Exercices sur l'estimation paramétrique, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices sur l'estimation paramétrique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant l'estimation paramétrique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Transformée de Laplace, Simulation, Loi de F, Lois exponentielles et lois de Poisson, Lois exponentielles,...
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Université de Rennes 1 Master de mathématiques Année 2012-2013 Statistique mathématique

TD 1 – Estimation paramétrique

Exercice 1. Transformée de Laplace On considère une variable aléatoire réelle X définie sur (Ω,A,P), sa transformée de Laplace LX définie par LX(t) = E

( etX ) et U l’ensemble sur lequel elle est finie. Dans chacun des cas suivants,

préciser U et vérifier la valeur de LX(t) :

1. si X ∼ N (0, 1), alors LX(t) = exp(t2/2), 2. si X ∼ P(λ) (loi de Poisson), alors LX(t) = exp(λ(et − 1)), 3. si X ∼ E(λ) (loi exponentielle), alors LX(t) = λ/(λ− t),

Montrer que pour tous réels a et b, on a LaX+b(t) = ebtLX(at).

Exercice 2. Inégalité de Chernov Soit X une variable aléatoire réelle et L sa transformée de Laplace que l’on supposera définie sur voisinage de 0.

1. Montrer que pour tous a > 0 et r > 0, P

( 1

n

n∑ i=1

Xi ≥ r

) ≤ exp (−nra)L(a)n.

2. En déduire que pour tout r > 0, P

( 1

n

n∑ i=1

Xi ≥ r

) ≤ exp

( n inf a>0

[logL(a)− ra] ) .

3. En déduire une majoration de P

( 1

n

n∑ i=1

Xi − E(X) ≥ r

) lorsque X suit une loi N (0, 1), P(λ)

et E(λ).

Exercice 3. Simulation On suppose que l’on sait générer une variable aléatoire U de loi uniforme sur [0, 1]. Donner une méthode de génération de nombres aléatoires répartis suivant une loi de probabilité µ donnée :

1. si µ est une loi discrète,

2. si µ est une loi sur R de fonction de répartition F continue et strictement croissante. Quelle est la loi de F−1(U) ? Faire le lien avec la question précédente.

3. Montrer que l’on peut faire de même dans le cas général en considérant la fonction F ∗, appelée inverse généralisée de F , définie par F ∗(t) = inf {x : F (x) ≥ t)}.

Exercice 4. Loi de F(X) Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F continue et strictement croissante. Donner la loi de F (X). Qu’en est-il lorsque F n’est pas strictement croissante ? continue ?

Exercice 5. Moments empiriques simples Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi définie sur (Ω,A,P). Pour tous n ≥ 1 et r ∈ N∗, on pose

M (r)n = 1

n

n∑ i=1

Xri .

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1. Sous quelle condition la suite (M (r)n )n≥1 converge-t-elle ? Quelle est sa limite ? Préciser le sens de la convergence.

2. Montrer que, sous une condition à préciser, √ n(M

(r) n −mr)√

m2r −m2r L−−−→

n→∞ N (0, 1).

Exercice 6. Lois exponentielles et lois de Poisson La durée écoulée entre l’arrivée de deux mails consécutifs dans la messagerie de Gérard suit une loi exponentielle de paramètre inconnu. On suppose que ces durées sont des réalisations de variables aléatoires indépendantes.

1. Donner le modèle statistique issu de l’observation des instants d’arrivée des n premiers mails dans la messagerie.

2. L’observation est à présent le nombre de mails arrivés dans la messagerie jusqu’à l’instant t. Quel est le modèle statitistique représentant cette expérience ?

Exercice 7. Lois exponentielles Un circuit électrique est composé de deux types de diodes A et B montées en série. Les durées de vie des diodes, qui sont indépendantes, suivent des lois exponentielles de paramètres inconnus éventuellement différents.

1. Quelle est la loi suivie par la durée de vie du circuit ? 2. On a observé les durées de vie de n circuits indépendants de ce type. Quel est le modèle

statistique associé à cette expérience ? Est-il identifiable ?

Exercice 8. Mélange de lois On considère deux variables aléatoires réelles indépendantes X et R définies sur l’espace probabilisé (Ω,A,P) telles que P(R = 1) = 1 − P(R = −1) = p et X suit la loi N (0, 1). On suppose que p est connu. Pour θ > 0, on note Y = θR+X.

1. Déterminer la transformée de Laplace, la densité et les deux premiers moments de la loi de Y . 2. Soit une expérience dans laquelle on observe n réalisations indépendantes de la loi de Y avec θ inconnu. Préciser le modèle statistique et ses propriétés.

3. Proposer un estimateur du paramètre θ.

Exercice 9. Estimation pour la loi uniforme continue Soit (X1, . . . , Xn) un échantillon de loi uniforme sur [0, θ] où θ > 0 est inconnu.

1. Comment estimer θ par la méthode des moments ? 2. Quelle est la loi de X(n) = max1≤i≤nXi ? On pourra calculer P(X(n) ≤ u). En déduire une

autre manière d’estimer θ. 3. Comparer les risques quadratiques et les vitesses de ces deux estimateurs.

Exercice 10. Estimation pour les lois normales Soit (X1, . . . , Xn) un échantillon de loi normale N (m,σ2) dans R.

1. On suppose le paramètre σ connu. Proposez un estimateur de m par la méthode des moments. 2. On suppose le paramètrem connu. Proposez un estimateur de σ2 par la méthode des moments. 3. On suppose maintenant que les deux paramètres m et σ sont inconnus. Trouvez un estimateur

du couple par la méthode des moments.

Exercice 11. Estimation pour les lois exponentielles pour s’échauffer avant l’exo suivant Soit (X1, . . . , Xn) un échantillon de loi exponentielle de paramètre θ > 0 inconnu.

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1. Que vaut EθX1 ? Proposer un estimateur de θ. 2. Calculer l’espérance et la variance de l’estimateur proposé. Quel est son risque quadratique ?

Exercice 12. Un peu de lois gamma On rappelle que la loi gamma de paramètres a et λ (a > 0 et λ > 0), notée G(a, λ), est la loi sur R de densité γa,λ où

γa,λ = λ

Γ(a) e−λx(λx)a−11IR+(x) où Γ(a) =

∫ ∞ 0 e−xxa−1 dx.

1. Soit X une variable aléatoire de loi G(a, λ). Calculez E(X) et Var(X). Montrer que sa trans- formée de Laplace est donné par

LX(t) := E ( etX )

=

( λ

λ− t

)a pour tout t < a.

2. Soient X et Y deux v.a. ind. de lois respectives G(a, λ) et G(b, λ). Quelle est la loi de X +Y ?

3. Soit Y une v.a. gaussienne centrée réduite. Montrer que Y 2 suit une loi gamma dont on déterminera les paramètres. Donner la loi de la somme des carrés de n v.a. gaussiennes centrées réduites indépendantes. On appelle cette loi loi du χ2 à n degrés de liberté.

Exercice 13. Estimateurs pour les lois Gamma Soit (X1, . . . , Xn) un échantillon de loi Gamma G(θ, λ), de densité

γθ,λ = λθ

Γ(θ) e−λxxθ−11IR+(x).

1. On suppose le paramètre λ connu. Proposez un estimateur de θ par la méthode des moments.

2. On suppose maintenant que les deux paramètres θ et λ sont inconnus. Trouvez un estimateur par la méthode des moments.

Exercice 14. Soit (Rn+,

{ Q⊗nθ

} θ>0

) un modèle statistique tel que pour chaque θ > 0, Qθ est la loi sur R+ de densité

fθ(x) = 1

2 √ xθ

1I]0,θ](x).

Le paramètre d’intérêt est le paramètre du modèle. Dans la suite, on note

(X1, . . . , Xn) ∼ Q⊗nθ et θ̂1 = max1≤i≤nXi.

1. Calculer la fonction de répartition de θ̂1 et en déduire sa densité.

2. Montrer que θ̂1 est biaisé mais asymptotiquement sans biais.

3. Calculer l’espérance de X1 et en déduire un autre estimateur θ̂2 de θ, qui est sans biais.

4. Déterminer les risques quadratiques de θ̂1 et θ̂2. Lequel est préférable ? Sont-ils consistants ?

5. Trouver les lois limites de θ̂1 et θ̂2.

Exercice 15. Estimation de l’écart-type d’une loi gaussienne On considère le modèle statistique suivant (Rn,

{ N (0, θ2)

} θ>0

). Le paramètre d’intérêt est le para- mètre du modèle.

1. Calculer le moment d’ordre 1 de la variable aléatoire |Z| si Z suit la loi N (0, θ2). En déduire un estimateur θ̂1 par insertion. Montrer que θ̂1 est consistant.

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2. Construire un autre estimateur θ̂2 par la méthode des moments. Montrer qu’il est consistant.

3. Les estimateurs θ̂1 et θ̂2 sont-ils biaisés ?

4. Calculer la loi limite et la vitesse de θ̂1 et θ̂2. De ce point de vue, lequel de ces deux estimateurs est le plus performant ?

Exercice 16. Lois de Cauchy Pour chaque θ ∈ R, on note Qθ la loi sur R de densité

fθ(x) = 1

π

1

1 + (x− θ)2 .

L’objectif est de définir et d’étudier un estimateur du paramètre du modèle (Rn, { Q⊗nθ

} θ∈R).

1. Pour quelle raison ne peut-on pas utiliser la méthode des moments pour construire un estima- teur de θ ?

2. Soit Fθ la fonction de répartition de la loi Qθ. Calculer

inf

{ x ∈ R : Fθ(x) ≥

1

2

} puis en déduire un estimateur θ̂ de θ.

3. Dans la suite, la notation (X(1), . . . , X(n)) désigne la statistique d’ordre associée à (X1, . . . , Xn) i.e. le réarrangement croissant de l’échantillon. Montrer qu’il est unique.

4. On suppose que n est pair. Montrer que θ̂ = X(n/2).

5. Calculer la fonction de répartition de θ̂.

6. Prouver que θ̂ est consistant.

7. On note Fn la fonction de répartition empirique de l’échantillon :

x 7→ Fn(x) = 1

n

n∑ i=1

1I{Xi≤x}.

(a) Pour tout x ∈ R, montrer que

√ n

( Fn(θ +

x√ n

)− Fn(θ) ) −−−→ Q⊗nθ

x

π .

(b) En déduire la loi limite de √ n(Fn(θ + x/

√ n)− 1/2) pour tout x ∈ R.

(c) Conclure.

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