Exercices sur la convergence de variables aléatoires, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur la convergence de variables aléatoires, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur la convergence de variables aléatoires. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Estimateurs empiriques, Théorème central limite, Variable de Poisson de grand paramètre, Convergence...
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L3-TD3

TD3 : Convergence de variables aléatoires Exercice 1: Estimateurs empiriques

Soient 1,..., nX X des v.a. i.i.d. d’espérance m et de variance ²σ . On pose 1

1 n n i

i

X X n =

= ∑ et

( )22 1

1 n n i n

i

S X X n =

= −∑ .

1) Calculer les espérances de nX et 2 nnS .

2) Etudier la convergence en probabilité de ces deux suites.

3) Montrer que 2

n

n

X m n

S

− converge en loi et donner sa limite.

Exercice 2 : Théorème central limite On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant deux boules blanches et quatre boules bleues. A chaque tirage i=1,…n, on associe la v.a. Xi valant 1 si la boule tirée est blanche, 0 sinon.

1- Etudier la convergence en probabilité de la suite 1

1 n n i

i

X X n =

= ∑ .

2- En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer le nombre de tirages

nécessaires 0n pour que ( )13 0.2 0.01.nP X − > ≤ 3- En utilisant le théorème central limite, déterminer une autre valeur 1n répondant à la

question précédente et comparer.

Exercice 3 : Variable de Poisson de grand paramètre On dispose d’un échantillon 1( ,..., )nX X i.i.d. issu d’une loi de poisson de paramètre θ. Soit

1

n

n i i

Y X =

=∑

.

1) Etudier la convergence en moyenne et presque sûre de la suite n Y

n .

2) Montrer que n Y n

n

θ− converge en loi et préciser sa limite.

3) Exprimer ( )nP Y n≤ pour 1θ = .

4) En déduire que 0

1 lim

! 2

kn n

n k

n e

k

→+∞ =

=∑

Rq : Si X et Y sont deux variables aléatoires de loi de Poisson de paramètres a et b, X+Y suit une loi de Poisson de paramètre a+b.

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Exercice 4 : Convergence de la suite des minimums Soit 0( )n nX > une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi [ , 1]θ θ +U . On définit la v.a.

1min( ,..., )n nZ X X= . 1- Donner la loi de nZ .

2- Montrer que nZ converge en probabilité vers θ . 3- Montrer que ( )nn Z θ− converge en loi vers une v.a. Z dont on donnera la loi.

Exercice 5 : Convergence en loi d’une variable hypergéométrique Soit NX une suite de variables aléatoires de loi Η(N,n,p). Montrer que lorsque N tend vers l’infini, NX converge en loi vers une variable de loi Binomiale Β(n,p). Exercice 6 : Convergence en loi et convergence en probabilités On tire un nombre au hasard entre 0 et 1. On définit sur l’espace probabilisé

( )[0,1], ([0,1], PP les variables aléatoires 1 1 0,

2

1n n

X  +  

= et 1 ,1

2

1X     

= .

1- Calculer les lois et les fonctions de répartitions de ces variables. 2- Montrer que nX converge en loi vers X lorsque n tend vers l’infini.

3- Calculer la probabilité ( )nP X X ε− > . En prenant un exemple précis de ε , montrer que nX ne converge pas en probabilité vers X .

Exercice 7 : Variations sur la loi normale Soient 1( ,..., )nX X i.i.d. issus d’une loi de densité

2

0 0 ( )

2 0x x

f x xe xαα −

<=  ≥

1) Calculer 21 1( ), ( )E X E X .

2) Etudier la convergence presque sûre de 2 1

1 n n i

i

T X n =

= ∑ .

3) Etudier la convergence en probabilité de 2

1

n n

i i

n W

X =

= ∑

.

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