Exercices récapitulatifs de probabilités discrètes - 3° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices récapitulatifs de probabilités discrètes - 3° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques concernant les exercices récapitulatifs de probabilités discrètes - énoncés et solutions - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Organisation de recherches, Répartition d...
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XR1234sol

Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 44

Exercice 3.2

Une urne contient 9 jetons numérotés de 1 à 9. On en sort deux sans en noter les numéros . a) Quelle est la probabilité qu’un troisième jeton tiré de l’urne soit pair ?

P.N. La difficulté de ce problème est sa modélisation plus complexe. Particulièrement celle des conditions. Le choix qui a été fait infra a été de les décrire en extension sur base de deux événements élémentaires :

JP = « Tirer un jeton pair. » et JI = « Tirer un jeton impair. » = JP .

Pour décrire complètement les conditions auxquelles est soumis le résultat de l’épreuve : « Tirer le 3è jeton. », nous définissons les événements composés suivants :

A1=JP,JP ; A2=JI,JI ; A3=JP,JI ; A4=JI,JP. Avec {Ai ; i=1, 2, 3, 4}un SCE. et B = «Le 3è jeton tiré est pair. ».

Donc (LPT) ∑ ∑ = =

=∩= 4

1

4

1 )(P)./(P)(P)(P

i i AiAiBAiBB .

Or (Laplace)

P(A1) = 8

3

9

4 × et P(B/A1) = 7 2 ; P(A2) =

8

4

9

5 × et P(B/A2) = 7 4 ;

P(A3) = 8

5

9

4 × et P(B/A3) = 7 3 ; P(A4) =

8

4

9

5 × et P(B/A4) = 7 3 .

Donc P(B) = 9

4

7.9

28

7.9

15103

7.8.9

2.3.5.44.4.52.3.4 ==++=++ .

b) Quelle est la probabilité que les trois jetons soient impairs si l’un des trois l’est ?

Soit A = « Les trois jetons sont impairs. » = (JI, JI, JI). Soit B = « Un des trois jetons est impair. » = (JIII)∪(IJII)∪(IIJI) ; I=JPJI

Or 21

1

63

3

7.8.9

2.3.4 )(Pet)(P1)(Pdonc),,( ===−== BBBJPJPJPB (Laplace)

On cherche P(A/B) = )(P

)(P

B

BAI

or A B = A puisque A B (A ⊂ B) et 42

5

7

3 .

8

4 .

9

5 )( ==AP .

Donc P(A/B) = 8

1

4

1 .

2

1

21

20 42

5

)(P1

)(P )(P )(P

)(P

)(P === −

== B

A B A

B

BAI .

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 45

Exercice 3.3

En Europe occidentale, 5% des garçons et 0,25% des filles naissent daltoniens. 51% des naissances concernent des garçons.

a) Quelle est la proportion de garçons dans la population des bébés daltoniens ?

Soit D = « Etre daltonien » ; G = « Etre un garçon » et F = « Etre une fille ».

On cherche P(G/D)

Par la formule de Bayes : P(G/D) = )(P)./(P)(P)./(P

)(P)./(P FFDGGD

GGD +

Or P(G) = 0,51 ; donc P(F) = 0,49 puisque (G,F) est un SCE ;²

P(D/G) = 0,05 et P(D/F) = 0,0025.

Donc P(G/D) = 954,0 026725,0

0255,0

49,0.0025,051,0.05,0

51,0.05,0 == +

.

b) Quelle est la proportion d’enfants daltoniens dans le total ?

N.B. : (G,F) est un SCE.

On cherche P(D) = (LPT) =+ )(P)./(P)(P)./(P FFDGGD 0,026725 ≈ 2,5%.

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 46

Exercice 3.4

La compagnie d’assurance SECOURT-SERTAIN propose des primes réduites à ses clients à faible risque. Elle a donc réparti la population en deux classes : ceux qui sont enclins aux accidents et ceux qui ne le sont pas. Ses statistiques montrent qu’un individu enclin aux accidents a une probabilité de 0,4 d’en avoir un au cours d’une année, alors que cette probabilité tombe à 0,2 pour les gens à faible risque. On suppose que 30% de la population appartient à la classe à haut risque.

Solution :

a)Quelle est la probabilité qu’un nouvel assuré soit victime d’un accident durant la première année de son contrat ?

Soit : A1 = « Le nouvel assuré aura un accident au cours de la première année. » ; HR = « Le nouvel assuré fait partie de la classe à haut risque. » ; FR = « Le nouvel assuré fait partie de la classe à faible risque. ». P(A1) = P(A1/HR).P(HR) + P(A1/FR).P(FR) = (0,4.0,3) + (0,2.0,7) = 0,12 + 0,14 = 0,26. b)Quelle est la probabilité qu’il fasse partie de la classe à haut risque s’il est

victime d’un accident dans l’année qui suit la conclusion de son contrat ? P(HR/A1) = P(HRA1)/ P(A1) = P(A1/HR).P(HR)/ P(A1) = (0,4.0,3) / 0,26 = 6/13. c)Quelle est la probabilité conditionnelle pour un nouveau client d’avoir un

accident durant la deuxième année de son contrat s’il a eu un accident durant la première année ?

Soit A2 = « Le nouvel assuré aura un accident au cours de la deuxième année ». On peut conditionner sur le fait que le client peut être à haut risque ou non. P(A2/A1) = P(A2/HRA1) .P(HR/A1) + P(A2/FRA1) . P(FR/A1) = 4/10 . 6/13 + 2/10 . 7/13 =

24/130 + 14/130 = 38/130 ≅ 0,292.

Le graphique en arbre infra rend la modélisation plus facile.

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 47

On cherche P(A2/A1) = P(A2A1)/P(A1) = (d’après les probabilités jointes du

diagramme) (0,048 + 0,028) / [(0,072+0,048) + (0,112 + 0,028)] = 0,076/0,260 =

0,292.

HR

0 acc

1 acc

0 acc

1 acc

0 acc

1 acc

FR

0 acc

1 acc

0 acc

1 acc

0 acc

1 acc

TYPE DE RISQUE

1ère année 2ème année

0,3

0,7

0,4

0,4

0,4

0,2

0,2

0,2 0,8

0,8

0,8

0,6

0,6

0,6

PROBABILITES JOINTES

0,3.0,6² = 0,108

0,3.0,6.0,4 = 0,072

0,3.0,6.0,4 = 0,072

0,3.0,4² = 0,048

0,7.0,8² = 0,448

0,7.0,8.0,2 = 0,112

0,7.0,8.0,2 = 0,112

0,7.0,2² = 0,028

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 48

Exercice 3.5 Chacun de deux petits meubles identiques a deux tiroirs. Le meuble A contient une pièce d’argent dans chaque tiroir, le meuble B ayant une pièce d’argent dans un tiroir et une pièce d’or dans l’autre. On désigne un des deux meubles au hasard, on ouvre l’un de ses deux tiroirs et on y découvre une pièce d’argent. a)Quelle est la probabilité que ce soit le meuble A qui a été choisi ? Soit A1 = « Découvrir une pièce d’argent dans un des deux tiroirs. ». Soit A2 = « Découvrir une pièce d’argent dans l’autre tiroir. ». Soit O2 = « Découvrir une pièce d’or dans l’autre tiroir. ». Soit A = « Choisir le meuble A. ». Soit B = « Choisir le meuble B. ». On cherche P(A/A1) = P(AA1)/P(A1)=

3

2

4

3 2

1

2

1 .

2

1

2

1 .1

2

1 .1

)()./1()()./1(

)()./1( == +

= + BPBAPAPAAP

APAAP .

b)Quelle est la probabilité qu’il y ait une pièce d’argent dans l’autre tiroir ?

On cherche P(A2/A1) = P(A2/ AA1)/P(A/A1) + P(A2/ BA1)/P(B/A1) =

3

2

3

1 .0

3

2 .1 =+ .

c)Quelle est la probabilité qu’il y ait une pièce d’or dans l’autre tiroir ?

On cherche P(O2/A1) = P(O2/ AA1)/P(A/A1) + P(O2/ BA1)/P(B/A1) =

3

1

3

1 .1

3

2 .0 =+ .

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 49

Exercice 3.6

On sait que globalement 98% des bébés survivent à l’accouchement. Cependant 15% des naissances se font par césarienne, dans ce dernier cas, le taux de survie des nouveaux nés est de 96.%.

a) Si, dans la population, une femme enceinte est choisie au hasard n’accouche pas par césarienne, quelle est la probabilité que son bébé survive ? (Deux méthodes de solution).

Soit S = « Le bébé survit. » et C = «L’accouchement se fait par césarienne. ». P(S) = 0,98 P( S )=0,02. P(S/C) = 0,96. P(C) = 0,15 P(C )=0,85. P( S /C) = 0,04.

On cherche P(S/C ) ; or par la loi des probabilités totales : P(S) = P(S/C) .P(C) + P(S/C ) . P(C ) ⇒ 0,98 = 0,96 . 0,15 + P(S/C ) . 0,85.

⇒ P(S/C ) = 9835,0 85,0

15,096,098,0 =×− .

Autre méthode : le diagramme en arbre : Calcul des probabilités jointes et conditionnelles : P( SC∩ ) = 0,144 = 0,15 * 0,96. P( SC∩ ) = 0,006 = 0,15 * 0,04. P( SC∩ ) = 0,836 = 0,98 – 0,144. P( CS / ) = 0,9835 = 0,836/0,85. P( CS / ) = 0,0165 = 1 – 0,9835. P( SC∩ ) = 0,014 = 0,85 * 0,0165. b) Si, dans la population des bébés nés ce jour et survivants, on en choisit un au hasard, quelle est la probabilité qu’il soit né par césarienne ?

On cherche P(C/S) = 14694,0 98,0

15.0.96,0

)(

)()./( == SP

CPCSP .

C

C

S

S

S

S

0,15

0,85

0,96

0,04

0,9835

0,0165

0,144

0,006

0,836

0,014

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 50

Exercice 3.7

Dans cette population, on sait que 36% des ménages possèdent un chien et 30% un chat. On sait également que 22% des ménages qui possèdent un chien ont aussi un chat. a)Quelle est la probabilité qu’un ménage tiré au hasard dans cette population

possède à la fois un chien et un chat?

Soit D = « Le ménage possède un chien. » et C = « Le ménage possède un chat. ». P(D) = 0,36. P(C/D) = 0,22. P(C) = 0,30. P ( D ) = 0,64. On cherche P( CD ∩ ) = P(C/D) . P(D) = 0,22 . 0,36 = 0,0792.

b)Quelle est la probabilité qu’un ménage possédant un chat, possède aussi un

chien ? (deux méthodes de solution).

On cherche P(D/C).

Loi du produit des probabilités :

P(D/C) = P( CD ∩ )/P(C)= 0,0792 / 0,30 = 0,264. Théorème de Bayes

P(D/C) = P(C/D) . P(D) / (P(C/D) . P(D) + P( DC / ).P( D )).

On doit donc chercher P( DC / ) = (produit des probabilités) P( DC ∩ )/P( D ) =

(P(C)– P( CD ∩ )) / P( D ) = (0,30-0,0792) / 0,64 = 0,2208 / 0,64 = 0,345.

⇒ P(D/C) = 0,0792 / (0,0792 + (0,345 . 0,64)) = 0,0792 / 0,2208 = 0,264.

En jaune : P( DC ∩ ).

D C

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 51

Exercice 3.8 : La chèvre de Monty

Dans un jeu télévisé américain très populaire, Monty propose au gagnant d’une épreuve le choix suivant : trois portes fermées sont en face du candidat, une d’entre elles cache une voiture, chacune des deux autres une chèvre. Le candidat désigne une porte au hasard et gagne ce qu’elle cache. Très souvent Monty avant d’ouvrir la porte désignée par le candidat, en ouvre une des deux autres cachant une chèvre et demande au candidat s’il modifie sa décision. Très souvent également les candidats, avouant qu’ils sont superstitieux, maintiennent leur choix initial. Ont-ils raison ? Résolvez par le diagramme en arbre.

P.N. : pour résoudre ce problème par le(s) diagramme(s) en arbre, il faut considérer deux types d’action : deuxépreuves (le choix d’une porte par le candidat et le choix d’une chèvre par Monty dans le cas où la voiture a été désignée par le candidat) et une décision : changer ou non de choix. Soit A= « Le candidat gagne l’auto. » ; C = « Le candidat change de décision. »

Choix aléatoire du La chèvre que Le candidat candidat : Monty montre : change de décision, il obtient : Donc P(A/C) = 1/3 + 1/3 = 2/3.

Choix aléatoire du La chèvre que Le candidat ne change candidat : Monty montre : pas de décision, il obtient :

Donc P(A/C ) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Auto

Ch. 1

Ch. 2

Ch. 2

Ch. 2

Ch. 1

Ch. 1 Ch. 2

Ch. 1

Auto

Auto

1/3

1/3

1/3

1/2

1/2

1

1

1

1

1

1

1/6

1/6

1/3

1/3

Auto

Ch. 1

Ch. 2

Ch. 2

Ch. 2

Ch. 1

Ch. 1

Ch. 1

Ch. 2

1/3

1/3

1/3

1/2

1/2

1

1

1

1

1

1

1/6

1/6

1/3

1/3

Auto

Auto

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 52

Exercice 3.9 : Tricher aux cartes

Un jeu souvent pratiqué consiste à présenter 3 cartes à un candidat, une dont les deux faces sont rouges, l’autre dont les deux faces sont noires et la troisième est bicolore : une face rouge, l’autre noire. Les cartes sont mélangées dans un chapeau, l’une d’entre elles est tirée au hasard et, sans observer sa ou ses couleurs, est posée sur le sol.

Si la face apparente est rouge, quelle est la probabilité que l’autre soit noire ? (Etablissez intuitivement la probabilité a priori de cet événement, résolvez et comparez les résultats ; en général, ils diffèrent).

Soit RR : « La carte tirée est rouge sur les deux faces.». Soit NN : « La carte tirée est noire sur les deux faces.». Soit RN : « La carte tirée est rouge sur une des deux faces, noire sur l’autre. ». Soit RA : « La face apparente est rouge.». Soit NA : « La face apparente est noire.». Soit RC : « La face cachée est rouge.». Soit NC : « La face cachée est noire.».

On cherche P(NC/RA).

Par formule P(NC/RA) = 3

1

21

61

)(

)( ==∩ RAP

RANCP .

En effet P(RA) = (LPT) P(RA/RR).P(RR) + P(RA/NN).P(NN) + P(RA/RN).P(RN)

= 1.1/3 + 0.1/3 + 1/2.1/3 = 3/6 = 1/2.

Et P(NCRA) est obtenue par la formule de Laplace, en effet, il y a six possibilités pour la face cachée (trois rouges et trois noires), mais une seule favorable à la réalisation de l’événement (NCRA) : tirer la carte bicolore, et faire apparaître la face rouge, donc P(NCRA) = 1/6.

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 53

Résolution par le diagramme en arbre : Quelle carte est-elle De quelle couleur De quelle couleur tirée ? est la face apparente ? est la face cachée ?

RR

NN

RN

RA

NA

RA

NA

RC

NC

NC

RC

1/3

1/2 1/3

1

1

1

1

1

1

1/3

1/2

1/3

1/3

1/6

1/6

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 54

Exercice 3.10 : Organisation de recherches

Un avion a disparu avec une chance égale dans une des trois régions i = 1, 2 ou 3. Si la probabilité de manquer l’avion dans la région i est égale à αi , quelle est la probabilité que l’avion se trouve dans la ième région sachant que les recherches dans la région 1 se sont révélées infructueuses ?

Solution : Soit les événements suivants :

Di = « L’avion a disparu dans la région i. », i = 1, 2, 3. P(Di) = 1/3.

E1 = « L’avion n’a pas été découvert dans la région 1. ».

On sait que P(E1/D1) = α1. On cherche P(Di/E1), i = 1,2,3.

P(D1/E1) = ===∩

∑ =

)()./1(

3

1 .

)1(

)1().1/1(

)1(

)11( 3

1

1

DiPDiEPEP

DPDEP

EP

DEP

i

α

2 3

1 .1

3

1 .1

3

3

1

1

1

1

+ =

++ α α

α

α

.

P(Di/E1) = 2

1

3

1 .1

3

1 .1

3

3

1 .1

)1(

)()./1(

11 + =

++ =

ααEP DiPDiEP

, i = 2, 3.

Il est utile d’observer que la probabilité a posteriori que l’avion se trouve dans les régions 2 et 3 quand on ne l’a pas découvert dans la région 1 est supérieure à la probabilité à priori et tend vers 0,5 quand α1. tend vers 0 alors que c’est l’inverse dans la région 1. Ce qui confirme les intuitions a priori.

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 55

Exercice 3.11

500 couples mariés dont chacun des deux conjoints travaillent ont vu leur déclaration d’impôt de l’an dernier analysée à des fins d’études statistiques. Dans le rapport de cette analyse, on trouve le tableau de contingence suivant :

Répartition des revenus des conjoints (nombre de couples)

FEMME

MARI < 25.000 € ≥ 25.000 €

< 25.000 € 212 198 ≥ 25.000 € 36 54

Donc dans cette population de 500 couples, il y a 54 couples où à la fois la femme et le mari gagnent chacun au moins 25.000 €, etc.

a)Si, dans la population de ces couples, on en choisit un au hasard, quelle est la

probabilité que le mari gagne au moins 25.000 € ? Il s‘agit de la probabilité marginale que le mari gagne au moins 25.000 €, via l’approche fréquentiste, on peut établir quelle vaut (198 + 54)/ 500 = 252/500 = 0,504.

b)Si, dans la population de ces couples, on en choisit un au hasard, quelle est la probabilité conditionnelle que la femme gagne au moins 25.000 € sachant que son mari gagne au moins la même somme ?

Selon la même approche, la probabilité s’établit à 54/(198 + 54) = 54/252 = 3/14 = 0,214.

c)Si, dans la population de ces couples, on en choisit un au hasard, quelle est la probabilité conditionnelle que la femme gagne au moins 25.000 € sachant que son mari gagne moins que cette somme ?

Selon la même approche, la probabilité s’établit à 36/(212 + 36) = 36/248 = 9/62 = 0,145.

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Chapitre 3 : Solutions des exercices récapitulatifs 56

Exercice 3.12

Le garage D. Gonflet est spécialisé dans le montage des pneus de voiture. A partir de ses statistiques tenues sur ses fidèles clients, le patron a pu établir les probabilités suivantes : un train de pneus ordinaires montés d’origine sur une voiture neuve a une probabilité de 80% d’être encore légalement utilisable après 25.000 km, de 40% de l’être après 35.000 km et de 10% de l’être après 45.000 km. Si un client lui demande de vérifier ses pneus alors qu’il s’agit de ceux qui ont été montés d’origine sur sa voiture qu’il avait achetée neuve et qui vient de franchir le cap des 25.000 km et que ces derniers s’avèrent être encore légalement utilisables : a)Quelle est la probabilité que leur utilisation légale se prolonge au delà de

35.000 km ? Soit A = « Les pneus sont légalement utilisables après 25.000 km. ». Soit B = « Les pneus sont légalement utilisables après 35.000 km. ». Soit C = « Les pneus sont légalement utilisables après 45.000 km. ». On recherche P(B/A) = P(BA)/P(A). (LPC) Or BA, donc BA, donc BA = B, donc P(BA) = P(B). Donc P(B/A) = P(B)/P(A) = 0,4/0,8 = 1/2. b)Quelle est la probabilité que leur utilisation légale supplémentaire dépasse

20.000 km ? Dans ce cas, on recherche la probabilité que les pneus soient encore légalement utilisables après (25.000 + 20.000 =) 45.000 km, c’est-à-dire P(C/A). Or C ⇒ A, donc par le même argument que supra, P(C/A) = P(C)/P(A) = 0,1/0,8 = 1/8.

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 57

Annexe au chapitre 4 : Exercices récapitulatifs (solutions)

Exercice 4.1 : Le vendeur d’encyclopédies (I)

Un vendeur a deux rendez-vous demain pour vendre des livres. Au premier rendez-vous, il vendra avec une probabilité 0,3 ; au second, avec une probabilité 0,6. Dans les deux cas, en cas de conclusion du contrat, il a autant de chances de vendre un livre édition luxe (25 €) qu’un livre édition standard (12,5 €). Déterminez la distribution de probabilité et la fonction de répartition de X , le chiffre d’affaires (en €), de demain. Solution : Soit les événements suivants, Vij, i = S, L ; j = 1, 2, « La vente d’une édition i

réalisée lors du jème rendez-vous demain. » et NVj : « Aucune vente réalisée lors

du jème rendez-vous demain. ».

L’espace d’échantillonnage de cette épreuve, S, est égal au produit cartésien des

deux ensembles suivants (application du principe de multiplication) :

{ NV1, VS1, VL1 }x{ NV2, VS2, VL2 } avec #S = 9.

Les probabilités suivantes peuvent être déterminées :

P(VS1) = P(VL1) = 0,15 ; P(VS2) = P(VL2) = 0,3 ; P(NV1) = 0,7 ; P(NV2) = 0,4.

S Probabilité X (€)

NV1, NV2 0,7.0,4 = 0,28 0

NV1, VS2 0,7.0,3 = 0,21 12,5

NV1, VL2 0,7.0,3 = 0,21 25

VS1, NV2 0,15.0,4 = 0,06 12,5

VS1, VS2 0,15.0,3 = 0,045 25

VS1, VL2 0,15.0,3 = 0,045 37,5

VL1, NV2 0,15.0,4 = 0,06 25

VL1, VS2 0,15.0,3 = 0,045 37,5

VL1, VL2 0,15.0,3 = 0,045 50

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 58

Pour déterminer la distribution de probabilités et la fonction de répartition, il

faut relever toutes les valeurs distinctes prises par X lors de la réalisation des

événements de l’espace d’échantillonnage S, de façon à constituer l’intervalle de

X.

La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont

présentées dans le tableau suivant :

X(€) 0 12,5 25 37,5 50

P(X) 0,28 0,27 0,315 0,09 0,045

F(X) 0,28 0,55 0,865 0,955 1

Distribution de probabilité et fonction de répartition du c. a. du vendeur

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 12,5 25 37,5 50

(€)

P(X)

F(X)

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 59

Exercice 4.2 : La vielle dame et le bus (I)

Une dame âgée prend souvent le bus. Elle se fait un devoir d’introduire une réclamation quand le bus qu’elle prend arrive en retard et/ou quand elle ne trouve pas de place assise. Ses statistiques lui apprennent qu’elle arrive en retard ayant trouvé une place assise dans 15 % des cas, ne trouve pas de siège mais néanmoins arrive à l’heure dans 10 % des cas, arrive en retard sans avoir trouvé de place assise dans 8 % des cas. Déterminez la distribution de probabilité de X , le nombre de raisons que la vieille dame a d’introduire une réclamation lors de son prochain voyage en bus ainsi que sa fonction de répartition. Solution : Soit les événements suivants, Ei, i = 1, 2, 3, 4, S= { Ei,: i = 1, 2, 3, 4} avec :

E1 : « Le prochain voyage de la vieille dame se passera sans problèmes. ».

E2 : « Le bus sera en retard lors du prochain voyage de la vieille dame. ».

E3 : « La vieille dame ne trouvera pas de place assise lors de son prochain

voyage en bus. ».

E4 = « La vieille dame ne trouvera pas de place assise lors de son prochain

voyage en bus et, de plus, le bus sera en retard. ».

Les probabilités suivantes peuvent être déterminées :

P(E2) = 0,15 ; P(E3) = 0,10 ; P(E4) = 0,08 ; P(E1) = 1 - 0,15 - 0,1 - 0,08 = 0,67.

S Probabilité X

E1 0,67 0 E2 0,15 1 E3 0,10 1 E4 0,08 2

La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont

présentées dans le tableau suivant :

X 0 1 2

P(X) 0,67 0,25 0,08 F(X) 0,67 0,92 1

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 60

Exercice 4.3 : Le directeur d’école et le coût du chauffage (I)

Le directeur de l’école du village doit prévoir le budget du chauffage de ses bâtiments pour le premier trimestre de l’année scolaire. Les statistiques qu’il a tenues depuis de nombreuses années lui fournissent les probabilités suivantes. En septembre, il dispose de 15 chances sur 100 de ne rien consommer (c’est l’été indien), autrement la consommation s’élève à 500 litres de mazout. En octobre, si l’été indien s’est produit en septembre (donc si la consommation a été nulle en septembre), la consommation s’élèvera à 200 litres ; par contre, la probabilité d’une consommation de 500 litres est de 55 %, 750 litres dans les autres cas. En novembre, le complexe scolaire consomme 600 litres dans 60% des cas et 800 litres autrement. En décembre, la consommation s’établit toujours à 750 litres. Soit X, une variable aléatoire discrète qui représente la consommation de mazout en litres au cours du 1er trimestre. Déterminez la distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition. Solution :

Pour déterminer l’espace d’échantillonnage de cette épreuve et les valeurs de X

qui y sont associées, un diagramme en arbre est utile dont les étapes

représenteront successivement chaque mois du 1er trimestre et les nœuds, les

consommations mensuelles prévues.

IX X XI XII

500

500

750

600

600

800

800

750

750

750

750

0 200

600

800 750

750 1550

1750

2350

2550

2600

2800

X (l.) P(X)

1

0,85

1

1

1

1

1

1

0,15

0,45

0,55

0,4

0,4

0,6

0,6

0,09 0,6

0,4 0,06

0,2805

0,2295

0,187

0,153

Mois du 1er trimestre

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 61

La distribution d’échantillonnage de X est donnée à droite de l’arbre, P(X) étant

calculée comme la probabilité jointe de la réalisation des consommations

mensuelles sur la branche de l’arbre générant X.

La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont

présentées dans le tableau suivant :

X (l.) 1550 1750 2350 2550 2600 2800

P(X) 0,09 0,06 0,2805 0,187 0,2295 0,153

F(X) 0,09 0,15 0,4305 0,6175 0,847 1

Distribution de probabilités et fonction de répartition de la consommation de mazout du 1er

trimestre

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1550 1750 2350 2550 2600 2800

Litres de mazout : X

P(X)

F(X)

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 62

Exercice 4.4 : Le choix de Jacqueline (I)

Jacqueline termine sa dernière année d’études secondaires avec succès. Elle hésite entre des études en sciences économiques et des études en informatique. En fait, elle a décidé, si elle en est capable, d’obtenir les deux diplômes. Soit, elle commencera par les études universitaires en sciences économiques, puis si elle les réussit, poursuivra par des études complémentaires en informatique ; soit elle commencera par les études universitaires en informatique, puis si elle les réussit, poursuivra par des études complémentaires en économie. Elle estime la probabilité de réussite des études (complémentaires ou non) en économie à pe et la probabilité de réussite des études (complémentaires ou non) en informatique à pi. Si elle ne réussit pas les premières études qu’elle entreprend, elle s’inscrira à un graduat. Si elle réussit le graduat, elle entreprendra des études complémentaires en économie. La probabilité de réussir le graduat et d’être acceptée dans le programmes d’études complémentaires en économie est de pg. Ce qui l’intéresse, c’est son revenu à 35 ans. Ses relevés statistiques ont montré que le revenu moyen à 35 ans de quelqu’un qui : - dispose de deux diplômes universitaires est de 1000 ; - dispose du diplôme en informatique uniquement est de 800 ; - dispose du diplôme en économie uniquement est de 840 ; - dispose du diplôme de gradué uniquement est de 600 ; - dispose du diplôme de gradué et d’un diplôme universitaire complémentaire

est de 600 + (¼ du revenu de celui qui dispose du diplôme universitaire unique correspondant) ;

- ne dispose pas de diplôme supérieur est de 350. On vous demande : la distribution de probabilité et la fonction de répartition du revenu à 35 ans, si elle commence par des études en informatique ; (N.B. pour la fonction de répartition, vous supposez que pi = 0,35 : pe=0,42 ; pg=0,7).

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 63

Solution :

Pour déterminer l’espace d’échantillonnage de cette épreuve et les valeurs de X

qui y sont associées, un diagramme en arbre est utile dont les étapes

représenteront successivement les études suivies et les nœuds, le résultat obtenu

(réussite ou échec). Le revenu à 35 ans et sa probabilité seront calculés en fin de

branche. La probabilité d’un niveau donné de revenu est une probabilité jointe.

Les notations suivantes sont utilisées pour les événements : I, E, G, EC

signifient : « Jacqueline a réussi ses études en (respectivement) informatique,

économie, graduat, économie (complémentaire). ».

Ces mêmes notations précédées de ~ signifient l’échec dans ces mêmes études.

La distribution de probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition sont

présentées dans le tableau suivant :

X 350 600 800 810 1000

P(X) 0,195 0,2639 0,203 0,1911 0,147 F(X) 0,195 0,4589 0,6619 0,853 1

~I

I

~E

E

~G

G

~EC

EC

0,35

0,65

0,42

0,58

0,7

0,3

0,42

0,58

0,147 1000

0,203 800

600 + (0,25.840) 0,1911

0,2639 600

0,195 350

P(X) X

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Chapitre 4 : Solutions des exercices récapitulatifs 64

Distribution de probabilités et fonction de répartition du revenu de Jacqueline à 35 ans

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

350 600 800 8100 1000

Revenu à 35 ans

P(X)

F(X)

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Exercices récapitulatifs (2) 65

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