Exercices sur l'initiation algorithmique - 4, Exercices de Informations et informatique
Christophe
Christophe3 March 2014

Exercices sur l'initiation algorithmique - 4, Exercices de Informations et informatique

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Exercices d’informatique sur l'initiation algorithmique - 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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trNISEIRB - Première Année Informatique Année 2009-2010

hr i t iat ion algor i thnr ique

Durée : 2h00. Notes de cours et de TD autorisées.

La complexité en temps (resp. espace) désigne ici Ia complexité en temps (resp. espace) dans le pire des cas. Pour chacun des algorithnes que vous écrirez vous pouuez utiliser des fonctions auxiliaires déjà vues en cours ou TD, si vous fournissez leurs spécifications à défaut de leurs déf ini t ions.

Exercice 1 Soit I'algorithme suivant :

fonct ion f (n: ent ier) : ent ier

s in( 2alors retourner 17

slnon retourner f (n-1) * f (n-2) + f (n-3)

1. Dessiner I'arbre des appels relatif à I'exécution de / sur l 'entrée n: 4.

2. Fournir la définition récursive de Ia fonction complexité en temps.

3. Fournir la définition récursive de la fonction complexité en espace.

4. indiquer la complexité en temps et en espace de f . Vous utiliserezla notation O.

5. Ecrire un algorithme récursif de complexité en temps minimale équivalent (c.a.d résolvant le même problème).

6. Ecrire un aigorithme itératif de complexité en tentps minimale équivalent (c.a.d résolvant le nréme problème).

Exercice 2 Nous considérons ici des tableaux d'entiers. L'entier n désigne la longueur du

tableau ?. Un sous-tabieau d'un tableau ? est un tabieau de la forme Ql i l ,Tl i+ 1], . . . , "1f ]) avec 1 < i < j 1n, i l est noté'T[ i , , j ) . lJn sous-. tableau non répét i t i f d 'un tableau 7 est un sous-tableat Tli, j l de T composés d'éléments deux à deux distincts. Le problème général

est ainsi :

longMaxNonRep E : un tableau T S: la longueur maximale des sous-tableaux non répét i t i fs de T

Exemple 1 Le tableau (10, 11 , 10, 11 , I2, I3, 14, 10) â pour sous-tableau répét i t i f T[1,3]=(10,11,10).Lessous-tableauxT[3,6]=(10,LI ,12,13),T13,7)=(10,11 ,12,!3,14) sont non répétitifs. On a : IongMaxNonRep(T)=5.

1. Ecrire un algorithme optimal en temps qui résoud le problème suivant :

estNonRépéti t i f E : un tableau T, deux indice.s 7<i< j<n

S : vrai s i T[ i ,1] est non répét i t i f , f aux si-non

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2. Evaluer la complexité en temps et en espace de I'algorithme précédent.

3. Ecrire un algorithme qui résoud le problème suivant :

minoreLongMax E : un ent ier L, un tableau T S : vrai s i L est infér ieur ou égal à 1a longueur maximale

des sous-tableaux non :r .énét i t i fs do T faux s inon.

et ut i l isant estNonRépéti t i f .

4. Evaluer la complexité en temps et en espace de I'algorithme précédent.

5. Ecrire une soiution algorithmique de longMaxNonRep utilisant I'une ou les deux fonc- tions précédentes. Vous chercherez à obtenir une complexité en temps la plus faible possible.

6. Evaluer Ia complexité en temps et en espace de I'algorithme précédent.

Soit next Indice (T : tableau, i : indice ) : indi ce la fonct ion qui retourne Ie plus pet i t indice ,k > i désignant 7lr ] (on a Tfk] : TLi l ) ou +oo si i l n 'exisle pas.

7. Ecr ire un algori thme de complexi té (de préférence n temps O(n. log(n))) qui permet de sauvegarder dans un tableau SaueNert les valeurs nextlndice. On a pour tout i e f1, nf , SaaeNert l i l - nert lndice(T, i) .

Dorénavant) nous supposons I'existence d'un algorithme résolvant le problème suivant :

longMaxContenantPos it ion E : un tableau T, t rois indices i < k < j , , S : la longueur maximal des sous-tableaux non répét i t i fs de T[ i , j ] contenant T[k]

de complexité en temps "(a i

Exemple 2 Dans 1'exemple ci-dessus, longMaxContenantPosit ion(T, I ,8,2) est I 'en- lier 2 : les sous-tableaux concernés ont Tl7,2l et T12,3] ; longMaxContenantPos it ion (T , 1 , 6 ,4) est I'entier 4 : I 'unique sous-tableau concerné est 713,61.

B. Déduire de I'hypothèse précédente une solution optimale à longMax.

9. Evaluer la complexité en temps et en espace de l'algorithme précédent.

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