Exercices sur l'analyse numérique – 8, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur l'analyse numérique – 8, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – exercices – 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de X. Déterminer les calculs et les valeurs exactes.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole groupe 3 1 juin 1994 \

EXERCICE 1 4 points Enseignement obligatoire

Une urne contient sept boules, cinq noires et deux rouges, indiscernables au tou- cher.

1. On extrait simultanément deux boules de l’urne. Déterminer les probabilités des événements suivants : A : les deux boules tirées sont rouges ; B : les deux boules tirées sont de même couleur.

2. De la même urne, on extrait cette fois-ci les sept boules, l’une après l’autre. Il y a donc 7 ! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 tirages possibles. 20 Déterminer successi- vement le nombre de tirages pour lesquels :

a. la première boule tirée est rouge ;

b. la première boule tirée est noire et la deuxième rouge ;

c. la première boule rouge tirée est en troisième position ;

d. la première boule rouge tirée est en quatrième position ;

e. la première boule rouge tirée est en cinquième position ;

f. la première boule rouge tirée est en sixième position.

3. Dans la situation de la question 2., on appelle X le rang de la première boule rouge tirée.

a. Donner la loi de probabilité de cette variable aléatoire X ; les valeurs

pi = P (X = i ) seront données sous forme de fractions. b. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de X . On donnera le

détail des calculs et les valeurs exactes.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Pour cet exercice, la figure est fournie afin de faciliter votre travail. Il est inutile de la refaire sur votre copie. Toutefois, si vous introduisez dans vos raisonnements d’autres points que ceux de l’énoncé, veillez à les définir avec précision. Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC, non rectangle, de sens direct. À l’extérieur du triangle, conformément à la figure, on trace les carrés AQPB, ACRS et BUTC, de centres respectifs O1, O2, O3. On appelle C1 et C2 les cercles circonscrits aux carrés AQPB et ACRS. Enfin I est le milieu de [BC].

1. Besançon, Dijpon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Q

A

S

O1

O2

T

P

B C

R

I

O3

U

+

+

+

+

Les trois questions sont indépendantes. Chacune vise à établir une propriété de la configuration.

1. Les cercles C1 et C2 se coupent en A et en un second point A′.

Montrer que A′ est sur le cercle de diamètre [BC]. (On pourra utiliser les pro- priétés angulaires relatives aux points cocycliques.)

2. Soient r1 et r2 les rotations de centres O1 et O2 et de même angle π

2 .

a. Quelle est la nature de r2 ◦ r1 ? b. Quelle est l’image de B par r2 ◦ r1 ? c. En déduire les éléments caractéristiques de r2 ◦ r1. d. Démontrer que le triangle IO1O22 est rectangle et isocèle. (On pourra

utiliser le point J image de 1 par r1.)

3. a. Quelle est l’image du triangle ABO3 dans la similitude de centre B, de

rapport p 2 et d’ angle

π

4 ?

b. Déterminer une similitudedans laquelle le triangle AO1O2 ait pour image le triangle AQC.

c. Prouver que les segments [AO3] et [O1O2] sont orthogonaux et de même longueur.

PROBLÈME 11 points

Partie A

Soit f la fonction définie sur I = ]−1 ; +∞[ par

f (x)= ex

1+ x .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d’origine O et d’unité graphique 5 cm.

Métropole groupe 3 2 juin 1994

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Étudier les variations de la fonction f et déterminer ses limites aux bornes de I. En déduire que C admet une droite asymptote ∆ que l’on précisera.

2. a. Écrire l’équation de la tangente à C en un point M de C , d’abscisse a. On note Ta cette tangente.

b. Montrer qu’il existe deux valeurs de a pour lesquelles la droite Ta passe par l’origine O.

3. Tracer la courbe C . On mettra en évidence la droite ∆ et les deux tangentes trouvées ci-dessus.

4. On pose, pour x ∈ I, F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

La fonction F est-elle monotone ? Est-elle positive ?

Partie B

On pose J = ∫1

0

et

1+ t dt .

L’objet de cette partie est d’encadrer l’intégrale J . On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de J .

1. En utilisant l’étude de la fonction f réalisée dans la partie A, montrer que 16

J 6 e

2 .

2. On pose, pour tout entier naturel n, un = (−1)n ∫1

0 t net dt .

a. Calculer u0.

b. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que

un+1 = (−1)n+1e+ (n+1)un . c. Calculer alors successivement u1, u2, . . . , u6. On donnera les réponses

sous la forme ae−b avec a et b entiers naturels. 3. a. Montrer que :

u0+u1++un = ∫1

0 et

1− (−1)n+1t n+1

1+ t .

b. En déduire que :

J = u0+u1+ . . .+Rn , avec Rn = (−1)n+1 ∫1

0 t n+1 f (t)dt .

c. Prouver que :

1

n+2 6 |Rn |6

e

2(n+2)

4. a. Trouver le plus petit n entier tel que e

2(n+2) −

1

n+2 < 0,05.

b. Calculer S6 = u0 +u1 + ·· · +u6 sous la forme ae− b avec a et b entiers naturels.

c. Prouver que S6− e

16 6 J 6 S6−

1

8 .

d. Déduire de ce qui précède un encadrement de J , d’amplitude inférieure à 0,05. par deux nombres décimaux.

Métropole groupe 3 3 juin 1994

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