Exercices sur l'analyse numérique – 4, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur l'analyse numérique – 4, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – exercices – 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer X et Y en fonction de x et y, Représenter les ensembles E et F dans le plan complexe.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 1994 \

EXERCICE 1 5 points

À tout nombre complexe z, on associe le nombree complexe Z défini par :

Z = z −1+2i

z − i (z 6= i).

1. Calculer Z pour, successivement : z = 1, z = 1− i.

2. On pose Z = x + iy et Z = X + iY (x, y, X , Y sont des nombres réels).

a. Calculer X et Y en fonction de x et y .

b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe Z tels que Z soit un réel.

c. Déterminer l’ensemble F des points M d’affixe Z tels que Z soit imagi- naire pur.

d. Représenter les ensembles E et F dans le plan complexe rapporté au re-

père orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

3. On note A le point d’affixe 1−2i, B le point d’affixe i et M le point d’affixe z. En considérant les vecteurs d’affixe z−1+2i et z− i, exprimer un argument de Z .

Retrouver géométriquement les résultats des questions 2. b. et 2. c.

EXERCICE 2 5 points

Soit ABC un triangle rectangle en A, dont l’hypoténuse mesure 4 cm. On désigne par O le milieu du segment [BC] et par (Ω) le cercle circonscrit au triangle ABC. Soit I le milieu du segment [OA]. À tout point M du plan, on associe les points P et Q définis par :

−−→ MP = 2

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC et

−−→ MQ = 2

−−→ MA −

−−→ MB −

−−→ MC .

1. Montrer que I est le barycentre des points A, B, C affectés respectivement des coefficients 2, 1, 1.

2. Exprimer −→ IP en fonction de

−−→ IM , puis

−−→ MQ en fonction de

−→ IA .

En déduire que les points P et Q sont les images respectives de M par une homothétie et une translation dont on précisera les éléments.

3. Dans cette question, M décrit le cercle (Ω).

a. Déterminer et construire les ensembles Γ1 et Γ2 que décrivent respecti- vement les points P et Q.

b. Montrer que le segment [PQ] conserve une longueur constante.

c. Montrer que le segment [PQ] contient toujours le point O′ symétrique de O par rapport à A.

PROBLÈME 11 points

On considère les fonctions dépendant d’un entier naturel n et définies sur l’inter- valle [0 ; 1] par :

f0(x) = 1

1+ x + x2

fn(x) = xn

1+ x + x2 pour toutn > 1

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

On pose : In = ∫1

0 fn(x)dx.

Dans la partie A, on étudie la fonction f0 et sa fonction dérivée. Dans la partie B, on étudie la suite des nombres réels In .

Partie A

1. Étudier le sens de variation de la fonction f0.

Construire la courbe représentative de f0 dans un repère orthonormal (unité graphique : 6 cm) en précisant les tangentes aux points d’abscisses 0 et 1.

2. On note, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 1] : f (x)=− f0(x). Calculer la fonction dérivée de f et montrer que f est décroissante sur [0 ; 1].

En déduire que, pour tout x appartenant à [0 ; 1], on a : 1

3 6 f (x)6 1.

Partie B

(On ne cherchera pas à calculer In )

1. Calculer : I0+ I1+ I2 et I0+2I1 .

2. Étudier, pour tout entier n et pour x appartenant à [0 ; 1], le signe de

fn+1(x)− fn(x).

En déduire que la suite (In ) est décroissante.

3. Montrer que, pour tout entier n et pour tout x appartenant à [0 ; 1],

06 fn (x)6 xn .

En déduire que : 06 In 6 1

n+1 .

Déterminer la limite de la suite (In )

4. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout entier n :

In = 1

3(n+1) +

1

n+1

∫1

0 f (x)xn+1 dx

( f étant la fonction définie dans le A. 2.)

b. En utilisant l’encadrement obtenu dans la question A. 2, montrer que, pour tout entier n :

1

3(n+2) 6

∫1

0 f (x)xn+1 dx 6

1

n+2

puis que :

1

3(n+1) +

1

3(n+1)(n+2) 6 In

1

3(n+1) +

1

(n+1)(n+2) .

c. À partir de quel entier n0 cet encadrement conduit-il à une valeur appro- chée au centième près de In ?

d. Déterminer alors la valeur approchée au centième près de In pour

n = n0.

Antilles–Guyane 2 septembre 1994

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