en A. Montrer que

4 cos

5 A  . En déduire la mesure en degrés de l’angle A , arrondie au dixième.

4. Soit ABC un triangle isocèle en A, de centre de gravité G.

Montrer que ˆ5cos 4ˆcos ˆ4cos 5

BGC A

BGC

 

 . Retrouver ainsi le résultat de la question 3. c.

Piste : AB = AC = b ; BC = a. Appliquer la formule d’Al-Kashi aux triangles ABC et GBC, en déduire

que     2 2 29 1 cos 2 1 cosb A b a GBC    .

4-43 : Droite d’Euler (c)

On considère le triangle ABCA(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(2 ; 4) dans un repère orthonormé de centre A. Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure (unités : 2cm).

1. Déterminez les coordonnées du centre Ω du cercle circonscrit ( ) au triangle ABC. Déterminez le rayon de ( ).

2. Déterminez les coordonnées de l’orthocentre H de ABC puis celles du centre de gravité G.

3. Montrez que Ω, H et G sont alignés. Déterminez la valeur du réel k tel que H k G   ; montrez alors

que H A B C    .

4. On note HC le pied de la hauteur issue de C. Déterminez les coordonnées de H’, symétrique de H par

rapport à la droite (AB). Montrez que H’ est sur ().

Correction

1. Médiatrice de [AB] : x = 3 ; médiatrice de [AC] : le milieu est I(1 ; 2), on a l’équation en faisant le

p.s. : 1 2

. 2 4 10 0 2 4

x IM AC x y

y

         

   . Le point d’intersection est  (3 ; 1). Le rayon du cercle est

10A  .

2. Pareil pour H ; hauteur issue de C : x = 2, hauteur issue de B : x+2y−6 = 0, H a pour coordonnées

(2 ; 2). Pour G on fait : 6 2 / 3(1 6) 8 / 32

0 2 / 3(2 0) 4 / 33

x x BG BI

y y

              

       .

3. On calcule 2 3 1

2 1 1 H

          

    et

1/ 3

1/ 3 G

     

  ; on vérifie facilement que 3H G   donc les

points sont alignés… Pour le reste on a facilement que 3A B C G     .

4. Le symétrique de H est H’(2 ; −2) ; il appartient au cercle car ' 1 9 10H    .

4-44 : Droite d’Euler - 2 (c)

Soit ABC un triangle, O le centre de son centre circonscrit, G son centre de gravité et H le point tel que

OH OA OB OC   .

1. Démontrer que . 0AH BC  . Qu’en déduit-on ?

2. Donner deux relations semblables faisant intervenir A, B, C et H.

3. Montrer que H est l’orthocentre du triangle ABC.

4. Démontrer que O, G et H sont alignés.

Correction

1. 2OH OA OB OC OH OA OB OC AH OI         où I est le milieu de [ ]BC . On a alors

. 2 . 0AH BC OI BC  car O est le centre du cercle cisrconscrit, soit le point d’intersection des médiatrices (OI est donc perpendiculaire à BC).

2. Avec les deux autres côtés du triangle on a de la même manière . 0BH CA  et . 0CH AB .

3. H est sur la hauteur passant par A ( . 0AH BC  ), sur celle passant par B ( . 0BH CA  ) et sur celle

passant par C ( . 0CH AB ). C’est bien l’orthocentre de ABC.

4. Introduisons I dans OH OA OB OC   : 2OH OA OI IB OI IC OA OI       ; par ailleurs on a

2

3 AG AI , soit en introduisant O :

2 2 1 2 3 2

3 3 3 3 AO OG AO OI OG OA OI OG OA OI        

d’où on tire bien 3OH OG .

4-45 : Angles et droites (c)

ABC est un triangle isocèle de sommet A, H le pied de la hauteur issue de A ; on a BC = 16 cm et AH = 6 cm ; D est le point de [BC] tel que BD =3,5 cm et E celui de [BA] tel que BE = 5,6 cm.

1. Calculer AB et AC ; montrer que BAC et BDE sont semblables. Calculer la longueur ED.

2. Calculer AD ; que peut-on dire du triangle DAC ? Montrer que A, D et C sont sur un même cercle dont on donnera le centre et le rayon.

3. Calculer cos( )ABC , montrer que 2CDE ABC , en déduire cos( )CDE . Calculer alors la longueur EC.

Que peut on dire du triangle CED ?

Correction

E

D

A

H CB

x=5,6

w=3,5v=6

u=16

1. Après s’être appliqué à faire la figure on voit effectivement apparaître deux triangles semblables (à

vue de nez…). On utilise Pythagore : 2 2 2 64 36 100AB BH AH     d’où AB = AC = 10.

Les triangles EBD et ABC ont l’angle B en commun et s’ils sont semblables on a la similitude

:

B B

s A D

C E

  

 

, vérifions alors que BE BD

BC BA  :

5,6 3,5 56 56

16 10    , ok ! Comme BAC est isocèle il en est

de même de BDE donc ED = BD = 3,5. 2. Encore Pythagore dans le triangle AHD :

2 2 2 2(8 3,5) 36 56,25AD DH HA      d’où 7,5AD  ; essayons Pythagore dans DAC : 2 2 56,25 100 156,25AD AC    et 2 2(16 3,5) 156,25DC    . Conclusion DAC est rectangle en A, les

points A, D et C sont sur le cercle circonscrit à ce triangle dont l’hypothénuse est DC, le centre du cercle est au milieu de [DC]. Si E est sur le cercle, le triangle DEC doit être rectangle en E, malheureusement on ne connaît pas EC.

Tout d’abord Al-Kashi : 2 2 2 2 . .cosEC DE DC DE DC EDC   où nous devons trouver cos EDC . On

remarque alors que 2EDC ABC , il nous faut donc utiliser la formule

2 2 2cos2 cos sin 1 2sin       :

6 3 sin

10 5

AH ABC

AB    d’où

9 7 cos 1 2

25 25 EDC    .

Remplaçons dans Al-Kashi : 2 2

2 7 25 7 25 72. . . 2 2 2 2 25

EC              

, ce qui nous donne

2 2

2 2 249 625 98 25 7

4 2 2 EC DC ED

             

    d’où la relation de Pythagore dans le triangle EDC.

4-46 : Cercle inscrit, cercle circonscrit

Un exercice où il est question de cercle inscrit et circonscrit, avec à la clé une formule due à Euler donnant la distance entre les centres de ces deux cercles.

Soit ABC un triangle,   le cercle de centre O et de rayon R, circonscrit au triangle ABC et (C) le cercle inscrit dans ABC, de centre I et de rayon r. On se propose de démontrer que :

2 2 2OI R rR  (formule d’Euler).

On note : D le point d’intersection de la droite (AI) avec le cercle   , E le point de  

diamétralement opposé à D et H le projeté orthogonal du point I sur le segment  AB .

C

G

E

D

H

I O

C

B

A

1. Exprimer la distance IA en fonction de r et de l’angle 2

A .

2. En utilisant le théorème de l’angle inscrit, montrer que IBD = IBD .

3. En déduire que IBD est isocèle en D, puis donner une expression de BD en fonction R et ˆ

2

A .

4. Démontrer que 2 2.IA ID OI R  .

5. Déduire des questions précédentes que 2 2 2OI R rR  .

4-47 : Puissance d’un point - Géométrique

Soit  un cercle de centre O et de rayon R et M un point non situé sur  .

D

B

C

M

A

O

D

B

C

M

A O

On se propose d’établir que, dans chacune des configurations ci-dessus, on a : . .MA MB MC MD.

Soit E le point diamétralement opposé à A sur  .

1. Montrer que . .MA MB MA ME . En déduire que 2 2.MA MB OM R  .

2. Établir le résultat annoncé.

Voici deux applications du résultat dégagé dans le problème précédent.

1. Médiane de l’un, hauteur de l’autre.

Avec un cercle, un point I intérieur au cercle, deux droites perpendiculaires passant par ce point et un peu de couleur, nous avons obtenu la figure ci-dessous.

On pose J le milieu de  AC . Montrer que la médiane  IJ du triangle ACI est la hauteur du triangle

BID . On pourra calculer .IJ BD .

O

A I

C B

D

2. Symétriques de l’orthocentre.

Soit ABC un triangle de cercle circonscrit (C). La hauteur issue de A coupe la droite (BC) en P et le cercle (C) en A’. H est le symétrique de A’ par rapport à la droite (BC).

a. Démontrer que 0BH AC  .

b. Démontrer que le point H est l’orthocentre du triangle ABC.

c. En déduire que les symétriques de l’orthocentre par rapport aux côtés du triangle ABC appartiennent

au cercle circonscrit à ce triangle.

(C)

H

A'

P

C

B

A

O

4-48 : Puissance d’un point - analytique (c)

On se donne un cercle (C) de centre O, de rayon R ainsi qu’un point A. Le but de l’exercice est de

montrer que si (d) est une droite passant par A et coupant (C) alors . 'AM AM cste où M et M’ sont les points d’intersection de (d) avec (C).

1. Faire la figure en prenant un repère de centre A et O sur (Ox). Pour simplifier on prendra O à l’abscisse 1 (ça ne change pas grand-chose au final).

2. Ecrire l’équation d’une droite de coefficient directeur t passant par A. Déterminer l’équation du 2nd degré (E) satisfaite par les abscisses des points M et M’.

3. Le discriminant de cette équation (E) est 2 2 24[ (1 ) ] R R t . Discuter suivant les valeurs de t le

nombre de points d’intersection entre (C) et (d). Que se passe-t-il (géométriquement parlant) lorsque ce discriminant est nul ?

4. On note u et v les solutions de (E) lorsqu’elles existent. Montrer que 2

2

1

1

R uv

t

  

.

5. Vérifier que . 'AM AM k est équivalent à 21

k uv

t  

 . Conclure.

Correction

1.

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