Exercices sur l'analyse numérique – 2, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur l'analyse numérique – 2, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – exercices – 2 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Première méthode, Deuxième méthode, Question préliminaire du problème.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amérique du Sud\ novembre 1994

EXERCICE 1 points

On considère la suite (un )n∈N à termes positifs, telle que u0 = 5 et vérifiant pour tout entier naturel n :

un+1 = √

un +12.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, un > 4.

2. On se propose, dans cette question, d’étudier de deux manières la conver- gence de cette suite.

Partie A - Premièreméthode :

a. Montrer que la suite est décroissante.

b. Déduire de ce qui précède que la suite est convergente, puis trouver sa limite.

Partie B - Deuxièmeméthode :

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, un+1−46 1

4 (un −4).

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, 06un −46 1

4n .

c. En déduire que la suite converge et trouver sa limite.

EXERCICE 2 points

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. L’unité

graphique est 4 cm. À tout point M d’affixe z non nulle, on associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ =− 1

z ,

z désigne le nombre complexe conjugué de z.

1. a. Déterminer une relation entre les arguments de z et de z ′.

b. En déduire que les points O, M etM ′ sont alignés.

2. Démontrer que z ′+1= 1

z (z−1).

On nomme A et B les points d’affixes respectives 1 et −1.

On désigne parC le cercle de centre A contenant le point O et parP ⋆ le cercle P privé du point O.

3. On suppose dans cette question que le point M appartient à P ⋆.

a. Justifier l’égalité : |z−1| = 1.

Démontrer que ∣

z ′+1 ∣

∣= ∣

z ′ ∣

∣. Interpréter géométriquement cette égalité.

b. Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M ′ à partir du point M .

Baccalauréat C A. P.M. E. P.

4. Le point M étant un point du plan, d’affixe z non réelle, on nomme M1 son symétrique par rapport à l’axe des réels.

a. Calculer z ′+1

z ′−1 en fonction de z.

Exprimer alors l’argument de z ′+1

z ′−1 en fonction de l’angle

(

−−−→ M1A ,

−−−→ M1B

)

.

b. Comparer les angles (

−−−→ M1A ,

−−−→ M1B

)

et (

−−→ MA ,

−−→ MB

)

.

c. Démontrer que M ′ appartient au cercle circonscrit au triangle AMB.

PROBLÈME points

Question préliminaire : On admet que, pour tout nombre réel x strictement positif : ex > x+1 et lnx6 x−1 où ln désigne la fonction logarithme népérien. En déduire que, pour tout x strictement positif,

ex − lnx > 2. (1)

Partie A - Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

{

f (x) = x

ex − lnx si x > 0

f (0) = 0.

On désigne parC la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

; (unité graphique : 4 cm).

1. Montrer que f est continue en 0.

Étudier la dérivabilité de f en 0.

2. Déterminer la limite de f en +∞.

(

On pourra écrire f (x)= 1

ex x − lnx

x

)

.

Interpréter graphiquement ce résultat.

3. On désigne par g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

g (x)= ex − lnxxex +1.

a. Déterminer la limite de g en 0.

Déterminer la limite de g en +∞ (on pourra mettre ex en facteur dans l’expression de g (x).

Étudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.

b. Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α. Justi- fier l’encadrement : 1,236α6 1,24 (2).

c. Étudier le signe de g (x) lorsque x décrit l’intervalle ]0 ; +∞[.

4. a. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.

b. Démontrer que f (α)= 1

eα− 1 α

.

En utilisant l’encadrement (2) du réel α, déterminer un encadrement de f (α). En déduire que 0,38 est une valeur approchée de f (α) à 10−2 près.

5. Tracer la courbeC et préciser ses tangentes aux points d’abscisses respectives 0 et α.

Amérique du Sud 2 novembre 1994

Baccalauréat C A. P.M. E. P.

Partie B - Étude d’une suite définie par une intégrale

On considère la suite (un ) définie par :

pour tout entier natureln> 1, un = ∫n

1 f (x)dx.

(On ne cherchera pas à calculer cette intégrale.)

1. Interpréter géométriquement un .

2. Étudier le sens de variation de la suite (un ).

3. Soit cp la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par :

ϕ(x)= ex x lnx− lnx.

Calculer ϕ′(x). En utilisant l’inégalité (1) de la partie préliminaire, démontrer que, pour tout réel x> 1, ϕ′(x)> 0.

En déduire que, pour tout réel x> 1, ϕ(x)> 0.

4. a. En utilisant la question précédente, montrer que, pour tout réel x > 1,

f (x)− 1+ x

ex 6 0.

b. Montrer que pour tout réel x > 1, f (x)> xe−x .

c. En effectuant une intégration par parties, calculer, en fonction de l’entier naturel non nul n, les deux intégrales suivantes :

n

1 xe−x dx et

n

1 (1+ x)e−x dx.

5. a. Montrer que la suite (un ) est majorée.

b. Montrer que la suite (un ) converge.

On appelle sa limite.

c. Démontrer que 2

e 6 6

3

e .

Amérique du Sud 3 novembre 1994

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