Exercices sur l'algèbre linéaire, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 February 2014

Exercices sur l'algèbre linéaire, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur l'algèbre linéaire. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Matrices - Systèmes linéaires, Déterminants, Espaces Vectoriels, Applications linéaires, Réduction des endomorphismes.
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12. Algèbre linéaire

12.1 Matrices - Systèmes linéaires

Ex. 1 On considère les deux matrices de M3(R)

A =

1 −1 1 −1 1 −1 1 1 1

 et B =

1 1 0 1 1 0 0 0 1

Calculer A+B, (A+B)2, A2, B2, AB et BA. En déduire que (A+B)2 6= A2 + 2AB +B2.

Ex. 2 On considère les matrices suivantes

A =

(

1 2 3 4 5 6

)

et B =

1 2 3 4 5 6

Calculer, dès que cela est possible, A+B, AB et BA.

Ex. 3 Résoudre les systèmes linéaires suivants :

(S1)

{

x+ 3y − 2z + 4t = 1 z = 1

(S2)

2x+ y − z = 1 x− y + z = 2 4x+ 3y + z = 3

(S3)

2x+ y − z = 1 3x+ 3y − z = 2 2x+ 4y = 3

(S4)

2x+ y − z = 1 3x+ 3y − z = 2 2x+ 4y = 2

(S5)

x− 2y + z − 4t = 1 x+ 3y + 7z + 2t = 2 x− 12y − 11z − 16t = 5

(S6)

2x+ 2y − 2z + 5t = −6 3x− z + t = −3 2x− y − 3t = 2 2x− y + z − t = 1

39

Ex. 4 Résoudre les systèmes suivants en discutant suivant les valeurs du paramètre α ∈ R :

(S7)

αx+ y + αz = 2α αx− αy + z = 2α αx− αy + αz = 1 + α

(S8)

x+ 2 y + z = 0 x+ y + (1 + α)z = 1 x+ y − α2z = α3

(S9)

{

2αx+ (α− 1)y + (5− α)z = 0 (α− 1)x+ 2αy + (7 + α)z = 0

Ex. 5 Résoudre le système linéaire

2x+ y + 3z + t = a 4x+ 3y + 7z + t = b x+ 2y + 3z − t = 6− a 3x− 2y + z + 5t = 2− 7b

en discutant suivant les valeurs des paramètres a et b.

Ex. 6 Matrices par blocs Soit M une matrice complexe carrée d’ordre n et soit p ∈ {1, ..., n− 1}. La matrice M peut se décomposer en blocs sous la forme

M =

(

A B C D

)

où A ∈ Mp(C), B ∈ Mp,n−p(C), C ∈ Mn−p,p(C) et D ∈ Mn−p(C). 1. Soit M ′ ∈ Mn(C) que l’on décompose en blocs comme M :

M ′ =

(

A′ B′

C ′ D′

)

.

Quelle est la décomposition en blocs de M +M ′ et de M M ′ ? 2. On suppose que C = 0. Montrer que M est inversible si, et seulement si A et D le sont, et que dans ces conditions

M−1 =

(

A−1 −A−1BD−1 0 D−1

)

·

40

3. Calculer l’inverse de

M =

0 −2 1 2 2 0 3 5 0 0 −1 0 0 0 4 3

4. On suppose que la matrice M = (mi,j) d’ordre n est triangulaire supérieure. Montrer que M est inversible si, et seulement si, mii 6= 0 pour tout i. (Indi- cation: faire une récurrence sur n et utiliser la question 2.) Montrer que si la matrice (triangulaire supérieure) M est inversible, alors son inverse M−1

est aussi une matrice triangulaire supérieure.

Ex. 7 Inverser les matrices

A =

(

−2 1 4 3

)

B =

(

1 2 −1 3

)

C =

1 2 4 0 1 4 0 0 1

 D =

1 −1 1 2 −3 0 1 1 2

Ex. 8 Soit la matrice M =

a 1 a + 1 0 1 2 a 0 −1

 dépendant du paramètre a.

Calculer M−1 en fonction de a lorsque cette matrice existe.

Ex. 9 Une matrice A ∈ Mn(K) (K = R ou K = C) est dite à diagonale strictement dominante (sur les lignes) si

∀i ∈ {1, ..., n} |aii| > ∑

j 6=i |aij |.

1. Montrer que s’il existe X ∈ Kn \ {0} tel que AX = 0, alors A n’est pas à diagonale strictement dominante. 2. En déduire qu’une matrice à diagonale strictement dominante est in- versible. 3. Soit α > 0 et A = (aij) la matrice (tridiagonale) définie par

aij =

α si i = j 1 si |i− j| = 1 0 si |i− j| ≥ 2.

Donner un ensemble de valeurs de α pour lequel la matrice A est inversible.

41

12.2 Déterminants

Ex. 1 Calculer σ2 ◦ σ1, où σ1 = (

1 2 3 4 3 4 1 2

)

et σ2 =

(

1 2 3 4 3 2 4 1

)

.

Que vaut ε(σ2 ◦ σ1) ?

Ex. 2 Calculer les déterminants

D1 =

1 2 0 1 0 1 −1 4 3 1 2 −4 2 2 1 −2

D2 =

1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

Ex. 3 Déterminer les racines du polynôme

P (x) =

x− 1 3 0 6 2 x+ 4 −2 −5 −1 −6 x 5 −2 −6 2 x+ 3

en faisant apparâıtre la factorisation de P au cours du développement du déterminant.

Ex. 4 Déterminant de Vandermonde Soient a1, a2, ..., an des nombres complexes. On pose

Dn =

1 1 . . . 1 a1 a2 . . . an a21 a

2 2 . . . a

2 n

... ... . . .

... an−11 a

n−1 2 . . . a

n−1 n

·

1. Soit P un polynôme unitaire de degré n− 1. Montrer que

Dn =

1 1 . . . 1 a1 a2 . . . an a21 a

2 2 . . . a

2 n

... ... . . .

... P (a1) P (a2) . . . P (an)

·

42

2. Choisissant P (x) = (x−a1)·(x−a2) · · · (x−an−1), exprimer Dn en fonction de Dn−1, puis donner la valeur de Dn. A quelle condition la matrice

1 1 . . . 1 a1 a2 . . . an a21 a

2 2 . . . a

2 n

... ... . . .

... an−11 a

n−1 2 . . . a

n−1 n

est-elle inversible ?

Ex. 5 Soient n ∈ N∗, a ∈ R et Mn ∈ Mn(R) la matrice tridiagonale définie par Mn = (mij), avec

mij =

a si i = j, 1 si |i− j| = 1, 0 si |i− j| ≥ 2.

On pose Dn = detMn. 1. Montrer que D1 = a, D2 = a

2−1 et que Dn = aDn−1−Dn−2 pour n ≥ 3. 2. On rappelle que toute suite (un) vérifiant la relation de récurrence double

un + b un−1 + c un−2 = 0

s’écrit sous la forme • un = λ1(r1)n + λ2(r2)n si b2 − 4c 6= 0, où r1, r2 sont les racines (complexes ou réelles) du polynôme x2 + bx+ c; • un = λ1 rn + λ2 n rn si b2 − 4c = 0, où r est la racine double du polynôme x2 + bx+ c. On pose ∆ = a2 − 4. a. On suppose que ∆ = 0. Montrer que Dn =

(a

2

)n

(n + 1).

b. On suppose que ∆ 6= 0. Ecrivant

r1 = a +

√ ∆

2 r2 =

a− √ ∆

2

où √ ∆ désigne une racine carrée (réelle ou complexe) de ∆, montrer que

Dn = 1√ ∆ (rn+11 − rn+12 ) = rn1 + rn−11 r2 + · · ·+ r1rn−12 + rn2 .

c. Déterminer pour quelles valeurs de a la matrice M est inversible.

43

12.3 Espaces Vectoriels

Ex. 1 Dessiner les parties suivantes de l’espace vectoriel R2, et dire si ce sont des sous-espaces vectoriels. a) E1 = {(x1, x2) ∈ R2, x2 ≥ 0} b) E2 = {(x1, x2) ∈ R2, x1 = 0} c) E3 = {(x1, x2) ∈ R2, 2x1 − 7x2 = a}, où a est un paramètre d) E4 = {(x1, x2) ∈ R2, x1 x2 = 0}

Ex. 2 Soit E l’espace vectoriel des fonctions de R dans R. Les parties de E qui suivent sont-elles des sous-espaces vectoriels ? a) F1 = {f ∈ E, f(1) = 0} b) F2 = {f ∈ E, f(0) = 1} c) F3 = {f ∈ E, 3f(0)− 2f(1) + f(5) = 0} d) F4 = {f ∈ E, f est dérivable et vérifie f ′ + af = 0}, où a est un réel fixé e) F5 = {f ∈ E, f est croissante } f) F6 = {f ∈ E, f est intégrable au sens de Riemann sur [0,1] et

∫ 1

0 f(x) dx =

0} g) F7 = {x 7→ αx3 + βx2 + γx+ δ, α, β, γ, δ ∈ R}

Ex. 3 On note Sn(R) (resp. An(R)) l’ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques) réelles d’ordre n. 1. Montrer que Sn(R) et An(R) sont des sous-espaces vectoriels de Mn(R). 2. En remarquant que toute matrice M peut s’écrire sous la forme

M = 1

2 (tM +M) +

1

2 (M − tM),

montrer que Sn(R) et An(R) sont supplémentaires et donner une base pour chacun d’entre eux.

Ex. 4 2 Carrés magiques Soit M ∈ M3(R), M = (mij). On appelle trace de M , et on note tr M , le nombre

tr M = m11 +m22 +m33.

2 c©2002 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

44

On dit que M est une matrice magique si

∀i ∈ {1, 2, 3} m1i+m2i+m3i = mi1+mi2+mi3 = trM = m13+m22+m31.

Si de plus mij ∈ N∗ pour tous i, j, M est appelée un carré magique. On note E l’ensemble des matrices magiques de M3(R). 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3(R). Montrer que toute matrice magique peut s’écrire comme la somme d’une matrice magique symétrique et d’une matrice magique antisymétrique. 2. Déterminer toutes les matrices magiques antisymétriques. 3. Déterminer toutes les matrices magiques symétriques de trace nulle, puis toutes les matrices magiques symétriques. 4. Donner la forme générale d’une matrice magique et une base de E. Décomposer dans cette base le carré magique habituel

M =

4 9 2 3 5 7 8 1 6

 ·

Donner la forme générale d’un carré magique.

Ex. 5 Soient a, b, c trois vecteurs d’un espace vectoriel E sur R. Montrer que 1. Vect (a, b, c) = Vect (a, b) ssi c est combinaison linéaire de a et b 2. Pour tout λ ∈ R on a Vect (a, b) = Vect (a, b+ λa) ; 3. Pour tout λ ∈ R∗ on a Vect (a, b) = Vect (λa, b) ; 4. Application : Dans E = R3 vérifier que

Vect((1, 1, 1), (1, 0,−1)) = Vect((2, 1, 0), (0, 1, 2)).

Ex. 6 Trouver un système d’équations cartésiennes de F dans les cas sui- vants : a) E = R4 et F = Vect ((2, 1, 1,−1), (−1, 1,−1, 1)) b) E = R4 et F = Vect ((1, 2, 0, 1), (2,−1, 1, 0), (0, 1,−1, 2))

Ex. 7 (Inverse de l’exercice précédent) Trouver une partie génératrice du sous-espace F dans chacun des cas suivants:

45

1. E = R2 et F admet comme équation cartésienne x+ 2y = 0 2. E = R3 et F admet comme système d’équations cartésiennes

{

x+ 2y = 0 x− y + z = 0

3. E = R4 et F admet comme système d’équations cartésiennes

{

x− 2y + z − t = 0 −x+ 2y + 3t = 0

Ex. 8 Dans E = R4 on considère la famille F = {v1, v2, v3, v4}, où

v1 = (1, 2, 0, 1) v2 = (4, 4, 1, 2) v3 = (2, 0, 1, 0) v4 = (5, 0,

5 2 , 0)

1. Calculer rg(F). Extraire de F une famille libre F ′ maximale. 2. Compléter F ′ en une base de R4 en prenant des vecteurs de la base canon- ique. 3. Déterminer un supplémentaire de F = Vect(F).

Ex. 9 Montrer, dans chacun des cas suivants, que les sous-espaces F et G de E sont supplémentaires : 1. E = R2, F = {(x, y) ∈ E, x+ y = 0}, G = {(x, y) ∈ E, x− y = 0} 2. E = R3, F = {(x, y, z) ∈ E, x+ y+ z = 0}, G = {(x, y, z) ∈ E, x = y = z} 3. E = R4, F = Vect((1,−1, 1, 0), (1, 2, 0,−1)) et G admet comme système d’équations cartésiennes

{

x+ y − z − t = 0 x− y + z − t = 0

Ex. 10 1. Montrer que (u1, u2, u3) est une base de C 3, où

u1 = (1, 0,−1), u2 = (1, i, 2), u3 = (−i, 1, 1).

2. Calculer les composantes dans cette base de u = (1 + i, 1,−2i).

46

Ex. 11 (Extrait de la colle de Mai 2003)

Soient v1 =

1 0 −1 2

, v2 =

0 1 1 −2

, v3 =

−1 2 3 −6

et V = Vect(v1, v2, v3).

Déterminer dim (V ), une base de V et un système d’équations cartésiennes de V . Soit W l’ensemble défini par les équations

{

x+ y + z + t = 0, y − z + t = 0.

Déterminer dim (V +W ) et dim (V ∩W ).

Ex. 12 Soient dans R4 les vecteurs

u = (1,−1, 2,−2) v = (4, 0, 1,−5) w = (3, 1,−1,−3).

Soit G = Vect(u, v, w) et soit

H = {(x, y, z, t), x = y = x− y + z + 2t = 0}.

1. Donner des équations paramétriques de G et H, ainsi qu’un système d’équations cartésiennes de G. 2. Quelles sont les dimensions de G, H, G+H, G ∩H ? 3. Trouver un supplémentaire F de G+H dans R4.

Ex. 13 ∗ (Extrait de l’examen de Juin 2003) Soient U , V et W trois sous- espaces vectoriels d’un espace vectoriel E sur K. On suppose que V ⊂ W , U ∩ V = U ∩W et U + V = U +W . Montrer que V = W .

47

12.4 Applications linéaires

Ex. 1 Soit f l’application linéaire de R3 dans R3 qui au vecteur X =

x1 x2 x3

fait correspondre la vecteur Y = f(X) =

x1 − x2 + 2x3 −3x3 x1 + x2

.

1. Déterminer les images par f des vecteurs de la base canonique {e1, e2, e3} de R3. 2. Ecrire la matrice A représentant f dans cette base.

3. Calculer les images par f des vecteurs u =

1 1 −1

 et v =

2 0 3

.

Ex. 2 Dans E = R3, soit P le plan d’équation x− 2y− z = 0 et D la droite d’équations

{

x+ y + z = 0 y − 4z = 0

1. Donner une base {f1, f2} de P et une base {f3} de D. 2. Donner la matrice M (resp., M ′) de la projection sur P parallèlement à D dans la base canonique {e1, e2, e3} de R3 (resp. dans la base {f1, f2, f3}). Ex. 3 1. Soit E = R2[x] l’espace vectoriel des polynômes réels de degré au plus 2, et soit u : E → E l’application définie par u(P ) = P ′ (u est l’opérateur de dérivation). Vérifier que u est un endomorphisme de E, et donner sa matrice dans la base canonique {1, x, x2}. 2. Même question lorsque E est cette fois l’ensemble des combinaisons linéaires des fonctions cos et sin et que la base est la base naturelle {cos, sin}. Ex. 4 Soient

u1 = (1, 0,−1), u2 = (1, i, 2), u3 = (−i, 1, 1). On rappelle (cf. Ex. 10, Chapitre 12.3) que (u1, u2, u3) est une base de C

3. 1. Donner l’expression de la matrice de passage P de la base canonique à la base (u1, u2, u3) de C

3. Si X (resp., X ′) désigne le vecteur colonne des coordonnées d’un vecteur u de C3 dans la base canonique (resp., dans la base (u1, u2, u3)), exprimer X

′ en fonction de X et de P . 2. Calculer P−1 et retrouver la valeur de X ′ pour u = (1 + i, 1,−2i).

48

Ex. 5 3 1. On considère le système suivant :

(S)

x+ y + z + t = a x− y − z − t = b −x− y + t = c

−3x+ y − 3z − 7t = d

a. A quelle condition (S) admet-il une solution ? b. Montrer que si a, b, c, d > 0 alors (S) n’a pas de solution. c. Quel est l’ensemble des solutions du système homogène associé ?

2. Soit A =

1 1 1 1 1 −1 −1 −1

−1 −1 0 1 −3 1 −3 −7

et X =

x y z t

. Soit f : R4 → R4

définie par f(X) = AX. a. Calculer f(X). Montrer que f est linéaire. b. Quelle est sa matrice dans la base canonique de R4 ? c. f est-elle surjective? injective? Trouver l’image et le noyau de f . d. f est-elle inversible ?

e. Le vecteur

1 1 1 1

appartient-il à l’image de f? au noyau de f ?

3. a. Le vecteur V =

1 2 3 4

appartient-il à l’espace vectoriel engendré par

V1 =

1 1

−1 −3

, V2 =

1 −1 −1 1

, V3 =

1 −1 0

−3

, V4 =

1 −1 1

−7

?

b. Ces 4 vecteurs sont-ils linéairement indépendants ?

Ex. 6 Soit V = {(x, y, z) ∈ R3; x − 2z = 0, y + 3z = 0, 2x − y − 7z = 3 c©2001 Vincent Guirardel (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

49

0, −x+ 2y + 8z = 0, x+ y + z = 0}. On introduit la matrice

M = (C1C2C3) =

1 0 −2 0 1 3 2 −1 −7 −1 2 8 1 1 1

et l’application linéaire u de R3 dans R5 définie par u(X) = MX, où X = 

x y z

.

1. Quel est le lien entre Ker u, Im u, Vect (C1, C2, C3) et V ? Exprimer la dimension de V en fonction du rang de M . 2. Calculer le rang de M et la dimension de V .

Ex. 7 Soient E1, E2 deux espaces vectoriels de dimension finie sur K (K = R ou C) et u : E1 → E2 une application linéaire. Soit F un supplémentaire de ker u dans E1. Montrer que la restriction de u à F est un isomorphisme de F sur Im u.

Ex. 8 ∗ 4 Sommes de puissances d’entiers On sait que la somme des n premiers entiers vaut n(n + 1)/2. On veut généraliser ce résultat en trouvant une formule du type

(Fr) n ∑

k=1

kr = Qr(n),

où Qr est un polynôme à déterminer. On fixe r ∈ N∗. 1. On suppose qu’il existe un polynôme P ∈ Rr+1[x] tel que

P (x+ 1)− P (x) = xr.

Donner alors un polynôme Qr vérifiant (Fr). 2. Soit u : Rr+1[x] → Rr[x] l’application définie par u(P ) = P (x+1)−P (x). a) Vérifier que u est bien définie et linéaire. b) Déterminer le noyau et l’image de u. Conclure. c) Que dire de la restriction de u au sous-espace F = Vect (x, x2, ..., xr+1} ? 3. Expliquer comment trouver Qr en général. Faire les calculs pour r = 2 et r = 3.

4 c©2001 Frédéric Le Roux (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres).

50

Ex. 9 ∗ Polynômes interpolateurs de Lagrange Soient x1, x2, ..., xn+1 des réels deux à deux distincts, et soient y1, y2, ..., yn+1 des réels quelconques. On cherche un polynôme P dont le graphe passe par les points (xi, yi). Soit u : Rn[x] → Rn+1 l’application définie par

u(P ) = (P (x1), P (x2), ..., P (xn+1)).

1. Montrer que u est linéaire. 2. Montrer que u est injective, puis que u est un isomorphisme de Rn[x] sur Rn+1. Que peut-on en déduire ? 3. Pour tout i ∈ {1, ..., n+ 1}, on pose

Li =

j 6=i(x− xj) ∏

j 6=i(xi − xj) ·

Déterminer u(Li). 4. Donner l’expression de u−1(y1, y2, ..., yn+1).

Ex. 10 Déterminer le polynôme de Lagrange P , de degré au plus 3, qui vérifie P (−1) = 2, P (0) = 1, P (1) = 1 et P (2) = 0.

Ex. 11 ∗ Polynômes interpolateurs d’Hermite (Extrait de l’examen de Septembre 2003) 1. (Question préliminaire) Soit P ∈ Rn[x] (i.e., P est un polynôme à coefficients réels de degré au plus n) et soit x0 ∈ R. On suppose que P (x0) = P

′(x0) = 0. Montrer que l’on peut écrire P (x) = (x − x0)2Q(x), avec Q ∈ Rn−2[x]. 2. Soient [a, b] un segment et a = x1 < x2 < · · · < xn = b une subdivision de [a, b]. On considère l’application u : R2n−1[x] → R2n définie par

u(P ) = (P (x1), . . . , P (xn), P ′(x1), . . . , P

′(xn)).

a) Montrer que u est linéaire. b) Montrer que Ker u = {0}. (Indications : appliquer la question 1) et faire une récurrence). c) Montrer que pour tous (y1, . . . , yn), (z1, . . . , zn) ∈ Rn, il existe un unique polynôme P ∈ R2n−1[x] tel que

P (xi) = yi pour 1 ≤ i ≤ n, P ′(xi) = zi pour 1 ≤ i ≤ n.

51

Ex. 12 ∗ Soit E un espace vectoriel sur K (K = R ou C), et soit p un en- domorphisme de E. On dit que p est un projecteur si p2 = p. 1. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E qui sont supplémentaires, et soit p la projection sur G parallèlement à F . Montrer que p est un pro- jecteur. 2. Inversement, soit p un projecteur de E. On pose F = ker p et G = Im p. a. Montrer que F et G sont supplémentaires. b. Montrer que p est la projection sur G parallèlement à F .

52

12.5 Réduction des endomorphismes

Ex. 1 1. Montrer que les vecteurs suivants forment une base de R3

u1 =

1 1 −1

 , u2 =

−1 1 1

 , u1 =

1 −2 1

 .

2. Déterminer la matrice de passage de la base canonique E = {e1, e2, e3} à la base U = {u1, u2, u3}.

3. Soit v un vecteur de R3 de composantes X =

x1 x2 x3

 dans la base E et

de composantes Y =

y1 y2 y3

 dans la base U . Exprimer Y en fonction de X.

4. Soit f l’application linéaire (x, y, z) 7→ (2y, 5x+3z,−4x−2y−4z). Donner la matrice de f dans la base U .

Ex. 2 Soit le système récurrent suivant

xn+1 = xn + 2yn − 3zn, yn+1 = yn − zn, zn+1 = zn.

1) Ecrire ce système sous forme matricielle Un+1 = AUn, avec Un =

xn yn yz

.

2) Soit la matrice J = A − I3. Calculer J2 et J3. En déduire An. (On rappelle que la formule du binôme de Newton peut être appliquée pour calculer (M +N)n lorsque M et N sont deux matrices carrées qui commutent.) 3) Exprimer Un en fonction de U0.

Ex. 3 Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés pour les matrices suivantes, et dire si elles sont diagonalisables.

M1 =

(

3 −4 1 −2

)

;

53

M2 =

1 2 0 3 0 1 1 4 0 0 1 2 0 0 0 1

;

M3 =

−2 −1 9 −9 4 0 −3 1 1

 ;

M4 =

0 1 1 · · · 1 1 0 1 · · · 1 1 1 0 · · · 1 · · · · · · · · · · · · · · · 1 1 1 · · · 0

.

Ex. 4 (Extrait de l’examen de Juin 2004) Diagonaliser la matrice

A =

12 −10 10 6 −3 6

−12 10 −10

(On donnera la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres, et la matrice diagonale correspondante.)

Ex. 5 Diagonaliser chacune des matrices suivantes. (On donnera la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres, et la matrice diagonale correspondante.)

M1 = 1

3

11 −6 2 −6 10 −4 2 −4 6

 ;

M2 =

1 2

−5 2

0 −5

2 1 2

0 0 0 −2

 ;

M3 =

1 a b 0 1 1 0 0 c

 , où a, b et c sont des paramètres réels.

54

Ex. 6 Calculer la puissance n-ème de la matrice

A =

5 1 −1 2 4 −2 1 −1 3

 .

Ex. 7 Calculer en fonction de n les nombres un et vn définis pour n ≥ 1 par {

un = un−1 + vn−1 vn = −5un−1 − 3vn−1

avec u0 et v0 donnés.

Ex. 8 ∗ Commutateurs (Extrait de l’examen de Juin 2003) Soit A ∈ Mn(C) une matrice ayant n valeurs propres deux à deux distinctes λ1, ..., λn. On choisit pour tout i une base {fi} du sous-espace propre E(λi) associé à la valeur propre λi. On rappelle que (f1, ..., fn) est une base de C

n, constituée de vecteurs propres de A. On veut étudier l’application u : Mn(C) → Mn(C), définie par u(M) = AM −M A. (AM −M A est appelé un commutateur.) 1. Soit M ∈ Ker u. a) Soit i ∈ {1, ..., n}. Montrer que AMfi = λiMfi, et en déduire qu’il existe un scalaire µi ∈ C tel que Mfi = µi fi. b) Soit P la matrice de passage de la base canonique à la base (f1, ..., fn), et soient D = diag(λ1, ..., λn), D

′ = diag(µ1, ..., µn). Exprimer A et M en fonction de P , D et D′. c) En déduire une caractérisation de Ker u. 2. Remarquant que l’application M 7→ PMP−1 est un isomorphisme de Mn(C) sur lui-même, déterminer la dimension de Ker u, puis celle de Im u. 3. Pour tout polynôme q ∈ Cn−1[x], q(X) = c0+c1X+c2X2+· · ·+cn−1Xn−1, on note q(A) la matrice

q(A) = c0In + c1A+ c2A 2 + · · ·+ cn−1An−1.

Montrer que Ker u = {q(A); q ∈ Cn−1[X]}. (Indication : utiliser la question 1 c) et les polynômes interpolateurs de Lagrange.) 4. Pour tous i, j ∈ {1, ..., n}, on note Eij la matrice n × n dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui qui est situé à la ligne i et à la colonne j et qui vaut 1, et on pose Fij = PEijP

−1. Montrer que Fij ∈ Im u si i 6= j. Donner une base de Im u.

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Ex. 9 ∗ Isométrie positive (Extrait de l’examen de Juin 2004)

Pour tout vecteur x = (x1, x2, x3) ∈ R3, on note ||x|| = (x21 + x22 + x23) 1 2 sa

norme euclidienne usuelle sur R3. On appelle isométrie de R3 toute appli- cation linéaire u : R3 → R3 telle que ||u(x)|| = ||x|| pour tout x ∈ R3. On se propose de prouver que u est une rotation si et seulement si u est une isométrie de déterminant égal à 1. 1. Soit u la rotation d’angle θ et d’axe ∆ dirigé par le vecteur unitaire f1. Soient f2 et f3 deux vecteurs tels que (f1, f2, f3) soit une base orthonormée directe. a) Rappeler l’expression de la matrice M représentant u dans (f1, f2, f3), et calculer la trace de M . b) En déduire que u est une isométrie de déterminant égal à 1. c) Montrer que M est diagonalisable sur C. Donner une matrice diagonale D semblable à M . 2. Inversement soit u une isométrie de déterminant égal à 1, et M sa ma- trice dans la base canonique. On suppose que M est diagonalisable sur C. a) Montrer que toute valeur propre (complexe) de M est de module égal à 1, puis que M est semblable à une matrice D = diag(1, eiθ, e−iθ), où θ ∈ R. b) Montrer qu’on peut trouver une base orthonormée directe (f1, f2, f3) de R

3

telle que Mf1 = f1, M(f2 + if3) = e −iθ(f2 + if3). Quelle est la matrice de u

dans cette base ? Conclure. 3. Montrer que la composition de deux rotations est une rotation (on admet- tra que toute isométrie est diagonalisable sur C).

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