Exercices sur l'analyse numérique – 3, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur l'analyse numérique – 3, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – exercices – 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espérance de la variable aléatoire X, l’application p.
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AntillesC juin 1994.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1994 \

EXERCICE 1 4 points Enseignement obligatoire

Une boîte contient 60 boules blanches et 40 boules noires. On effectue dans cette boîte des tirages successifs avec remise de chaque boule après tirage. On s’arrêtera à l’obtention d’une boule blanche. A.

Dans cette question, on ira au maximum à 4 tirages. On appellera X la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l’obtention de la première boule blanche. Par convention, X sera égal à 0 si l’on n’obtient pas de boule blanche après les 4 tirages.

1. Calculer la probabilité pour que X soit égal à 0.

2. Calculer la probabilité pour que X soit égal à k, k valant successivement 1, 2, 3 et 4.

B.

Dans cette question, onprocédera àn tirages aumaximum,n étant un entier naturel non nul. De même, on appellera X la variable aléatoire égale au nombre de tirages néces- saires à l’obtention de la première boule blanche et ici encore X sera nul si l’on n’obtient pas de boule blanche après n tirages.

1. Calculer la probabilité pour que X soit égal à k, k étant un entier naturel va- riant de 1 à n.

2. On considère le polynôme P tel que :

P (x)= 1+2x +3x2 +·· ·+nxn−1.

Soit E(X ) l’espérance de la variable aléatoire X . Montrer que :

E (X )= 3

5 P

(

2

5

)

.

3. On sait que pour tout réel x différent de 1, on a :

1+ x + x2+·· ·+ xn = xn+1−1

x −1 .

a. En dérivant les deux termes de l’égalité précédente, en déduire une autre expression de :

1+2x +3x2 +·· ·+nxn−1.

b. En déduire que E(X )= 5

3 −

(

n+ 5

3

)(

2

5

)n

.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de de spécialité

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

d’unité graphique

2 cm, on considère l’ensemble E des points M d’affixe z tels que :

|z −1− i| = 1

4

z + iz −8(1+ i) ∣

∣ .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Soit p l’application du plan dans lui-même, qui à un point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 1

2

[

z − iz +8(1+ i) ]

.

On pourra poser : z = x + iy et z ′ = x′+ iy ′ où x, y, x′ et y ′ sont des réels.

a. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que p(M)= M .

b. Montrer que pour tout point M , les coordonnées du point M ′ vérifient l’équation : x′+y ′−8= 0. On appellera (D) la droite décrite par les points M ′.

c. Montrer que −−−−→ M M ′ est vecteur normal à la droite (D). Caractériser géo-

métriquement l’application p.

2. On se propose de déterminer l’ensemble E défini au début de l’exercice.

a. Montrer que : z z ′ = 1

2

(

z + iz −8(1+ i )

.

b. En déduire que l’ensemble E est une ellipse de foyer F d’affixe (1+i) et de

directrice (D), d’excentricité 1

2 . Préciser l’axe focal.

c. Vérifier que les points A et A′ d’affixes respectives (2+2i) et (−2−2i) sont deux sommets de E.

3. Allure de l’ensemble E.

a. Construire dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

la droite (D), l’axe focal, les points

A, A′ et F.

b. Déterminer géométriquement les deux autres sommets de l’ellipse.

c. Donner l’allure de E.

PROBLÈME 11 points

Onnote f (X ) l’aire de la région comprise entre la courbe d’équation « y = lnx », l’axe des abscisses et les droites d’équations « x = 1 » et « x = X » (avec X 6= 1).

0

1

0 1 X

L’objet du problème est l’étude de quelques équations du type f (X ) = k X est l’inconnue et k un entier naturel fixé.

Partie A

Antilles–Guyane 2 juin 1994

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que :

f (X )= X lnX X +1.

2. a. Calculer la limite de f (X ) quand X tend vers +∞.

b. Montrer que la fonction f est croissante sur [1 ; +∞[ et dresser son ta- bleau de variations.

c. En déduire que pour tout entier naturel k, l’équation f (X )= k a exacte- ment une solution. On note Xk cette solution.

3. Calculer X0 et X1.

4. a. À l’aide des variations de la fonction f , montrer que la suite (Xk ) est stric- tement croissante.

b. Montrer que pour tout entier naturel k :

Xk+1

Xk

ln t dt = 1.

Sachant que pour tout t élément de l’intervalle [Xk ; Xk+1], on a :

lnXk 6 ln t 6 lnXk+1,

en déduire que pour tout entier naturel k on a :

(Xk+1−Xk ) lnXk 6 16 (Xk+1−Xk ) lnXk+1

puis que pour tout entier naturel k > 1 on a :

Xk + 1

lnXk+1 6 Xk+1 6 Xk +

1

lnXk .

c. Montrer que : X2 6 e+1 puis que X2 > e+ 1

ln(e+1) .

Partie B

On se propose dans cette partie, de rechercher une valeur approchée de X2 à 10−2

près.

1. a. Vérifier que X2 est dans l’intervalle I = [3 ; 4].

b. Montrer que X2 est solution de l’équation x = e 1+ 1x .

2. Soit Φ la fonction définie sur I parΦ(x)= e1+ 1 x .

a. Étudier les variations deΦ.

b. Montrer que l’image de I parΦ est incluse dans I.

c. Montrer que pour tout x de I on a : ∣

∣Φ ′(x)

∣6 4

9 .

3. Soit (Un) la suite définie parU0 = 3 et, pour tout entier naturel n : Un+1 =Φ (Un).

a. Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un appartient à l’inter- valle I.

b. Montrer que pour tout entier n on a :

|Un+1−X2|6 4

9 |Un X2| .

(On se rappellera que Φ (X2)= X2.)

En déduire que pour tout entier n on a :

|Un X2|6

(

4

9

)n

.

Antilles–Guyane 3 juin 1994

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

c. Déterminer un entier n tel que Un soit une valeur approchée de X2 à 10−2 près,

Donner cette valeur approchée de X2.

Antilles–Guyane 4 juin 1994

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