Exercices sur l'electromegnétisme - physique, Exercices de Application informatique
Christophe
Christophe3 March 2014

Exercices sur l'electromegnétisme - physique, Exercices de Application informatique

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Exercices d’informatique sur l'electromegnétisme - physique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, Propagation d'une onde électromagnétique dans un diélectrique infini, Etude du mode TEM, dans le ca...
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I N S T I T U T POLYTECHNIQUE B O R D E A U X

ANNEE 2009-2010

PH101

Documents non autorisés

Sujet de : Dean LEWIS

ENSEIRB-E1

Epreuve de Physique

Durée : 2hOO

Certaines questions peuvent être traitées indépendamment.

Dans ce problème on étudie la propagation d'ondes électromagnétiques dans un câble jxjaxial

d'axe Oz, de longueur infinie, constitué d'un cylindre métallique plein de rayon (âme) et d'un

cylindre extérieur (gaine) de rayon intérieur, séparés par un isolant diélectrique dont la

permittivité électrique relative est jr =2,25 et lapermittivité magnétique relative est UT=!.

Les dimensions du câble sont les suivantes a=0,43mm et b= 1,47mm.

On travaillera en coordonnées cylindriques (r, 6, z) d'axe Oz, Oz étant l'axe du câble coaxial.

isolant

âme

£.

On précise en coordonnées cylindriques :

/-\ ia(rA r) lôAe 5Adiv(A)=- ' ' •• H + r ôr r 50 dz

et rôti A = - l—(r\ }--•> l-l"*»-û J••v V o /

A) Propagation d'une onde électromagnétique dans un diélectrique infini.

On s'intéresse dans cette partie aux propriétés d'un champ électromagnétique dans un

diélectrique infini.

1) Rappeler les équations de Maxwell reliant les champs E, Det B aux densités de charges

libres pa et de courants libres j^dans le diélectrique, D étant le vecteur déplacement

électrique dans le milieu diélectrique.

'.) Le milieu diélectrique est supposé parfait, linéaire, homogène et isotrope, de permittivité

électrique relative sr indépendante de la fréquence.

a) Ecrire la relation reliant E à D.

b) En déduire les 4 équations de Maxwell impliquant É et B (sans faire intervenir D ).

c) En l'absence de charges et de courants libres réécrire les équations de Maxwell.

d) En déduire que E et B vérifient une équation d'onde et préciser la vitesse de

propagation v en fonction de c la célérité de la lumière dans le vide et de er.

[ È = Ë0 exp i(cot - kz) e) Montrer alors que des ondes planes de la forme < _ _ peuvent se

[B = B0 exp i(cot - kz)

propager dans ce type de milieu aveck = kuz vecteur d'onde. On supposera ici que È0 et

E0 sont des vecteurs uniformes et stationnaires.

f) Déterminer le module du vecteur d'onde en fonction de c, co et er.

g) Caractériser la structure de ces ondes planes, préciser en particulier la relation vectorielle

reliant B à E.

B) Etude du mode TEM, dans le cas d'un câble coaxial

On aborde maintenant l'étude de la propagation le long du câble coaxial. On suppose ici que le

[E = E0(r, z) exp i(cot - kz)ûr champ électrique dans le milieu isolant diélectrique est de la forme < _

[B = B0 (r, z) exp i(cot - kz)û9

avec k = kûz le vecteur d'onde.

1) Etude du mode TEM dans le cas d'un câble idéal

On suppose que les conducteurs sont parfaits.

a) En quoi consiste le modèle d'un conducteur parfait ?

b) Que peut-on dire des champs E et B dans un tel conducteur ?

c) Qu'est ce que cela implique pour les charges et les courants volumiques ?

d) Que peut-on dire des charges et courant surfaciques ?

e) Les fonctions Eo(r, z) et Bo(r, z) doivent-elles satisfaire des conditions aux limites

particulières en r=a et r=b.

f) Justifier que, moyennant l'hypothèse des conducteurs parfaits, les deux fonctions Eo(r, z)

et B0(r, z) sont en fait indépendante de z et s'écrivent alors :

IE = E0(r) expi(cot - kz)ûrB = B0 (r) exp i(o>t - kz)ûe g) Pourquoi cette solution particulière est nommée mode TEM ou Transverse Electrique et

Magnétique ?

h) Ces ondes sont-elles planes ?

i) En justifiant soigneusement le résultat, donner la relation vectorielle liant le champ

magnétique B, le champ électrique E. Commenter et le vecteur d'onde k .

—* ïl

j) En utilisant div(E) = 0 montrer que E0(r) = E a — où Ea est l'amplitude du champ r

électrique en r=a. En déduire l'expression de Bo(r).

k) Calculer la vitesse de phase vo de cette onde en fonction notamment de la permittivité

relative er du milieu. Y a-t-il dispersion ?

1) Calculer le vecteur de Poynting R et la densité volumique d'énergie instantanée Ueiem

dans le diélectrique. En déduire les moyennes temporelles associées en fonction de a, c,

r, Ea, sr, e0 et u0.

m) Calculer la puissance moyenne transportée.

2) Grandeur électrocinétique du câble idéal dans le mode TEM

a) On rappelle l'expression du champ magnétique créé par un fil conducteur infini rectiligne

d'axe Oz et parcouru par un courant électrique I : B = —— ûe où r est la coordonnées 2;ir

radiale dans le repère cylindrique. Le champ magnétique s'écrit B0(r) = Js7—-— en c r

déduire l'expression complexe du courant I(z,t) dans l'âme du câble coaxial. Dans quelle

direction se propage ce courant ?

b) Calculer alors l'intensité complexe du courant parcourant la gaine Igame(z,t). Dans quelle

direction se propage ce courant ?

c) En supposant que le champ électromagnétique TEM possède la même structure

géométrique qu'en régime stationnaire. Justifier le fait que l'on peut déterminer

l'expression complexe de la tension entre l'âme et la gaine U(z,t) par la relation

mathématique suivante :

âme

U(z, t) = - J E(r, z, t)dl = -J E(r, z, t)dr game

d) En déduire l'expression de U(z,t).

e) Calculer le rapport Zr = '—. Déterminer sa valeur numérique.

Modèle électrocinétique du câble coaxial sans perte

a) Proposer un schéma électrocinétique équivalent à la portion de câble comprise entre z et

z+dz faisant apparaître U(z,t), U(z+dz,t), I(z,t), I(z+dz,t), L l'inductance linéique par

unité de longueur et C la capacité par unité de longueur.

b) Ecrire les deux équations aux dérivées partielles couplant les variations spatiale et

temporelle de U(z,t) et I(z,t) .

c) En déduire l'équation de propagation régissant U(z,t) et I(z,t).

d) Montrer que U(z, t) = U0i expi((ût - kz) + U0r exp i(œt + kz) est solution de l'équation de

propagation. En déduire l'expression de I(z,t) faisant notamment apparaître Uoi, Uor et

Zc.

e) En z=-l on connecte un générateur d'impédance interne Rg=Zc et en z=0 on connecte un

potentiomètre de résistance variable R. Ecrire la condition limite en z=0. En en déduire le

coefficient de réflexion p = —— de la charge en fonction de Zc et R. Uoi

f) Quel est l'intérêt d'utiliser un générateur d'impédance interne Rg=Zc ?

g) Le câble est ouvert en z=0. Donner alors les expressions des ondes en tension et en

courant. Commenter ce résultat.

h) Le câble est maintenant court-circuité en z=L. Donner alors les expressions des ondes en

tension et en courant. Commenter ce résultat,

i) On connecte maintenant un générateur d'impulsion d'impédance Rg=Zc qui délivre une

impulsion de longueur x«2L/v ou L est la longueur du câble coaxial et v la vitesse de

propagation de l'onde. Qu'observe-t-on en z=-l à l'oscilloscope dans les cas suivants :

i) Le câble est chargé pour R=Zc .

ii) le câble est chargé par un court circuit.

iii) le câble n'est pas chargé.

FIN

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