Exercices sur l'équation, Exercices de Logique mathématique

Exercices sur l'équation, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématiques sur l'équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le cercle de centre O et de rayon a, la droite d’équation.
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[ Baccalauréat C Laos septembre 1970 \

EXERCICE 1

Déterminer, en utilisant les congruences de module 5, tous les couples (x ; y) d’en- tiers relatifs, solutions de l’équation suivante :

4x = 5y +1.

EXERCICE 2

Étudier les variations de la fonction f telle que

x f

−−−→ f (x)= 1+2 √

x2−1.

Tracer, en repère orthonormé, la courbe représentant ces variations.

EXERCICE 3

On donne, dans un plan, le cercle de centre O et de rayon a, appelé cercle (O). On appelle cercle (C ) tout cercle de ce plan orthogonal au cercle (O). Soit (E) l’en- semble des cercles (C ).

1. Ondonne un pointω duplan. Construire le cercle (C1) de l’ensemble (E) ayant pour centreω. Discuter. Quel est l’inverse de ce cercle dans l’inversion de pôle o de puissance a2 ? Quel est l’inverse de son centre ? Définir l’ensemble des cercles (C ) de (E) qui sont orthogonaux au cercle (C1)

2. On donne un point A du plan, distinct de O. Définir l’ensemble des cercles (C ) de (E) qui passent par A.

Construire le cercle (C ) de (E) qui passe par deux points donnés, A et B, dis- tincts de O. Discuter.

3. On donne une droite (D) du plan et l’on appelle H la projection orthogonale du point O sur la droite (D).

Montrer que l’ensemble des cercles (C ) de (E) qui sont centrés sur la droite (D) constitue un faisceau de cercles F et que la puissance de H par rapport à ces cercles est donnée par la formule

P (H)= a2−OH2.

Discuter la nature du faisceau F suivant la position de la droite (D) par rapport à (O).

Construire, suivant le cas, les points de base ou les points limites du faisceau F.

4. Le plan est muni d’un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

.

a. Ondonne le pointωde coordonnées (

x0 ; y0 )

Écrire, en fonctionde x0, y0 et a, l’équation du cercle (C ) de l’ensemble (E), ayant pour centre ω.

b. On donne le point A, distinct de O, de coordonnées (α ; β).

Écrire, en fonctiondeα,β et a, l’équationdu lieu géométriquedes centres des cercles (C ) de (E) qui passent par A.

c. On donne la droite d’équation y = 2x et le point A, distinct de O, de co- ordonnées (α ; β).

Calculer, en fonction deα,β et a, l’abscisse x0 du centre du cercle (C ) de (E) qui passe par A et qui est centré sur (D). Discussion.

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