Exercices sur l'analyse numérique – 7, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur l'analyse numérique – 7, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – exercices – 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la similitude directe de centre I, Déterminer le rapport de la similitude s.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat CMétropole groupe 2 1 juin 1994\

EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité

Sur la figure ci-jointe, qui sera remise avec la copie avoir été éventuellement com- plétée, O, A et B sont trois points du plan orienté tels que :

(−−→ OA ,

−−→ OB

)

= π

4 modulo 2π.

Le cercle C de centre O, est le cercle circonscrit au triangle OAB. On désigne par I le point diamétralement opposé à B sur C.

1. On appelle s la similitude directe de centre I qui transforme A en B.

Déterminer l’angle de la similitude s.

Quelle est la nature du triangle IAB ?

En déduire le rapport de la similitude s.

2. Onappelle G le point défini par la relation −−→ GA =−

1

2

−−→ GB . La droite (IG) recoupe

C en K. On appelle s′ la similitude directe de centre K qui transforme A en B.

a. Déterminer l’angle de la similitude s’.

b. On se propose de déterminer le rapport de la similitude s′.

Montrer l’égalité −−→ KA ·

−−→ KB =−

p 2

2 KA ·KB.

On désigne par H le projeté orthogonal de A sur la droite (BK).

Exprimer −−→ KH en fonction de

−−→ KB .

En déduire −−→ KA ·

−−→ KB =−

1

2 KB2.

Déterminer le rapport de la similitude s′.

I

B

O A

C

b

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère le carré ABFE de centre J, tel que :

1. Bordeaux, Caen, Clermond-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes

Baccalauréat C A. P.M. E. P.

AB = AE = 2 et (−−→ AB ,

−→ AE

)

= π

2 modulo 2π. Soient D, C et G les milieux respectifs de

[AE], [BF] et [AB].

E K F

N

D I J

C

M

A G B

+ +

+

+

Soit I un point quelconque de [DC]. La droite (AI) coupe la droite (EF) en K. La per- pendiculaire en I à la droite (AI) coupe la droite (AE) en N. On désigne par M le symétrique de N par rapport au point I. On sepropose dedéterminer et de tracer l’ensembleP1 des pointsMobtenus lorsque I décrit le segment [DC].

1. a. Préciser les positions deM lorsque I est en D puis en J.

b. Quelle est la nature du quadrilatère AMKN?

c. En déduire que MA = MK et que K est le projeté orthogonal de M sur la droite (EF).

d. Montrer que P1 est inclus dans une parabole P dont on précisera le foyer et la directrice.

2. Onmunit le plan du repère orthonormé (A, AG, AD).

a. Donner une équation cartésienne de P.’

Préciser l’ensemble des abscisses deM quand I décrit [DC] et donner les coordonnées des extrémités de P1. Tracer P1.

PROBLÈME 10 points

La partie A a pour objet l’étude de la fonction f définie sur R par

f (x)= ex

ex x .

Les parties B et C sont consacrées aux études des convergences de deux suites liées à f .

Partie A

Étude de la fonction f

On considère la fonction g définie sur R par

g (x)= ex x −1.

1. a. Étudier le sens de variations de g . Calculer g (0).

b. En déduire que l’expression ex

ex x est définie pour tout réel x.

On considère alors la fonction f définie sur R par f (x)= ex

ex x .

Métropole groupe 1 2 juin 1994

Baccalauréat C A. P.M. E. P.

2. a. Vérifier que, pour tout réel x, f (x)> 0.

b. Déterminer lim x→−∞

f (x).

3. a. Montrer que, pour tout réel x, f (x)= 1

1− xe−x .

b. En déduire lim x→+∞

f (x).

4. Déterminer la dérivée f ′ de f et étudier les variations de f .

5. Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormé (unité graphique : 2 cm).

Partie B

Étude de la suite (un) définie par pour tout entier naturel n, un = ∫n

0 f (x)dx

On ne cherchera pas à calculer explicitement un .

1. Donner une interprétation géométrique de un .

2. Quel est le sens de variation de la suite (un ) ?

3. a. Montrer que, pour tout réel x,

f (x)= 1+ x

ex x

b. Montrer que, pour tout entier naturel n,

un = n+ ∫n

0

x

ex x dx.

c. En déduire la limite de un lorsque n tend vers +∞.

Partie C

Étude de la suite (vn) définie par vn = un n

On a donc, pour tout entier naturel n, vn = ∫n

0

x

ex x dx.

On se propose d’étudier la convergence de la suite (vn).

1. Montrer que la suite (vn) est croissante.

2. a. Montrer que, pour tout réel x positif ou nul, ex x > ex

2 .

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, vn 6 ∫n

0 2xe−x dx.

c. En effectuant une intégration par parties, exprimer ∫n

0 2xe−xdx en fonc-

tion de n.

d. En déduire que, pour tout entier naturel n, vn 6 2.

3. La suite (vn) est-elle convergente ?

Métropole groupe 1 3 juin 1994

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