Exercices récapitulatifs de mathématiques, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices récapitulatifs de mathématiques, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant les solutions des exercices récapitulatifs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Brouillard sur le viaduc, Contrôle de qualité, Efficacité d’un médicament, Dates d’annive...
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XR45

Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 56

Annexe au chapitre 4 : Exercices récapitulatifs (solutions)

Exercice 4.1 : Le vendeur d’encyclopédies (I)

Un vendeur a deux rendez-vous demain pour vendre des livres. Au premier rendez-vous, il vendra avec une probabilité 0,3 ; au second, avec une probabilité 0,6. Dans les deux cas, en cas de conclusion du contrat, il a autant de chances de vendre un livre édition luxe (25 €) qu’un livre édition standard (12,5 €). Déterminez la distribution de probabilité et la fonction de répartition de X , le chiffre d’affaires (en €), de demain. Solution : Soit les événements suivants, Vij, i = S, L ; j = 1, 2, « La vente d’une édition i

réalisée lors du jème rendez-vous demain. » et NVj : « Aucune vente réalisée lors

du jème rendez-vous demain. ».

L’espace d’échantillonnage de cette épreuve, S, est égal au produit cartésien des

deux ensembles suivants (application du principe de multiplication) :

{ NV1, VS1, VL1 }x{ NV2, VS2, VL2 } avec #S = 9.

Les probabilités suivantes peuvent être déterminées :

P(VS1) = P(VL1) = 0,15 ; P(VS2) = P(VL2) = 0,3 ; P(NV1) = 0,7 ; P(NV2) = 0,4.

S Probabilité X (€)

NV1, NV2 0,7.0,4 = 0,28 0

NV1, VS2 0,7.0,3 = 0,21 12,5

NV1, VL2 0,7.0,3 = 0,21 25

VS1, NV2 0,15.0,4 = 0,06 12,5

VS1, VS2 0,15.0,3 = 0,045 25

VS1, VL2 0,15.0,3 = 0,045 37,5

VL1, NV2 0,15.0,4 = 0,06 25

VL1, VS2 0,15.0,3 = 0,045 37,5

VL1, VL2 0,15.0,3 = 0,045 50

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 57

Pour déterminer la distribution de probabilités et la fonction de répartition, il

faut relever toutes les valeurs distinctes prises par X lors de la réalisation des

événements de l’espace d’échantillonnage S, de façon à constituer l’intervalle de

X.

La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont

présentées dans le tableau suivant :

X(€) 0 12,5 25 37,5 50

P(X) 0,28 0,27 0,315 0,09 0,045

F(X) 0,28 0,55 0,865 0,955 1

Distribution de probabilité et fonction de répartition du c. a. du vendeur

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 12,5 25 37,5 50

(€)

P(X)

F(X)

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 58

Exercice 4.2 : La vielle dame et le bus (I)

Une dame âgée prend souvent le bus. Elle se fait un devoir d’introduire une réclamation quand le bus qu’elle prend arrive en retard et/ou quand elle ne trouve pas de place assise. Ses statistiques lui apprennent qu’elle arrive en retard ayant trouvé une place assise dans 15 % des cas, ne trouve pas de siège mais néanmoins arrive à l’heure dans 10 % des cas, arrive en retard sans avoir trouvé de place assise dans 8 % des cas. Déterminez la distribution de probabilité de X , le nombre de raisons que la vieille dame a d’introduire une réclamation lors de son prochain voyage en bus ainsi que sa fonction de répartition. Solution : Soit les événements suivants, Ei, i = 1, 2, 3, 4, S= { Ei,: i = 1, 2, 3, 4} avec :

E1 : « Le prochain voyage de la vieille dame se passera sans problèmes. ».

E2 : « Le bus sera en retard lors du prochain voyage de la vieille dame. ».

E3 : « La vieille dame ne trouvera pas de place assise lors de son prochain

voyage en bus. ».

E4 = « La vieille dame ne trouvera pas de place assise lors de son prochain

voyage en bus et, de plus, le bus sera en retard. ».

Les probabilités suivantes peuvent être déterminées :

P(E2) = 0,15 ; P(E3) = 0,10 ; P(E4) = 0,08 ; P(E1) = 1 - 0,15 - 0,1 - 0,08 = 0,67.

S Probabilité X

E1 0,67 0 E2 0,15 1 E3 0,10 1 E4 0,08 2

La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont

présentées dans le tableau suivant :

X 0 1 2

P(X) 0,67 0,25 0,08 F(X) 0,67 0,92 1

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 59

Exercice 4.3 : Le directeur d’école et le coût du chauffage (I)

Le directeur de l’école du village doit prévoir le budget du chauffage de ses bâtiments pour le premier trimestre de l’année scolaire. Les statistiques qu’il a tenues depuis de nombreuses années lui fournissent les probabilités suivantes. En septembre, il dispose de 15 chances sur 100 de ne rien consommer (c’est l’été indien), autrement la consommation s’élève à 500 litres de mazout. En octobre, si l’été indien s’est produit en septembre (donc si la consommation a été nulle en septembre), la consommation s’élèvera à 200 litres ; par contre, la probabilité d’une consommation de 500 litres est de 55 %, 750 litres dans les autres cas. En novembre, le complexe scolaire consomme 600 litres dans 60% des cas et 800 litres autrement. En décembre, la consommation s’établit toujours à 750 litres. Soit X, une variable aléatoire discrète qui représente la consommation de mazout en litres au cours du 1er trimestre. Déterminez la distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition. Solution :

Pour déterminer l’espace d’échantillonnage de cette épreuve et les valeurs de X

qui y sont associées, un diagramme en arbre est utile dont les étapes

représenteront successivement chaque mois du 1er trimestre et les nœuds, les

consommations mensuelles prévues.

IX X XI XII

500

500

750

600

600

800

800

750

750

750

750

0 200

600

800 750

750 1550

1750

2350

2550

2600

2800

X (l.) P(X)

1

0,85

1

1

1

1

1

1

0,15

0,45

0,55

0,4

0,4

0,6

0,6

0,09 0,6

0,4 0,06

0,2805

0,2295

0,187

0,153

Mois du 1er trimestre

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 60

La distribution d’échantillonnage de X est donnée à droite de l’arbre, P(X) étant

calculée comme la probabilité jointe de la réalisation des consommations

mensuelles sur la branche de l’arbre générant X.

La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont

présentées dans le tableau suivant :

X (l.) 1550 1750 2350 2550 2600 2800

P(X) 0,09 0,06 0,2805 0,187 0,2295 0,153

F(X) 0,09 0,15 0,4305 0,6175 0,847 1

Distribution de probabilités et fonction de répartition de la consommation de mazout du 1er

trimestre

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1550 1750 2350 2550 2600 2800

Litres de mazout : X

P(X)

F(X)

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 61

Exercice 4.4 : Le choix de Jacqueline (I)

Jacqueline termine sa dernière année d’études secondaires avec succès. Elle hésite entre des études en sciences économiques et des études en informatique. En fait, elle a décidé, si elle en est capable, d’obtenir les deux diplômes. Soit, elle commencera par les études universitaires en sciences économiques, puis si elle les réussit, poursuivra par des études complémentaires en informatique ; soit elle commencera par les études universitaires en informatique, puis si elle les réussit, poursuivra par des études complémentaires en économie. Elle estime la probabilité de réussite des études (complémentaires ou non) en économie à pe et la probabilité de réussite des études (complémentaires ou non) en informatique à pi. Si elle ne réussit pas les premières études qu’elle entreprend, elle s’inscrira à un graduat. Si elle réussit le graduat, elle entreprendra des études complémentaires en économie. La probabilité de réussir le graduat et d’être acceptée dans le programmes d’études complémentaires en économie est de pg. Ce qui l’intéresse, c’est son revenu à 35 ans. Ses relevés statistiques ont montré que le revenu moyen à 35 ans de quelqu’un qui : - dispose de deux diplômes universitaires est de 1000 ; - dispose du diplôme en informatique uniquement est de 800 ; - dispose du diplôme en économie uniquement est de 840 ; - dispose du diplôme de gradué uniquement est de 600 ; - dispose du diplôme de gradué et d’un diplôme universitaire complémentaire

est de 600 + (¼ du revenu de celui qui dispose du diplôme universitaire unique correspondant) ;

- ne dispose pas de diplôme supérieur est de 350. On vous demande : la distribution de probabilité et la fonction de répartition du revenu à 35 ans, si elle commence par des études en informatique ; (N.B. pour la fonction de répartition, vous supposez que pi = 0,35 : pe=0,42 ; pg=0,7).

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 62

Solution :

Pour déterminer l’espace d’échantillonnage de cette épreuve et les valeurs de X

qui y sont associées, un diagramme en arbre est utile dont les étapes

représenteront successivement les études suivies et les nœuds, le résultat obtenu

(réussite ou échec). Le revenu à 35 ans et sa probabilité seront calculés en fin de

branche. La probabilité d’un niveau donné de revenu est une probabilité jointe.

Les notations suivantes sont utilisées pour les événements : I, E, G, EC

signifient : « Jacqueline a réussi ses études en (respectivement) informatique,

économie, graduat, économie (complémentaire). ».

Ces mêmes notations précédées de ~ signifient l’échec dans ces mêmes études.

La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont

présentées dans le tableau suivant :

X 350 600 800 810 1000

P(X) 0,195 0,2639 0,203 0,1911 0,147 F(X) 0,195 0,4589 0,6619 0,853 1

~I

I

~E

E

~G

G

~EC

EC

0,35

0,65

0,42

0,58

0,7

0,3

0,42

0,58

0,147 1000

0,203 800

600 + (0,25.840) 0,1911

0,2639 600

0,195 350

P(X) X

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 63

Distribution de probabilités et fonction de répartition du revenu de Jacqueline à 35 ans

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

350 600 800 8100 1000

Revenu à 35 ans

P(X)

F(X)

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Exercices récapitulatifs (2) 64

Annexe au chapitre 5 : Exercices récapitulatifs (solutions)

(N.B. LES QUATRE PREMIERS EXERCICES SONT DES EXTENSIONS DES EXERCICES PORTANT LES MEMES NUMEROS AU CHAPITRE PRECEDENT) Exercice 5.1 : Le vendeur d’encyclopédies (II)

Quelle est l’espérance mathématique de son chiffre d’affaires demain ?

Solution :

La distribution de probabilité de X, le chiffre d’affaires, avait été établie précédemment :

X(€) 0 12,5 25 37,5 50

P(X) 0,28 0,27 0,315 0,09 0,045

Donc E(X) = (12,5.0,27) + (25.0,315) + (37,5.0,09) + (50.0,045)

= 3,375 + 7,875 + 3,375 + 2,25

= 16,875 €.

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Exercices récapitulatifs (2) 65

Exercice 5.2 : La vielle dame et le bus (II)

Quelle est l’espérance mathématique de X , le nombre de raisons que la vieille dame a d’introduire une réclamation lors de son prochain voyage en bus ?

Solution :

La distribution de probabilité de X, le nombre de raisons d’introduire une réclamation, avait été établie précédemment :

X 0 1 2 P(X) 0,67 0,25 0,08 F(X) 0,67 0,92 1

Donc E(X) = (0.0,67) + (1.0,25) + (2.0,08) = 0,41 raisons.

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Exercices récapitulatifs (2) 66

Exercice 5.3 : Le directeur d’école et le coût du chauffage (II)

Quelle est l’espérance mathématique de X, le nombre de litres de mazout consommés par le système de chauffage durant le 1er trimestre ?

Solution :

La distribution de probabilité de X, le nombre de litres de mazout consommés par le système de chauffage durant le 1er trimestre, avait été établie précédemment :

X (l.) 1550 1750 2350 2550 2600 2800

P(X) 0,09 0,06 0,2805 0,187 0,2295 0,153 F(X) 0,09 0,15 0,4305 0,6175 0,847 1

Donc E(X) = (1550.0,09) + (1750.0,06) + (2350.0,2805) + (2550.0,187) +

(2600.0,2295) + (2800.0.153)

= 139,5 + 105 + 659,175 + 476,85 + 596,7 + 428,4

= 2400,625 litres.

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Exercices récapitulatifs (2) 67

Exercice 5.4 : Le choix de Jacqueline (II)

On vous demande de calculer l’espérance mathématique du revenu de Jacqueline à 35 ans, si elle commence par des études en informatique ; (N.B. pour la fonction de répartition, vous supposez que pi = 0,35 : pe=0,42 ; pg=0,7).

Solution :

La distribution de probabilité de X, le revenu de Jacqueline à 35 ans, avait été établie précédemment :

X 350 600 800 810 1000

P(X) 0,195 0,2639 0,203 0,1911 0,147 F(X) 0,195 0,4589 0,6619 0,853 1

Donc E(X) = (350.0,195) + (600.0,2639) + (800.0,203) + (810.0,1911) + (1000.0,147)

= 68,25 + 158,34 + 162,4 + 154,791 + 147 = 690,781.

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Exercices récapitulatifs (2) 68

Exercice 5.5 : La prime d’assurance

Une compagnie d’assurance établit un contrat stipulant qu’une somme d’argent A doit être versée si un événement E se produit dans l’année. La compagnie estime que P(E) = p.

Comment calculer la prime annuelle de façon à ce que le bénéfice représente 10 % de A ? Vérifiez.

Solution :

Soit B, le bénéfice et Pr la prime. E(B) = Pr - A.p or B doit être égal à 0,1.A

⇒ 0,1.A = Pr - A.p, ⇒ Pr = 0,1A + A.p = A. (0.1 + p).

Vérification :

Soit p = 0,25 et A = 10.000. Donc Pr = 10.000 . 0,35 = 3.500.

Sur 4 ans, la compagnie perçoit 3.500 . 4 = 14.000 de primes et paie en moyenne

1 fois 10.000, donc B = 4.000 sur 4 ans, soit 1.000/an = 10% de 10.000.

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Exercices récapitulatifs (2) 69

Exercice 5.6 : Diagnostics de pannes

Une machine peut tomber en panne pour deux raisons. Le diagnostic de la première coûte C1 ; s’il est positif, la réparation coûte R1. Les coûts sont C2, R2 pour la seconde. p est la probabilité de la 1ère raison. On demande les conditions sur p, C1, C2, R1, R2 pour qu’il revienne moins cher de commencer par le diagnostic sur la 1ère raison plutôt que sur la deuxième. (N.B. Si le diagnostic est positif sur la 1ère raison, il faut effectuer le diagnostic sur la seconde et réciproquement.)

Solution :

Si on commence par le premier diagnostic, les coûts seront : C1 + R1 avec probabilité p. C1 + C2 + R2 avec probabilité 1-p. Si on commence par le deuxième diagnostic, les coûts seront : C2 + R2 avec probabilité 1-p. C2 + C1 + R1 avec probabilité p.

Pour que le diagnostic revienne moins cher en commençant par le premier diagnostic, il faut :

[(C1 + R1).p] + [(C1 + C2 + R2).(1-p)] ≤ [(C2 + R2).(1-p)] + [(C2 + C1 + R1).p] ⇒

C1.p + R1.p + C1 + C2 + R2 – C1.p – C2.p – R2.p ≤ C1.p + R1.p + C2 + R2 + C2.p – C2.p – R2.p ⇒

C1.(1 – p) ≤ C2.p ⇒ C1/C2 ≤ p/(1 – p).

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Exercices récapitulatifs (2) 70

Exercice 5.7 : La boutique LENACH La boutique de haute couture LENACH doit commander la semaine prochaine son stock de manteaux d’hiver au grand couturier Kiamé. Vu la coupe d’avant- garde des ces manteaux, leur demande est réduite et on ne peut les vendre avec profit que durant la saison pour laquelle ils ont été dessinés et réalisés.

Kiamé ne fournit qu’une commande par saison à la boutique LENACH.

Chaque manteau est acheté 75.000 Mons et revendu 100.000 Mons durant la saison. S’il n’est pas vendu, il est écoulé à 40.000 Mons dans un magasin de « dégriffés ». Si une cliente ne peut être satisfaite, cette situation n’engendre aucun frais à LENACH.

La demande pour ce type de manteaux est relativement stable et on a pu établir, en se basant sur les statistiques des saisons précédentes, une estimation de la distribution de probabilité de X, le nombre de manteaux demandés : Combien de manteaux commander à Kiamé ?

Solution :

On sait que l’espérance de profit est maximum si )(

)( 0 pb

b iP

S

i + <∑

= [1].

Avec b : le bénéfice net par unité vendue : 100 000 – 75000 = 25000 Mons.

Et p : la perte nette par invendu : 75000 – 40 000 = 35 000 Mons.

= +

= + 3500025000

25000

pb

b 0,41.

Fonction de répartition de X :

X -de 4 4 5 6 7 8 9 10 11 + de 12 F(X) 0 0,05 0,15 0,3 0,45 0,65 0,85 0,95 1 1

Le dernier stock qui vérifie l’inégalité [1] est de 6 unités. On doit donc commander 6 + 1 = 7 manteaux à Kiame.

Distribution de probabilité de X : le nombre de manteaux demandés

X - de 4 4 5 6 7 8 9 10 11 + de 12

P(X) 0 0,05 0,1 0,15 0,15 0,20 0,20 0,1 0,05 0

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Exercices récapitulatifs (2) 71

Exercice 5.8 : Décision dans l’incertitude (II)

L’émission de télévision « SUPERHOTMIX » sur MTLCLUB remporte un énorme succès d’audience. On y présente le classement des meilleures ventes hebdomadaires de variétés dans le pays.

Vu le succès, les producteurs de l’émission ont décidé de faire payer aux producteurs de variétés la diffusion intégrale d’un « vidéo-clip ». En cas de non- paiement, ils ne projettent qu’un extrait de 9 secondes de l’ « œuvre ».

Il est de notoriété publique que la diffusion intégrale d’un clip aide à augmenter les ventes. La diffusion de l’extrait de 9 secondes n’a, par contre, aucun effet sensible. Le tableau suivant résume les principales informations disponibles.

Si le disque est classé dans le :

Ventes moyennes hebdomadaires (sans promotion)

Nombre de disques

Effet de la diffusion intégrale du clip

En %

Q1

Q2

Q3

Q4

10.000

8.000

5.000

2.000

+ 15

+ 10

+ 5

-

Un disque vendu rapporte à ses producteurs la somme de 100 Mons et la place dans le classement dépend de la concurrence. Sachant que deux distributions de probabilité sont possibles à propos du classement de la semaine prochaine du groupe Sweet Boys, les producteurs de ce groupe se demandent s’il vont payer les 100.000 Mons que coûte la diffusion intégrale du clip.

Le second tableau précise ces distributions de probabilité d’abord dans le cas de non-concurrence, puis dans le cas de concurrence. (La concurrence dont il est question ici est celle, féroce, du seul groupe proche des Sweet Boys, les 3to4, qui, s’ils sont présents dans le hit-parade amènent des substitutions dans les décisions d’achat des jeunes.) Les 3to4 ont 30% de chances d’être présents dans le classement la semaine prochaine :

Classement des Sweet Boys

Si ~3to4 Si 3to4

Q1

Q2

Q3

Q4

0,4

0,3

0,2

0,1

0

0,5

0,4

0,1

On demande si les producteurs des Sweet Boys paieront les 100.000 Mons sans rechigner.

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Exercices récapitulatifs (2) 72

Solution :

Les producteurs des Sweet Boys paieront sans rechigner les 100 000 Mons si l’espérance du gain obtenu en passant le clip est supérieur au prix demandé. Le gain du passage entier du clip est l’augmentation des ventes qui en résulte c’est- à-dire 100 Mons par vente supplémentaire.

Regardons d’abord l’espérance de gain sans concurrence, puis avec concurrence :

Pas de concurrence (70% de chance) :

Classés dans :

P(x) Gain additionnel

P(x).Gain

Q1 0,4 150000 60000 Q2 0,3 80000 24000 Q3 0,2 25000 5000 Q4 0,1 0 0

Espérance de gain : 89000

Avec concurrence (30% de chance) :

Classés dans :

P(x) Gain additionnel

P(x).Gain

Q1 0 150000 0 Q2 0,5 80000 40000 Q3 0,4 25000 10000 Q4 0,1 0 0

Espérance de gain : 50000

Espérance totale de gain avec passage du clip :

0,7 . 89000 + 0,3 . 50000 = 77.300 Mons ce qui est inférieur aux 100.000 Mons demandés. Les producteurs des Sweet Boys vont donc rechigner.

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