Exercices sur l'analyse numérique – 6, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur l'analyse numérique – 6, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – exercices – 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer les coordonnées, Déterminer le sens de variations de la fonction f .
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CentresetrangersCjuin1994.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Centres étrangers juin 1994 \

EXERCICE 1 4 points

On considère le jeu suivant : Un joueur dispose de trois disques équilibrés :

– le premier disque a une face bleue et une face rouge – le deuxième disque a une face bleue et une face jaune – le troisème disque a une face bleue et une face verte.

Les trois disques sont lancés simultanément de telle sorte qu’ils ne se recouvrent jamais. On compte le nombre de couleurs visibles à l’issue de ce lancer.

1. On note A, B, C les évènements suivants :

A : « il apparaît une seule couleur »

B : « il apparaît deux couleurs »

C : « il apparaît trois couleurs ».

Calculer les probabilités de A, B et C.

2. Le joueur gagne 50 F s’il apparaît une seule couleur, 25 F s’il apparaît deux couleurs, et rien s’il apparaît trois couleurs.

On note X la variable aléatoire représentant le gain du joueur :

a. Préciser les valeurs prises par X.

b. Déterminer sa loi de probabilité.

c. Calculer son espérance mathématique.

3. Un joueur joue deux fois de suite. On note Y la variable aléatoire représentant le gain du joueur sur l’ensemble des deux parties.

a. Préciser les valeurs prises par Y.

b. Déterminer sa loi de probabilité.

c. Calculer son espérance mathématique.

EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire

On donne trois points A, B, C distincts non alignés du plan et on note a, b, c les longueurs des côtés du triangle ABC : a = BC, b = CA, c =AB. On se propose d’étudier l’ensemble (E) des points M du plan tels que :

MA2+MB2+MC2 = a2+b2+c2.

1. Soit G l’isobarycentre du triangle ABC et soit I le milieu du segment [BC].

a. Calculer AB2 + AC2 en fonction de AI2 et de BC2. En déduire :

AG2 = 1

9

(

2b2+2c2−a2 )

.

Écrire de même les expressions de BG2 et de CG2.

b. Montrer que :

AG2+BG2+CG2 = 1

3

(

a2+b2+c2 )

.

2. Déterminer l’ensemble (E),

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. On choisit a = 5, b = 4, c = 3. Placer trois points A, B, C et dessiner (E) dans ce cas particulier.

EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité

Dans le plan orienté on considère un triangle rectangle isocèle ABC tel que

AB = AC = , où est un réel fixé strictement positif, et (−−→ AB ,

−−→ AC

)

= π

2 [2π].

On note D le symétrique de A par rapport à B, O le milieu de [CD] et (Γ) le cercle de diamètre [CD]. Placer sur une figure les points A, B, C, D, O et le cercle (Γ). On désigne par s la similitude directe qui transforme D en B et B en C et on se propose de déterminer, par deux méthodes indépendantes, les éléments caracté- ristiques de s, notamment son centre I.

1. Méthode géométrique

a. Déterminer le rapport k et l’angle α de la similitude s ; en déduire l’exis- tence de I.

b. Montrer que : (−→ ID ,

−→ IC

)

=− π

2 [2π] (1) et

IC = 2ID. (2)

c. À l’aide de (1), prouver que I appartient au cercle (Γ), puis, en utilisant (2) que ID = . Établir enfin que BI = BC.

d. Prouver que la droite (OB) est la médiatrice de [IC]. Préciser la nature du quadrilatère CADI. Placer le point I.

2. Utilisation de nombres complexes

Onpose −→ u =

1

−−→ AB ,

−→ v =

1

−−→ AC et on considère le repère orthonormal

(

A, −→ u ,

−→ v

)

du plan complexe. On note z0 l’affixe de I.

a. Déterminer les affixes des points B, C et D.

b. Déterminer l’écriture complexe de la similitude s, Déterminer z0 et pré- ciser la position de I.

PROBLÈME 12 points

L’objet du problème est de montrer que, pour n très grand, n! est comparable à nn

(p n

)

en .

À cette fin on introduit la suite obtenue en faisant le quotient de ces deux quantités. À l’aide de fonctions étudiées dans les parties I et III on montre d’abord que cette suite a une limite positive ou nulle (partie II), puis que cette limite est strictement positive (partie IV).

Soit donc la suite (un ) définie pour n> 1 par :

un = n!en

nn (p

n ) .

Partie I

Étude du signe d’une première fonction auxiliaire Soit f la fonction définie sur ]1 ; +∞[ par :

f (x)= 1

x− 12 + ln(x−1)− ln(x).

Centres étrangers 2 juin 1994

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Calculer la dérivée f ′ de f et vérifier que, pour tout x dans ]1 ; +∞[ on a :

f ′(x)= 1

4x(x−1) (

x− 12 ) .

2. Calculer la limite de f (x) quand x tend vers 1.

3. Montrer que la limite de f (x), quand x tend vers +∞, est égale à 0.

4. Dresser le tableau de variation de f sur ]1 ; +∞[. En déduire le signe de f (x) pour x dans ]1 ; +∞[.

5. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique : 4 cm).

Partie II

Étude de la convergence de la suite (un )

Soit (vn) la suite définie pour n> 1 par vn = ln(un ).

1. a. En remarquant que ln(n!)= ln(1)+ln(2)+·· ·+ln(n), que, pour tout entier n> 2, on a :

vn vn−1 =

(

n− 1

2

)

f (n)

f est la fonction étudiée dans la partie I.

b. Étudier le sens de variation de la suite (vn), puis le sens de variation de la suite (un ).

2. Montrer que la suite (un ) converge vers un réel positif ou nul, noté .

Partie III

Étude du signe d’une deuxième fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur [2 ; +∞[ par

g (x)= f (x)+ 1

5x2 (

x− 12 ) ,

f est la fonction définie à la partie I.

1. Calculer la dérivée g ′ de g et vérifier que, pour tout x dans [2 ; +∞[

g ′(x)= −7x2+16x−4

20x3(x−1) (

x− 12 )2

2. Dresser le tableau de variations de g , calculer la limite de g (x) quand x tend vers +∞ et en déduire que, pour tout x dans [2 ; +∞[, g (x) est strictement positif. (On ne demande pas de tracer la courbe représentative de g .)

Partie IV

Cette dernière partie a pour but demontrer que la limite de la suite (un ) est un réel strictement positif.

1. Étude d’une suite auxiliaire

Soit (wn) la suite définie pour n> 2 par wn = k=n

k=2

1

k2 .

Centres étrangers 3 juin 1994

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Montrer que, pour tout entier k > 2, on a :

1

k2 6

k

k−1

1

x2 dx. (2)

b. Déduire de (2) l’inégalité, pour n entier supérieur ou égal à 2,

wn = k=n

k=2

1

k2 6

n

1

1

x2 dx. (3)

Interpréter graphiquement les inégalités (2) et (3).

c. Pour n entier supérieur ou égal à 2, calculer ∫n

1

1

x2 dx et montrer que

wn 6 1.

d. Montrer que la suite (wn) converge vers un réel w vérifiant w 6 1.

2. a. À l’aide de l’égalité (1) établie dans la partie II et en utilisant le signe de la fonction g étudiée dans la partie III, montrer que, pour tout entier k > 2, on a :

vk vk−1>− 1

5k2 .

b. En déduire que, pour tout entier n> 2, on a :

vn >− 1

5 wn +1.

c. Montrer enfin que la limite de la suite (vn) est supérieure ou égale à e 5 4

et donc est strictement positive.

Centres étrangers 4 juin 1994

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