Exercices sur l’'électronique - 2, Exercices de Application informatique
Christophe
Christophe3 March 2014

Exercices sur l’'électronique - 2, Exercices de Application informatique

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Exercices d’informatique sur l'electronique - 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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ENSEIRB 1ère année Département Electronique

25 janvier 2006

Epreuve de physique pour l’électronique

1. Dans le puits l’équation de Schrödinger pour n(x) est de la forme

� h 2

2m 00 = E! 00 + k2 = 0 avec k =

r 2mE

h2

solutions paires : (x) = A cos(kx) (a=2) = 0 =) cos(ka=2) = 0 =) k = (2p+ 1) a

p  0

solutions impaires : (x) = B sin(kx) (a=2) = 0 =) sin(ka=2) = 0 =) k = 2p a

p  1

le facteur de normalisation s’obtient en imposantZ a=2 �a=2

j(x)j2 dx = 1 = A2 Z a=2 �a=2

cos2((2p+ 1) x

a )dx = A2

a

2

pour la fonction paire et même chose pour la fonction impaire. D’où le résultat

n(x) = q

2 a cos

� n xa

 n = 1; 3; 5:::

n(x) = q

2 a sin

� n xa

 n = 2; 4; 6:::

En = 2h2

2ma2 n2 n  1

2. On cherche à déterminer les états de plus basse énergie du système de deux électrons.

(a) Le principe d’exclusion de Pauli stipule qu’il ne peut y avoir deux électrons dans le même état quantique ; les diagrammes (a) et (c) sont donc exclus. Tous les autres sont autorisés.

(b) Pour les états (b) et (d) de la première ligne l’énergie est 2E1 = 2. Pour ceux de la deuxième ligne (e-h) l’énergie est E1 + E2 = 5. On trouve  = 0:5917 eV d’où les énergies de 1.18 eV et 2.96 eV respectivement .

3. Les fonctions d’onde  0

nm(x; y) sont construites de telle sorte que nm(x; y) soit symétrique et (1;2)0 antisymétrique ou nm(x; y) soit antisymétrique et 

(1;2) 0 symétrique

(a) L’état de plus basse énergie du système des deux électrons correspond aux diagrammes (b) et (d). Il faut donc construire la fonction antisymétrique à partir des produits d’états individuels 1(x) 1(y)

(1) + 

(2) � et 1(x) 1(y)

(1) � 

(2) + . Comme la partie spatiale

1(x) 1(y) est symétrique la combinaison doit être antisymétrique pour le spin :

+�11 (x; y) = 1(x) 1(y)

 1p 2

h  (1) + 

(2) � � 

(1) � 

(2) +

i (1)

1

(b) Pour avoir les deux électrons avec le spin parallèle il faut qu’il soit dans des état dy- namiques di¤érents. L’état de plus basse énergie pour la paire fait dont intervenir un élec- tron dans l’état n = 1 et l’autre dans l’état n = 2. Cela correspond aux diagrammes (e) et (g). Il faut donc construire la fonction antisymétrique à partir des produits d’états in- dividuels 1(x) 2(y)

(1) + 

(2) + et 1(x) 2(y)

(1) � 

(2) � . Cette fois-ci c’est la fonction d’onde

de spin qui est symétrique il faut donc antisymétriser la fonction d’onde spatiale :

++12 (x; y) = 1p 2 f 1(x) 2(y)� 2(x) 1(y)g

(1) + 

(2) + (2)

��12 (x; y) = 1p 2 f 1(x) 2(y)� 2(x) 1(y)g

(1) � 

(2) � (3)

4. La distance moyenne entre les deux électrons quand le système est

(a) dans l’état fondamental eq.(1)

d211 =

Z a=2 �a=2

Z a=2 �a=2

(x� y)2 j 1(x) 1(y)j2 dxdy

= 4

a2

Z a=2 �a=2

Z a=2 �a=2

(x� y)2 cos2(x a ) cos2(

y

a ) dxdy

en faisant le changement de variable : u = xa ; v = y a on obtient d

2 11 =

4 a2

a4

4 I1 où I1 est

la première des trois intégrales de la table. On en déduit

d11 = a

r ( 1

6 � 1 2

) = 0:256 a = 2:045 A

(b) dans l’état excité eq.(2)

d212 =

Z a=2 �a=2

Z a=2 �a=2

(x� y)2 1p2 f 1(x) 2(y)� 2(x) 1(y)g

2 dxdy =

2

a2

Z a=2 �a=2

Z a=2 �a=2

(x� y)2 cos2(x a ) sin2(2

y

a ) dxdy

+ 2

a2

Z a=2 �a=2

Z a=2 �a=2

(x� y)2 cos2(y a ) sin2(2

x

a ) dxdy

� 4 a2

Z a=2 �a=2

Z a=2 �a=2

(x� y)2 cos(y a ) sin(2

x

a ) cos(

x

a ) sin(2

y

a ) dxdy

en faisant le changement de variable : u = xa ; v = y a et à l’ai de la table on obtient

d212 = 4 a2

a4

4 (I2 � I3) On en déduit

d212 = 2a2

4

 2

 1

24 4 � 5

32 2  + 2

128

81

 = 0:168 a2

d12 = 0:410 a = 3:28 A

2

5. Les électrons sont des particules chargées et ils sont donc soumis à la force électrostatique de Coulomb.

(a) Pour l’état fondamental on trouve V11 = 7:04 eV et dans l’état excité V12 = 4:39 eV.

(b) L’énergie totale du système des deux électrons (cinétique + potentielle) pour l’état fon- damental E11 = 1:18 + 7:04 = 8:22 eV et pour l’état excité E12 = 2:96 + 4:39 = 7:35 eV

(c) L’état avec spin parallèle a une énergie totale inférieure à l’état fondamental avec spin opposés. Il est donc favorisé.

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