Exercices récapitulatifs de probabilités discrètes - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices récapitulatifs de probabilités discrètes - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques concernant les exercices récapitulatifs de probabilités discrètes - énoncés et solutions - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Table des matières, Exercices récapitulat...
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XR1234sol

Année académique 2001 - 2002

FUNDP Faculté des sciences économiques, sociales et de gestion

Première candidature en Sciences économiques et de gestion Première candidature en Sciences politiques et sociales

Première candidature en ingénieur de gestion

Exercices récapitulatifs

de probabilités discrètes

Enoncés et solutions des ch. 0 à 4

Jean-Charles JACQUEMIN Professeur

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Solutions des exercices récapitulatifs : introduction i

Ce document, qui à terme comportera plus de 100 exercices récapitulatifs et une (ou plusieurs) proposition(s) de solution pour chacun d’eux, doit être utilisé comme un outil de contrôle de sa propre démarche dans la résolution des problèmes de probabilité se trouvant en fin de section ou chapitre et également à la fin des notes de cours.

Il est de première importance d’essayer de résoudre d’abord les exercices avant de consulter les suggestions de correction.

Je tiens à remercier ici tous les assistants du cours depuis que je l’enseigne, et en particulier Eric Toulemonde, Anne-Sophie Brasselle, Christine Marsigny, Mélanie Latiers et Ghislaine Bauwens, qui par leur remarques et suggestions ont apporté des améliorations significatives aux énoncés ainsi qu’à certaines propositions de solution. Les générations passées d’étudiants ont inspiré également chaque année des améliorations et leurs réactions ont également permis d’affiner le texte. N.B. Le texte contiendra au fur et à mesure de sa finalisation quelques liens hypertexte de la table des matières vers l’énoncé et le corrigé de l’exercice considéré.

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Solutions des exercices récapitulatifs : introduction ii

Table des matières

Chapitre 0 Exercice 0.1 Exercice 0.2 Exercice 0.3 Exercice 0.4 Exercice 0.5 Exercice 0.6 Exercice 0.7 Exercice 0.8 Exercice 0.9 Exercice 0.10 Exercice 0.11 Exercice 0.12

Chapitre 1 Exercice 1.1 Exercice 1.2 Exercice 1.3 Exercice 1.4 Exercice 1.5 Exercice 1.6 Exercice 1.7 Exercice 1.8

Exercice 1.9 Exercice 1.10 Exercice 1.11 Exercice 1.12 Exercice 1.13 Exercice 1.14 Exercice 1.15 Exercice 1.16 Exercice 1.17 Exercice 1.18 Exercice 1.19 Exercice 1.20

Chapitre 2 Exercice 2.1 Exercice 2.2 Exercice 2.3 Exercice 2.4 Exercice 2.5 Exercice 2.6 Exercice 2.7 Exercice 2.8 Exercice 2.9 Exercice 2.10

Exercice 2.11 Exercice 2.12 Chapitre 3 Exercice 3.1 Exercice 3.2 Exercice 3.3 Exercice 3.4 Exercice 3.5 Exercice 3.6 Exercice 3.7 Exercice 3.8 Exercice 3.9 Exercice 3.10 Exercice 3.11 Exercice 3.12

Chapitre 4 Exercice 4.1 Exercice 4.2 Exercice 4.3 Exercice 4.4

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Chapitre 0 : Solutions des exercices récapitulatifs 1

Annexe au chapitre 0 : Exercices récapitulatifs (solutions)

Exercice 0.1 :

Un cadre doit visiter cinq ateliers (A, B, C, D, E) chaque semaine. Il visite un (et seul) atelier différent chaque jour, du lundi au vendredi. Il choisit l’ordre de ses visites AU HASARD tous les dimanches. De combien de façons différentes peut-il organiser ses tournées ?

Pour choisir au hasard, il pourrait inscrire les noms des ateliers sur cinq bouts de papier, mélanger ces derniers dans une urne et les tirer (sans remise) un à un, il visitera le premier nom tiré le lundi, etc. Donc :

- il tire un atelier à visiter le lundi : 5 possibilités,

- il tire un atelier à visiter le mardi : 4 possibilités,

- il tire un atelier à visiter le mercredi : 3 possibilités, etc.

En tout, il dispose donc de 5.4.3.2.1 = 120 possibilités d’organiser ses visites hebdomadaires. (Application du principe de multiplication.)

Idem sur deux semaines ?

Pour deux semaines successives, il dispose de 120 x 120 = 120² possibilités.

Exercice 0.2 :

Pour me rendre à mon travail, je dispose du métro, je peux marcher et trois bus peuvent me mener à destination.

De combien de possibilités de me rendre à mon travail puis-je bénéficier ?

Je dispose de 1 + 1 + 3 = 5 possibilités.

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Chapitre 0 : Solutions des exercices récapitulatifs 2

Exercice 0.3 :

Soit les ensembles M={Albert, Charles, Bernard} et F={Danielle, Françoise}. Ecrire M x F en extension et via deux représentations du diagramme en arbre.

M x F = {(Albert, Danielle), (Albert, Françoise), (Charles, Danielle), (Charles, Françoise), (Bernard, Danielle), (Bernard, Françoise)}.

Danielle Albert Albert Françoise Danielle Charles Danielle Bernard Charles Françoise Albert Danielle Françoise Charles Bernard Françoise Bernard

Exercice 0.4 :

Trouver P(S) avec S={a, b, c}. Quel est le # P(S) ? P(S) = {{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c}, Ø } ;# P(S) = 2³ = 8

EXERCICE 0.5 :

Ecrire en extension : A={x : x²-x-2 =0} ⇒ A={-1, 2}. B={x : x est une lettre dans le mot « PROBABILITES »} ⇒

B={P,R,O,B,A,I,L,T,E,S }.

C={x : x² = 9, x-3 = 5} ⇒ C={ Ø }.

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Chapitre 0 : Solutions des exercices récapitulatifs 3

Exercice 0.6 :

Vrai ou faux :

a) {2, 5, 4} = {4, 5, 2}. b) {4, 2, 3} ⊂ {2, 3, 4}. c) {4} ⊂ {{4}}.

d) Ø ⊂ {{4}}. e) {4} ∈ {{4}}. f) 1 ⊄ {1, 2, 3, 4}.

TOUT EST VRAI SAUF c)

Exercice 0.7 :

Un homme qui possède 1 € joue aux dés. A chaque fois qu’il joue, soit il gagne 1 € si le résultat est pair, soit il perd 1 € si le résultat est impair. Il peut jouer au maximum cinq fois et arrête de jouer avant la fin s’il a tout perdu ou s’il a gagné 3 € (donc s’il possède 4 €). De combien de façons les paris peuvent-ils s’établir ? Peut-il terminer le jeu avec la même somme qu’au départ, soit 1 € ? Résolvez par le diagramme en arbre. Les nombres représentent l’état de la « fortune » du joueur à chaque étape du jeu. Les nombre en rouge indiquent une fin possible du jeu. 0 0 1 1 2 0 2

3 2 4

1 2 0 1 2 2 2 3 3 4 4

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Chapitre 0 : Solutions des exercices récapitulatifs 4

⇒ 11 façons de parier et il ne terminera jamais le jeu avec 1 € en poche.

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Chapitre 0 : Solutions des exercices récapitulatifs 5

Exercice 0.8 :

Soit le plan suivant d’un parc à allées rectilignes. Un homme s’y promène tous les jours, commence toujours sa promenade en allant de X en R et se déplace (sur le plan) horizontalement ou verticalement une étape à la fois. Il s’arrête quand il ne peut continuer à marcher sans passer deux fois sur le même point. Il modifie sa promenade tous les jours. Combien de promenades différentes sont-elles possibles ?

A B C R S T X Y Z

RESOLUTION PAR LE DIAGRAMME EN ARBRE

En rouge, les 10 différentes étapes terminales.

X R A

B C

T

S Y Z

Z Y S

S Y Z T C T C

Z Y S B

A C T Z Y

T C B A

Z Y Y Z T C B C

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Chapitre 0 : Solutions des exercices récapitulatifs 6

Exercice 0.9 :

Une femme dispose de deux bagues identiques. Elle décide de les mettre, soit à l’index, soit au majeur, soit à l’annulaire de la main droite. Elle change chaque jour la disposition de ses bagues.

a)Combien de temps maximum se passe-t-il entre deux dispositions identiques ?

Soit l’épreuve 1 : « Placer une des deux bagues sur un des trois doigts. », #S1 =3 avec S1 son espace d’échantillonnage.

Soit l’épreuve 2 : « Placer l’autre bague sur un des trois doigts. », #S2 =3 avec S2 son espace d’échantillonnage.

Donc, par le principe de la multiplication, on dispose de 3 x 3 = 9 possibilités de placement des bagues.

Mais comme les bagues sont identiques, il est impossible de distinguer M – I de IM, MA de AM et IA de AI avec XY, signifiant : « La bague 1 a été placée sur le doigt X (X = I, A, M) et la bague 2 sur le doigt Y (Y = I, A, M) . »

Il faut donc retirer 3 possibilités des 9, il reste six placements conjoints distincts des deux bagues identiques.

Il se passe donc 6 jours au maximum entre deux dispositions identiques.

b)Quid si les bagues sont différentes ?

Si les bagues sont différentes, leur ordre quand elles sont sur le même doigt importe, or il existe 3 possibilités de présence commune, une sur chacun des 3 doigts. Quand leur présence est commune, il existe 2 ! = 2 arrangements différents de ces deux bagues.

Donc il existe 6 possibilités d’enfiler les deux bagues sur un doigt commun.

Il faut les ajouter aux 6 possibilités d’arrangements distincts des deux bagues sur deux doigts différents.

Il existe donc 12 arrangements différents des deux bagues sur les trois doigts.

Il se passe donc 12 jours au maximum entre deux dispositions identiques.

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Chapitre 0 : Solutions des exercices récapitulatifs 7

Exercice 0.10 :

Le titulaire d’une classe de 11 garçons et 9 filles doit choisir 3 d’entre eux pour représenter sa classe à un concours inter-écoles.

a)De combien de façons peux-il constituer l’équipe ?

1.140 3.2

20.19.18

17!.3!

20! C

3

20 === façons.

b)Idem s’il s’impose de choisir un garçon et deux filles ?

Il est possible de choisir un garçon de 11 façons différentes.

Il faut encore choisir 2 filles parmi 9, il existe 2

9.8

2!.7!

9! C

2

9 == = 36 possibilités.

Et par le principe de multiplication, le nombre d’équipes sera égal à CC 2

9

1

11 . =

11.36 = 396.

c)Idem s’il s’impose de choisir une fille et deux garçons ?

En appliquant la même démarche, on découvre qu’il existe CC 1

9

2

11 . = 55.9 = 495

possibilités.

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Chapitre 0 : Solutions des exercices récapitulatifs 8

Exercice0.11 :

Madame A. Lamode dispose aujourd’hui de 3 vases de Chine, de deux cristaux de Bohème et d’un saladier du Val-Saint-Lambert, tous ces objets sont différents. Elles les expose fièrement sur une planche de la vitrine de son salon et se donne comme règle de disposer différemment ces objets chaque fois qu’elle reçoit ses amies pour le thé.

Combien de fois peut-elle inviter ses amies sans répéter une disposition déjà réalisée :

a)si aucune restriction n’est mise sur la disposition ? Il s’agit du nombre de permutations de 6 objets = 6 ! = 720 possibilités de rangement.

b)si les vases de Chine doivent être rangés ensemble et les cristaux de Bohème également ?

Il existe 3 ! possibilités de ranger les 3 vases de Chine côte à côte, de même 2 ! possibilités pour les cristaux de Bohème. Donc par le principe de multiplication 3 !2 !1 ! possibilités de ranger les objets en commençant par les vases de Chine, suivis des cristaux de Bohème, pour terminer par le VSL. Enfin il existe 3 ! possibilités de ranger (c’est-à-dire permuter) les trois groupes d’objets (vases de Chine, cristaux de Bohème, VSL). Donc au total 3 !3 !2 !1 ! = 72 possibilités de rangement.

c)si seuls les vases de Chine doivent se trouver ensemble ?

Dans ce cas, on considère un groupe de trois objets (les vases de Chine) et les trois autres objets forment chacun un groupe. Donc au total, il s’agit de ranger quatre groupes. Par le même argument que b) supra, il existe 4 !3 ! = 144 possibilités de rangement.

Monsieur Lamode a promis à son épouse de lui offrir un nouveau Val-Saint- Lambert quand la situation de répétition d’une disposition se produira.

Après cet événement, que deviennent les prévisions du nombre d’invitations dans les trois cas ?(Pour cette question, on supposera qu’au point b) les vases Val-Saint-Lambert restent groupés ensemble.)

a) 7 ! = 5040 possibilités de rangement.

b) 3 !3 !2 !2 ! = 144 possibilités de rangement.

c) 5 !3 ! = 720 possibilités de rangement.

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Chapitre 0 : Solutions des exercices récapitulatifs 9

Exercice 0.12 :

Dans les « Noces de Figaro », W.A. Mozart à composé une œuvre où les ensembles de taille variable amènent tous les protagonistes à se rencontrer. Il rompait, se faisant, avec la tradition de l’opéra classique et, en innovant de la sorte, produisait un chef d’œuvre absolu de la culture. Le célèbre chef d’orchestre P.Avaroti a contacté cinq chanteurs et sept chanteuses qui seraient susceptibles d’être retenus pour la distribution de la nouvelle production des « Noces » que l’Opéra National lui a demandé de diriger la saison prochaine. Deux chanteurs sont nécessaires et 3 chanteuses.

a)Combien de distributions différentes peut-il envisager ?

Pour les chanteurs : 25C possibilités et 3 7C possibilités pour les chanteuses, donc

par le principe de multiplication, : 350 !3!4

!7

!2!3

!53 7

2 5 =×=× CC possibilités.

b)Parmi les chanteuses pressenties, la diva C. Astafiore refuse absolument de partager la scène avec L. Acallas dont elle est très jalouse. P.Avaroti n’envisage donc pas de les faire chanter ensemble. Combien de possibilités de distribution lui reste-t-il ?

- Nombre de groupes possibles ne contenant pas les deux divas = 35C en effet puisqu’on exclut les deux divas, il reste 5 chanteuses parmi lesquelles on en

choisit trois. 10 !3!2

!53 5 ==C possibilités.

- Nombre de groupe possibles contenant exclusivement une seule des deux divas : Pour une diva donnée (par exemple C.Astafiore) : 25C en effet puisque sur les sept chanteuses une diva est choisie et l’autre exclue, il reste donc 5 chanteuses parmi lesquelles P. Avaroti doit en choisir deux puisque une (la diva) est imposée. Mais nous avons deux divas, il faut donc multiplier ce nombre par 2. Donc finalement, dans ce cas P.Avaroti dispose de 202 25 =× C possibilités.

- Dès lors, P. Avaroti dispose de 10 + 20 = 30 possibilités de choisir les chanteuses, à multiplier par les 25C possibilités de choisir les chanteurs =

3001030 =× possibilités de composer la distribution.

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Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 10

Exercices :

Ecrire les espaces d’échantillonnages associés aux expériences aléatoires suivantes :

Exercice 1.1

Le nombre de parties de dames que vous gagnez dans une série de trois jeux avec un ami.

S = {0, 1, 2, 3} ou S = {x : 0 ≤ x ≤ 3, x ∈N} Exercice 1.2

Le nombre de visites chez le médecin en un an.

S = {0, 1, 2, …} ou S = {x : x ∈N} Exercice 1.3

Le temps en minutes que met un service d’urgence pour se trouver à l’endroit voulu après avoir reçu un coup de téléphone urgent.

S = {x : x > 0, x ∈R } Exercice 1.4

La différence de taille (en cms) entre époux.

S = {x : x ∈R} Exercice 1.5

Le temps en minutes que vous devez attendre à la poste pour être servi.

S = {x : x ≥ 0} Exercice 1.6

Le nombre de réponses correctes données lors d’un test de connaissance générales

- par un candidat à qui on soumet 100 questions ;

S = {0, 1, 2, …, 100}

- par chacun des deux candidats à qui on a posé à chacun séparément 100 questions.

S = {(x,y) : x = 0, 1, 2, …, 100 ; y = 0, 1, 2, …, 100}

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Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 11

Exercice 1.7 :

Pour un lot d’une douzaine d’ampoules à tester, représentez l’espace

d’échantillonnage S : S = {x ∈N : 0 ≤ x ≤ 12}.

ainsi que les événements suivants comme des sous-ensembles de l’espace

d’échantillonnage S :

1. « Une ampoule est défectueuse. » : A= {1}.

2. « Au moins une ampoule est défectueuse. » : B = { x ∈N : 1 ≤ x ≤ 12}.

3. « Au plus une ampoule est défectueuse. » : C = {0, 1}.

Exercice 1.8 : Voici une liste d’événements associés aux épreuves décrites dans

une série précédente d’exercices. Décrivez chaque événement comme un sous-

ensemble de l’espace d’échantillonnage adéquat :

1. « Vous gagnez au moins deux parties de dames. » : A = {2, 3}.

« Votre ami gagne au moins deux parties de dames. » : B = {0, 1}.

2. « Vous ne rendez pas visite au médecin plus de deux fois par an. » :

C = {0, 1, 2}.

3. « L’ambulance arrive en moins de cinq minutes. » :

D = {x ∈ R : 0 (≤) < x ≤ 5}.

« L’ambulance met plus de dix minutes pour arriver. » :

E = { x ∈ R : 10 < x}.

4. « L’épouse est plus grande que son mari. » :

F = {x ∈ R : x < 0}, avec x = taille du mari – taille de l’épouse.

5. « Le premier candidat donne au moins 75 réponses correctes. » :

G = {(x,y) : x = 75, 76, …, 100 ; y = 0, 1, 2, …, 100}.

« Le second candidat donne au moins 75 réponses correctes. » :

H = {(x,y) : x = 0, 1, 2, …, 100 ; y = 75, 76, …, 100}.

« A eux deux, les candidats donnent au moins 150 réponses

correctes. » :

I = {(x,y) : x = 0, 1, 2, …, 100 ; y = = 0, 1, 2, …, 100 ; x + y > 149}.

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Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 12

Exercice 1.9 :

Vous allez lancer une pièce de monnaie trois fois de suite. Ecrivez les espaces

d’échantillonnage correspondant :

1. aux résultats des lancers dans l’ordre où ils se présentent :

S1 = {FFF, FFP, FPF, FPP, PFF, PFP, PPF, PPP}.

2. au nombre total de « faces » obtenues : S2 = {0, 1, 2, 3}.

3. au nombre de « piles » obtenues avant la première face : S3 = S2.

Exercice 1.10 :

Soit un dé honnête. Ecrivez l’espace d’échantillonnage S correspondant à

l’épreuve du lancer unique de ce dé : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Ensuite écrivez les événements suivants comme des sous-ensembles de l’espace

d’échantillonnage S :

1. « Le score obtenu est un nombre impair. » : A = {1, 3, 5}.

2. « Le score obtenu est au plus 2. » : B = {1, 2}.

3. « Le score obtenu est 6. » : C = {6}.

Ensuite, écrivez les sous-ensembles suivants de S avec une brève description des

évènements qu’ils représentent (si possible) :

: A {2, 4, 6}, « le score obtenu est pair (n’est pas impair)».

: B {3, 4, 5, 6}, « le score obtenu est au moins 3 ».

: BA ∪ {1, 2, 3, 5}, « le score obtenu n’est ni 4 ni 6 ».

: BA ∪ {1, 2, 4, 6}, « le score obtenu n’est ni 3 ni 5 ».

: CA ∪ {2, 4, 6}, « le score obtenu est un nombre pair ».

: BA ∩ {2}.

: CA ∩ {6}.

: BA ∩ {1}.

: CA ∩ ∅.

:)( CBA ∪∪ {4} car (ABC) = {1, 2, 3, 5, 6}.

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Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 13

Exercices récapitulatifs sur les probabilités élémentaires (annexe 2 au Ch. 1).

Exercice 1.11 :

Soit l’épreuve : « On lance trois fois de suite un dé honnête ».

Donc S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}³.

1. A quelles parties de S correspondent les événements :

A : « On n’obtient pas d’as aux trois lancers. » = {2, 3, 4, 5, 6}³.

B : « On obtient exactement un as. »

= {{(1, i, i)}∪ {(i, 1, i)}∪ {(i, i, 1)}: i ∈ {2, 3, 4, 5, 6}}.

C : « On obtient au moins un as. » = S\{2, 3, 4, 5, 6}³ ou ~{2, 3, 4, 5, 6}³.

D : « On obtient un as au deuxième et au troisième lancer. »

= {(i, 1, 1) : i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.

2. Calculer la probabilité de ces événements.

P(A) 0,58 6.6.6

5.5.5 P# F# ≅== .

P(B) ... 0,3472 6.6.6

25.3

P#

F# ≅== .

P(C) = 1 - P(A) = P(~A) = 1 – 0, 58 … ≅ 0,42.

P(D) ... 0,0000769 6.6

1

P#

F# ≅==

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Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 14

Exercice 1.12 :

Sur les 10 filles assises au premier rang, 3 ont les yeux bleus. On en désigne 2 au hasard.

Quelle est la probabilité : d)qu’elles aient toutes deux des yeux bleus ? (P(2) ?) Il y a 45210 =C possibilités de désigner deux filles au hasard parmi les 10. Il y a 323 =C possibilités de désigner deux filles parmi les 3 qui ont des yeux bleus.

La probabilité p recherchée se calcule donc par la formule classique p= 15 1

45 3 = .

e)qu’aucune n’aie des yeux bleus ? (P(0) ?)

Il y a 45210=C possibilités de désigner deux filles au hasard parmi les 10. Il y a 2127 =C possibilités de désigner deux filles parmi les 7 qui n’ont pas des yeux bleus.

La probabilité p recherchée se calcule donc par la formule classique p 15 7

45 21== .

f)au moins une ait des yeux bleus ?(P(>0) ?) Il y a 45210=C possibilités de désigner deux filles au hasard parmi les 10. Il y a 717=C possibilités de désigner une fille parmi les 7 qui n’ont pas des yeux bleus. Il y a 313=C possibilités de désigner une fille parmi les 3 qui ont des yeux bleus. Donc la probabilité qu’exactement une fille ait des yeux bleus et pas l’autre P(1)

= (formule classique) = 15 7

45 21

45 3.7 == .

Mais nous cherchons la probabilité qu’au moins une ait des yeux bleus :

P(>0) = P(1) + P(2) (puisque événements incompatibles) = 15 8

15 7

15 1 =+ .

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Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 15

Exercice 1.13 :

Trois étudiants Albert, Bernard et Charles disputent une compétition de natation. Albert et Bernard ont la même probabilité a priori de gagner et chacun d’eux a deux fois plus de chance de gagner que Charles.

Quelle est la probabilité :

a)pour chacun de gagner ?

Soit les événements A, B, C, respectivement : « Albert, Bernard, Charles remporte le concours. ».

Donc {A, B, C} = S, l’espace d’échantillonnage de cette épreuve. A, B, C, sont incompatibles deux à deux et réalisent une partition de S (voir graphique infra).

Posons P(C) = p = la probabilité que Charles gagne.

Donc la probabilité qu’Albert gagne = P(A) = la probabilité que Bernard gagne = P(B) = 2p.

Donc P(A) + P(B) + P(C) = p + 2p + 2p = 5p = 1, donc p = 0,2.

Donc P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,4 ; P(C) = 0,2.

b)que Bernard ou Charles gagne ?

P(BC) = P(B) + P(C) – P(BC) = 0,4 + 0,2 – 0 = 0,6. c)qu’Albert et Bernard perdent ?

P( BA ∩ ) = P(C) = 0,2. d)qu’Albert ou Bernard perde ? P( BA ∪ ) = 1 car c’est un événement certain puisque AB ; BA ; CBA ∩ .

ou (voir ch.2) P( BA ∪ ) = P( A ) + P( B ) – P( BA ∩ ) = 0,6 + 0,6 – 0.2 = 1. Graphiquement : S = BA BC = A AC = B BA ∩ = C = C = A = B.

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Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 16

Exercice 1.14 :

Cinq couples mariés se trouvent réunis. a)Si deux personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité

qu’elles soient mariées ? Il y a 210C = 45 possibilités de choisir 2 personnes parmi 10. (= # de cas possibles). Il y a 5 couples mariés donc 5 cas favorables.

Donc p = 9

1

45

5 = .

b)Si deux personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité qu’une

d’elles soit une femme et l’autre un homme ? Il y a de nouveau 45 cas possibles. Comme il y a 5 hommes et 5 femmes, il y a 5 possibilités de choisir une femme fois 5 possibilités de choisir un homme soit : 5² cas favorables.

Donc p = 9

5

45

25 = .

c)Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité que

deux couples mariés aient été choisis ? Il y a 410C = 210 possibilités de choisir 4 personnes parmi 10. (= # de cas possibles). Il y a 5 couples mariés donc 25C = 10 cas favorables.

Donc p = 21

1

210

10 = .

d)Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité

qu’aucun couple marié ne se trouve parmi les quatre personnes ? Il y a 410C = 210 possibilités de choisir 4 personnes parmi 10. (= # de cas possibles). Les quatre personnes proviennent de quatre couples différents. Or il y a 45C = 5 possibilités de choisir 4 couples parmi 5.

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Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 17

Et il y a deux façons de ne tirer qu’une seule personne de chaque couple : soit l’époux, soit l’épouse. Donc en tout 2.2.2.2 .5 = 80 possibilités favorables.

Donc p = 21

8

210

80 = .

e)Si quatre personnes sont désignées au hasard, quelle est la probabilité

qu’exactement un couple marié soit présent dans les quatre ? L’événement considéré est complémentaire aux deux précédents,

donc p = 1 - ( ) 571,0 21

12

21

8

21

1 ==+ .

f)Si les dix personnes sont divisées au hasard en 5 paires, quelle est la

probabilité que chaque paire soit mariée ?

Il y a 113400 !2!2!2!2!2

!10 = divisions possibles des 10 personnes en 5 paires. (= #

cas possibles). Il y a 5 ! possibilités de choisir les couples mariés. (= # de cas favorables) .

Donc p = 0,0011 113400

120 = .

g)Si les dix personnes sont divisées au hasard en paires, quelle est la

probabilité que chaque paire comprenne un homme et une femme ?

Il y a 113400 !2!2!2!2!2

!10 = divisions possibles des 10 personnes en 5 paires. (= #

cas possibles). Il y a 5 ! possibilités de choisir un homme dans chaque paire et 5 ! possibilités de choisir une femme dans chaque paire, donc 120² cas favorables.

Donc p = 0,108 113400

1202 = .

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Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 18

Exercice 1.15 :

On a établi que la probabilité qu’une caissière de grand magasin reçoive k

clients entre 15 et 16 heures est !

5 k

p k

k α= . a)Calculez α .

On sait que ∑ ∞

= =

0

1 k

kp , donc ∑∑ ∞

=

= =⇒=

00 !

5 1

!

5 1

k

k

k

k

kk αα .

Or quelque soit le réel λ, on a : ∑ ∞

= =

ok

k

e k

λλ !

, donc 1 = 5eα , donc α = 5−e .

b)Quelle est la probabilité que la caissière reçoive moins de 5 clients ? P(C<5) ?

P(C<5) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = ∑∑ ==

− == 4

0

4

0

5 44,0~ !

5

k

k

k k k

ep .

c)Quelle est la probabilité que la caissière reçoive au moins 5 clients ? P(C5) ?

P(C5) = 1 - P(C<5) 56,0~44,01~ =−= . d)Etablissez un graphique des probabilités de la question b où 5 est remplacé

par k, k=0, 1,2, …

Probabilité de recevoir moins de k clients entre 15 et 16 heures

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

k

P ro

b ab

ilt é

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Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 19

Exercice 1.16 :

Dans une ville, il y a 3 centres de secours d’urgence. Cinq malades appellent le même jour un centre au téléphone après l’avoir choisi au hasard dans l’annuaire téléphonique. a)Quel est le cardinal de l’univers S associé à cette épreuve ?

#S = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 35 = 243. b)Quelle est la probabilité que les cinq malades appellent le même centre ? #F = {(a, a, a, a, a) ou (b, b, b, b, b) ou (c, c, c, c, c)}, donc #F = 3.

Donc la probabilité que les cinq malades appellent le même centre =

012,0~ 81 1

243 3 == .

c)Quelle est la probabilité que les trois centres soient appelés ? #F = {(3a, b, c), (3b, a, c),(3c, a, b),(2a, 2b, c), (2b, a, 2c),(2c, 2a, b)}

Or il y a !1!1!3

!5 (permutations avec répétitions) façons de choisir (3a, b, c), idem

pour les deux autres sous-ensembles.

Et il y a !1!2!2

!5 façons de choisir (2a, 2b, c), idem pour les deux autres sous-

ensembles.

Donc #F = (3 .5 . 4) + (3 . 5 . 2 . 3) = 60 + 90 = 150.

Donc la probabilité que les trois centres soient appelés = 62,0~ 243 150= .

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Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 20

Exercice 1.17 : On jette un dé honnête. On mise sur l’as. a)Quelle est la probabilité de gagner au moins une fois en 6 parties ? Soit G = « Gagner au moins une fois. » ; soit G = « Perdre à chaque fois. ».

Soit iP = « Perdre au ième jet. ».

⇒ P( iP ) = 5/6 ∀i puisque les lancers de dés sont indépendants les uns des

autres.

⇒ P(G ) = P( 1P ∩ 2P ∩ 3P ∩ 4P ∩ 5P ∩ 6P ) = (5/6) 6.

⇒ P(G) = 1 - P(G ) = 1 - (5/6)6 ≅ 2/3.

b)Montrez que la résolution directe du problème n’est pas possible dans le cadre des lois élémentaires des probabilités.

Il est impossible de résoudre directement : soit Gi = « Gagner au i

ème jet. ».

P(G) = P(G1 G2 G3 G4 G5 G6) ≠ ∑ =

6

1

)( i

iGP car les Gi sont compatibles.

c)Combien de fois faut-il lancer le dé pour n’avoir plus que 1% de chances de

perdre au maximum ? Il faut n tel que P(G ) ≤ 0,01 ⇒ (5/6)n ≤ 0,01 ⇒ n log(5/6) ≤ log(0,01)

⇒ n ≥ )6/5log( )01,0log( ⇒ n ≥ 26.

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