Exercices sur la dérivation de fonctions, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices sur la dérivation de fonctions, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques sur la dérivation de fonctions. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions définies sur IR, Déterminer la fonction dérivée, exercic...
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T.D. 4 Fiche d’exercices n°2 1S Chapitre 4 : Dérivation Dérivation de fonctions Novembre 2004

Exercice 1 : Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions définies sur IR.(Attention à l’ensemble de dérivation)

1. f(x) = -2 x3 +x – 2 et g(x) = 2x² - 3x + 1 π

2. h(t) = t² 2

+ 1 3 et y(x) =

x3

3 -

x² 2

+ x 5 +

π 2

3. u définie. sur ]0 :+ ∞ [par u(x) = 4 x + 1 x

- π²

Produits : (u.v)’ = u’v + uv’

Exercice 2 f est une fonction définie sur IR par f(x) = (x² + 1)(-2x3 + 3x – 7). On écrit f(x) = u(x).v(x). 1) a) Recopier et compléter :

u(x) = … v(x) = … u’(x) = …… v’(x) = ….. b) Calculer alors f ’(x) pour tout réel x.

2) Développer l’expression de f, dériver et retrouver le résultat du 1b) Exercice 3 1. Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes et l’ensemble de dérivation.

a. f définie sur IR+ par f(x) = (x² + 2) x b. g déf. sur IR+ par g(x) = (x3 +2x) ( x + 1)

2. Donner une équation des tangentes à Cf et Cg au point d’abscisse 1 Exercice 4 f est la fonction définie sur IR par f(x) = (2x² - x + 4)² 1. Développer f(x) et calculer f ’(x) pour tout réel x. 2. Autre méthode

a. On écrit f(x) = u(x)². Donner l’expression de u(x)

b. Calculer f ’(x) avec la formule (u²)’=2uu’ 3. Quelle est la méthode la plus rapide ?

Quotient, inverse:  

 1

u

= -u’ u²

(u ≠ 0)  

 u

v

= u’v - uv’ v²

(v ≠ 0)

Exercice 5 Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes. (Attention à l’ensemble de dérivation)

1. f déf. sur ]-2 ;+ ∞[ par f(x) = 1 3x + 6

2. g déf. sur ]2 ;+ ∞[ par g(x) = 2x+1 3x - 6

3. h déf. sur ]2 ;+ ∞[ par h(x) = 1 -3x² + 12

+ 1 3

4. i déf. sur IR par i(x) = 1

2(x²+1)

5. j déf. sur IR par j(x) = x² - 3x + 1

2x²+1

6. k déf. sur IR+ par k(x) = x

-x²-1

Dérivée de x → f(ax+b)

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes. (Attention à l’ensemble de dérivation) 1. f déf. sur ]-2 ;+ ∞[ par f(x) = 4x + 8 2. g déf. sur IR par g(x) = (3x + 1)5 3. h déf. sur ]1/2 ;+ ∞[ par h(x) = ( 3 – 2x)4 2x-1

Divers Exercice 6 Déterminer la fonction dérivée après avoir précisé l’ensemble de définition et de dérivation de chacune des fonctions définies par :

1. f(x) =  

 1 - 2x

2 - 4x

2

2. g(x) =  

 1 - 2x

2 - 4x x

Exercice 7Quelques astuces : Fonction du type k u

ou u k

k u

= k. 1 u

et u k

= 1 k

. u k 0 et u 0

1. f déf. sur IR par f(x) = 3

x²+2

2. g déf. sur ]2 ;+ ∞[ par g(x) = 5 -3x + 12

+ -3x + 12

5

3. h déf. sur IR/{-1} par h(x) = 3

4(x+1)²

Tangentes

Exercice 8 : f est la fonction définie sur IR;{0} par f(x) = x² + 1 x

1. Déterminer la fonction dérivée de f. 2. Déterminer une équation de la tangente à Cf au point

d’abscisse 2. 3. La droite d’équation y = x + 1 est-elle tangente à la courbe

Cf ? Si oui en quel point ?

Exercice 9 : f est la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) = x x + 2

1. Déterminer la fonction dérivée de f. 2. La courbe Cf admet-elle une tangente horizontale ?

Si oui en quel point ?

Exercice 10 : f est la fonction déf. sur ]0 ; + ∞[ par f(x) = 1 x

1. Déterminer la fonction dérivée de f. 2. Déterminer une équation de la tangente à Cf au point

d’abscisse 4. 3. La courbe Cf admet-elle une tangente horizontale ?

Si oui en quel point ? Exercice 11 : Position d’une courbe par rapport à une tangente

f est la fonction déf. sur IR par f(x) = - 1 2 x² de courbe Cf.

1. Déterminer la fonction dérivée de f. 2. Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point

d’abscisse 1. On note y=ax+b cette équation. 3. Soit d la fonction définie sur IR par d(x) = f(x) – (ax+b)

Etudier le signe de d(x) et en déduire la position de Cf par rapport à T.

Défi : Etudier la position de la courbe des fonctions inverse et carrée par rapport à n’importe quelle tangente respectivement sur IR+* et sur IR..

Exercice 12 : Fonction à déterminer f est la fonction déf. sur IR par f(x) = ax3 + bx² + cx + d Déterminer les réels a,b,c et d sachant que : - Cf coupe l’axe des ordonnés au point d’ordonnée 20, et - que Cf passe par le point A(-1 ;18) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 3., et - que Cf admet une tangente horizontale au point d’abscisse 0.

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